藝術(shù)生專用2025版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第1節(jié)平面向量的概念與線性運(yùn)算課時(shí)沖關(guān)

PAGEPAGE1第1節(jié)平面對量的概念與線性運(yùn)算1．在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(5,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AD,\s\up6(→))解析：A[eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).故選A.]2．已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，假如c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向解析：D[由題意可設(shè)c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.∵a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－k＝0，,λ＋1＝0.))∴k＝λ＝－1.∴c與d反向．故選D.]3．D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))解析：A[如圖，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).]4．已知向量a，b是兩個(gè)不共線的向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ1a＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，則“A，B，C三點(diǎn)共線”是“λ1·λ2－1＝0”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：C[A，B，C三點(diǎn)共線等價(jià)于eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))共線，依據(jù)向量共線的充要條件知，eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))共線，即存在實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于向量a，b不共線，依據(jù)平面對量的基本定理得λ1·λ＝1且λ2＝λ，消掉λ，得λ1·λ2－1＝0.故“A，B，C三點(diǎn)共線”是“λ1·λ2－1＝0”的充分必要條件．]5．(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)非零向量a，b滿意|a＋b|＝|a－b|，則()A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b|C．a(chǎn)∥b D．|a|>|b|解析：A[由|a＋b|＝|a－b|及平行四邊形法則得，以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的兩對角線相等，即為矩形，所以a⊥b.]6．在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，M為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))解析：B[因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).又M是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)).故選B.]7．(2024·濟(jì)寧市模擬)如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，則m＋n的值為()A．1 B．2C．3 D．4解析：B[∵O為BC的中點(diǎn)，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(meq\o(AM,\s\up6(→))＋neq\o(AN,\s\up6(→)))＝eq\f(m,2)eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\f(n,2)eq\o(AN,\s\up6(→))，∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴eq\f(m,2)＋eq\f(n,2)＝1，∴m＋n＝2.]8．(2024·聊城市質(zhì)檢)設(shè)a，b不共線，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值為()A．－2 B．－1C．1 D．2解析：B[∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又∵A，B，D三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共線．設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，∴2a＋pb＝λ(2a－∵a，b不共線，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.]9．在平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(AC,\s\up6(→))＝e2，eq\o(NC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，則eq\o(MN,\s\up6(→))＝________(用e1，e2表示)．解析：如圖所示，eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋2eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)e2＋eq\f(2,3)(e2－e1)＝－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2.答案：－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e210．已知D、E、F分別為△ABC的邊BC、CA、AB的中點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，給出下列命題：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.其中正確命題的序號為________.解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(B