第76講、雙切線問題（學(xué)生版）

第76講雙切線問題知識(shí)梳理雙切線問題，就是過一點(diǎn)做圓錐曲線的兩條切線的問題，解決這一類問題我們通常用同構(gòu)法.解題思路：①根據(jù)曲線外一點(diǎn)設(shè)出切線方程．②和曲線方程聯(lián)立，求出判別式．③整理出關(guān)于雙切線斜率的同構(gòu)方程．④寫出關(guān)于的韋達(dá)定理，并解題．必考題型全歸納題型一：定值問題例1．（2024·河南·高三競(jìng)賽）已知拋物線C：與直線l：沒有公共點(diǎn)，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P作拋物線C的兩條切線，A、B為切點(diǎn).（1）證明：直線AB恒過定點(diǎn)Q；（2）若點(diǎn)P與Q的連線與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，證明：.例2．（2024·高二單元測(cè)試）已知拋物線C：的焦點(diǎn)F與橢圓的右焦點(diǎn)重合，點(diǎn)M是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點(diǎn)A，B．

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，，證明：為定值．例3．（2024·貴州貴陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知坐標(biāo)原點(diǎn)為，拋物線為與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為，為雙曲線的上焦點(diǎn)，且的面積為3．(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，切線，分別交軸于，，求與的面積之比．變式1．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線（為常數(shù)，）.點(diǎn)是拋物線上不同于原點(diǎn)的任意一點(diǎn).(1)若直線與只有一個(gè)公共點(diǎn)，求；(2)設(shè)為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)為，且直線，與軸分別交于，兩點(diǎn).①證明：②試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.變式2．（2024·河南信陽·信陽高中?？既＃┮阎獟佄锞€上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3.

(1)求，的值；(2)設(shè)為直線上除，兩點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)，和，，試判斷，，，四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積是否為定值？若是，求該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.題型二：斜率問題例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為,F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上任意一點(diǎn),且△PF1F2的周長(zhǎng)是8+2.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)圓T:(x-2)2+y2=,過橢圓的上頂點(diǎn)M作圓T的兩條切線交橢圓于E,F兩點(diǎn),求直線EF的斜率.例5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)為拋物線外一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，．（Ⅰ）若點(diǎn)為，求直線的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)為圓上的點(diǎn)，記兩切線，的斜率分別為，，求的取值范圍．例6．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)是．(1)求橢圓的方程；(2)是否存在斜率為1的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，使得以為直徑圓過原點(diǎn)，若存在寫出直線方程；(3)設(shè)圓，過橢圓的上頂點(diǎn)作圓的兩條切線交橢圓于、兩點(diǎn)，當(dāng)圓心在軸上移動(dòng)且時(shí)，求的斜率的取值范圍．變式3．（2024·河南洛陽·高三新安縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓，圓心在拋物線上，圓過原點(diǎn)且與的準(zhǔn)線相切．(1)求拋物線的方程；(2)點(diǎn)，點(diǎn)（與不重合）在直線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為．求證：．變式4．（2024·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是拋物線上一點(diǎn)，過作圓的兩條切線（切點(diǎn)為），交拋物線分別點(diǎn)且當(dāng)時(shí)，.(1)求拋物線的方程;(2)判斷直線的斜率是否為定值？若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，說明理由.變式5．（2024·湖南岳陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為上的一點(diǎn).(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，求的面積；(2)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，且直線與交于不同的兩點(diǎn)A、B，求證：為定值，并求出該定值；(3)如圖，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓（其中r為定值，且）的兩條切線，分別交于點(diǎn)P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為，.如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時(shí)圓M的方程.題型三：交點(diǎn)弦過定點(diǎn)問題例7．（2024·陜西寶雞·?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為2的正方形（記為Q）．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P作以原點(diǎn)為圓心短半軸長(zhǎng)為半徑圓O的兩條切線，切點(diǎn)為M，N，求證：直線恒過定點(diǎn)．例8．（2024·河北唐山·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P(4,4)是C上的一點(diǎn).(1)若直線PF交C于另外一點(diǎn)A，求；(2)若圓：，過P作圓E的兩條切線，分別交C于M，N兩點(diǎn)，證明：直線MN過定點(diǎn).例9．（2024·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)訄A恒過定點(diǎn)，圓心到直線的距離為．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過直線上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，證明：直線恒過定點(diǎn)．變式6．（2024·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？既＃┮阎獟佄锞€，過拋物線的焦點(diǎn)F且斜率為的直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)A，B，．(1)求拋物線C的方程；(2)點(diǎn)M在拋物線的準(zhǔn)線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)N，使得直線MN與直線PQ垂直？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．變式7．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的焦距為2，圓與橢圓恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知結(jié)論：若點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則橢圓在該點(diǎn)處的切線方程為．若橢圓的短軸長(zhǎng)小于4，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求證：直線過定點(diǎn)．變式8．（2024·重慶九龍坡·高三重慶市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖所示，已知在橢圓上，圓，圓在橢圓內(nèi)部.

(1)求的取值范圍；(2)過作圓的兩條切線分別交橢圓于點(diǎn)（不同于），直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.變式9．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線C：的焦點(diǎn)．(1)過點(diǎn)F且傾斜角為的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，求的面積；(2)若點(diǎn)T為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)T作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求證：直線MN過定點(diǎn)．變式10．（2024·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知的焦點(diǎn)為，且經(jīng)過的直線被圓截得的線段長(zhǎng)度的最小值為4．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，若過點(diǎn)作直線與拋物線相交于不同的兩點(diǎn)，，過點(diǎn)，作拋物線的切線分別與直線，相交于點(diǎn)，，請(qǐng)問直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由．變式11．（2024·遼寧沈陽·沈陽二中校考模擬預(yù)測(cè)）如下圖所示，已知橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

(1)求橢圓的方程；(2)若過點(diǎn)作圓（圓在橢圓內(nèi)）的兩條切線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），當(dāng)變化時(shí)，試問直線是否過某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由.題型四：交點(diǎn)弦定值問題例10．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，求直線的方程，并證明直線過定點(diǎn)；(3)過（2）中的點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作拋物線的切線，，求，交點(diǎn)滿足的軌跡方程．例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線方程為(p＞0)，M為直線上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）求直線AB與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若E為拋物線弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線在E點(diǎn)處的切線與三角形MAB的邊MA，MB分別交于點(diǎn)，，記，問是否為定值？若是求出該定值；若不是請(qǐng)說明理由.例12．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線，為焦點(diǎn)，若圓與拋物線交于兩點(diǎn)，且(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且過點(diǎn)可以作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求證：恒為定值.變式12．（2024·山東青島·統(tǒng)考二模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率等于，點(diǎn)是雙曲線在第一象限上的點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，的周長(zhǎng)等于，.(1)求的方程；(2)過圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上）作的兩條切線，對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)為，.證明：直線與橢圓相切于點(diǎn)，且.題型五：交點(diǎn)弦最值問題例13．（2024·江西撫州·臨川一中?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓：的離心率為，焦距為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)作圓：的兩條斜率存在的切線分別與橢圓交丁點(diǎn)，，求的最大值.例14．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的方程為，為其焦點(diǎn)，過不在拋物線上的一點(diǎn)作此拋物線的切線，為切點(diǎn).且.（Ⅰ）求證：直線過定點(diǎn)；（Ⅱ）直線與曲線的一個(gè)交點(diǎn)為，求的最小值.例15．（2024·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，圓經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn).(1)求的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，兩條切線相交于點(diǎn)，求面積的最小值.變式13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，是橢圓外一點(diǎn)，過作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與直線交于點(diǎn)，是直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn).(1)求直線與直線的斜率之積；(2)求面積的最大值.變式14．（2024·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：上點(diǎn)的距離的最小值為3．(1)求p；(2)若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求三角形PAB面積的最值．題型六：交點(diǎn)弦范圍問題例16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是半橢圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，且直線PA、PB分別交y軸于點(diǎn)M、N．（1）證明：；（2）求的取值范圍．例17．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過圓：上一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別記為，直線分別與圓相交于異于點(diǎn)的兩點(diǎn).（i）當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，記直線的斜率分別為.求證：；（ii）求的取值范圍.例18．（2024·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，為過點(diǎn)的圓的切線，以