1.2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式（第2課時）課件高二下學期數(shù)學北師大版選擇性

第一章數(shù)列2.1等差數(shù)列的概念及其通項公式第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)及應用北師大版

數(shù)學

選擇性必修第二冊目錄索引基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.能夠根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式推出等差數(shù)列的重要性質(zhì).2.能夠運用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題.3.能夠運用等差數(shù)列的知識解決簡單的實際問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系突出了首項、公差、項數(shù)的特征類型等差數(shù)列一次函數(shù)解析式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)f(x)=kx+b(k≠0)不同點①定義域為N+.②圖象是一系列均勻分布在同一直線上的孤立的點①定義域為R.②圖象是一條直線類型等差數(shù)列一次函數(shù)相同點①當d≠0時,等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)的解析式都是關(guān)于自變量的一次式.②等差數(shù)列中的a1,d,n,an四個量中知三求一和一次函數(shù)中求k,b的方法都是解方程(組)利用一次函數(shù)判斷等差數(shù)列的方法若一個數(shù)列的通項公式的等號右邊是關(guān)于n的一次式,則此數(shù)列一定是等差數(shù)列且n的系數(shù)為公差d名師點睛對于等差數(shù)列an=a1+(n-1)d,當d>0時,數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;當d<0時,數(shù)列{an}為遞減數(shù)列;當d=0時,數(shù)列{an}為常數(shù)列.思考辨析1.觀察等差數(shù)列的通項公式,你認為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)?

2.等差數(shù)列的單調(diào)性與公差有何關(guān)系?提示

一次函數(shù).提示

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則有d>0?{an}為遞增數(shù)列;d<0?{an}為遞減數(shù)列;d=0?{an}為常數(shù)列.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)等差數(shù)列的圖象是一系列均勻分布在同一直線上的孤立的點.(

)(2)如果等差數(shù)列的通項公式為an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則其公差為p.(

)(3)如果等差數(shù)列的公差d<0,則該等差數(shù)列為遞減數(shù)列.(

)√√√2.若{an}為等差數(shù)列,ap=q,aq=p(p≠q),則ap+q為(

)A.p+q

B.0C.-(p+q) D.B3.[人教B版教材習題]根據(jù)下列等差數(shù)列的通項公式,求數(shù)列的首項與公差.(1)an=3n+5;(2)an=12-2n.解

(1)a1=8,公差d=3.(2)a1=10,公差d=-2.知識點2

等差中項如果在a與b之間插入一個數(shù)A,使a,A,b成等差數(shù)列,那么A叫作a與b的

,且A=.

等差中項思考辨析將繞在筒盤上的衛(wèi)生紙近似地看作是一組同心圓,已知衛(wèi)生紙的厚度為0.2mm,從最內(nèi)層到最外層衛(wèi)生紙所在圓的半徑分別為20.2mm,20.4mm,20.6mm,20.8mm,21.0mm,…,50.0mm,觀察上面這個數(shù)列,其任意連續(xù)三項之間有什么樣的關(guān)系?提示

在任意連續(xù)三項中,第一項與第三項的和是第二項的2倍.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)不是所有的兩個實數(shù)都有等差中項.(

)(2)兩個實數(shù)的等差中項不小于這兩個實數(shù)的任意一個.(

)(3)若三個數(shù)m,n,p滿足2n=m+p,則m,n,p一定是等差數(shù)列.(

)××√2.已知{an}是等差數(shù)列,且a3-1是a2和a5的等差中項,則{an}的公差為(

)

A.-2 B.-1 C.1 D.2A解析

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由已知條件,得a2+a5=2(a3-1),即a1+d+(a1+4d)=2(a1+2d-1),解得d=-2.故選A.知識點3

等差數(shù)列的常用性質(zhì)當m=1時,該公式就變?yōu)榱说炔顢?shù)列的通項公式性質(zhì)1通項公式的推廣:an=am+(n-m)d(n,m∈N+)性質(zhì)2若{an}為等差數(shù)列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),則ak+al=am+an性質(zhì)3若{an}是公差為d的等差數(shù)列,則ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)組成公差為md的等差數(shù)列名師點睛1.在等差數(shù)列{an}中,若m+n=2p,則am+an=2ap(m,n,p∈N+),ap為am和an的等差中項.2.在等差數(shù)列{an}中,若m+n+t=p+q+r,則am+an+at=ap+aq+ar(m,n,t,p,q,r∈N+).3.在等差數(shù)列{an}中,思考辨析1.在等差數(shù)列{an}中,若m,n,p,q,…成等差數(shù)列,那么am,an,ap,aq,…也成等差數(shù)列嗎?若成等差數(shù)列,公差是什么?

2.若數(shù)列{an},{bn}均為等差數(shù)列,公差分別為d1和d2,數(shù)列{cn}滿足cn=an+2bn,那么數(shù)列{cn}是否為等差數(shù)列?

提示

成等差數(shù)列,若{an}的公差為d,則am,an,ap,aq,…的公差為(n-m)d.提示

{cn}為等差數(shù)列.∵cn+1-cn=an+1+2bn+1-(an+2bn)=an+1-an+2(bn+1-bn)=d1+2d2為常數(shù),故{cn}為等差數(shù)列.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)若{an}為等差數(shù)列,且m+n=p,則am+an=ap.(

)(2)在等差數(shù)列{an}中,若am+an=ap+aq,則m+n=p+q.(

)(3)等差數(shù)列去掉前面連續(xù)的若干項后,剩下的項仍構(gòu)成等差數(shù)列.(

)(4)在等差數(shù)列{an}中,若m+n+p=3t,則am+an+ap=3at.(

)××√√2.已知等差數(shù)列{an},{bn}的公差分別為d1=2,d2=1,則數(shù)列{2an-3bn}的公差為(

)

A.7 B.5 C.3 D.1D解析

∵{an},{bn}為等差數(shù)列,∴數(shù)列{2an-3bn}的公差d=(2an+1-3bn+1)-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=1.3.[人教B版教材習題]如果{an}是等差數(shù)列,而且正整數(shù)s,t,p,q滿足s+t=p+q,求證:as+at=ap+aq.證明

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項和公差分別為a1,d,則as=a1+(s-1)d,at=a1+(t-1)d,ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,∴as+at=2a1+(s+t-2)d,ap+aq=2a1+(p+q-2)d.又∵s+t=p+q,∴as+at=ap+aq.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一等差中項及其應用★(2)在-1與7之間順次插入三個數(shù)a,b,c,使這五個數(shù)成等差數(shù)列,求此數(shù)列.規(guī)律方法

在等差數(shù)列{an}中,由定義有an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N+),即an=,從而由等差中項的定義知,等差數(shù)列從第2項起的每一項都是它前一項與后一項的等差中項.變式訓練1(1)[2024四川雅安期末]若一個三角形的三個內(nèi)角成等差數(shù)列,且最小內(nèi)角為30°,則最大內(nèi)角的大小是(

)A.120° B.90° C.80° D.60°B★(2)若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5,求m和n的等差中項.解

由m和2n的等差中項為4,得m+2n=8.又由2m和n的等差中項為5,得2m+n=10.兩式相加,得3m+3n=18,即m+n=6,所以m和n的等差中項為

=3.探究點二等差數(shù)列性質(zhì)的應用【例2】

已知在等差數(shù)列{an}中,a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此數(shù)列的通項公式.解

∵a1+a7=2a4,a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5.又a2a4a6=45,∴a2a6=9,∴(a4-2d)(a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2.若d=2,an=a4+(n-4)d=2n-3,n∈N+;若d=-2,an=a4+(n-4)d=13-2n,n∈N+.變式探究在例2中,不難驗證a1+a4+a7=a2+a4+a6,那么,在等差數(shù)列{an}中,若m+n+p=q+r+s,m,n,p,q,r,s∈N+,是否有am+an+ap=aq+ar+as?解

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d,ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d,ar=a1+(r-1)d,as=a1+(s-1)d,∴am+an+ap=3a1+(m+n+p-3)d,aq+ar+as=3a1+(q+r+s-3)d,∵m+n+p=q+r+s,∴am+an+ap=aq+ar+as.規(guī)律方法

解決等差數(shù)列運算問題的一般方法:一是靈活運用等差數(shù)列{an}的性質(zhì);二是利用通項公式,轉(zhuǎn)化為關(guān)于等差數(shù)列的首項與公差的式子求解,這是通用方法;三是前面兩種兼而有之.這些方法都運用了整體代換與方程的思想.變式訓練2已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,若a1+a5+a9=15,則a2+a8的值為(

)A.4 B.6 C.8 D.10D解析

由題意得a1+a5+a9=3a5=15,所以a5=5,故a2+a8=2a5=10,故選D.探究點三

an=am+(n-m)d的應用

【例3】

在等差數(shù)列{an}中,已知a2=5,a8=17,求數(shù)列的公差及通項公式.解

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因為a8=a2+(8-2)d,所以17=5+6d,解得d=2.又因為an=a2+(n-2)d,所以an=5+(n-2)×2=2n+1,n∈N+.規(guī)律方法

靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì),可以減少運算.令m=1,an=am+(n-m)d即變?yōu)閍n=a1+(n-1)d,可以減少記憶負擔.變式訓練3已知{bn}為等差數(shù)列,若b3=-2,b10=12,則b8=

.

8解析

∵{bn}為等差數(shù)列,∴bn=b3+(n-3)d=2n-8.∴b8=2×8-8=8.探究點四等差數(shù)列性質(zhì)的綜合應用角度1.等差數(shù)列的設(shè)法與求解【例4】

已知三個數(shù)成遞增的等差數(shù)列,它們的和等于18,它們的平方和等于116,求這三個數(shù).規(guī)律方法

設(shè)等差數(shù)列的三個技巧(1)對于連續(xù)三個數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)為…,x-d,x,x+d,…,此時公差為d.(2)對于連續(xù)四個數(shù)成等差數(shù)列,通常可設(shè)為…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此時公差為2d.(3)等差數(shù)列的通項公式可設(shè)為an=pn+q.變式訓練4三個數(shù)成等差數(shù)列,這三個數(shù)的和為6,三個數(shù)之積為-24,求這三個數(shù).角度2.等差數(shù)列的實際應用【例5】

《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,最上面4節(jié)的容積共3升,最下面3節(jié)的容積共4升,則從上往下數(shù),第5節(jié)的容積為(

)B規(guī)律方法

1.解答數(shù)列實際應用問題的基本步驟:2.在利用數(shù)列方法解決實際問題時,一定要弄清首項、項數(shù)等關(guān)鍵問題.變式訓練5《孫子算經(jīng)》是我國古代的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有五等諸侯,共分橘子六十顆,人別加三顆.問:五人各得幾何?”其意思為:“有5個人分60個橘子,他們分得的橘子個數(shù)成公差為3的等差數(shù)列,問:5人各得多少橘子.”根據(jù)這個問題,5人所得橘子個數(shù)的中位數(shù)是(

)A.6 B.8 C.10 D.12D解析

設(shè)5個人所得橘子數(shù)為a-6,a-3,a,a+3,a+6,∴(a-6)+(a-3)+a+(a+3)+(a+6)=60,解得a=12,∴5人所得橘子數(shù)的中位數(shù)為12.故選D.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)等差中項的定義.(2)等差數(shù)列性質(zhì)的應用.2.方法歸納:等價轉(zhuǎn)化.3.常見誤區(qū):等差數(shù)列性質(zhì)的混用、亂用.學以致用·隨堂檢測促達標1234567891011121314151617A級必備知識基礎(chǔ)練181920211.[探究點一]若x是a與b的等差中項,x2是a2與-b2的等差中項,則a,b的關(guān)系是(

)A.a=-b

B.a=3bC.a=-b或a=3b D.a=b=0C1234567891011121314151617181920212.[探究點二]在等差數(shù)列{an}中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,則a7-a8的值為(

)A.4 B.6 C.8 D.10C1234567891011121314151617181920213.[探究點二]已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,則m為(

)A.12 B.8 C.6 D.4B解析

由等差數(shù)列性質(zhì),得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8,又d≠0,∴m=8.1234567891011121314151617181920214.[探究點二]在等差數(shù)列{an}中,a2020=log27,a2024=log2,則a2022=(

)A.0 B.7 C.1 D.49A1234567891011121314151617181920215.《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題:今有某郡守賞賜下屬10人,官職依次遞降,賞賜隨官職遞降依次等差遞減,前2人共得賞賜190貫,后3人共得賞賜60貫,則第5人得賞賜為(

)A.80貫

B.70貫 C.60貫

D.50貫C解析

由題意,設(shè)等差數(shù)列為{an},公差為d,則可得a1+a2=190,a8+a9+a10=60,即2a1+d=190,3a1+24d=60,解得a1=100,d=-10,故a5=a1+4d=100-40=60,故選C.1234567891011121314151617181920216.[探究點二]在等差數(shù)列{an}中,若

+2a2a8+a6a10=16,則a4a6=

.

41234567891011121314151617181920217.[探究點三]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,則k=

.

181234567891011121314151617181920218.[探究點二]已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a1+a7+a13=4π,則tan(a2+a12)的值為

.

1234567891011121314151617181920219.[探究點二、三]在等差數(shù)列{an}中.(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求公差d.解

(1)根據(jù)已知條件a2+a3+a23+a24=48,得4a13=48,∴a13=12.(2)由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,12345678910111213141516171819202110.[探究點四(角度1)]已知三個數(shù)成單調(diào)遞增的等差數(shù)列,它們的和等于18,它們的平方和等于116,求這三個數(shù).123456789101112131415161718192021B級關(guān)鍵能力提升練解析

∵公差不為0的等差數(shù)列{an}中,a3+a8=ax+ay,∴x+y=3+8=11,∵x,y∈N+,∴x=1,y=10或x=2,y=9或x=3,y=8或x=4,y=7或x=5,y=6或x=6,y=5或x=7,y=4或x=8,y=3或x=9,y=2或x=10,y=1,∴xy=10或18或24或28或30.故選C.12345678910111213141516171819202112.(多選題)在等差數(shù)列{an}中每相鄰兩項之間都插入k(k∈N+)個數(shù),使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列{bn}.若b9是數(shù)列{an}的項,則k的值可能為(

)A.1 B.3 C.5 D.7ABD解析

由題意得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,…,∴在等差數(shù)列{an}中的項在新的等差數(shù)列{bn}中間隔排列,且下標是以1為首項,k+1為公差的等差數(shù)列,則an=b1+(n-1)(k+1),∵b9是數(shù)列{an}的項,令1+(n-1)(k+1)=9,當n=2時,k=7,當n=3時,k=3,當n=5時,k=1,故k的值可能是1,3,7.12345678910111213141516171819202113.已知{an}是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,則a11+a12+a13的值為(

)A.105 B.120

C.90

D.75A解析

由a1+a2+a3=15,得a2=5,所以a1+a3=10.又a1a2a3=80,所以a1a3=16,所以a1=2,a3=8或a1=8,a3=2.又因為等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù),所以{an}是遞增數(shù)列,所以a1=2,a3=8,所以等差數(shù)列{an}的公差d=a2-a1=5-2=3,所以a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=105.12345678910111213141516171819202114.如果在等差數(shù)列{an}中,a5+a6+a7=15,那么a3+a4+…+a9等于(

)A.21 B.30 C.35 D.40C解析

a5+a6+a7=(a5+a7)+a6=2a6+a6=3a6=15,所以a6=5.所以a3+a4+…+a9=(a3+a9)+(a4+a8)+(a5+a7)+a6=7a6=35.12345678910111213141516171819202115.若在等差數(shù)列{an}中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,則a6+a7+a8等于(

)A.34 B.35 C.36 D.37C解析

由題意得(a3+a7-a10)+(a11-a4)=12,∴(a3+a11)+a7-(a10+a4)=12.∵a3+a11=a10+a4,∴a7=12.∴a6+a7+a8=3a7=36.12345678910111213141516171819202116.在等差數(shù)列{an}中,已知a1,a4為方程2x2-5x+2=0的兩根,則a2+a3=

.

12345678910111213141516171819202117.已知在數(shù)列{an}中,a3=3,a7=1,又數(shù)列

是等差數(shù)列,則an=

.

12345678910111213141516171819202118.已知等差數(shù)列{an},n∈N+,且滿足a1+a3+a5=9.(1)求a3;(2)若a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差為18的等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式.123456789101112131415161718192021解

(1)因為等差數(shù)列{an},n∈N+,所以a1+a5=2a3.因為a1+a3+a5=9,所以a1+a3+a5=3a3