2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章基本初等函數(shù)Ⅰ2函數(shù)及其基本性質(zhì)階段提升課學(xué)案新人教A版必修1

PAGEPAGE7其次課函數(shù)及其基本性質(zhì)【題組訓(xùn)練一】函數(shù)的基本概念1．若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是()【解析】選B.A中函數(shù)定義域不是[－2，2]；C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域不是[0，2].2．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x＋1是相等函數(shù)的是()A．y＝(eq\r(x＋1))2 B．y＝eq\r(3,x3)＋1C．y＝eq\f(x2,x)＋1 D．y＝eq\r(x2)＋1【解析】選B.對(duì)于A，函數(shù)y＝(eq\r(x＋1))2的定義域?yàn)閧x|x≥－1}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于B，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別對(duì)應(yīng)相同，是相等函數(shù)；對(duì)于C.函數(shù)y＝eq\f(x2,x)＋1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，與函數(shù)y＝x＋1的定義域x∈R不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于D，定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)．3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－2)，x>2，,x2＋2，x≤2，))則f(f(1))＝()A．－eq\f(1,2) B．2 C．4 D．11【解析】選C.由題意知f(1)＝12＋2＝3，因此f(f(1))＝f(3)＝3＋eq\f(1,3－2)＝4.(1)推斷一個(gè)圖象是否為函數(shù)圖象的方法，作任何一條垂直于x軸的直線，不與已知圖象有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)的，就是函數(shù)圖象．(2)在推斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)時(shí)，要緊扣兩點(diǎn)：一是定義域是否相同；二是對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同．【題組訓(xùn)練二】函數(shù)的定義域、值域1．函數(shù)f(x)＝eq\f(2x2,\r(1－x))＋(2x－1)0的定義域?yàn)?)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))【解析】選D.由題意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,2x－1≠0，))解得x<1且x≠eq\f(1,2)，即f(x)的定義域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).2．已知函數(shù)y＝f(x－1)的定義域是[－1，2]，則y＝f(1－3x)的定義域?yàn)?)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，0)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，3))C．[0，1] D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))【解析】選C.由y＝f(x－1)的定義域是[－1，2]，則x－1∈[－2，1]，即f(x)的定義域是[－2，1]，令－2≤1－3x≤1解得0≤x≤1，即y＝f(1－3x)的定義域?yàn)閇0，1].3．已知函數(shù)f(x)＝－2x＋3的值域?yàn)閇－5，5]，則它的定義域?yàn)?)A．[－5，5]B．[－7，13]C．[－1，4]D．[－4，1]【解析】選C.可以畫出函數(shù)y＝－2x＋3的圖象，再依據(jù)圖象來求；還可以運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)來求，f(x)在R上單調(diào)遞減，且當(dāng)f(x)＝－5時(shí)，x＝4；當(dāng)f(x)＝5時(shí)，x＝－1，所以定義域?yàn)閇－1，4].4．求函數(shù)y＝2x－3－eq\r(13－4x)的值域．【解析】由13－4x≥0，解得x≤eq\f(13,4)，函數(shù)y＝2x－3為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，y＝－eq\r(13－4x)為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,4)))上的增函數(shù)，所以y＝2x－3－eq\r(13－4x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(13,4)))上為增函數(shù)，則ymax＝2×eq\f(13,4)－3－eq\r(13－4×\f(13,4))＝eq\f(7,2)，所以y＝2x－3－eq\r(13－4x)的值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2))).關(guān)于函數(shù)定義域、值域的求法(1)定義域：關(guān)注解析式中的根號(hào)、分母、零次冪有意義；抽象函數(shù)的定義域一般用代入法求解．(2)值域：首先考查函數(shù)類型，再確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，最終計(jì)算最值．解題過程中要敏捷應(yīng)用換元法、配方法等方法，含字母的要分狀況探討．【題組訓(xùn)練三】求函數(shù)的解析式1．已知函數(shù)f(2x＋1)＝4x2，則f(－3)＝()A．36B．16C．4D．2【解析】選B.方法一：函數(shù)f(2x＋1)＝4x2，令2x＋1＝－3，解得x＝－2，所以f(－3)＝4×(－2)2＝16.方法二：設(shè)2x＋1＝t，則x＝eq\f(t－1,2)，所以f(t)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t－1,2)))eq\s\up12(2)＝(t－1)2，所以f(－3)＝(－3－1)2＝16.2．已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，則f(x)＝________．【解析】設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝2ax＋a＋b＝x－1，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝1，,a＋b＝－1，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－\f(3,2)．))所以f(x)＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2.答案：eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋23．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1，則f(x)＝________．【解析】在f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1中，將x換成eq\f(1,x)，則eq\f(1,x)換成x，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)·eq\r(\f(1,x))－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＝2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·\r(x)－1，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f（x）·\r(\f(1,x))－1，))解得f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3).答案：eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3)求函數(shù)解析式的常用方法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法．(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要留意新元的取值范圍．(3)構(gòu)造法：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)的表達(dá)式，可依據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式，通過解方程組求出f(x).【題組訓(xùn)練四】函數(shù)圖象及應(yīng)用1．(2024·天津高考)函數(shù)y＝eq\f(4x,x2＋1)的圖象大致為()【解析】選A.設(shè)f(x)＝y(tǒng)＝eq\f(4x,x2＋1).由函數(shù)的解析式可得：f(－x)＝eq\f(－4x,x2＋1)＝－f(x)，又其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝eq\f(4,1＋1)＝2>0，選項(xiàng)B錯(cuò)誤．2．已知y＝f(x)是奇函數(shù)，y＝g(x)是偶函數(shù)，它們的定義域均為[－3，3]，且它們?cè)趚∈[0，3]上的圖象如圖所示，則不等式eq\f(f（x）,g（x）)<0的解集是________．【解析】因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以由圖象知，當(dāng)0＜x＜2或－3＜x＜－2時(shí)，f(x)＞0，當(dāng)－2＜x＜0或2＜x＜3時(shí)，f(x)＜0，因?yàn)間(x)是偶函數(shù)，所以當(dāng)1＜x＜3或－3＜x＜－1時(shí)，g(x)＞0，當(dāng)－1＜x＜0或0＜x＜1時(shí)，g(x)＜0，則不等式eq\f(f（x）,g（x）)<0等價(jià)于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）>0，,g（x）<0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）<0，,g（x）>0))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<x<2或－3<x<－2，,－1<x<0或0<x<1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<x<0或2<x<3，,1<x<3或－3<x<－1，))得0＜x＜1或2＜x＜3或－2＜x＜－1，即不等式eq\f(f（x）,g（x）)<0的解集為{x|0＜x＜1或2＜x＜3或－2＜x＜－1}．答案：{x|0＜x＜1或2＜x＜3或－2＜x＜－1}作函數(shù)圖象的方法(1)描點(diǎn)法——求定義域、化簡、列表、描點(diǎn)、連線．(2)變換法——熟知函數(shù)的圖象的平移、對(duì)稱、翻轉(zhuǎn)．①平移：y＝f(x)y＝f(x±h)；y＝f(x)y＝f(x)±k.(其中h＞0，k＞0).②對(duì)稱：y＝f(x)y＝f(－x)；y＝f(x)y＝－f(x)；y＝f(x)y＝－f(－x).【題組訓(xùn)練五】函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性1．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________．【解析】因?yàn)閤∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝2x3＋x2，且f(x)在R上為奇函數(shù)，所以f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.答案：122．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(mx2＋2,3x＋n)是奇函數(shù)，且f(2)＝eq\f(5,3).(1)求實(shí)數(shù)m和n的值．(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上的最值．【解析】(1)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，所以eq\f(mx2＋2,－3x＋n)＝－eq\f(mx2＋2,3x＋n)＝eq\f(mx2＋2,－3x－n).比較得n＝－n，n＝0.又f(2)＝eq\f(5,3)，所以eq\f(4m＋2,6)＝eq\f(5,3)，解得m＝2.因此，實(shí)數(shù)m和n的值分別是2和0.(2)由(1)知f(x)＝eq\f(2x2＋2,3x)＝eq\f(2x,3)＋eq\f(2,3x).任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,3)(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝eq\f(2,3)(x1－x2)·eq\f(x1x2－1,x1x2