抽象函數(shù)的賦值計(jì)算及其性質(zhì)7類題型壓軸專練（學(xué)生版）

更多見(jiàn)微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見(jiàn)微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)更多見(jiàn)微信號(hào)：alarmact，微信號(hào)：abcshuxue，微信號(hào)：antshuxue微信號(hào)：AA-teacher更多見(jiàn)微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號(hào)：ABC數(shù)學(xué)抽象函數(shù)的賦值計(jì)算及其性質(zhì)7類題型壓軸專練為何把這個(gè)關(guān)于函數(shù)的小知識(shí)點(diǎn)單獨(dú)作為一個(gè)專題呢？因?yàn)榫褪沁@個(gè)小點(diǎn)已經(jīng)連續(xù)兩年出現(xiàn)在高考試卷上了！比如，今年（2023）年新高考Ⅰ卷多選次壓軸，第11道題，再比如，2022年新高考Ⅱ卷單選壓軸第8題，都以抽象函數(shù)命制的！想必接下來(lái)的各省市將大量出現(xiàn)這個(gè)題型！因此，有必要把這種抽象函數(shù)概括總結(jié)清楚。TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型一抽象函數(shù)賦值計(jì)算題型二抽象函數(shù)的奇偶性題型三抽象函數(shù)的單調(diào)性題型四抽象函數(shù)的值域題型五抽象函數(shù)的對(duì)稱性題型六抽象函數(shù)的周期性題型七從解析式角度對(duì)抽象函數(shù)的再認(rèn)識(shí)本號(hào)資料全部來(lái)源于微#信公眾號(hào)：數(shù)#學(xué)第六感1、余（正）弦型函數(shù)2、對(duì)數(shù)型函數(shù)3、指數(shù)型函數(shù)4、一次函數(shù)5、正切型函數(shù)6、其它函數(shù)本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)#第六感抽象函數(shù)解題思路：主要考法四類題：賦值求值，證明單調(diào)性、證明奇偶性、解不等式①賦值求值：根據(jù)函數(shù)特性賦值來(lái)求某些函數(shù)的值。②證明單調(diào)性．③證明奇偶性：利用定義和賦值的方法找到。④解不等式：利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式。一、抽象函數(shù)的賦值法賦值法是求解抽象函數(shù)問(wèn)題最基本的方法，復(fù)制規(guī)律一般有以下幾種：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；2、通過(guò)的變換判定單調(diào)性；3、令式子中出現(xiàn)及判定抽象函數(shù)的奇偶性；4、換為確定周期性.二、判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.=1\*GB3①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或;=2\*GB3②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或.三、常見(jiàn)的抽象函數(shù)模型理論上，有多少種原函數(shù)就有多少種抽象函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，但也不乏一種原函數(shù)可以與多種抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)，以及一個(gè)抽象函數(shù)可以表示多種原函數(shù)。這時(shí)，就會(huì)有同學(xué)問(wèn)了：既然一個(gè)抽象函數(shù)可能表示多種原函數(shù)，那么不就導(dǎo)致一道題可能出現(xiàn)多種答案了嗎？是的，這種這樣想是沒(méi)有錯(cuò)的，但是，有多種原函數(shù)的抽象函數(shù)題，除了給出抽象函數(shù)模型

，往往還會(huì)給出一個(gè)限制條件，比如

等等，這樣就限制了原函數(shù)的唯一性1、一次函數(shù)（1）

對(duì)于正比例函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

.（2）

對(duì)于一次函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

.本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公眾#號(hào)：數(shù)學(xué)第六感2、二次函數(shù)（3）

對(duì)于二次函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為3、冪函數(shù)（4）

對(duì)于冪函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為或4、指數(shù)函數(shù)（重要）（5）

對(duì)于指數(shù)函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

或

.奇偶性證明：由得，判斷和1的大小關(guān)系5、對(duì)數(shù)函數(shù)（重要）（6）

對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)

，其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

或補(bǔ)充：對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)

，其抽象函數(shù)還可以是奇偶性證明：只需構(gòu)造即可6、三角函數(shù)：三角函數(shù)注意系數(shù)的配湊，，，以下均以為例（7）

對(duì)于正弦函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正弦平方差公式：（8）

對(duì)于余弦函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦和差化積公式：（9）

對(duì)于余弦函數(shù)

，其抽象函數(shù)還可以是注：余弦積化和差公式：，2022新高考2卷T8用的就是這個(gè)模型（10）

對(duì)于正切函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正切函數(shù)和差角公式：題型一抽象函數(shù)賦值計(jì)算定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，則f(3)=，f(-3)=.定義在(0,＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(xy)＝f(x)＋f(y)(x.y∈(0,＋∞))，已知f(8)＝3，則f(1)＝,＝設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿足下列兩個(gè)條件:①存在x1≠x2,使f(x1)≠f(x2);②對(duì)任意x,y∈R,有f(x＋y)＝f(x)f(y)，求f(0)的值已知對(duì)所有的非負(fù)整數(shù)均有，若，則______．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，則的值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12已知函數(shù)，任意，滿足，且，則的值為（

）A． B．0 C．2 D．4題型二抽象函數(shù)的奇偶性（2023上·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考）（多選）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，則下列結(jié)論一定正確的有（

）A． B．C．為上的增函數(shù) D．為奇函數(shù)本號(hào)資料全部來(lái)源于微信*公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．C． D．已知函數(shù)f(x)為定義在R上的增函數(shù)，若對(duì)于任意的x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．（1）求f(0),并證明f(x)為R上的奇函數(shù)；（2）若f(1)＝2，解關(guān)于x的不等式f(x)－f(3－x)＜4．題型三抽象函數(shù)的單調(diào)性（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)郡中學(xué)校考）（多選）已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù).對(duì)任意，總有，，且時(shí)，恒成立.則（

）A．B．是偶函數(shù)C．在上單調(diào)遞減D．（注：）（多選）定義在上的函數(shù)，對(duì)于任意的都有；且；當(dāng)時(shí)，；則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞增 D．的解集為若定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意x1,x2∈R,都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1.(1)求證:y＝f(x)－1為奇函數(shù);(2)求證:f(x)是R上的增函數(shù);(3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3.

（2023上·高一湖南師大附中?？迹┮阎B續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時(shí)，，③，則以下說(shuō)法中正確的是（）A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集為已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)任意，都有．(1)求證：是偶函數(shù)；(2)設(shè)時(shí)，求證：在上是減函數(shù)題型四抽象函數(shù)的值域已知函數(shù)對(duì)任意的，總有，若時(shí)，，且，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（）A．0B．C．1D．2已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時(shí)，，③，則在上的最大值是________題型五抽象函數(shù)的對(duì)稱性（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶八中?？迹ǘ噙x）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．C．不等式的解集為D．設(shè)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，，，，對(duì)任意的整數(shù)均有．則______．題型六抽象函數(shù)的周期性已知函數(shù)不是常數(shù)函數(shù)，且滿足以下條件：①，其中；②，則（

）A．0 B．1 C．2 D．已知函數(shù)定義域?yàn)椋瑵M足，則.設(shè)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，，，，對(duì)任意的整數(shù)均有．則．（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑸榕己瘮?shù)，則（

）本號(hào)資料全部來(lái)源于微信*公眾號(hào)：數(shù)學(xué)第六感A．為偶函數(shù) B．C． D．（多選）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，則以下結(jié)論一定正確的有（

）A． B．是偶函數(shù)C．關(guān)于中心對(duì)稱 D．（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且，則（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．（多選）設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)，有，且，則（

）A．B．C．D．函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，恒有，若，則，．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，為偶函?shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．題型七從解析式角度對(duì)抽象函數(shù)的再認(rèn)識(shí)1、余（正）弦型函數(shù)定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的，有，且.（1）求證：；（2）求證：是偶函數(shù).已知函數(shù)滿足：，則.2022新高考2卷T8已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1已知，都是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意x，y滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C． D．若，則設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意實(shí)數(shù)，有，且(1)求證：；(2)若時(shí)，，求證：在上單調(diào)遞減.（2023·重慶南開(kāi)中學(xué)高一?？迹┰O(shè)的定義域是，在區(qū)間上是嚴(yán)格減函數(shù)；且對(duì)任意，，若，則．(1)求證：函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)；(2)求證：對(duì)于任意的，．(3)若，解不等式．2、對(duì)數(shù)型函數(shù)已知函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)，，；②．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)f（x）＝______．函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于，，，且當(dāng)時(shí)，，證明：為減函數(shù).已知函數(shù)的定義域是，對(duì)定義域內(nèi)的任意都有，且當(dāng)時(shí)，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)判斷的單調(diào)性并加以證明；已知定義在上的函數(shù)，滿足，而且當(dāng)時(shí)，有．（1）求證：在上是增函數(shù)；（2）判斷與的大小，并說(shuō)明理由．函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足對(duì)于任意，，有．(1)判斷的奇偶性并證明你的結(jié)論；(2)如果，，且在上是增函數(shù)，求的取值范圍．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對(duì)任意，都有．（1）求證：是偶函數(shù)；（2）設(shè)時(shí)，①求證：在上是減函數(shù)；②求不等式的解集．3、指數(shù)型函數(shù)已知定義在上的函數(shù)，滿足，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)、都有，當(dāng)時(shí)，，且.(1)求證：；(2)證明：在上為減函數(shù)；(3)若，求實(shí)數(shù)的值.已知定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y均有，且，當(dāng)且.(1)判斷的奇偶性；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明；(3)若對(duì)任意，，，總有恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

4、一次函數(shù)已知函數(shù)為定義在上的函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：（1）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，y恒有；（2）在上單調(diào)遞減.請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)___________.是定義在上的函數(shù)，對(duì)都有，當(dāng)時(shí)，，且．(1)求，的值；(2)猜測(cè)為奇函數(shù)還是偶函數(shù)并證明；(3)求在上的單調(diào)性并證明．定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意，，恒有，且時(shí)，有．(1)證明：為奇函數(shù)；(2)試判斷的單調(diào)性，并加以證明；

已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有成立，且當(dāng)時(shí)，.(1)求的值;(2)判斷的單調(diào)性，并證明;(3)解關(guān)于的不等式:.已知定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：①對(duì)任意，都有.②當(dāng)時(shí)，；(1)求；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

已知函數(shù)定義域?yàn)椋液瘮?shù)同時(shí)滿足下列個(gè)條件：①對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立；②當(dāng)時(shí)，；③.(1)求及的值；(2)求證：函數(shù)既是上的奇函數(shù)，同時(shí)又是上的減函數(shù)；已知函數(shù)定義域?yàn)?，且函?shù)同時(shí)滿足下列個(gè)條件：①對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立；②當(dāng)時(shí)，；③.(1)求及的值；(2)求證：函數(shù)既是上的奇函數(shù)，同時(shí)又是上的增函數(shù)；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足下列條件：（）．（）對(duì)于任意的，，總有．（）對(duì)于任意的，，，．則（Ⅰ）求及的值．（Ⅱ）求證：函數(shù)為奇函數(shù)．（Ⅲ）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．5、正切型函數(shù)定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的都有，且當(dāng)時(shí)，．（1）判斷在上的單調(diào)性并證明；（2