專題28 函數(shù)與面積問(wèn)題-備戰(zhàn)2022年中考數(shù)學(xué)母題題源解密（原卷版）

專題28函數(shù)與面積問(wèn)題考向1二次函數(shù)與面積問(wèn)題【母題來(lái)源】2021年中考四川省內(nèi)江卷【母題題文】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．直線l與拋物線交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，3）．（1）求拋物線的解析式與直線l的解析式；（2）若點(diǎn)P是拋物線上的點(diǎn)且在直線l上方，連接PA、PD，求當(dāng)△PAD面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及該面積的最大值；（3）若點(diǎn)Q是y軸上的點(diǎn)，且∠ADQ＝45°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點(diǎn)，∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣6），∵D（4，3）在拋物線上，∴3＝a（4+2）×（4﹣6），解得a=?∴拋物線的解析式為y=?14（x+2）（x﹣6）=∵直線l經(jīng)過(guò)A（﹣2，0）、D（4，3），設(shè)直線l的解析式為y＝kx+m（k≠0），則?2k+m=0解得，k=1∴直線l的解析式為y=1（2）如圖1中，過(guò)點(diǎn)P作PK∥y軸交AD于點(diǎn)K．設(shè)P（m，?14m2+m+3），則K（m，∵S△PAD=12?（xD﹣x∴PK的值最大值時(shí)，△PAD的面積最大，∵PK=?14m2+m+3?12m﹣1=?14m∵?1∴m＝1時(shí)，PK的值最大，最大值為94，此時(shí)△PAD的面積的最大值為274，P（1，（3）如圖2中，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AT，則T（﹣5，6），設(shè)DT交y軸于點(diǎn)Q，則∠ADQ＝45°，∵D（4，3），∴直線DT的解析式為y=?13∴Q（0，133作點(diǎn)T關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)T′（1，﹣6），則直線DT′的解析式為y＝3x﹣9，設(shè)DQ′交y軸于點(diǎn)Q′，則∠ADQ′＝45°，∴Q′（0，﹣9），綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，133【試題解析】（1）利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題即可．（2）如圖1中，過(guò)點(diǎn)P作PK∥y軸交AD于點(diǎn)K．設(shè)P（m，?14m2+m+3），則K（m，12m+1）．因?yàn)镾△PAD=12（3）如圖2中，將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AT，則T（﹣5，6），設(shè)DT交y軸于點(diǎn)Q，則∠ADQ＝45°，作點(diǎn)T關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)T′（1，﹣6），設(shè)DQ′交y軸于點(diǎn)Q′，則∠ADQ′＝45°，分別求出直線DT，直線DT′的解析式即可解決問(wèn)題．【命題意圖】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；推理能力．【命題方向】二次函數(shù)綜合題，一般為壓軸題．【得分要點(diǎn)】解決函數(shù)與面積問(wèn)題的常用方法有1．割補(bǔ)法：當(dāng)所求圖形的面積沒(méi)有辦法直接求出時(shí)，我們采取分割或補(bǔ)全圖形再分割的方法來(lái)表示所求圖形的面積，如圖：S△ABC＝S△ABD＋S△BCDS四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACDS四邊形ABCD＝S四邊形ADCE＋S△BCES△ABC＝S梯形AEFC－S△AEB－S△CBFS四邊形ABCD＝S△ABD＋S梯形BDNM－S△BCM－S△DCN一般步驟為：（1）設(shè)出要求的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）通過(guò)割補(bǔ)將要求的圖形轉(zhuǎn)化成通過(guò)條件可以表示的圖形面積相加減；（3）列出關(guān)于所設(shè)參數(shù)的方程求解；（4）檢驗(yàn)是否每個(gè)坐標(biāo)都符合題意．2．等積變換法利用平行線間的距離處處相等，根據(jù)同底等高，將所求圖形的面積轉(zhuǎn)移到另一個(gè)圖形中，如圖所示：直線m∥直線n，S△ABC＝S△ABD＝S△ABE例如，在平面直角坐標(biāo)系中經(jīng)常作已知三角形一邊的平行線去進(jìn)行等積變換，S△ABC＝S△ABD＝S△ABE，一般步驟：設(shè)出直線表達(dá)式，兩條平行的直線k值相等；通過(guò)已知點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線表達(dá)式；求出題中要求的點(diǎn)；檢驗(yàn)是否每個(gè)坐標(biāo)都符合題意．3、鉛錘法：三角形的鉛垂高指無(wú)論三角形怎么放，上方頂點(diǎn)到下方頂點(diǎn)的縱向距離（不是兩點(diǎn)之間的距離，而是指兩點(diǎn)之間上下距離，左右橫向不用考慮）．在平面直角坐標(biāo)系中經(jīng)常向x軸y軸作垂線，然后利用鉛錘法，如圖：一般步驟：（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）向x軸y軸作垂線對(duì)圖形進(jìn)行分割，利用鉛錘法表示圖形面積；（3）根據(jù)題意列方程求解；（4）檢驗(yàn)是否符合題意．4．等比轉(zhuǎn)換法：若已知條件中的圖形是相似的，可以將面積比轉(zhuǎn)化為圖形的線段比；若已知條件中的圖形是同底或等底的，可以將面積比轉(zhuǎn)化為圖形的對(duì)應(yīng)高的比；若已知條件中的圖形是同高或等高的，可以將面積比轉(zhuǎn)化為圖形的對(duì)應(yīng)底的比，一般步驟：（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）將圖形的面積比轉(zhuǎn)化為圖形的線段比；（3）列方程，求出參數(shù)；（4）檢驗(yàn)是否符合題意．1．（2021?湖北襄樊模擬）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx﹣3與直線y＝x+3交于點(diǎn)A（m，0）和點(diǎn)B（2，n），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求m，n的值及拋物線的解析式；（2）在圖1中，把△AOC向上平移m個(gè)單位長(zhǎng)度，始終保持點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P在第二象限拋物線上，點(diǎn)C，O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M，N，若直線AB與△PMN的邊有兩個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）如圖2，在拋物線上是否存在點(diǎn)Q（不與點(diǎn)C重合），使△QAB和△ABC的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2021?河南南陽(yáng)一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且過(guò)點(diǎn)D（2，﹣3）．點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），直線PD與y軸交于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則直線PD的解析式可用含m的式子表示為；（3）當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求△POD面積的最大值．3．（2021?江蘇常州武進(jìn)區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）、點(diǎn)B（0，3），頂點(diǎn)為M．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）若點(diǎn)P是線段BM下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBP面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）直線AB上是否存在點(diǎn)E，使得點(diǎn)E關(guān)于直線MB的對(duì)稱點(diǎn)F滿足S△ABF＝S△ABM？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2021?湖北黃石模擬）如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（