專題28 函數(shù)與面積問題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)母題題源解密（原卷版）

專題28函數(shù)與面積問題考向1二次函數(shù)與面積問題【母題來源】2021年中考四川省內(nèi)江卷【母題題文】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，與y軸交于點C．直線l與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點E，點D的坐標(biāo)為（4，3）．（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；（2）若點P是拋物線上的點且在直線l上方，連接PA、PD，求當(dāng)△PAD面積最大時點P的坐標(biāo)及該面積的最大值；（3）若點Q是y軸上的點，且∠ADQ＝45°，求點Q的坐標(biāo)．【答案】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點，∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣6），∵D（4，3）在拋物線上，∴3＝a（4+2）×（4﹣6），解得a=?∴拋物線的解析式為y=?14（x+2）（x﹣6）=∵直線l經(jīng)過A（﹣2，0）、D（4，3），設(shè)直線l的解析式為y＝kx+m（k≠0），則?2k+m=0解得，k=1∴直線l的解析式為y=1（2）如圖1中，過點P作PK∥y軸交AD于點K．設(shè)P（m，?14m2+m+3），則K（m，∵S△PAD=12?（xD﹣x∴PK的值最大值時，△PAD的面積最大，∵PK=?14m2+m+3?12m﹣1=?14m∵?1∴m＝1時，PK的值最大，最大值為94，此時△PAD的面積的最大值為274，P（1，（3）如圖2中，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AT，則T（﹣5，6），設(shè)DT交y軸于點Q，則∠ADQ＝45°，∵D（4，3），∴直線DT的解析式為y=?13∴Q（0，133作點T關(guān)于AD的對稱點T′（1，﹣6），則直線DT′的解析式為y＝3x﹣9，設(shè)DQ′交y軸于點Q′，則∠ADQ′＝45°，∴Q′（0，﹣9），綜上所述，滿足條件的點Q的坐標(biāo)為（0，133【試題解析】（1）利用待定系數(shù)法解決問題即可．（2）如圖1中，過點P作PK∥y軸交AD于點K．設(shè)P（m，?14m2+m+3），則K（m，12m+1）．因為S△PAD=12（3）如圖2中，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AT，則T（﹣5，6），設(shè)DT交y軸于點Q，則∠ADQ＝45°，作點T關(guān)于AD的對稱點T′（1，﹣6），設(shè)DQ′交y軸于點Q′，則∠ADQ′＝45°，分別求出直線DT，直線DT′的解析式即可解決問題．【命題意圖】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．【命題方向】二次函數(shù)綜合題，一般為壓軸題．【得分要點】解決函數(shù)與面積問題的常用方法有1．割補法：當(dāng)所求圖形的面積沒有辦法直接求出時，我們采取分割或補全圖形再分割的方法來表示所求圖形的面積，如圖：S△ABC＝S△ABD＋S△BCDS四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACDS四邊形ABCD＝S四邊形ADCE＋S△BCES△ABC＝S梯形AEFC－S△AEB－S△CBFS四邊形ABCD＝S△ABD＋S梯形BDNM－S△BCM－S△DCN一般步驟為：（1）設(shè)出要求的點的坐標(biāo)；（2）通過割補將要求的圖形轉(zhuǎn)化成通過條件可以表示的圖形面積相加減；（3）列出關(guān)于所設(shè)參數(shù)的方程求解；（4）檢驗是否每個坐標(biāo)都符合題意．2．等積變換法利用平行線間的距離處處相等，根據(jù)同底等高，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)移到另一個圖形中，如圖所示：直線m∥直線n，S△ABC＝S△ABD＝S△ABE例如，在平面直角坐標(biāo)系中經(jīng)常作已知三角形一邊的平行線去進行等積變換，S△ABC＝S△ABD＝S△ABE，一般步驟：設(shè)出直線表達式，兩條平行的直線k值相等；通過已知點的坐標(biāo)，求出直線表達式；求出題中要求的點；檢驗是否每個坐標(biāo)都符合題意．3、鉛錘法：三角形的鉛垂高指無論三角形怎么放，上方頂點到下方頂點的縱向距離（不是兩點之間的距離，而是指兩點之間上下距離，左右橫向不用考慮）．在平面直角坐標(biāo)系中經(jīng)常向x軸y軸作垂線，然后利用鉛錘法，如圖：一般步驟：（1）設(shè)出點的坐標(biāo)；（2）向x軸y軸作垂線對圖形進行分割，利用鉛錘法表示圖形面積；（3）根據(jù)題意列方程求解；（4）檢驗是否符合題意．4．等比轉(zhuǎn)換法：若已知條件中的圖形是相似的，可以將面積比轉(zhuǎn)化為圖形的線段比；若已知條件中的圖形是同底或等底的，可以將面積比轉(zhuǎn)化為圖形的對應(yīng)高的比；若已知條件中的圖形是同高或等高的，可以將面積比轉(zhuǎn)化為圖形的對應(yīng)底的比，一般步驟：（1）設(shè)出點的坐標(biāo)；（2）將圖形的面積比轉(zhuǎn)化為圖形的線段比；（3）列方程，求出參數(shù)；（4）檢驗是否符合題意．1．（2021?湖北襄樊模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與直線y＝x+3交于點A（m，0）和點B（2，n），與y軸交于點C．（1）求m，n的值及拋物線的解析式；（2）在圖1中，把△AOC向上平移m個單位長度，始終保持點A的對應(yīng)點P在第二象限拋物線上，點C，O的對應(yīng)點分別為M，N，若直線AB與△PMN的邊有兩個交點，求m的取值范圍；（3）如圖2，在拋物線上是否存在點Q（不與點C重合），使△QAB和△ABC的面積相等？若存在，直接寫出點Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2．（2021?河南南陽一模）如圖，拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，﹣3）．點P是拋物線上的動點（不與點D重合），直線PD與y軸交于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）若點P的橫坐標(biāo)為m，則直線PD的解析式可用含m的式子表示為；（3）當(dāng)點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．3．（2021?江蘇常州武進區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（3，0）、點B（0，3），頂點為M．（1）求該二次函數(shù)的表達式．（2）若點P是線段BM下方的拋物線上一點，求△MBP面積的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)．（3）直線AB上是否存在點E，使得點E關(guān)于直線MB的對稱點F滿足S△ABF＝S△ABM？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．4．（2021?湖北黃石模擬）如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A（1，0），B（