第63講、直線與圓的綜合（教師版）

第63講直線與圓的綜合必考題型全歸納題型一：距離的創(chuàng)新定義例1．（2024·浙江紹興·高三統(tǒng)考期末）費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等均為120°，根據(jù)以上性質(zhì)，已知，P為內(nèi)一點(diǎn)，記，則的最小值為，此時(shí).【答案】【解析】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，由，知，且為銳角三角形，因此，費(fèi)馬點(diǎn)F在線段上，設(shè)，則為頂角是120°的等腰三角形，故，所以；在中，由正弦定理，得，即，解得，即此時(shí).故答案為：；例2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）閔氏距離（）是衡量數(shù)值點(diǎn)之間距離的一種非常常見(jiàn)的方法，設(shè)點(diǎn)、坐標(biāo)分別為，，則閔氏距離.若點(diǎn)、分別在和的圖像上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意得，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)A、B分別在函數(shù)和的圖象上，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.設(shè)，，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，所以的最小值為.故選：A.例3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在給朋友的一封信中曾提出一個(gè)關(guān)于三角形的有趣問(wèn)題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點(diǎn)，使它到三角形每個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．現(xiàn)已證明：在中，若三個(gè)內(nèi)角均小于，則當(dāng)點(diǎn)滿(mǎn)足時(shí)，點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，點(diǎn)被人們稱(chēng)為費(fèi)馬點(diǎn)．根據(jù)以上知識(shí)，已知為平面內(nèi)任意一個(gè)向量，和是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的向量，且，則的最小值是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，，則，即為點(diǎn)到和點(diǎn)三個(gè)點(diǎn)的距離之和，則△ABC為等腰三角形，如圖，由費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)可得，需滿(mǎn)足：點(diǎn)P在y軸上且∠APB＝120°，則∠APO＝60°，因?yàn)閨OA|＝|OB|＝2，則，所以點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，距離之和最小，最小距離之和為.故選：B.變式1．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）閔可夫斯基距離又稱(chēng)為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義.設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別為和，這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為，其中q表示階數(shù).現(xiàn)有下列四個(gè)命題：①若，則；②若，其中，則；③若，其中，則；④若，其中，則的最小值為.其中所有真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對(duì)于①：，故①正確.對(duì)于②：，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③：，不妨設(shè)，，且均為非負(fù)數(shù)，所以故③正確.對(duì)于④：構(gòu)造函數(shù)，則，的最小值即兩曲線動(dòng)點(diǎn)間的最小距離，設(shè)與直線平行的切線方程為，聯(lián)立得：，令得，，所以切線方程為：與之間的距離，所以最小值為，故④正確.故選C.變式2．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）費(fèi)馬點(diǎn)是指三角形內(nèi)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三個(gè)頂點(diǎn)連線正好三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角，即該點(diǎn)所對(duì)的三角形三邊的張角相等且均為120°.根據(jù)以上性質(zhì)，.則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】由題意得：的幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和的最小值，因?yàn)?，，，所以，故三角形ABC為等腰直角三角形，，取的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，故，，因?yàn)?，所以，故，則，故點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，即取得最小值，因?yàn)?，所以，同理得：，，，故的最小值?故選：B變式3．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)是內(nèi)部或邊界上的點(diǎn)，若到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則稱(chēng)點(diǎn)是的費(fèi)馬點(diǎn)（該問(wèn)題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出）.若，，時(shí)，點(diǎn)是的費(fèi)馬點(diǎn)，且已知在軸上，則的大小等于.【答案】【解析】先證明：若到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則如圖將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，則≌，，所以是等邊三角形，，，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，此時(shí)，同理可得所以命題得證.點(diǎn)是的費(fèi)馬點(diǎn)，且已知在軸上，，，所以，所以=.故答案為：變式4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x，y)與點(diǎn)N(a，b)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得的最小值為．【答案】【解析】∵，∴的幾何意義為點(diǎn)到兩定點(diǎn)與的距離之和，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則為，要求的最小值，可轉(zhuǎn)化為的最小值，利用對(duì)稱(chēng)思想可知，即的最小值為,故答案為.題型二：切比雪夫距離例4．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)，的“切比雪夫距離”．又設(shè)點(diǎn)P及l(fā)上任意一點(diǎn)Q，稱(chēng)d（P，Q）的最小值為點(diǎn)P到直線l的“切比雪夫距離”，記作d（P，l）．給出下列四個(gè)命題：①對(duì)任意三點(diǎn)A，B，C，都有；②已知點(diǎn)P（3，1）和直線，則；③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于1的點(diǎn)的軌跡是正方形．其中正確的序號(hào)為．【答案】①②③【解析】其中①③的討論見(jiàn)后文．②設(shè)點(diǎn)Q是直線上一點(diǎn)，且，則．由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值；由，解得或，即有，此時(shí)的范圍是，無(wú)最值．故P，Q兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為．綜上，①②③正確．例5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)、的“切比雪夫距離”．若點(diǎn)P到點(diǎn)（2014，2015）的切比雪夫距離為2，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度之和為．【答案】16【解析】由前文知點(diǎn)P的軌跡是邊長(zhǎng)為4的正方形，則軌跡長(zhǎng)度之和為16．例6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn),稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個(gè)命題:①對(duì)任意三點(diǎn)，都有②已知點(diǎn)和直線則③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)的軌跡是正方形；其中真命題的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【解析】①對(duì)任意三點(diǎn)、、，若它們共線，設(shè)，、，，，，如圖，結(jié)合三角形的相似可得，，為，，，或，，，則；若，或，對(duì)調(diào)，可得；若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，由矩形或矩形，；則對(duì)任意的三點(diǎn)，，，都有，故①正確；②設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，可得，，由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，無(wú)最值；綜上可得，，兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為；故②正確；③由題，到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”的距離為1的點(diǎn)滿(mǎn)足，即或，顯然點(diǎn)的軌跡為正方形，故③正確；故選：D變式5．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線上任一點(diǎn)，稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”，記作.（1）求證：對(duì)任意三點(diǎn)、、，都有；（2）已知點(diǎn)和直線，求；（3）定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足（），請(qǐng)求出點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形的面積.【解析】（1）證明：設(shè)，則，同理可得，所以，（2）設(shè)為直線上一點(diǎn)，則，由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，無(wú)最大值，綜上可得，兩點(diǎn)的最小值為，所以；（3）設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為，則，等價(jià)于或，所以點(diǎn)的軌跡是以為中心，邊長(zhǎng)為的正方形，所以點(diǎn)所在的曲線所圍成圖形的面積為變式6．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)、的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及直線上任意一點(diǎn)，稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列三個(gè)命題：①對(duì)任意三點(diǎn)、、，都有；②已知點(diǎn)和直線，則；③定義，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡圍成平面圖形的面積是4；其中真命題的個(gè)數(shù)（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由新定義表示出三點(diǎn)兩兩之間的“切比雪夫距離”，然后根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)判斷①，由新定義計(jì)算出，判斷②，根據(jù)新定義求出的軌跡方程，確定其軌跡，求得軌跡圍成的圖形面積判斷③．①設(shè)，則，，顯然，同理，∴，①正確；②設(shè)是直線上任一點(diǎn)，則，，易知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，∴時(shí)，，②錯(cuò)；③由得，易知此曲線關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)都對(duì)稱(chēng)，它是以為頂點(diǎn)的正方形，其轉(zhuǎn)成圖形面積為，③錯(cuò)．故選：B．變式7．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)AB的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及上任意一點(diǎn)Q,稱(chēng)的最小值為點(diǎn)P到直線的“切比雪夫距離”，記作,給出下列三個(gè)命題：①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C，都有②已知點(diǎn)P(2,1)和直線,則③定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足則點(diǎn)P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn).其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】①對(duì)任意三點(diǎn)、、，若它們共線，設(shè)，、，、，，如圖，結(jié)合三角形的相似可得,,分別為,,或,,，則；若,或,對(duì)調(diào)，可得；若它們不共線，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，由矩形或矩形，；則對(duì)任意的三點(diǎn)，，，都有；故①正確；②設(shè)點(diǎn)直線一點(diǎn)，且，可得，由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，無(wú)最值，綜上可得，，兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為，故②錯(cuò)誤；③定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，可得不軸上，在線段間成立，可得，解得，由對(duì)稱(chēng)性可得也成立，即有兩點(diǎn)滿(mǎn)足條件；若在第一象限內(nèi)，滿(mǎn)足即為，為射線，由對(duì)稱(chēng)性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)，故③正確；真命題的個(gè)數(shù)是2，故選：C．變式8．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直線坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)P及上任意一點(diǎn)Q,稱(chēng)的最小值為點(diǎn)P到直線的“切比雪夫距離”記作給出下列四個(gè)命題:（

）①對(duì)任意三點(diǎn)A、B、C，都有②已知點(diǎn)P(3,1)和直線則③到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)的軌跡是正方形；④定點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足則點(diǎn)P的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】①對(duì)任意三點(diǎn)、、，若它們共線，設(shè)，、，，，，如右圖，結(jié)合三角形的相似可得，，為，，，或，，，則，，，；若，或，對(duì)調(diào)，可得，，，；若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，由矩形或矩形，，，，；則對(duì)任意的三點(diǎn)，，，都有，，，；故①正確；設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，可得，，由，解得，即有，當(dāng)時(shí)，取得最小值；由，解得或，即有，的范圍是，，，．無(wú)最值，綜上可得，，兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為．故②正確；③由題意，到原點(diǎn)的“切比雪夫距離”等于的點(diǎn)設(shè)為，則，若，則；若，則，故所求軌跡是正方形，則③正確；④定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，，，可得不軸上，在線段間成立，可得，解得，由對(duì)稱(chēng)性可得也成立，即有兩點(diǎn)滿(mǎn)足條件；若在第一象限內(nèi)，滿(mǎn)足，，，即為，為射線，由對(duì)稱(chēng)性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線，則點(diǎn)的軌跡與直線為常數(shù)）有且僅有2個(gè)公共點(diǎn)．故④正確；綜上可得，真命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)，故選:.題型三：曼哈頓距離、折線距離、直角距離問(wèn)題例7．（2024·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）人臉識(shí)別，是基于人的臉部特征信息進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)．在人臉識(shí)別中，主要應(yīng)用距離測(cè)試檢測(cè)樣本之間的相似度，常用測(cè)量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．設(shè)，，則曼哈頓距離，余弦距離，其中（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．已知，，則的最大值近似等于（

）（參考數(shù)據(jù)：，．）A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948【答案】B【解析】設(shè)，由題意可得：，即，可知表示正方形，其中，即點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)椋蓤D可知：當(dāng)取到最小值，即最大，點(diǎn)有如下兩種可能：①點(diǎn)為點(diǎn)A，則，可得；②點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)與同向，不妨取，則；因?yàn)椋缘淖畲笾禐?故選：B.例8．（2024·安徽·校聯(lián)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn)間的折線距離，該距離也稱(chēng)曼哈頓距離．已知點(diǎn)，若，則的最小值與最大值之和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】由題意得，．令，作出所表示的平面區(qū)域如圖中實(shí)線所示，則，而表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，結(jié)合圖形可知的最小值為2，最大值為4，故的最小值與最大值之和為，故選：B．例9．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）十九世紀(jì)著名德國(guó)猶太人數(shù)學(xué)家赫爾曼閔可夫斯基給出了兩點(diǎn)，的曼哈頓距離為.我們把到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的曼哈頓距離相等的點(diǎn)叫“好點(diǎn)”，已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，則的“好點(diǎn)”的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，設(shè)，則，所以點(diǎn)不是的“好點(diǎn)”；對(duì)于B，設(shè)，則，，所以，所以點(diǎn)是的“好點(diǎn)”；對(duì)于C，設(shè)，則，所以點(diǎn)不是的“好點(diǎn)”；對(duì)于D，設(shè)，則，所以點(diǎn)不是的“好點(diǎn)”.故選：B.變式9．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“曼哈頓距離”也叫“出租車(chē)距離”，是19世紀(jì)德國(guó)猶太人數(shù)學(xué)家赫爾曼·閔可夫斯基首先提出來(lái)的名詞，用來(lái)表示兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和，即在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，若，，則，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”為，下列直角梯形中的虛線可以作為，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意：，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”為，再結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)可以判斷只有C選項(xiàng)符合題意.故選：C．變式10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）“曼哈頓距離”是19世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)之間，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)，的曼哈頓距離為：.在此定義下，已知點(diǎn)，滿(mǎn)足的點(diǎn)M軌跡圍成的圖形面積為（

）A．2 B．1 C．4 D．【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，所以點(diǎn)M的軌跡如圖所示，是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，所以點(diǎn)M軌跡圍成的圖形面積為，故選：A題型四：圓的包絡(luò)線問(wèn)題例10．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線系M：，則下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)是（

）①存在一個(gè)直線與所有直線相交；②M中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；③對(duì)于任意實(shí)數(shù)，存在正n邊形，其所有邊均在M中的直線上；④M中的直線所能?chē)傻恼切蚊娣e都相等.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】根據(jù)直線系M：，可得到直線M的距離，所以所有直線都為圓心為，半徑為1的圓的切線，對(duì)于①：因?yàn)橹本€系為圓的任意切線，所以不存在一個(gè)直線與所有直線相交，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：因?yàn)橹本€系為圓的任意切線，所以該直線系不過(guò)定點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，作圓的外切正n邊形，其所有邊都為圓的切線，即為直線系中的直線，故③正確；對(duì)于④：如圖所示：正和正面積不相等，故④錯(cuò)誤；故選：B例11．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線系（），則下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)是（）①存在一個(gè)圓與所有直線相交；②存在一個(gè)圓與所有直線不相交；③存在一個(gè)圓與所有直線相切；④中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；⑤不存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上；⑥對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上；⑦中的直線所能?chē)傻恼切蚊娣e都相等．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】根據(jù)直線系（）得到，所有直線都為圓心為，半徑為1的圓的切線．對(duì)于①，可取圓心為，半徑為2的圓，該圓與所有直線相交，所以①正確；對(duì)于②，可取圓心為，半徑為的圓，該圓與所有直線不相交，所以②正確；對(duì)于③，可取圓心為，半徑為1的圓，該圓與所有直線相切，所以③正確；對(duì)于④，所有的直線與一個(gè)圓相切，沒(méi)有過(guò)定點(diǎn)，所以④錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，存在不在中的任一條直線上，所以⑤錯(cuò)誤；對(duì)于⑥，可取圓的外接正三角形，其所有邊均在中的直線上，所以⑥正確；對(duì)于⑦，可以在圓的三等分點(diǎn)做圓的三條切線，把其中一條切線平移到過(guò)另外兩個(gè)點(diǎn)中點(diǎn)時(shí)，也為正三角形，但是它與圓的外接正三角形的面積不相等，所以⑦錯(cuò)誤；故①②③⑥正確，④⑤⑦錯(cuò)，所以真命題的個(gè)數(shù)為4個(gè)．故選：B．例12．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)直線系，對(duì)于下列四個(gè)結(jié)論：（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，或；（2）當(dāng)時(shí)，直線傾斜角為；（3）中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；（4）存在定點(diǎn)不在中任意一條直線上．其中正確的是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②④【答案】D【解析】，（1）當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則，解得或或，故（1）錯(cuò)誤；（2）當(dāng)時(shí)，直線方程為：，斜率，即，傾斜角，故（2）正確；（3）由直線系可令，消去可得，故直線系表示圓的切線的集合，故（3）不正確．（4）因?yàn)閷?duì)任意，存在定點(diǎn)不在直線系中的任意一條上，故（4）正確；故選：D．變式11．（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）設(shè)有一組圓：（）.下列四個(gè)命題中真命題的是A．存在一條定直線與所有的圓均相切B．存在一條定直線與所有的圓均相交C．存在一條定直線與所有的圓均不相交D．所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)【答案】BD【解析】圓心為，半徑為，，，，，，圓與圓是內(nèi)含關(guān)系，因此不可能有直線與這兩個(gè)圓都相切，從而A錯(cuò)誤；易知圓心在直線上，此直線與所有圓都相交，B正確；若取無(wú)窮大，則所有直線都與圓相交，C錯(cuò)；將代入圓方程得，即，等式左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，因此方程無(wú)整數(shù)解，即原點(diǎn)不在任一圓上，D正確．故選：BD．變式12．（多選題）（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，直線，下面五個(gè)命題，其中正確的是（

）A．對(duì)任意實(shí)數(shù)與，直線和圓有公共點(diǎn)B．對(duì)任意實(shí)數(shù)與，直線與圓都相離C．存在實(shí)數(shù)與，直線和圓相離D．對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切【答案】AD【解析】AB選項(xiàng)，由題意知圓的圓心為，半徑為，直線的方程可以寫(xiě)作，過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以直線與圓相切或相交，任意實(shí)數(shù)與，直線和圓有公共點(diǎn)，A正確，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由以上分析知不存在實(shí)數(shù)與，直線和圓相離，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，點(diǎn)恰好為直線與圓的切點(diǎn)，故直線與直線垂直，①當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，則，即，解得，存在，使得直線與圓相切；②當(dāng)時(shí)，若直線與直線垂直，則，直線的斜率為，所以，即，此時(shí)對(duì)任意的，均存在實(shí)數(shù)，使得，則直線與直線垂直，綜上所述，對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切，D正確．故選：AD．變式13．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知直線與圓相切，則滿(mǎn)足條件的直線有（）條A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由于直線和圓相切，故圓心到直線的距離等于半徑，即，（其中），故，或，正弦值為的只有在軸正半軸，正弦值為可以在第三或者第四象限，故有種可能，所以選.題型五：阿波羅尼斯圓問(wèn)題、反演點(diǎn)問(wèn)題、阿波羅尼斯球問(wèn)題例13．（2024·重慶沙坪壩·高二重慶南開(kāi)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）公元前世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯結(jié)合前人的研究成果，寫(xiě)出了經(jīng)典之作《圓錐曲線論》，在此著作第七卷《平面軌跡》中，有眾多關(guān)于平面軌跡的問(wèn)題，例如:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比等于定值（不為1）的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓.后來(lái)該軌跡被人們稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)和，且該平面內(nèi)的點(diǎn)P滿(mǎn)足，若點(diǎn)P的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，則，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以圓心在此直線上，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是.故選：B.例14．（2024·高二單元測(cè)試）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（，且），那么點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓．若點(diǎn)到，的距離之比為，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡方程為以為圓心，為半徑的圓，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即，點(diǎn)到直線的距離最小值為.故選：A例15．（2024·福建泉州·高二統(tǒng)考期末）已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓.后世把這種圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.已知，，直線，直線，若為，的交點(diǎn)，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】A【解析】由已知過(guò)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，故圓心為，半徑為3，則的軌跡方程為，即，易知O、Q在該圓內(nèi)，又，即，取，則，又，所以，所以的最小值為.故選：A.變式14．（2024·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德被稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻且系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)中，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓．如動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之比為時(shí)的阿波羅尼斯圓為．下面，我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題：已知圓上的動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，點(diǎn)M在圓上，取點(diǎn)，連接，有，當(dāng)點(diǎn)不共線時(shí)，，又，因此∽，則有，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，有，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是線段BN與圓O的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：C變式15．（2024·高二單元測(cè)試）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓．已知，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則r的取值可以為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由，得，整理得，又點(diǎn)是圓：上有且僅有的一點(diǎn)，所以?xún)蓤A相切.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，兩圓的圓心距為3，當(dāng)兩圓外切時(shí)，，得，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，，得．故選：A.變式16．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知平面，，A、B是直線l上的兩點(diǎn)，C、D是平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且，，，，．P是平面上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線PD，PC與平面所成角相等，則二面角的余弦值的最小值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】由題意易得PD與平面所成角為，PC與平面所成角為，∵，∴，∴，∴，∴P點(diǎn)軌跡為阿氏圓．在平面內(nèi)，以為軸，以的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，整理得：，所以點(diǎn)P在內(nèi)的軌跡為以為圓心，以4為半徑的上半圓，因?yàn)槠矫?，，，，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以二面角的平面角為，由圖可知，當(dāng)PB與圓相切時(shí)，最大，余弦值最小，此時(shí)，故.故選：B．變式17．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知三棱錐中，底面為等邊三角形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn).若點(diǎn)、是空間中的兩動(dòng)點(diǎn)，且，，則（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】建立直角坐標(biāo)系如圖所示，，底面為等邊三角形，且.所以O(shè)D=2,AO=.B(-，-1，0)，D(0,2,0),C(，-1，0),點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以E（，，0）點(diǎn)為的中點(diǎn)，F(xiàn)（-，-，0），設(shè)M（x,y,z）,，所以，所以點(diǎn)M在以（0,0,0）為球心，以1為半徑的球上，同理N也在這個(gè)球上，且，所以MN為球的直徑，=.故選B.變式18．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）阿波羅尼斯（約公元前年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿氏圓，已知、分別是圓，圓上的動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【解析】如圖所示：取點(diǎn)，設(shè)，則，在和中，，所以和相似，且相似比為，所以，則，而，即的最小值為，所以.故答案為：.變式19．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為.【答案】9【解析】為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，取，則，故答案為：9變式20．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在正方體中，，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)是正方體表面上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是空間兩動(dòng)點(diǎn)，若且，則的最小值為.【答案】【解析】如圖,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則,，設(shè)由題設(shè)即也即由此可知點(diǎn)都是在球心為,半徑為2的球面上又,故點(diǎn)是球的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)所以，所以而在正方體的表面上,故當(dāng)點(diǎn)在正方體的頂點(diǎn)上時(shí),此時(shí)的值最小為故答案為：.題型六：圓中的垂直問(wèn)題例16．（2024·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知直線，直線過(guò)點(diǎn)且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則．【答案】【解析】由直線，可得斜率，因?yàn)榍抑本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以的方程為，又由圓，即，可得圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以弦長(zhǎng).故答案為：.例17．（2024·江蘇南通·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為．若直線上存在一點(diǎn)，使過(guò)所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】記兩個(gè)切點(diǎn)為，則由于，因此四邊形是正方形，，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，于是圓心直線的距離不大于，，解得.考點(diǎn)：直線和圓的位置關(guān)系.例18．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知AC，BD為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，則的最大值為．【答案】20【解析】設(shè)圓心到AC，BD的距離分別為m，n．因?yàn)锳C，BD相互垂直，所以，由垂徑定理得，則，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故．故答案為：20變式21．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)定點(diǎn)作兩條相互垂直的直線、，設(shè)原點(diǎn)到直線、的距離分別為、，則的最大值是．【答案】【解析】如圖所示：作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，可得四邊形為矩形，，故可設(shè)，，其中，當(dāng)取最大值1時(shí)，取最大值.故答案為：變式22．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線分別交圓于、和、兩點(diǎn)，則四邊形面積的最大值為．【答案】23【解析】圓，圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)圓心到、的距離分別為、，，則四邊形的面積為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，四邊形面積的最大值為23．故答案為：23．變式23．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓.已知過(guò)原點(diǎn)且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn).若，則直線的斜率為.【答案】【解析】設(shè)：，：，利用點(diǎn)到直線的距離，列出式子，求出的值即可.由圓，可知圓心，半徑為.設(shè)直線：，則：，圓心到直線的距離為，，.圓心到直線的距離為半徑，即，并根據(jù)垂徑定理的應(yīng)用，可列式得到，解得.故答案為：.題型七：圓的存在性問(wèn)題例19．（2024·河南·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓和兩點(diǎn)，.若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為．【答案】11【解析】由題意可得：圓的圓心，半徑，∵，則點(diǎn)在以為直徑的圓上（不能是兩點(diǎn)），以為直徑的圓的圓心為，半徑，注意到圓心到y(tǒng)軸的距離為，即y軸與圓相離，由題意可得：圓與圓有公共點(diǎn)（由于y軸與圓相離，公共點(diǎn)不可能為），且,則，即，解得，故的最大值為11.故答案為：11.例20．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·高三赤峰二中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)訄A的方程為，則圓心的軌跡方程為．若對(duì)于圓上的任意點(diǎn)，在圓：上均存在點(diǎn)，使得，則滿(mǎn)足條件的圓心的軌跡長(zhǎng)度為．【答案】【解析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，故①，②，①×2＋②得：，故圓心的軌跡方程為；如圖所示，取圓上一點(diǎn)P，要使最大，則過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線，連接并延長(zhǎng)交圓M于點(diǎn)，則點(diǎn)離圓O的距離最大，故要使得對(duì)于圓上的任意點(diǎn)，在圓：上均存在點(diǎn)，使得，則只需要過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，若此時(shí)即可，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，圓心到直線的距離為，由勾股定理得：圓心的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為：，例21．（2024·上海普陀·高三上海市晉元高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)都在圓上，易知在圓上存在點(diǎn)，使得.當(dāng)時(shí)，要使圓上存在點(diǎn)使得，則的最大值大于或等于時(shí)一定存在，而當(dāng)與圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：變式24．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，若直線上存在點(diǎn)P使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，整理得：，直線上存在點(diǎn)P使得等價(jià)于直線與圓有交點(diǎn)，所以，解得：.故答案為：.變式25．（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，，．若