第15講、單調性問題（學生版）

更多資料請+wx：gk230616進資料群下載[在此處鍵入]第15講單調性問題知識梳理知識點一：單調性基礎問題1、函數的單調性函數單調性的判定方法：設函數在某個區(qū)間內可導，如果，則為增函數；如果，則為減函數．2、已知函數的單調性問題=1\*GB3①若在某個區(qū)間上單調遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調遞增；=2\*GB3②若在某個區(qū)間上單調遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調遞減．知識點二：討論單調區(qū)間問題類型一：不含參數單調性討論（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）求根作圖得結論（如能直接求出導函數等于0的根，并能做出導函數與x軸位置關系圖，則導函數正負區(qū)間段已知，可直接得出結論）；（4）未得結論斷正負（若不能通過第三步直接得出結論，則先觀察導函數整體的正負）；（5）正負未知看零點（若導函數正負難判斷，則觀察導函數零點）；（6）一階復雜求二階（找到零點后仍難確定正負區(qū)間段，或一階導函數無法觀察出零點，則求二階導）；求二階導往往需要構造新函數，令一階導函數或一階導函數中變號部分為新函數，對新函數再求導．（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導正負判斷一階導函數的單調性，進而判斷一階導函數正負區(qū)間段）；類型二：含參數單調性討論（1）求導化簡定義域（化簡應先通分，然后能因式分解要進行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號保留定號去（變號部分：導函數中未知正負，需要單獨討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負，無需單獨討論的部分）；（3）恒正恒負先討論（變號部分因為參數的取值恒正恒負）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內和多根之間的大小關系）；（5）導數圖像定區(qū)間；【解題方法總結】1、求可導函數單調區(qū)間的一般步驟（1）確定函數的定義域；（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內的一切實數；（3）把函數的間斷點（即的無定義點）的橫坐標和的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數的定義域分成若干個小區(qū)間；（4）確定在各小區(qū)間內的符號，根據的符號判斷函數在每個相應小區(qū)間內的增減性．注：①使的離散點不影響函數的單調性，即當在某個區(qū)間內離散點處為零，在其余點處均為正（或負）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調遞增（或遞減）的．例如，在上，，當時，；當時，，而顯然在上是單調遞增函數．②若函數在區(qū)間上單調遞增，則（不恒為0），反之不成立．因為，即或，當時，函數在區(qū)間上單調遞增．當時，在這個區(qū)間為常值函數；同理，若函數在區(qū)間上單調遞減，則（不恒為0），反之不成立．這說明在一個區(qū)間上函數的導數大于零，是這個函數在該區(qū)間上單調遞增的充分不必要條件．于是有如下結論：單調遞增；單調遞增；單調遞減；單調遞減．必考題型全歸納題型一：利用導函數與原函數的關系確定原函數圖像【例1】（2024·全國·高三專題練習）設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（

）A． B．C． D．【對點訓練1】（多選題）（2024·全國·高三專題練習）已知函數的定義域為且導函數為，如圖是函數的圖像，則下列說法正確的是A．函數的增區(qū)間是B．函數的增區(qū)間是C．是函數的極小值點D．是函數的極小值點【對點訓練2】（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）已知函數的圖象如圖所示（其中是函數的導函數），下面四個圖象中可能是圖象的是（

）A． B．C． D．【對點訓練3】（2024·陜西西安·校聯考一模）已知定義在上的函數的大致圖像如圖所示，是的導函數，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【解題方法總結】原函數的單調性與導函數的函數值的符號的關系，原函數單調遞增導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）；原函數單調遞減導函數（導函數等于0，只在離散點成立，其余點滿足）．題型二：求單調區(qū)間【例2】（2024·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學校考階段練習）函數的單調遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【對點訓練4】（2024·全國·高三專題練習）函數（）A．嚴格增函數B．在上是嚴格增函數，在上是嚴格減函數C．嚴格減函數D．在上是嚴格減函數，在上是嚴格增函數【對點訓練5】（2024·全國·高三專題練習）函數的單調遞增區(qū)間（

）A． B． C． D．【對點訓練6】（2024·高三課時練習）函數（a、b為正數）的嚴格減區(qū)間是（

）．A． B．與C．與 D．【解題方法總結】求函數的單調區(qū)間的步驟如下：（1）求的定義域（2）求出．（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標出，穿針引線．（4）在定義域內，令，解出的取值范圍，得函數的單調遞增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數的單調遞減區(qū)間．若一個函數具有相同單調性的區(qū)間不只一個，則這些單調區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應用“和”、“，”隔開．題型三：已知含量參函數在區(qū)間上單調或不單調或存在單調區(qū)間，求參數范圍【例3】（2024·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┤艉瘮翟趨^(qū)間上不單調，則實數m的取值范圍為（

）A． B．C． D．m>1【對點訓練7】（2024·陜西西安·統(tǒng)考三模）若函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練8】（2024·全國·高三專題練習）若函數且在區(qū)間內單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練9】（2024·全國·高三專題練習）已知函數在區(qū)間上是減函數，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【對點訓練10】（2024·全國·高三專題練習）三次函數在上是減函數，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練11】（2024·青海西寧·高三?？奸_學考試）已知函數.若對任意，，且，都有，則實數a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練12】（2024·全國·高三專題練習）若函數在區(qū)間內存在單調遞增區(qū)間，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練13】（2024·全國·高三專題練習）若函數在其定義域的一個子區(qū)間內不是單調函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【對點訓練14】（2024·全國·高三專題練習）已知函數（）在區(qū)間上存在單調遞增區(qū)間，則實數的取值范圍是A． B． C． D．【例4】（2024·全國·高三專題練習）已知函數在，上單調遞增，在上單調遞減，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【對點訓練15】（2024·全國·高三專題練習）已知函數的單調遞減區(qū)間是，則（

）A．3 B． C．2 D．【解題方法總結】（1）已知函數在區(qū)間上單調遞增或單調遞減，轉化為導函數恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導函數的形式及圖像特點，如一次函數最值落在端點，開口向上的拋物線最大值落在端點，開口向下的拋物線最小值落在端點等．（2）已知區(qū)間上函數不單調，轉化為導數在區(qū)間內存在變號零點，通常用分離變量法求解參變量范圍．（3）已知函數在區(qū)間上存在單調遞增或遞減區(qū)間，轉化為導函數在區(qū)間上大于零或小于零有解．題型四：不含參數單調性討論【例5】（2024·全國·高三專題練習）已知函數.試判斷函數在上單調性并證明你的結論；【對點訓練16】（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校?？茧A段練習）已知若，討論的單調性；【對點訓練17】（2024·貴州·校聯考二模）已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)討論在上的單調性．【對點訓練18】（2024·湖南長沙·高三長沙一中校考階段練習）已知函數，.(1)若，求a的取值范圍；(2)求函數在上的單調性；【對點訓練19】（2024·全國·高三專題練習）已知函數．判斷的單調性，并說明理由；【解題方法總結】確定不含參的函數的單調性，按照判斷函數單調性的步驟即可，但應注意一是不能漏掉求函數的定義域，二是函數的單調區(qū)間不能用并集，要用“逗號”或“和”隔開．題型五：含參數單調性討論情形一：函數為一次函數【例6】（2024·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知函數．討論的單調性；【對點訓練20】（2024·湖北黃岡·黃岡中學?？级＃┮阎瘮?討論函數的單調性；【對點訓練21】（2024·全國·模擬預測）已知函數.討論函數的單調性；【對點訓練22】（2024·福建泉州·泉州五中校考模擬預測）已知函數．討論的單調性；情形二：函數為準一次函數【對點訓練23】（2024·云南師大附中高三階段練習）已知函數.討論的單調性；【對點訓練24】（2024·北京·統(tǒng)考模擬預測）已知函數.(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)設，討論函數的單調性；【對點訓練25】（2024·陜西安康·高三陜西省安康中學校考階段練習）已知函數.討論的單調性；情形三：函數為二次函數型方向1、可因式分解【對點訓練26】（2024·山東濟寧·嘉祥縣第一中學統(tǒng)考三模）已知函數.討論函數的單調性；【對點訓練27】（2024·湖北咸寧·?？寄M預測）已知函數，其中.討論函數的單調性；【對點訓練28】（2024·北京海淀·高三專題練習）設函數．(1)若曲線在點處的切線與軸平行，求；(2)求的單調區(qū)間．【對點訓練29】（2024·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，.討論的單調區(qū)間；【對點訓練30】（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知.討論的單調性；方向2、不可因式分解型【對點訓練31】（2024·河南駐馬店·統(tǒng)考二模）已知函數，．討論的單調性；【對點訓練32】（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預測）已知函數．討論函數的單調性；【對點訓練33】（2024·廣東·統(tǒng)考模擬預測）已知函數，.討論的單調性；【對點訓練34】（2024·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）已知函數.討論函數的單調性；【解題方法總結】1、關于含參函數單調性的討論問題，要根據導函數的情況來作出選擇，通過對新函數零點個數的討論，從而得到原函數對應導數的正負，最終判斷原函數的增減．（注意定義域的間斷情況）．2、需要求二階導的題目，往往通過二階導的正負來判斷一階導函數的單調性，結合一階導函數端點處的函數值或零點可判斷一階導函數正負區(qū)間段．3、利用草稿圖像輔助說明．情形四：函數為準二次函數型【對點訓練35】（2024·全國·高三專題練習）已知函數，，其中.討論函數的單調性；【對點訓練36】（2024·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知．（）討論的單調性；【對點訓練37】（2024·陜西咸陽·武功縣普集高級中學?？寄M預測）已知.討論函數的單調性；【對點訓練38】（2024·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預測）已知函數，討論函數的單調性；題型六：分段分析法討論【例7】（2024·陜西·西北工業(yè)大學附屬中學模擬預測（理））已知函數（，且）求函數的單調區(qū)間；【對點訓練3