拋物線中的?？级壗Y論與模型【7類題型】（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學第六感；微信公眾號：數(shù)學三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學拋物線中的?？级壗Y論與模型近兩年新高考中拋物線較多出現(xiàn)在多選題，從備考出發(fā)需要加深對拋物線?？级壗Y論和模型的研究，解題思路和解題步驟相對固定，在沖刺階段的教學過程中盡量淡化解題技巧，強調(diào)通性通法，規(guī)范解題步驟，研究直線與拋物線的位置關系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點、距離等問題時，要注意“設而不求”“整體代入”“點差法”以及定義的靈活應用．近3年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2023年新高考II卷，第10題拋物線焦點弦的幾何性質(zhì)拋物線解析式，焦點坐標拋物線與圓2022年新高考I卷，第11題直線與拋物線的位置關系判斷直線與拋物線是否相切，距離公式與弦長公式2022年新高考II卷，第10題拋物線焦點弦的幾何性質(zhì)綜合含參拋物線的運算2021年新高考I卷，第14題已知斜率，求焦點弦長弦長公式2020年新高考，第13題由垂直關系求拋物線的準線方程利用向量數(shù)量積處理垂直關系總覽總覽題型解讀【題型1】拋物線焦半徑角度型公式的應用 7【題型2】聯(lián)立韋達化處理（選填常考） 14【題型3】阿基米德三角形模型（雙切線模型） 26【題型4】拋物線與圓 36【題型5】過焦點的直線與準線相交 42【題型6】中點弦問題（點差法） 48【題型7】最值與范圍 53模塊一模塊一高考真題再現(xiàn)1．（2023·全國·高考真題）（多選）設O為坐標原點，直線過拋物線的焦點，且與C交于M，N兩點，l為C的準線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【分析】先求得焦點坐標，從而求得，根據(jù)弦長公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項：直線過點，所以拋物線的焦點，所以，則A選項正確，且拋物線的方程為.B選項：設，由消去并化簡得，解得，所以，B選項錯誤.C選項：設的中點為，到直線的距離分別為，因為，即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項正確.D選項：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項錯誤.故選：AC.

2．（2022·全國·高考真題）（多選）已知O為坐標原點，點在拋物線上，過點的直線交C于P，Q兩點，則（

）A．C的準線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B，利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準線方程為，A錯誤；，所以直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得，故B正確；設過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，所以，直線的斜率存在，設其方程為，，聯(lián)立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正確；因為，，所以，而，故D正確.故選：BCD3．（2022·全國·高考真題）（多選）已知O為坐標原點，過拋物線焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，點，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項；由拋物線的定義求出即可判斷C選項；由，求得，為鈍角即可判斷D選項.【詳解】對于A，易得，由可得點在的垂直平分線上，則點橫坐標為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯誤；對于C，由拋物線定義知：，C正確；對于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.4．（2020·山東·高考真題）斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=．【答案】【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點坐標，利用點斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關于x的二次方程，接下來可以利用弦長公式或者利用拋物線定義將焦點弦長轉(zhuǎn)化求得結果.【詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標為，又∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡得，解法一：解得

所以解法二：設，則,過分別作準線的垂線，設垂足分別為如圖所示.故答案為：5．（2021·全國·高考真題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為.【答案】【分析】先用坐標表示，再根據(jù)向量垂直坐標表示列方程，解得，即得結果.【詳解】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,不妨設,因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，又，因為，所以,，所以的準線方程為故答案為：.模塊二模塊二高考模擬·新題速遞【題型1】拋物線焦半徑角度型公式的應用如圖，過拋物線焦點F的直角與拋物線交于，兩點，直線與x軸夾角為θ，本號資#料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感則較長的焦半徑，較短的焦半徑，焦點弦，補充：

【證明】：別過，作x軸的垂線，垂直為H，M，易知AHTP，BMTQ為矩形在△中，由拋物線定義可得：，則，解得；在△中，由拋物線定義可得：，則，解得2024·湖南衡陽·二模已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點（點在第一象限），（為坐標原點），，則．【答案】【分析】根據(jù)二級結論，先求得，再求即可.【詳解】作拋物線的準線，記準線與軸的交點為，過作準線的垂線，垂足分別為，過作軸的垂線，垂足分別為，如下所示：

設，在△中，由拋物線定義可得：，則，解得；在△中，由拋物線定義可得：，則，解得；由題可知：，，解得；則.2024·云南楚雄·模擬預測已知過拋物線焦點的直線交于，兩點，點，在的準線上的射影分別為點，，線段的垂直平分線的傾斜角為，若，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】首先求直線的傾斜角和直線方程，再聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理表示弦長，即可求解.【詳解】如圖，過點作，由條件可知直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為，由，，所以,即

（2024·廣東·模擬預測）已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，則的最小值是.【答案】【詳解】如下圖示：

【簡析】由結論可知，故已知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，直線與C交A，B兩點，直線與C交于D，E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為.【答案】16【簡析】設，則則，而，乘“1”即可（多選）在直角坐標系中，已知拋物線：的焦點為，過點的傾斜角為的直線與相交于，兩點，且點在第一象限，的面積是，則（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關系和焦半徑公式求出弦長，由點到直線的距離公式結合的面積求解，從而利用焦半徑公式求解，逐項判斷即可.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，設過焦點的直線方程為設直線：，，，聯(lián)立直線與拋物線方程得消元得，由韋達定理可得，，所以，又點到直線的距離是，所以，得，所以，故選項A錯誤，B正確；由知，解得，所以，故選項C正確；，故選項D正確；故選：BCD.2024屆·遼寧大連統(tǒng)考（多選）拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點（點在軸的下方），則下列結論正確的是（

）A．若，則中點到軸的距離為4B．弦的中點的軌跡為拋物線C．若，則直線的斜率D．的最小值等于9【答案】BCD【分析】根據(jù)焦半徑公式及中點坐標公式判斷A，設直線方程為并聯(lián)立拋物線方程，應用韋達定理，利用中點坐標關系表示出中點坐標，消去可得軌跡判斷B，結合向量的坐標運算求出點的坐標，然后利用兩點式斜率公式求解判斷C，由題可得，然后根據(jù)基本不等式求解判斷D.【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，設，對于A，依題意，，解得，線段中點的橫坐標，該點到軸的距離為，A錯誤；對于B，顯然直線不垂直于y軸，設直線：，由消去x得，，則，，，設線段中點坐標為，則，消去可得，因此弦中點的軌跡為拋物線，B正確；本號資料全部來源于微信公#眾號#：數(shù)學第六感對于C，顯然，由，得，，由選項B知，有，又，則，，因此直線的斜率，C正確；對于D，由選項B知，，則，因此，當且僅當，即時取得等號，D正確.本號資料*全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感故選：BCD(多選)如圖拋物線的頂點為，焦點為，準線為，焦準距為4；拋物線的頂點為，焦點也為，準線為，焦準距為6．和交于、兩點，分別過、作直線與兩準線垂直，垂足分別為M、N、S、T，過的直線與封閉曲線交于、兩點，則（）A. B.四邊形的面積為100C. D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義可得判斷A，以為原點建立平面直角坐標系，根據(jù)條件可得拋物線的方程為，可得，進而判斷B，利用拋物線的定義結合條件可得可判斷C，利用拋物線的性質(zhì)結合焦點弦的性質(zhì)可判斷D.【詳解】設直線與直線分別交于，由題可知，所以，，故A正確；如圖以為原點建立平面直角坐標系，則，，所以拋物線的方程為，連接，由拋物線的定義可知，又，所以，代入，可得，所以，又，故四邊形的面積為，故B錯誤；連接，因為，所以，所以，故，故C正確；根據(jù)拋物線的對稱性不妨設點在封閉曲線的上部分，設在直線上的射影分別為，當點在拋物線，點在拋物線上時，，當與重合時，最小，最小值為，當與重合，點在拋物線上時，因為，直線，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設，本號資料全部來*源于微信公眾*號：數(shù)學第六感則，，所以；當點在拋物線，點在拋物線上時，設，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設，則，，當，即時取等號，故此時；當點在拋物線，點在拋物線上時，根據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，故D正確.【題型2】聯(lián)立韋達化處理（選填常考）一、已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點則,.二、過焦點的直線與拋物線相交坐標之間的關系秒殺公式*本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感①拋物線的焦點為F，是過的直線與拋物線的兩個交點，則有.②一般地，如果直線恒過定點與拋物線交于兩點，那么.③若恒過定點.④以為直徑的圓必與準線相切.⑤若的中點為，則(梯形中位線)⑥為定值.三、一般弦長設為拋物線的弦，，，（為直線的斜率，且）.（多選）已知拋物線C：的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，下列說法正確的是（

）A．若AB中點M的橫坐標為3，則的最大值為8B．若AB中點M的縱坐標為2，則直線AB的傾斜角為C．設，則的最小值為D．若，則直線AB過定點【答案】ABD【分析】對于A：利用A，B，F(xiàn)三點的位置與的關系及拋物線的定義求的最大值；對于B：利用點A，B在拋物線上及直線的斜率公式，將斜率轉(zhuǎn)化為A，B兩點縱坐標間的關系；對于C：利用點A在拋物線上及兩點間的距離公式，將轉(zhuǎn)化為點A縱坐標的代數(shù)式，結合二次函數(shù)的性質(zhì)求的最小值；對于D：設直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為關于點A，B縱坐標的一元二次方程，結合及一元二次方程根與系數(shù)的關系求解直線AB方程中的參數(shù)，確定直線AB所過的定點【詳解】設．對于選項A：若AB中點M的橫坐標為3，則，可得，當且僅當A，B，F(xiàn)三點共線時，等號成立，所以的最大值為8，故A正確；對于選項B：若AB中點M的縱坐標為2，則，由題意可知直線AB的斜率存在，則，所以直線AB的傾斜角為，故B正確；對于選項C：設，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為，故C錯誤；對于選項D：設直線AB的方程，代入拋物線，得，則，可得，因為，所以，因為，解得，滿足，則直線AB的方程為，所以直線AB過定點，故D正確．2024·江蘇南通·二模設拋物線的焦點為F，C的準線與x軸交于點A，過A的直線與C在第一象限的交點為M，N，且，則直線MN的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可設直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，通過根與系數(shù)的關系及拋物線的焦半徑公式，建立方程，即可求解，【詳解】根據(jù)題意可得拋物線的焦點，準線方程為，到準線距離為，到準線距離為，法一：設線+韋達化處理（通法）則有，設直線方程為，聯(lián)立，可得，則，得，故，設，，又，有，即，得，，又，解得，，又，解得.法二：設點+相似比（計算?。?，設,，由相似可知，代入消元得，，解得，則，而A,N,M三點共線，故法三：利用對稱性+焦比公式如圖，延長MF，NF分別交拋物線于P，Q，則MFP三點共線，且NF=PF故，再結合,故∠MFH=60°補充證明設拋物線的焦點為F，C的準線與x軸交于點A，過A的直線與C在第一象限的交點為M，N，延長MF與拋物線交于點P，則P，N關于x軸對稱

證明：設，，,，故，即P，N關于x軸對稱【繼續(xù)提問】若P，N關于x軸對稱，那么M，F(xiàn)，P是否共線？解：設，， 而，故直線AM與直線PF交拋物線于同一點，所以P，F(xiàn)，M三點共線2024·江蘇·一模在平面直角坐標系中，已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于兩點.記線段的中點為，若線段的中點在上，則的值為；的值為.【答案】25【分析】設，與拋物線聯(lián)立，由韋達定理得，，從而得到的坐標，以及線段的中點坐標，代入拋物線方程，即可求出的值，得到的值.【詳解】令，，，線段的中點為聯(lián)立，消可得，則，,所以，即，所以線段的中點，由于線段的中點在拋物線上，則，解得或（舍去），即，由于在拋物線中，，所以.2024·廣東湛江·一模（多選）已知拋物線C：的焦點為F，過點的直線l與拋物線C交于A，B兩點，設直線l的斜率為k，則下列選項正確的有（

）A．B．若以線段AB為直徑的圓過點F，則C．若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則D．若以線段AB為直徑的圓與x軸相切，則該圓必與拋物線C的準線相切【答案】ABC【分析】聯(lián)立直線l與拋物線消去x得y2﹣4my+4＝0，由可判斷A；利用韋達定理和FA⊥FB列式可解得m2＝2，再用弦長公式可得弦長可判斷B；若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則解出，再用弦長公式可得弦長可判斷C；由，可得無解可判斷D.【詳解】設，直線的方程為，，的中點為，由消去并整理得：，得，由題意，，所以，即，所以，則，故A正確；以線段為直徑的圓過點，所以，所以，又，所以，，解得滿足題意.由，得，所以B正確；若以線段AB為直徑的圓與y軸相切，則，又，所以，解得：，所以，故C正確；若以線段AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切，則，即，又，所以無解，所以D錯誤.

（2024·黑龍江·二模）已知拋物線，經(jīng)過焦點斜率為的直線交拋物線于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則的值為.【答案】【分析】聯(lián)立直線方程和拋物線方程后求出中垂線方程和，再求出后可求的值.【詳解】拋物線的焦點的坐標為，故.設，的中點為，則由可得，，又，所以，又，所以，故的中垂線的方程為：，令，則，故，所以.（多選）如圖，已知拋物線的焦點為，拋物線的準線與軸交于點，過點的直線（直線的傾斜角為銳角）與拋物線相交于兩點（A在軸的上方，在軸的下方），過點A作拋物線的準線的垂線，垂足為，直線與拋物線的準線相交于點，則（

）A．當直線的斜率為1時， B．若，則直線的斜率為2C．存在直線使得 D．若，則直線的傾斜角為【答案】AD【分析】根據(jù)拋物線的焦點弦的性質(zhì)一一計算即可.【詳解】易知，可設，設，與拋物線方程聯(lián)立得，則，對于A項，當直線的斜率為1時，此時，由拋物線定義可知，故A正確；易知是直角三角形，若，則，又，所以為等邊三角形，即，此時，故B錯誤；由上可知 ，即，故C錯誤；若，又知，所以，則，即直線的傾斜角為，故D正確.（多選）已知點是拋物線，直線經(jīng)過點交拋物線于，兩點，與準線交于點，且為中點，則下面說法正確的是（

）本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六#感A． B．直線的斜率是C． D．設原點為，則的面積為【答案】AC【分析】由為中點和拋物線的定義可判斷選項A；將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理可判斷選項B；利用弦長公式可判斷選項C和選項D.【詳解】

設，，，由向準線作垂線，垂足為，由向準線作垂線，垂足為，連接,，由題知，直線的斜率一定存在且不為0，設直線的斜率為，則直線的方程為：，聯(lián)立得，，，，對于A，為中點，∽，，，，，，故A正確；對于B，，，，，，，，，解得，，故B錯誤；對于C，，，故C正確；對于D，，故D錯誤.2024·福建·模擬預測（多選）已知拋物線的焦點為F，準線交x軸于點D，過F的直線交C于A，B兩點，AF的中點M在y軸上的射影為點N，，則（）A． B．∠ADB是銳角C．是銳角三角形 D．四邊形DFMN是菱形【答案】ABD【分析】設出點，，由題意分析可知三角形為正三角形，聯(lián)立方程組，解出點的坐標，逐項判斷即可.【詳解】由拋物線，可知，，設點，，則，所以，而，所以，所以，所以三角形為正三角形，所以，又軸，所以，，則，所以，，，所以直線的方程為：，聯(lián)立方程，可得，所以，則，所以，所以，故A正確；，且，，所以四邊形DFMN是菱形，故D正確；由于以為直徑的圓與準線相切，點在圓外，所以∠ADB是銳角，故B正確；，，，所以，，所以，所以為鈍角，所以是鈍角三角形，故C錯誤.2024·湖南常德·三模（多選）過點的直線交拋物線于兩點，線段的中點為，拋物線的焦點為，下列說法正確的是（

）A．以為直徑的圓過坐標原點B．C．若直線的斜率存在，則斜率為D．若，則【答案】ABC【分析】設，，，將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，利用韋達定理求出，進而得到，代入各選項求解即可.【詳解】由題意可知直線斜率不為，設，，，聯(lián)立得，則，，，，因為，所以，以為直徑的圓過坐標原點，A說法正確；，B說法正確；因為為線段中點，所以，若直線的斜率存在，則，直線的斜率，C說法正確；若，則，由拋物線的定義可得，D說法錯誤（多選）已知拋物線：的的焦點為，、是拋物線上兩點，則下列結論正確的是（

）A．點的坐標為B．若直線過點，則C．若，則的最小值為D．若，則線段的中點到軸的距離為【答案】BD【分析】由拋物線方程確定焦點坐標知A錯誤；直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理可知B正確；根據(jù)過焦點可知最小值為通徑長，知C錯誤；利用拋物線焦半徑公式，結合中點坐標公式可求得點縱坐標，知D正確.【詳解】拋物線，即，對于A，由拋物線方程知其焦點在軸上，焦點為，故A錯誤；本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六#感對于B，依題意，直線斜率存在，設其方程為，由，消去整理得，則，，，故B正確；對于C，若，則直線過焦點，所以，所以當時，，所以的最小值為，故C錯誤；對于D，因為，則，即點縱坐標為，所以到軸的距離為，故D正確.已知拋物線.其焦點為F，若互相垂直的直線m，n都經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點和C，D兩點，則四邊形面積的最小值為．【答案】32【詳解】

依題意知,直線的斜率存在且不為0,設直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立,得，消去,整理得,設其兩根為,則.由拋物線的定義可知，,同理可得,四邊形的面積.當且僅當時等號成立,此時所求四邊形面積的最小值為32.【題型3】阿基米德三角形模型（雙切線模型）一、阿基米德焦點三角形性質(zhì)（弦AB過焦點F時）性質(zhì)1：MF⊥AB性質(zhì)2：MA⊥MB性質(zhì)3：MN∥x軸性質(zhì)4：S△ABM最小值為p2對于點A，B:①拋物線焦點弦與拋物線的交點②由準線上一點向拋物線引兩條切線所對應的切點對于點M③過焦點弦的一個端點所作的切線與準線的交點④過焦點弦的兩個端點所作兩條切線的交點滿足以上①③或①④或②③或②④的三個點所組成的三角形即為“底邊過焦點的阿基米德三角形”二、阿基米德三角形一般性質(zhì)（弦AB不經(jīng)過焦點F時）【性質(zhì)1】阿基米德三角形底邊上的中線PM平行于拋物對稱軸．【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點拋物線內(nèi)部的定點，則點P的軌跡為直線記，，，M為弦AB的中點，點C為拋物線內(nèi)部的定點半代入得出切線PA，PB的方程，再得出則，則，下略【性質(zhì)3】若P點軌跡為直線，且該直線與拋物線沒有公共點，則定點.設P點坐標，半代入得出切點弦AB的直線方程，進而得出定點C的坐標【性質(zhì)4】阿基米德三角形的面積的最大值為.本號#資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感【性質(zhì)5】，設拋物線的焦點為F,過F的直線交C于A,B兩點,分別以A,B為切點作C的切線，，若與交于點P，且滿足，則|AB|=( )A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【簡析】因為弦AB過焦點，故點P在準線上，勾股求出P點到x軸距離，進而可知∠PFO=30°，又∵∠PFB=90°，故∠FBP=60°，由焦點弦公式可得.已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與交于A，B兩點，C在A處的切線與C的準線交于P點，連接BP．若|PF|＝3，則的最小值為_____【答案】【簡析】如圖，則有PF⊥AB，PA⊥PB，所以當且僅當時取等（多選題）已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于兩點，在第一象限，過分別作拋物線的切線，且相交于點，若交軸于點，則下列說法正確的有（

）A．點在拋物線的準線上 B．C． D．若，則的值為【答案】ACD【詳解】由題意知，故l：，與拋物線聯(lián)立，可得，則，設，，則．對于A，由拋物線可得，所以直線的斜率，則直線的方程為，同理可得直線的方程為，聯(lián)立解得．又，故點P在拋物線的準線上，故A正確；對于B，，故，故B錯誤；對于C，直線l的方程為，則，直線的方程為，可得所以，故則FQ⊥BQ，故C正確；對于D，由，直線l的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，解得，則，則，得，故D正確．2024屆嘉興市統(tǒng)考已知是拋物線：的焦點，點，過點的直線與交于，兩點，是線段的中點．若，則直線的斜率．本*號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)*學第六感【答案】2【簡析】因為AM=BM=PM，所以∠APB=90°，故P在準線上，且PM⊥準線，PF⊥⊥AB故（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）（多選）拋物線的弦與弦的端點處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景?豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設是拋物線上兩個不同的點，以為切點的切線交于點.若弦過點，則下列說法正確的有（

）A．B．若，則點處的切線方程為C．存在點，使得D．面積的最小值為4【答案】ABD【分析】聯(lián)立方程組，結合韋達定理，可判定A正確；求得，得到切點坐標，得出切線方程，進而可判定B正確；由直線的斜率為，直線的斜率為，得到，可判定C錯誤；由過點的切線方程為，結合弦長公式，得到，可D正確.【詳解】對于A中，設直線，聯(lián)立方程組，整理得，再設，則，所以A正確；對于B中，由拋物線.可得，則，則過點的切線斜率為，且，即，則切線方程為：，即，若時，則過點的切線方程為：，所以B正確；對于C中，由選項可得：直線的斜率為，直線的斜率為，因為，所以，即，所以C錯誤；對于D中，由選項B可知，過點的切線方程為，聯(lián)立直線的方程可得，所以，，，則，當時，有最小值為，所以D正確.（多選）已知拋物線：，過其準線上的點作的兩條切線，切點分別為，，下列說法正確的是（

）A． B．當時，C．當時，直線的斜率為2 D．面積的最小值為4【答案】ABD【詳解】對A，易知準線方程為，∴，：，故選項A正確.對B，設直線，代入，得，當直線與相切時，有，即，設，斜率分別為，，易知，是上述方程兩根，故，故.故選項B正確.對C，設，，其中，.則：，即.代入點，得，同理可得，故：，故.

故選項C不正確.對D，同C，切線方程：；：，代入點有，，故直線的方程為，即，聯(lián)立有，則，故，又到的距離，故，故當時的面積小值為，故D正確（多選）已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線與交于、兩點，且，，若過點、分別作的兩條切線交于點，則下列各選項正確的是（

）A． B．C． D．以為直徑的圓過點【答案】ACD【簡證】第一步：由性質(zhì)一可得AR∥y軸，故A點橫坐標為4第二步：由性質(zhì)2可得:點所在直線為，故A正確，故B錯；而A點在準線上，可得C對，D對附：【性質(zhì)2】若阿基米德三角形的底邊即弦AB過定點拋物線內(nèi)部的定點，則點P的軌跡為直線.若焦點在y軸上的拋物線，則軌跡方程為【詳解】拋物線的焦點到準線的距離為，所以，拋物線的方程為，設、，由可知為的中點，所以，且，，由可得，所以，直線的斜率為，則直線的方程為，可得，聯(lián)立可得，所以，，對函數(shù)求導可得，所以，切線的方程為，即，同理可知，切線的方程為，聯(lián)立可得，即點，易知拋物線的焦點為，所以，，A對；因為直線過點，所以，，B錯；因為，，所以，，所以，故C正確；因為，且為的中點，所以，，因此，以為直徑的圓過點，故D正確. （多選）已知點在拋物線的準線上，過拋物線的焦點作直線交于、兩點，則（

）A．拋物線的方程是 B．C．當時， D．【答案】ABD【分析】求出的值，可得出拋物線的方程，可判斷A選項；設直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理可判斷B選項；根據(jù)平面向量的線性運算，結合韋達定理求出的值，再結合拋物線的焦點弦長公式可判斷C選項；計算出直線、的斜率之和，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，拋物線的準線方程為，因為點在拋物線的準線上，則，可得，所以拋物線的方程為，A對；對于B選項，拋物線的焦點為，若直線與軸重合，此時，直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，所以直線不與軸重合，設直線的方程為，聯(lián)立，可得，，則，所以，B對；對于C選項，因為，即，則，因為，可得，則，則，此時，，C錯；對于D選項，，同理可得，所以，所以，D對.2024屆·廣東省四校第一次聯(lián)考過向拋物線引兩條切線，切點分別為,又點在直線上的射影為，則焦點與連線的斜率取值范圍是.【答案】.【簡證】半代入得切點弦QR方程為，故QR過定點，所以點的軌跡為以為直徑的圓點與圓相切時斜率取到最值【常規(guī)法詳解】設，不妨設，由，可得，可得，則，可得切線的方程為因為點在直線上，可得，同理可得：，所以直線的方程為，可得直線過定點，又因為在直線上的射影為，可得且，所以點的軌跡為以為直徑的圓，其方程為，當與相切時，由拋物線，可得，設過點與圓相切的直線的斜率為，可得切線方程為，則，解得或，所以實數(shù)的范圍為.故答案為：.

（多選）已知拋物線，過其準線上的點作的兩條切線，切點分別為A、B，下列說法正確的是（

）A． B．當時，C．當時，直線AB的斜率為2 D．直線AB過定點【答案】BD【分析】根據(jù)為準線上的點列方程，解方程即可得到可判斷A；利用導數(shù)的幾何意義得到過點，的切線斜率，可得到，為方程的解，然后利用導數(shù)的幾何意義和韋達定理得到，即可判斷B；利用韋達定理和斜率公式求即可判斷C；聯(lián)立和得到，同理可得，即可得到直線的方程為，可判斷D.【詳解】因為為準線上的點，所以，解得，故A錯；根據(jù)拋物線方程得到，則，設切點坐標為，，則，整理得，同理得，所以，為方程的解，，所以，則，故B正確；由B選項得，所以，故C錯；由B選項得，又，聯(lián)立得，同理得，所以直線AB的方程為，恒過點，故D正確．

【題型4】拋物線與圓設AB是過拋物線y2＝2px(p＞0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①以弦AB為直徑的圓與準線相切．②以AF或BF為直徑的圓與y軸相切.（多選）已知拋物線的焦點在直線上，直線與拋物線交于點（為坐標原點），則下列說法中正確的是（

）A．B．準線方程為C．以線段為直徑的圓與的準線相切本號資料*全部來源于微信*公眾號：數(shù)學第六感D．直線的斜率之積為定值【答案】ACD【分析】由直線過定點，得到，可判定A正確；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可得判定B錯誤；過點作準線的垂線，根據(jù)拋物線的定義得到，可判定C正確；聯(lián)立方程組，結合韋達定理，得到，求得，可判定D正確.【詳解】對于A中，由直線，可化為，可得直線過定點，因為拋物線的焦點在直線上，可得，則，所以A正確；對于B中，由拋物線的準線方程為，所以B錯誤；對于C中，過點作準線的垂線，垂足分別為，的中點為點，過點作準線的垂線，垂足為，可得，所以C正確；對于D中，設，聯(lián)立方程組，整理得，可得，則，所以D正確.故選：ACD.

（多選）已知拋物線的焦點為F，過焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點（其中點A在x軸上方），則（

）A．B．弦AB的長度最小值為lC．以AF為直徑的圓與y軸相切D．以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切【答案】ACD【分析】由弦長公式計算可得選項A、B；C、D選項，可以利用圓的性質(zhì)，圓心到直線的距離等于半徑判定直線與圓相切.【詳解】

由題，焦點，設直線,聯(lián)立，，，同理可得，，，故A選項正確；，故弦AB的長度最小值為4，B選項錯誤；記中點，則點M到y(tǒng)軸的距離為，由拋物線的性質(zhì)，，所以以AF為直徑的圓與y軸相切，故C選項正確；，記中點，則點N到拋物線的準線的距離，故以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切，D選項正確.（多選）已知是拋物線上的兩動點，是拋物線的焦點，下列說法正確的是（

）A．直線過焦點時，以為直徑的圓與的準線相切B．直線過焦點時，的最小值為6本號資料全部來#源于微信公眾號：數(shù)學#第六感C．若坐標原點為，且，則直線過定點D．與拋物線分別相切于兩點的兩條切線交于點，若直線過定點，則點在拋物線的準線上【答案】ABD【分析】對于A：根據(jù)拋物線的定義分析判斷；對于B：設方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)拋物線的定義結合韋達定理分析求解；對于C：設方程為，設，，聯(lián)立方程，根據(jù)垂直關系可得，結合韋達定理分析求解；對于D：可知拋物線在點處的切線方程為，根據(jù)切線方程求交點坐標，結合選項B分析判斷.【詳解】對于選項A：如圖1，設中點為，分別過點向準線作垂線，垂足為，

則由拋物線的定義可得，，.因為中點為，所以有，所以以為直徑的圓與的準線相切，故A正確；對于選項B：由拋物線，可得，由題意可知直線斜率不為，設方程為，設，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得，則恒成立?？傻?，，則，所以當且僅當時，取到最小值6，故B正確；對于選項D：先證拋物線在點處的切線方程為，聯(lián)立方程，消去x得，可知方程組只有一個解，即直線與拋物線相切，可知拋物線在點處的切線方程分別為，，聯(lián)立方程，解得，即點，結合選項B可得：，所以點在拋物線的準線上，故D正確；對于選項C：由題意可知直線斜率不為，設方程為，設，，，則，，若，則，解得或（舍去），聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x可得，則，解得，此時，符合題意，所以，則直線過定點，故C錯（2024·福建漳州·模擬預測）（多選）點在拋物線上，為其焦點，是圓上一點，，則下列說法正確的是（

）A．的最小值為.B．周長的最小值為.C．當最大時，直線的方程為.D．過作圓的切線，切點分別為，則當四邊形的面積最小時，的橫坐標是1.【答案】BD【分析】A選項：通過拋物線方程計算可得；B選項：運用拋物線定義，將轉(zhuǎn)換為到準線的距離即可求出周長最小值；C選項：將最大問題，轉(zhuǎn)換為的最大值問題，再討論；D選項：結合A選項得到的結論，判斷四邊形的面積最小時點坐標.【詳解】對于A選項，設，則，當且僅當時取等號，此時或，所以，，故A選項錯誤；對于B選項，拋物線的準線方程為，如圖1，過作準線的垂線，垂足記為，則，當且僅當三點共線時，取得最小值，即，此時，又，所以周長的最小值為，故B選項正確；對于C選項，如圖2，當與圓相切時，且時，取最大．連接，，由于，，，所以，可得直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故C選項錯誤；對于D選項，如圖3，連接，，由A選項知，，且當或時，，此時四邊形的面積最小，的橫坐標是1，所以D選項正確，故選：BD．

【題型5】過焦點的直線與準線相交一、結合銳角三角函數(shù)與相似二、利用拋物線的定義解決問題，應靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉(zhuǎn)化．即看到準線想到焦點，看到焦點想到準線（2024·海南·模擬預測）已知是拋物線的焦點，過且傾斜角為的直線與交于兩點，與的準線交于點（點在線段上），，則（

）本號資料全部來源于微信公眾號#：數(shù)學第六感A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意畫出圖形，通過做輔助線，結合特殊角解直角三角形以及拋物線的定義即可求解.【詳解】如圖，分別過點作拋物線準線的垂線，垂足分別為，分別過點作，垂足分別為，設交軸于點，準線與軸交于點.由題知的傾斜角為，所以，從而，則，又.已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，過焦點F作斜率為的直線分別交拋物線C和準線l于點P，Q，若點P在第一象限，則.【答案】4【分析】過作與準線垂直，垂足為，設準線與軸交點為，根據(jù)拋物線的定義，結合三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】過作與準線垂直，垂足為，設準線與軸交點為，設，則.由直線PQ斜率為，則直線PQ傾斜角為，有，又由三角形的性質(zhì)可得，，即，所以，，即.

（2024·安徽淮北·一模）已知拋物線準線為，焦點為，點，在拋物線上，點在上，滿足：，，若，則實數(shù).【答案】【分析】由題設共線，作，垂足分別為，結合拋物線定義及相似比求參數(shù)值即可.【詳解】由題設知：共線，且，如下圖，作，垂足分別為，則，所以，又，則，所以，即，故.過拋物線的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線于點C，若，則此拋物線方程為．【答案】【分析】作準線于，準線于，設，由拋物線定義得，結合求得，進而求出，即可求得拋物線方程.【詳解】如圖，作準線于，準線于，設，由拋物線定義得，，故，本號資料全*部來源于微信公眾號：數(shù)學第六感在直角三角形中，因為，，所以，從而得，本號資料全部*來源于微*信公眾號：數(shù)學第六感設準線與x軸交于，則，所以，因此拋物線方程為.已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與拋物線交于點A、B，與直線交于點D，若且，則.【答案】3【詳解】如圖，設準線與軸的交點為，作，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知，，設，因為，所以，∴.設，所以，所以已知F是拋物線的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若，則【答案】4【分析】先求出準線方程為，根據(jù)拋物線定義把焦半徑轉(zhuǎn)化為焦點到準線距離，在直角梯形中由平行線得比例線段，從而可得，即，從而可得．【詳解】易知焦點F的坐標為，準線方程為，如圖，作于，于，，可知線段BM平行于AF和DN，因為，，，所以，又由定義知，所以.

已知拋物線：的焦點為，點在軸上，線段的延長線交于點，若，則．【答案】4【分析】做準線于點，軸于點可得，，再由拋物線定義可得答案.【詳解】如圖，做準線于點，軸于點，所以，因為，所以，所以，解得.

（2023·廣東茂名·三模）已知為坐標原點，直線過拋物線的焦點，與拋物線及其準線依次交于三點（其中點在之間），若.則的面積是.【答案】【分析】依題意作出圖形，利用拋物線的定義結合圖形依次求得與，從而求得直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，利用拋物線焦半徑公式與點線距離公式求得與，從而得解.【詳解】過點作垂直于準線，垂足為，過點作垂直于準線，垂足為，設準線與軸相交于點，如圖，

則，在中，，所以，所以，故在中，，所以，則.又軸，，所以，又拋物線，則，所以，（不聯(lián)立亦可）本號*資料全部來源于微信公眾號：數(shù)*學第六感所以拋物線，點.因為，所以直線的斜率，則直線，本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學第#六感與拋物線方程聯(lián)立，消并化簡得，易得，設點，則，則，又直線，可化為，則點到直線的距離，所以.拋物線的光學性質(zhì)：經(jīng)焦點的光線由拋物線反射后的光線平行于拋物線的對稱軸（即光線在曲線上某一點處反射等效于在這點處切線的反射），過拋物線上一點作其切線交準線于點，，垂足為，拋物線的焦點為，射線交于點，若．則，．

【答案】【解析】由拋物線的光學性質(zhì)知平分，又，所以，所以，由得，設準線交軸于點，則，且，且，所以，所以．【題型6】中點弦問題（點差法）設直線與拋物線相交所得的弦的中點坐標為，則證明：設,,代入拋物線方程得，，將兩式相減，可得，整理可得已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，若為的中點，則直線的方程為.【答案】【分析】設出，的坐標，代入拋物線方程，利用作差法，結合中點坐標公式代入先求出直線的斜率，再利用點斜式方程即可得到結論.【詳解】設，，由題意，因為，在拋物線上，所以，，兩式相減得，，整理得，，即直線的斜率，直線的中點為，，，所以直線的方程為，化簡得.故答案為：.

已知拋物線的一條弦恰好以點為中點，弦的長為，則拋物線的準線方程為（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】設，，得到，，結合“點差法”求得，得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用弦長公式，列出方程，求得，進而求得拋物線的準線方程．【詳解】設，，弦所在直線方程為，則，，也點A，B在拋物線上，可得，兩式相減可得，所以，即，所以弦所在直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，，所以，所以，即，可得，解得，所以拋物線的準線方程為．故選：B．已知拋物線的焦點為，第一象限的、兩點在拋物線上，且滿足，.若線段中點的縱坐標為4，則拋物線的方程為.【答案】【分析】先根據(jù)焦半徑公式得到的關系，然后根據(jù)弦長公式求解出，結合兩點間斜率公式以及點在拋物線上求解出的值，則拋物線方程可求.【詳解】設，因為，所以，所以，又因為，所以，因為都在第一象限，所以，又因為且，所以，所以，所以拋物線方程為直線與拋物線交于兩點，中點的橫坐標為2，則為（

）A． B．2 C．或2 D．以上都不是【答案】B【分析】設，得到，求得，再由，兩式相減，得到，得出方程，即可求解.【詳解】設，因為中點的橫坐標為，則，可得，又由，兩式相減得到，可得，可得，解得或，聯(lián)立方程組，整理得，由，解得，所以.2024屆·長沙市第一中學高三下學期月考（七）過拋物線的焦點F的直線交E于點A，B，交E的準線l于點C，，點D為垂足．若F是AC的中點，且，則（

）A．4 B． C． D．3【答案】A【分析】根據(jù)題中的幾何關系分別求出拋物線與直線的方程，進而聯(lián)立兩個方程，得到關于的一元二次方程，結合可得出答案.【詳解】如圖，設準線l與x軸交于點M．由拋物線的定義知．因為F是線段AC的中點，所以，所以，得，故拋物線E的方程為.由，得，（接下來也可以用焦點弦公式）所以直線AF的斜率，又，所以直線AF的方程為.聯(lián)立，消去y并整理，得，設，，則，所以.（多選）已知拋物線上的兩個不同的點關于直線對稱，直線與軸交于點，下列說法正確的是（

）A．的焦點坐標為 B．是定值C．是定值 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可判定A選項；根據(jù)A、B關于直線對稱及點在拋物線上可得，，，聯(lián)立化簡可判定B、C選項；再利用AB中點在拋物線內(nèi)可得，結合直線方程可判定D選項.【詳解】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知拋物線的焦點坐標為，即A正確；設A、B的中點為D，則，易得①，又②，且③，④，將③④代入②可得：，代入①可得，故B正確，C錯誤；所以A、B的中點坐標為，則直線的方程為：，令得：，而位于拋物線內(nèi)部，即，可得，則．即D正確.【題型7】最值與范圍一、圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：①幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；②代數(shù)法，若題目的條件和結論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．二、與拋物線焦半徑有關的最值問題的轉(zhuǎn)換方法(1)將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為該點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決（2024·河北邯鄲·三模）已知拋物線的焦點為F，為拋物線上一動點，點，則周長的最小值為（

）A．13 B．14 C．15 D．16本號資料全部來源于微信公眾號：#數(shù)學第六感【答案】A【分析】過及作準線的垂線，利用拋物線定義把周長問題轉(zhuǎn)化為的最小值問題，利用三點共線時距離和最小求解即可.【詳解】由題知，準線方程為.如圖，過作準線的垂線，垂足為，過作準線的垂線，垂足為，所以的周長，當為與拋物線的交點時等號成立，即周長的最小值為13.（2024·湖南·模擬預測）已知點，拋物