KS5U2024高考壓軸卷-數(shù)學(xué)（新高考Ⅱ 卷） 含解析

KS5U2024高考壓軸卷新高考II卷數(shù)學(xué)1．本試卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷兩部分，共4頁．滿分150分；考試時(shí)間：120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考試科目、試卷類型用2B鉛筆涂在答題卡上．3．用鉛筆把第Ⅰ卷的答案涂在答題卡上，用鋼筆或圓珠筆把第Ⅱ卷的答案寫在答題紙的相應(yīng)位置上．4．考試結(jié)束，將答題卡和答題紙一并交回．第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.為評估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量（單位：kg）分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是A.x1，x2，…，xn的平均數(shù) B.x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位數(shù)2.已知向量，滿足，，則的值為（）A.4 B.3 C.2 D.03.已知，，，則（）A. B. C. D.4.是一種由60個(gè)碳原子構(gòu)成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子結(jié)構(gòu)由12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形組成．如圖，將足球烯上的一個(gè)正六邊形和相鄰正五邊形展開放平，若正多邊形的邊長為1，為正多邊形的頂點(diǎn)，則（）A.1 B.2 C.3 D.45.標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表（如圖）采用的“五分記錄法”是我國獨(dú)創(chuàng)的視力記錄方式．標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表各行“E”字視標(biāo)約為正方形，每一行“E”的邊長都是上一行“E”的邊長的，若視力4.0的視標(biāo)邊長約為10cm，則視力4.9的視標(biāo)邊長約為（）A. B. C. D.6.在中，，，則（）A. B. C. D.7.設(shè)，為復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（）A.若，則B若，則且C.若，則D.若，且，則在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在一條直線上8.已知為圓上動(dòng)點(diǎn)，直線和直線（，）的交點(diǎn)為，則的最大值是（）A. B. C. D.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)得0分．）9.若展開式中常數(shù)項(xiàng)為28，則實(shí)數(shù)m的值可能為（）A. B.1 C.2 D.310.已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能在（）A. B. C. D.11．已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A．在處的切線方程為 B．的最小值為C．的最小值為 D．若恒成立，則第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值集合為______．13.《九章算術(shù)》中記錄的“羨除”是算學(xué)和建筑學(xué)術(shù)語，指的是一段類似隧道形狀的幾何體，如圖，羨除中，底面是正方形，平面，和均為等邊三角形，且．則這個(gè)幾何體的外接球的體積為______．14.某機(jī)器有四種核心部件A，B，C，D，四個(gè)部件至少有三個(gè)正常工作時(shí)，機(jī)器才能正常運(yùn)行，四個(gè)核心部件能夠正常工作的概率滿足為，，且各部件是否正常工作相互獨(dú)立，已知，設(shè)為在次實(shí)驗(yàn)中成功運(yùn)行的次數(shù)，若，則至少需要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)為______．四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．年菜一詞指舊俗過年時(shí)所備的菜肴，也就是俗稱的“年夜飯”，為了了解消費(fèi)者對年菜開支的接受區(qū)間，某媒體統(tǒng)計(jì)了1000名消費(fèi)者對年菜開支接受情況，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這1000名消費(fèi)者對年菜開支接受區(qū)間都在內(nèi)（單位：百元），按照，，，，，，分組，得到如下頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出這1000名消費(fèi)者對年菜開支接受價(jià)格的75%分位數(shù)（精確到0.1）；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可認(rèn)為消費(fèi)者對年菜開支接受價(jià)格X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)．用樣本估計(jì)總體，求所有消費(fèi)者對年菜開支接受價(jià)格大于972元的概率．參考數(shù)據(jù)：若，則，．16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面?zhèn)让?，為中點(diǎn)，是上點(diǎn)，，．（1）求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求到平面的距離17．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)．①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②求證：在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，且．18.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線上，.（1）若，且點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求直線與雙曲線相交所得的弦長；（2）探究：的外心是否落在雙曲線在點(diǎn)處的切線上，若是，請給出證明過程；若不是，請說明理由.19.如果n項(xiàng)有窮數(shù)列滿足，，…，，即(i=1，2…，n)，則稱有窮數(shù)列為“對稱數(shù)列”.(1)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中b1，b2，b3，b4成等差數(shù)列，且b2=3，b5=5，依次寫出數(shù)列的每一項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為(且)的“對稱數(shù)列”，且滿足，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和.①若，，…，構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且.當(dāng)k為何值時(shí)，取得最大值?②若=2024，且=2024，求k的最小值.KS5U2024高考壓軸卷新高考II卷數(shù)學(xué)答案1【KS5U答案】B【KS5U解析】評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差或方差，故選B.點(diǎn)睛:眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫眾數(shù)，眾數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的多數(shù)水平；中位數(shù)：一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)（起到分水嶺的作用），中位數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的中間水平；平均數(shù)：反映一組數(shù)據(jù)的平均水平；方差：反映一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的程度，用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小（即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。跇颖救萘肯嗤那闆r下，方差越大，說明數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定．標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，意義在于反映一組數(shù)據(jù)的離散程度．2【KS5U答案】C【KS5U解析】.故選：C.3【KS5U答案】B【KS5U解析】對A：由，故，即，故A錯(cuò)誤；對B：由，，則，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，故B正確；對C：由，故，即有，又由B可得，即，故C錯(cuò)誤；對D：由，故，即，故D錯(cuò)誤.故選：B.4【KS5U答案】B【KS5U解析】如圖所示，連接，，由對稱性可知，，取的中點(diǎn)，則，，又因?yàn)檎呅蔚倪呴L為1，所以，所以，故選：B．5【KS5U答案】A【KS5U解析】由題意可得，視力4.9的視標(biāo)邊長約為：cm.故選：A.6【KS5U答案】D【KS5U解析】由正弦定理可得，，又，所以，不妨設(shè)，所以由余弦定理得．故選：D．7【KS5U答案】D【KS5U解析】設(shè)、，、、、，對A：若，則有，即且，故A錯(cuò)誤；對B：取、，亦有，故B錯(cuò)誤；對C：取，，則有，，故C錯(cuò)誤；對D：設(shè)，、，若，則有，即有，整理得，由，故與不能同時(shí)成立，故在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)在直線上，故D正確.故選：D.8【KS5U答案】A【KS5U解析】由、，有，故，對有，故過定點(diǎn)，對有，故過定點(diǎn)，則中點(diǎn)為，即，，則，故點(diǎn)在以為直徑的圓上，該圓圓心為，半徑為，又在原，該圓圓心為，半徑為，又，則.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于由直線、的方程得到，且過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，從而確定點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為圓上兩點(diǎn)的距離最值問題.9【KS5U答案】AB【KS5U解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，由，解得，則，于是，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為或.故選：AB10【KS5U答案】AC【KS5U解析】，當(dāng)，由，則，則有，，解得，，即，，有，，即，即或，當(dāng)時(shí)，有，時(shí)，有，故的取值可能在或.故選：AC.【KS5U答案】ABD【KS5U解析】的定義域?yàn)?，則，故切線方程為，即，故A正確．由得，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，故B正確，C錯(cuò)誤．恒成立，其中，所以，記，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，D正確．故選ABD．12【KS5U答案】【KS5U解析】由題意，所以或，則或，所以實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為：.13【KS5U答案】【KS5U解析】連接，分別取、、中點(diǎn)、、，連接、、，由底面是正方形，平面，和均為等邊三角形，故，底面，又，故，則，故，由為底面正方形中心，，故可在直線上取一點(diǎn)，使為羨除外接球球心，連接、、，設(shè)半徑為，，則,由底面，平面，故，又，、平面，故平面，又平面，故，故，又，故有，即，又，故有，解得，故，即，則這個(gè)幾何體的外接球的體積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查幾何體外接球問題，關(guān)鍵在于借助題目條件，找出垂直底面且過底面外接圓圓心的直線，則該幾何體的外接球球心必在該直線上，設(shè)出該點(diǎn)位置，從而可結(jié)合勾股定理計(jì)算出該球半徑，即可得解.14【KS5U答案】【KS5U解析】設(shè)，則，設(shè)一次實(shí)驗(yàn)中成功運(yùn)行的概率為，則，令，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，故，由服從二項(xiàng)分布，故有，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助導(dǎo)數(shù)求取一次實(shí)驗(yàn)中成功運(yùn)行的概率的最大值，結(jié)合二項(xiàng)分布期望公式得到最少需要進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù).15．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得，，所以這1000名消費(fèi)者對年菜開支接受價(jià)格的75%分位數(shù)是．（2）由，所以，所以，故所有消費(fèi)者對年菜開支接受價(jià)格大于972元的概率為0.16．16證明：（1）平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，；四邊形為正方形，，，平面，平面，平面，平面平面.解：（2）取中點(diǎn)，連接，，為中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，平面，平面，分別為中點(diǎn)，，又，；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S正方向，可建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個(gè)法向量，，解得：（舍）或，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，點(diǎn)到平面的距離.17．（1）解：當(dāng)時(shí)，，則，所以，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）①解：函數(shù)，（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，則在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，又，所以在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值．點(diǎn)，符合題意．綜上，的取值范圍是．②證明：由①知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以時(shí)，，則又因?yàn)?，所以在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)．由①知，所以，則設(shè)，則，因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，又，所以，又時(shí)，，所以，所以．由前面討論知在單調(diào)遞增，所以18解：（1）依題意，，則直線的斜率為,則直線，即；聯(lián)立，得，解得或，故所求弦長為.（2）的外心落在雙曲線在點(diǎn)的切線上，證明過程如下，設(shè)雙曲線在點(diǎn)的切線斜率為，則在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立得，其中，則，而，故，代入上式可得，，解得，故雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，故直線的中垂線方程為，聯(lián)立可得，故外心坐標(biāo)為，其滿足，故的外心落在雙曲線在點(diǎn)處的切線上.19.解：(1)因?yàn)閿?shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，所以，又因?yàn)閎1，b2，b3，b4成等差數(shù)列，其公差，……3分所以數(shù)列的7