高中數(shù)學新教材人教A版選擇性必修培優(yōu)練習：29 計數(shù)原理（單元測試卷）（學生版+解析版）

專題29《計數(shù)原理》單元測試卷

一、單選題

1.（2020?四川省高三三模（理））工）展開式中:項的系數(shù)為（）

A.10B.5C.-10D.-5

2.（2020.橫峰中學高二開學考試（理））二項式（M+尤了（M為常數(shù)）展開式中含/項的系數(shù)等于10,

則常數(shù)M=（）

A.2B.±1C.-1D.1

3.（2020?四川省高三三模（理））某中學高二學生會體育部共有5人，現(xiàn)需從體育部選派4人，分別擔任拔

河比賽的裁判、記錄結(jié)果、核查人數(shù)、維持紀律四項工作，每人只擔任其中一項工作，其中甲沒有擔任裁

判工作，則不同的工作安排方式共有（）

A.120種B.48種C.96種D.60種

4.（2020?東營市第一中學高二期中）為做好社區(qū)新冠疫情防控工作，需將四名志愿者分配到甲、乙、丙三

個小區(qū)開展工作，每個小區(qū)至少分配一名志愿者，則不同的分配方案共有（）種

A.36B.48C.60D.16

5.（2020?吉林省高三其他（理））樹立勞動觀念對人的健康成長至關(guān)重要，某實踐小組共有4名男生，2名

女生，現(xiàn)從中選出4人參加校園植樹活動，其中至少有一名女生的選法共有（）

A.8種B.9種C.12種D.14種

6.（2020.山東省高二期中）1.026的近似值（精確到o.oi）為（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

7.（2020?南昌市新建一中高二開學考試（理））已知S=C；7+C；7+C；7+--+《，則S除以9所得的余

數(shù)是

A.2B.3

C.5D.7

8.（2020?安徽省高三其他（理））北京2022年冬奧會和冬殘奧會色彩系統(tǒng)的主色包括霞光紅、迎春黃、天霽

藍、長城灰、瑞雪白；間色包括天青、梅紅、竹綠、冰藍、吉柿；輔助色包括墨、金、銀.若各賽事紀念品的色彩設(shè)

計要求：主色至少一種、至多兩種，間色兩種、輔助色一種，則某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰藍

、銀色這三種顏色的概率為（）

8212

A?-----B.—C.—D.—

225451515

二、多選題

9.（2020?山東省高二期中）關(guān)于（a-6廠的說法，正確的是（）

A.展開式中的二項式系數(shù)之和為2048

B.展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大

C.展開式中第6項和第7項的二項式系數(shù)最大

D.展開式中第6項的系數(shù)最大

10.（2020?江蘇省揚州中學高二期中）將高二（1）班的四個同學分到語文、數(shù)學、英語三個興趣小組，每

個興趣小組至少有一名同學的分配方法有多少種？下列結(jié)論正確的有（）

A.GGUUB.ex

C.港D.18

11.（2020?江蘇省高二期中）若（2x+l）i°=4+01%+4%2+--010%1°,%€尺，貝ij（）

A.a0=1B.a。=0

10

C.ao+q+a2H—+（\0=3D.a0H-Oj+a2H■.一+%。=3

12.（2020?海南省高三其他）對于（2x—的展開式，下列說法正確的是（）

A.展開式共有6項B.展開式中的常數(shù)項是-240

C.展開式中各項系數(shù)之和為1D.展開式中的二項式系數(shù)之和為64

三、填空題

13.（2020?四川省南充市白塔中學高二月考（理））安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每

項工作由1人完成，則不同的安排方式有.

14.（2020?北京市魯迅中學高二月考）二項式（2/一,）6的展開式中的常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）

X

15.（2020?北京市魯迅中學高二月考）如圖，圓形花壇分為4部分，現(xiàn)在這4部分種植花卉，要求每部分種

植1種，且相鄰部分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有5種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有種（用

數(shù)字作答）

16.（2019?寧波市北侖中學高三二模）已知（l+3x）"的展開式中含有抬項的系數(shù)是54,則〃=,系

數(shù)最大的項為第項.

四、解答題

17.（2019?陜西省西安電子科技大學附中高二期末（理））（1）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒

子至多放1個球，共有多少種放法？

（2）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限，共有多少種放法？

18.（2020?陜西省咸陽市實驗中學高二月考（理））從四個不同的數(shù)135,7中，選取兩個不同的數(shù)4涉，分

別求解下列問題的總方法數(shù):

22

（1）焦點在％軸上的橢圓二+11有多少個?

a2b2

y2

（2）焦點在％軸上的雙曲線二=1有多少個?

ab2

19.（2020?江西省南昌二中高二月考（理））為了支援湖北省應對新冠肺炎，某運輸公司現(xiàn)有5名男司機，4

名女司機，需選派5人運輸一批緊急醫(yī)用物資到武漢.

（1）如果派3名男司機、2名女司機，共有多少種不同的選派方法？

（2）至少有兩名男司機，共有多少種不同的選派方法？

20.（2020?江蘇省邢江中學高二期中）有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).

(1)選5人排成一排;

排成前后兩排,前排4人，后排3人;

(3)全體排成一排,甲不站排頭也不站排尾;

(4)全體排成一排,女生必須站在一起;

(5)全體排成一排,男生互不相鄰.

21.（2020?福建省南平市高級中學高二期中）已知2%+展開式前三項的二項式系數(shù)和為22.

（1）求展開式中的常數(shù)項;

（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項.

22.（2020?揚州大學附屬中學高二月考）已知8件不同的產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)對它們一一進行測試，直至

找到所有次品.

（1）若恰在第2次測試時，找到第一件次品，第6次測試時，才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測

試方法？

（2）若至多測試5次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測試方法？

專題29《計數(shù)原理》單元測試卷

一、單選題

1.（2020?四川省高三三模（理））（1—工）展開式中J項的系數(shù)為（）

A.10B.5C.-10D.-5

【答案】C

【解析】

（1一工）5展開式的通項公式為4+1=GH—l）'4"，令—r=—3,可得r=3,

X

1々

故展開式中方項的系數(shù)為-C；=-10,

X

故選：C.

2.（2020.橫峰中學高二開學考試（理））二項式（M+尤r（M為常數(shù)）展開式中含/項的系數(shù)等于10,

則常數(shù)M=（）

A.2B.±1C.-1D.1

【答案】D

【解析】

rr3

T+]=C；M^x,令r=2,則爐的系數(shù)為C；M

故10=C；"3,所以加=1.故選D.

3.（2020?四川省高三三模（理））某中學高二學生會體育部共有5人，現(xiàn)需從體育部選派4人，分別擔任拔

河比賽的裁判、記錄結(jié)果、核查人數(shù)、維持紀律四項工作，每人只擔任其中一項工作，其中甲沒有擔任裁

判工作，則不同的工作安排方式共有（）

A.120種B.48種C.96種D.60種

【答案】C

【解析】

從5人中選4人擔任4項不同工作有6種方法.若甲擔任裁判工作，再從另外4人中選3人擔任3項不同

工作有因種方法.

則符合題意的工作安排方式共有國-團=96,

故選：c.

4.（2020?東營市第一中學高二期中）為做好社區(qū)新冠疫情防控工作，需將四名志愿者分配到甲、乙、丙三

個小區(qū)開展工作，每個小區(qū)至少分配一名志愿者，則不同的分配方案共有（）種

A.36B.48C.60D.16

【答案】A

【解析】

4x3

根據(jù)題意可知必有二名志愿者去同一小區(qū)開展工作，因此有盤=三一=6種方式，

所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三個小區(qū)開展工作，每個小區(qū)至少分配一名志愿者共有

屐=6x3x2x1=36種方式.

故選：A

5.（2020?吉林省高三其他（理））樹立勞動觀念對人的健康成長至關(guān)重要，某實踐小組共有4名男生，2名

女生，現(xiàn)從中選出4人參加校園植樹活動，其中至少有一名女生的選法共有（）

A.8種B.9種C.12種D.14種

【答案】D

【解析】

任意選有屐=15種，都是男生有1種，則至少有一名女生有14種.

故選：D.

6.（2020?山東省高二期中）1.026的近似值（精確到0。1）為（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.20

【答案】B

【解析】

1.026=（1+0.02）6=1+Cx0.02+索x0.022+（^x0.023+.??+0.026?1+0.12+0.006?1.13.

故選：B.

7.（2020?南昌市新建一中高二開學考試（理））已知5=《7+《+<^7+-?+《，則S除以9所得的余

數(shù)是

A.2B.3

C.5D.7

【答案】D

S=C；7+C；7+C；7+L+C；；=227-l=89-l=（9-l）9-l=99C°-98C^+L+9C；—2,所以除以9的

余數(shù)為7.選D.

8.（2020?安徽省高三其他（理））北京2022年冬奧會和冬殘奧會色彩系統(tǒng)的主色包括霞光紅、迎春黃、天霽

藍、長城灰、瑞雪白；間色包括天青、梅紅、竹綠、冰藍、吉柿；輔助色包括墨、金、銀.若各賽事紀念品的色彩設(shè)

計要求：主色至少一種、至多兩種，間色兩種、輔助色一種，則某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰藍

、銀色這三種顏色的概率為（）

8212

A.-----B.—C.—D.—

225451515

【答案】B

當主色只選一種時，共有種

當主色選兩種時，共有仁C"；=300種

其中，若主色只選一種時，某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰藍、銀色這三種顏色的共有C；=4種;

若主色選兩種時，某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰藍、銀色這三種顏色的共有C：C：=16種;

則某個紀念品的色彩搭配中包含有瑞雪白、冰藍、銀色這三種顏色的概率為4+16=_2_

150+30045

故選：B

二、多選題

9.（2020?山東省高二期中）關(guān)于（a-3”的說法，正確的是（）

A.展開式中的二項式系數(shù)之和為2048

B.展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大

C.展開式中第6項和第7項的二項式系數(shù)最大

D.展開式中第6項的系數(shù)最大

【答案】AC

【解析】

（。-4”的展開式中的二項式系數(shù)之和為2"=2048,所以A正確；

因為〃=11為奇數(shù)，所以展開式中有12項，中間兩項（第6項和第7項）的二項式系數(shù)相等且最大，所以3

不正確，。正確；

展開式中第6項的系數(shù)為負數(shù)，不是最大值，所以。不正確.

故選：AC

10.（2020?江蘇省揚州中學高二期中）將高二（1）班的四個同學分到語文、數(shù)學、英語三個興趣小組，每

個興趣小組至少有一名同學的分配方法有多少種？下列結(jié)論正確的有（）

A.CCCGB.盤6

C.窗尺D.18

【答案】BC

【解析】

根據(jù)題意，

解法1,先將4人三組，有O’2種分組方法，再將分好的三組全排列，對應三個興趣小組，有A3?種情況，

23

則有C4A3種分配方法，B正確；

解法2,在3個小組中選出1個，安排2個同學，有C31c42種情況，再將剩下的2人全排列，對應剩下的2

個興趣小組，有A22種情況，則有C31c42A22種分配方法，C正確；

故選：BC.

11.（2020,江蘇省IWJ二期中）若（2x+1）|°=/+qx+a?》?+?■。。幺。,％wR,貝"（）

A.a。=1B.a?！?

C.%+q+%+…+%o=31°D.%+q+%+…+=3

【答案】AC

【解析】

因為（2X+Ip°=%+HGo》。,九￡尺，

令1=0得。0=1，故A正確.

令X—1得a。+q+a?+，，，+%0=31°,故C正確.

故選:AC

12.（2020?海南省高三其他）對于（2x-31的展開式，下列說法正確的是（）

A.展開式共有6項B.展開式中的常數(shù)項是-240

C.展開式中各項系數(shù)之和為1D.展開式中的二項式系數(shù)之和為64

【答案】CD

【解析】

—《J的展開式共有7項，故A錯誤；

（2x—3］的通項為4+1=禺（2尤）6-（_e）=（-l）r26-rC；x6-3r.

令6-3r=0,\r=2,展開式中的常數(shù)項為（—lyz,盤=240,故8錯誤；

令x=l,則展開式中各項系數(shù)之和為（2x1-1）6=1,故c正確；

2x-二］的展開式中的二項式系數(shù)之和為26=64,故。正確.

故選：CD.

三、填空題

13.（2020?四川省南充市白塔中學高二月考（理））安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每

項工作由1人完成，則不同的安排方式有.

【答案】36

【解析】

根據(jù)題意，先將4項工作分成3組，有C；=6種分組方法,

將分好的三組全排列，對應3名志愿者，有蜀=6種情況，

則有6x6=36種不同的安排方式.

故答案為：36.

14.（2020?北京市魯迅中學高二月考）二項式（2必一,）6的展開式中的常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）

x

【答案】60

【解析】

有題意可得，二項式展開式的通項為:

Tr+l=C；(2/廣=(―1)，26-瑪＞3,

令12—3r=0可得r=4,此時豈=22^=60.

15.(2020?北京市魯迅中學高二月考)如圖，圓形花壇分為4部分，現(xiàn)在這4部分種植花卉，要求每部分種

植1種，且相鄰部分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有5種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有種(用

數(shù)字作答)

【解析】

根據(jù)題意：當1,3相同時，2,4相同或不同兩類，有：5x4xlx(l+3)=80種,

當1,3不相同時，2,4相同或不同兩類，有：5x4x3x(l+2)=180種,

所以不同的種植方案共有80+180=260種,

故答案為：260

16.(2019?寧波市北侖中學高三二模)已知(l+3x)"的展開式中含有爐項的系數(shù)是54,則〃=,系

數(shù)最大的項為第項.

【答案】44

【解析】

rr

二項式(l+3x)”的展開式的通項為C；(3x)「=3Cnx,

則含x2的項的系數(shù)為乎C；="(7)=54,

解得〃=4,

23

貝U二項式(1+3x)4的展開式為(1+3為4=1+12]+54x+108x+81/,

所以系數(shù)最大的項是第4項.

故答案為：4,4

四、解答題

17.(2019?陜西省西安電子科技大學附中高二期末(理))(1)3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒

子至多放1個球，共有多少種放法？

(2)3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限，共有多少種放法？

【答案】(1)60.(2)125

【解析】

(1)把3個不同的小球分別放入5不同的盒子里(每個盒子至多放一個球)，

實際上是從5個位置選3個位置用3個元素進行排列，共有匈=60種結(jié)果，

，共有：60方法.

(2)?.?3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限

???一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有5種獨立的放法，

由分步乘法計數(shù)原理，放法共有53=125種

??.共有：125放法.

18.(2020?陜西省咸陽市實驗中學高二月考(理))從四個不同的數(shù)1,3,5,7中，選取兩個不同的數(shù)a/，分

別求解下列問題的總方法數(shù):

V2

(1)焦點在x軸上的橢圓二1有多少個?

a

(2)焦點在x軸上的雙曲線二一二=1有多少個?

crb2

【答案】(1)6個；(2)12個.

【解析】

y2

(D)焦點在％軸上的橢圓「+=1,則a>Z?>0,

ab2

從4個數(shù)中選擇兩個，〃取大的一個，匕取小的一個，共有=6個.

22

(2)焦點在X軸上的雙曲線=—1=1,則小b,

/b1

從4個數(shù)中有順序的選擇兩個,共有4=12個.

19.（2020?江西省南昌二中高二月考（理））為了支援湖北省應對新冠肺炎，某運輸公司現(xiàn)有5名男司機，4

名女司機，需選派5人運輸一批緊急醫(yī)用物資到武漢.

（1）如果派3名男司機、2名女司機，共有多少種不同的選派方法？

（2）至少有兩名男司機，共有多少種不同的選派方法？

【答案】（1）60種（2）121種

【解析】

（1）可分步完成這件事情：第一步，選3名男司機，有C；種不同的選法；

第二步，選2名女司機，有C：種不同的選法；

由分步乘法原理，共有或C：=60種不同的選法.

（2）可分類完成這件事情：第一類，選2名男司機3名女司機，有C；C：種不同的選法；

第二類，選3名男司機2名女司機，有種不同的選法；

第三類,選4名男司機1名女司機，有C；C；種不同的選法；

第四類，選5名男司機。名女司機，有以種不同的選法；

由分類加法與分步乘法原理，共有點窗+《戲+以&+仁仁=121種不同的選法.

20.（2020.江蘇省邢江中學高二期中）有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).

（1）選5人排成一排；

（2）排成前后兩排，前排4人，后排3人；

（3）全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；

（4）全體排成一排，女生必須站在一起；

（5）全體排成一排，男生互不相鄰.

【答案】（1）2520種（2）5040種（3）3600種（4）576種（5）1440種

【解析】

（1）從7人中選5人排列，有禺=7x6x5x4x3=2520（種）.

（2）分兩步完成，先選4人站前排，有用種方法，余下3人站后排，有用種方法，共有=5040（種）.

（3）（特殊元素優(yōu)先法）先排甲，有5種方法，其余6人有可種排列方法，共有5x4=3600（種）.

(4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有禺種方法，再將女生全排列，有閻種方

法，共有A