專題26 二次函數(shù)與角問題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)母題題源解密（原卷版）

專題26二次函數(shù)函數(shù)與角問題考向二次函數(shù)函數(shù)中的角度問題【母題來源】2021年中考四川省德陽卷【母題題文】如圖，已知：拋物線y＝x2+bx+c與直線l交于點(diǎn)A（﹣1，0），C（2，﹣3），與x軸另一交點(diǎn)為B．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上找一點(diǎn)P，使△ACP的內(nèi)心在x軸上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，垂足為N，連接BM．在（2）的條件下，是否存在點(diǎn)M，使∠MBN＝∠APC？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）把點(diǎn)A（﹣1，0），C（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得到方程組：0=1?b+∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，則C'（2，3），連接AC'并延長與拋物線交于點(diǎn)P，由圖形的對(duì)稱性可知P為所求的點(diǎn)，設(shè)直線AC'的解析式為y＝mx+n，由題意得：0=?解得：m=1∴直線AC'的解析式為y＝x+1，將直線和拋物線的解析式聯(lián)立得：y=解得x1=?∴P（4，5）；（3）存在點(diǎn)M，過點(diǎn)P作x軸的垂線，由勾股定理得AP=(4+1同理可求得AC=(2+1)2∴AP2+AC2＝PC2，∠PAC＝90°，∴tan∠APC=AC∵∠MBN＝∠APC，∴tan∠MBN＝tan∠APC，∴MNBN設(shè)點(diǎn)M（m，m2﹣2m﹣3），則|m解得m=?25當(dāng)m=?25時(shí)，m2∴M（?25，當(dāng)m=?85，m2∴M（?85，∴存在符合條件的點(diǎn)M，M的坐標(biāo)為（?25，?5125），（【試題解析】（1）把點(diǎn)A，C代入拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）先作出點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，然后連接AC'并延長交拋物線于點(diǎn)P，根據(jù)對(duì)稱性可知P為所求的點(diǎn)；（3）根據(jù)勾股定理先求出∠APC的正切值，再設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），利用∠MBN＝∠APC列出關(guān)于m的方程，求出m，即可確定M的坐標(biāo)．【命題意圖】二次函數(shù)的應(yīng)用；推理能力．【命題方向】二次函數(shù)綜合題，一般為壓軸題．【得分要點(diǎn)】角的數(shù)量關(guān)系問題（1）證等角：常運(yùn)用等腰三角形兩底角相等，等角的余角相等，等角的補(bǔ)角相等、全等三角形和相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等及兩角的銳角三角函數(shù)值相等，等等；（2）證二倍角：常構(gòu)造輔助圓，利用圓周角定理；（3）證和差角：常旋轉(zhuǎn)、翻折、平移構(gòu)造角．1．（2021?廣西貴港模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+（m﹣1）x+m（其中m＞1）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在該拋物線的對(duì)稱軸上，且DA＝DC．（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，用含m的式子表示點(diǎn)D的坐標(biāo)為；（2）若△ACD與△BCO的面積之比為5：9，求該拋物線的表達(dá)式；（3）在（2）的條件下，若動(dòng)點(diǎn)P在該拋物線上，且當(dāng)∠PBC＝∠DAB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．2.（2021?甘肅蘭州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+6（a≠0）交x軸于AB兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，且OA＝OC＝3OB，連接AC．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P從點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長度的速度沿CA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，點(diǎn)Q從點(diǎn)O以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，連接PQ，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)，求S△CPQ的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得∠ACM＝15°？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2021?廣東模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=12x﹣2的圖象與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)y（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）如圖2，連接AC，點(diǎn)M為線段BC上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，過點(diǎn)M作y軸的平行線，過點(diǎn)C作x軸的平行線，兩者交于點(diǎn)N，將△MCN沿MC翻折得到△MCN'．①當(dāng)點(diǎn)N'落在線段AB上，求此時(shí)t的值；②求△MCN′與△ACB重疊的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式．（3）如圖3，點(diǎn)D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上，過點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)D，使得△CDM中的某個(gè)角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2021?內(nèi)蒙古鄂爾多斯一模）如圖，已知直線y＝2x+n與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是A（1，﹣4），點(diǎn)B在x軸上．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M是y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠BAQ＝45°，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由．5．（2021?四川模擬）如圖，一次函數(shù)y=?12（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，已知點(diǎn)D（﹣1，n）在拋物線上，作射線BD，Q為線段AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QM⊥