2023-2024學(xué)年湖北省十堰市高一下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省十堰市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B.2.某公司在職員工有1200人，其中銷售人員有400人，研發(fā)人員有600人，現(xiàn)采用分層隨機加樣的方法抽取120人進行調(diào)研，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多（）A.20 B.30 C.40 D.50〖答案〗A〖解析〗由題意可得被抽到的研發(fā)人員有人，銷售人員有人，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多.故選：A.3.設(shè)是三條不同的直線，是兩個不同的平面.下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則或〖答案〗C〖解析〗若，則或A錯誤；若，則或異面，B錯誤；若，則在內(nèi)必存在直線和a平行，不妨設(shè)為l，而，則，則，C正確；若，則與的位置關(guān)系不確定，還可能異面，D錯誤.故選：C.4.函數(shù)是（）A.周期為偶函數(shù) B.周期為的偶函數(shù)C.周期為的奇函數(shù) D.周期為的奇函數(shù)〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，則是偶函數(shù)，因為，，所以是周期為的偶函數(shù).故選：A.5.在一個港口，有一艘船以每小時30海里的速度向正東方向行駛，在某時觀測到在該船北偏東75°方向上有一座燈塔A，2小時后，燈塔A在該船的東北方向上，該船繼續(xù)向正東方向行駛足夠長時間，則該船與燈塔A之間的最短距離是（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里〖答案〗D〖解析〗設(shè)該船的初始位置為小時后的位置為，過作，垂足為，則為所求的最短距離，由題意可知海里，則，在中，由正弦定理可得，則海里，在中，海里，，則海里.故選：D.6.已知某圓柱的軸截面是正方形，且上?下底面圓周上的所有點都在球的表面上，則該圓柱的體積與球的體積的比值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)該圓柱的底面圓半徑為，高為，則，設(shè)球的半徑為，則由已知條件可得，設(shè)圓柱的體積為，球的體積，由圓柱的體積公式可得，由球的體積公式可得，則.故選：D.7.我國唐代僧人一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長與太陽天頂距對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長等于表高與太陽天頂距正切值的乘積，即.對同一“表高”測量兩次，第一次和第二次的太陽天頂距分別為.若第一次的“晷影長”是“表高”的2倍，第二次的“晷影長”是“表高”的7倍，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，則，故，因為，且，所以，所以，因為，且，所以，所以，則，因為，所以.故選：C.8.若向量是一組基底，向量，則稱為向量在其底下的坐標(biāo).如圖，某人仿照趙爽弦圖，用四個三角形和一個小的平行四邊形拼成一個大平行四邊形，其中分別是的中點.已知向量分別是與向量同向的單位向量，且向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，因為是平行四邊形，所以，所以，所以，因為向量在基底下的坐標(biāo)為，所以，，因為，所以在基底下的坐標(biāo)是.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某商場評選金牌銷售員，現(xiàn)將該商場所有銷售員某月的銷售額進行整理，得到如圖所示的統(tǒng)計圖，則（）A.該商場有20名銷售員B.該啇場這個月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為7萬元C.該商場這個月有的銷售員的銷售額超過7萬元D.該商場這個月所有銷售員銷售額的第85百分位數(shù)是8.5萬元〖答案〗ACD〖解析〗由統(tǒng)計圖可知該商場有名銷售員，則A正確；該商場這個月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為萬元，則B錯誤；該商場這個月銷售額超過7萬元的銷售員有6人，占總?cè)藬?shù)的百分比為，則C正確；因為，所以該商場這個月所有銷售員銷售額的第85百分位數(shù)是萬元，則D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.不等式的解集是D.將的圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點中心對稱〖答案〗AC〖解析〗因，所以的最小正周期為，故A正確；因為，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故B錯誤；由，即，得，則，解得，即不等式的解集是，，故C正確；將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，因為，所以的圖象不關(guān)于點中心對稱，故D錯誤.故選：AC.11.在正方體中，是棱的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若是線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值是B.若為線段上的動點，則的最小值為C.若為線段上的動點，則平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為D.若為線段上的動點，且與平面交于點，則三棱錐的體積為〖答案〗ACD〖解析〗對于選項A：由正方體的定義可知∥，則是異面直線與所成的角或補角，因為平面，且平面，則，在中，因為，則，所以，則A正確；對于選項B：將平面展開到平面，則，所以的最小值為，故錯誤；對于選項C：過點作∥，交于點，可知：∥∥，則平面即為平面，平面即為平面，則平面平面，且平面，則平面，且平面，則，可知為平面與平面的夾角，因為為線段上的動點，所以為線段上的動點，在正方體，結(jié)合對稱性可知：當(dāng)為線段的中點時，取到最大值，取到最小值，此時，則；當(dāng)為線段的端點重合時，取到最小值，取到最大值；綜上所述：，所以平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為，故C正確；對于選項D：設(shè)平面與平面的交線為，因為∥平面，平面，則∥，又因為∥，且，可知為平行四邊形，則∥，可得∥，因為與平面交于點，即，平面，且平面，可知平面，又因為平面平面，則，可知，且平面，可知三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，且，則__________.〖答案〗3〖解析〗設(shè)，且，則，所以，解得，故.故〖答案〗為：3.13.如圖，均為圓上的動點（可重合），為圓心，已知該圓的半徑為1，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗，因為，所以，即取值范圍為.故〖答案〗為：14.如圖，在邊長為2的正方形中，分別為邊上的點（不包含端點）.若的周長為4，則的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗如圖，延長到點，使得，連接，易證，則，故，設(shè)，則.因為的周長為4，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，設(shè)，則.因為，所以，則，因為，所以，所以，所以，則的最大值是.故〖答案〗為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.某中學(xué)地理組教師團隊研發(fā)了《聽歌曲學(xué)地理》校本課程并對高一年級共1200名學(xué)生進行了授課，授課結(jié)束后對學(xué)生進行了知識測驗，從所有答卷中隨機抽取了100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于50分的整數(shù)）整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值；（2）估計樣本成績的中位數(shù)（結(jié)果精確到小數(shù)點后1位）；（3）若測驗成績不低于80分的同學(xué)被定義為“地理愛好者”.試估計全年級“地理愛好者”的人數(shù).解：（1）由題意得，解得.（2），中位數(shù)在這一組，設(shè)中位數(shù)的估計值為，則，解得，即樣本成績的中位數(shù)約為81.4.（3）全年級“地理愛好者”約有人.16.如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，是等邊三角形.平面平面分別棱的中點.（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由三棱柱的定義可知，因為分別是棱的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，因為平面平面，所以平面，因為分別是棱的中點，所以，因為平面平面，所以平面，因為平面，且，所以平面平面.（2）作的延長線于點，連接，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，則是直線與平面所成的角，設(shè)，則，因為，所以，則，因為是等邊三角形，所以，所以，由余弦定理可得，因為平面平面，所以，則，故，即直線與平面所成角的正弦值為.17.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的〖解析〗式；（2）在銳角中，角所對的邊分別為，且，求面積的取值范圍.解：（1）由對稱性知為函數(shù)的對稱軸，所以，則，解得，因為，所以，因為的圖象經(jīng)過點，所以，所以，解得，因為，所以，因為的圖象經(jīng)過點，所以，解得，故.（2）由（1）可得，則，因為是銳角三角形，所以，所以，則，故的面積，由正弦定理可得，則，因為是銳角三角形，所以，解得，所以，所以，則，即，故的面積.18.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，.（1）證明：平面；（2）茬，求二面角的正切值；（3）是否存在實數(shù)，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在.請說明理由.解：（1）因為四邊形是菱形，所以，因為平面，且，所以平面，因為平面，所以，因為四邊形是菱形，且，所以，因為，所以，所以，因為平面，且，所以平面.（2）取棱的中點，連接，作，垂足為，連接，因為分別是的中點，所以，由（1）可知平面，則平面，因為平面，所以，因為平面，且，所以平面，因為平面，所以，則是二面角的平面角，因為，所以，因為四邊形是菱形，且，所以，且，因為，所以，因為是的中點，所以，因為平面，且平面，所以，則.（3）連接，交于點，連接，作，交于點，因為平面，且平面平面，所以，因為四邊形是菱形，所以是的中點，所以是的中點，即，因為，所以是的中點，因為，所以，所以，則，即.19.點是直線外一點，點在直線上（點與兩點均不重合），我們稱如下操作為“由點對施以視角運算”：若點在線段上，記；若點在線段外，記.（1）若在正方體的棱的延長線上，且，由對施以視角運算，求的值；（2）若在正方體棱上，且，由對施以視角運算，得到，求的值；（3）若是的邊的等分點，由對施以視角運算，證明：.解：（1）如圖1，因為，所以，由正方體的定義可知，則，故，，因為，所以，則.（2）如圖2，設(shè)，則，因為，所以，則，解得，故.（3）證明：如圖3，因為是的等分點，所以，在中，由正弦定理可得，則，在中，同理可得，因為，所以，則，同理可得，故.湖北省十堰市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B.2.某公司在職員工有1200人，其中銷售人員有400人，研發(fā)人員有600人，現(xiàn)采用分層隨機加樣的方法抽取120人進行調(diào)研，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多（）A.20 B.30 C.40 D.50〖答案〗A〖解析〗由題意可得被抽到的研發(fā)人員有人，銷售人員有人，則被抽到的研發(fā)人員人數(shù)比銷售人員人數(shù)多.故選：A.3.設(shè)是三條不同的直線，是兩個不同的平面.下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則或〖答案〗C〖解析〗若，則或A錯誤；若，則或異面，B錯誤；若，則在內(nèi)必存在直線和a平行，不妨設(shè)為l，而，則，則，C正確；若，則與的位置關(guān)系不確定，還可能異面，D錯誤.故選：C.4.函數(shù)是（）A.周期為偶函數(shù) B.周期為的偶函數(shù)C.周期為的奇函數(shù) D.周期為的奇函數(shù)〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，則是偶函數(shù)，因為，，所以是周期為的偶函數(shù).故選：A.5.在一個港口，有一艘船以每小時30海里的速度向正東方向行駛，在某時觀測到在該船北偏東75°方向上有一座燈塔A，2小時后，燈塔A在該船的東北方向上，該船繼續(xù)向正東方向行駛足夠長時間，則該船與燈塔A之間的最短距離是（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里〖答案〗D〖解析〗設(shè)該船的初始位置為小時后的位置為，過作，垂足為，則為所求的最短距離，由題意可知海里，則，在中，由正弦定理可得，則海里，在中，海里，，則海里.故選：D.6.已知某圓柱的軸截面是正方形，且上?下底面圓周上的所有點都在球的表面上，則該圓柱的體積與球的體積的比值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)該圓柱的底面圓半徑為，高為，則，設(shè)球的半徑為，則由已知條件可得，設(shè)圓柱的體積為，球的體積，由圓柱的體積公式可得，由球的體積公式可得，則.故選：D.7.我國唐代僧人一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長與太陽天頂距對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上較早的一張正切函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長等于表高與太陽天頂距正切值的乘積，即.對同一“表高”測量兩次，第一次和第二次的太陽天頂距分別為.若第一次的“晷影長”是“表高”的2倍，第二次的“晷影長”是“表高”的7倍，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，則，故，因為，且，所以，所以，因為，且，所以，所以，則，因為，所以.故選：C.8.若向量是一組基底，向量，則稱為向量在其底下的坐標(biāo).如圖，某人仿照趙爽弦圖，用四個三角形和一個小的平行四邊形拼成一個大平行四邊形，其中分別是的中點.已知向量分別是與向量同向的單位向量，且向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，因為是平行四邊形，所以，所以，所以，因為向量在基底下的坐標(biāo)為，所以，，因為，所以在基底下的坐標(biāo)是.故選：B.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某商場評選金牌銷售員，現(xiàn)將該商場所有銷售員某月的銷售額進行整理，得到如圖所示的統(tǒng)計圖，則（）A.該商場有20名銷售員B.該啇場這個月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為7萬元C.該商場這個月有的銷售員的銷售額超過7萬元D.該商場這個月所有銷售員銷售額的第85百分位數(shù)是8.5萬元〖答案〗ACD〖解析〗由統(tǒng)計圖可知該商場有名銷售員，則A正確；該商場這個月所有銷售員銷售額的平均數(shù)為萬元，則B錯誤；該商場這個月銷售額超過7萬元的銷售員有6人，占總?cè)藬?shù)的百分比為，則C正確；因為，所以該商場這個月所有銷售員銷售額的第85百分位數(shù)是萬元，則D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.不等式的解集是D.將的圖象向右平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象關(guān)于點中心對稱〖答案〗AC〖解析〗因，所以的最小正周期為，故A正確；因為，所以的圖象不關(guān)于直線對稱，故B錯誤；由，即，得，則，解得，即不等式的解集是，，故C正確；將的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，因為，所以的圖象不關(guān)于點中心對稱，故D錯誤.故選：AC.11.在正方體中，是棱的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.若是線段的中點，則異面直線與所成角的余弦值是B.若為線段上的動點，則的最小值為C.若為線段上的動點，則平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為D.若為線段上的動點，且與平面交于點，則三棱錐的體積為〖答案〗ACD〖解析〗對于選項A：由正方體的定義可知∥，則是異面直線與所成的角或補角，因為平面，且平面，則，在中，因為，則，所以，則A正確；對于選項B：將平面展開到平面，則，所以的最小值為，故錯誤；對于選項C：過點作∥，交于點，可知：∥∥，則平面即為平面，平面即為平面，則平面平面，且平面，則平面，且平面，則，可知為平面與平面的夾角，因為為線段上的動點，所以為線段上的動點，在正方體，結(jié)合對稱性可知：當(dāng)為線段的中點時，取到最大值，取到最小值，此時，則；當(dāng)為線段的端點重合時，取到最小值，取到最大值；綜上所述：，所以平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為，故C正確；對于選項D：設(shè)平面與平面的交線為，因為∥平面，平面，則∥，又因為∥，且，可知為平行四邊形，則∥，可得∥，因為與平面交于點，即，平面，且平面，可知平面，又因為平面平面，則，可知，且平面，可知三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，且，則__________.〖答案〗3〖解析〗設(shè)，且，則，所以，解得，故.故〖答案〗為：3.13.如圖，均為圓上的動點（可重合），為圓心，已知該圓的半徑為1，則的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗，因為，所以，即取值范圍為.故〖答案〗為：14.如圖，在邊長為2的正方形中，分別為邊上的點（不包含端點）.若的周長為4，則的最大值是__________.〖答案〗〖解析〗如圖，延長到點，使得，連接，易證，則，故，設(shè)，則.因為的周長為4，所以，所以，因為，所以，因為，所以，所以，設(shè)，則.因為，所以，則，因為，所以，所以，所以，則的最大值是.故〖答案〗為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.某中學(xué)地理組教師團隊研發(fā)了《聽歌曲學(xué)地理》校本課程并對高一年級共1200名學(xué)生進行了授課，授課結(jié)束后對學(xué)生進行了知識測驗，從所有答卷中隨機抽取了100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于50分的整數(shù)）整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求的值；（2）估計樣本成績的中位數(shù)（結(jié)果精確到小數(shù)點后1位）；（3）若測驗成績不低于80分的同學(xué)被定義為“地理愛好者”.試估計全年級“地理愛好者”的人數(shù).解：（1）由題意得，解得.（2），中位數(shù)在這一組，設(shè)中位數(shù)的估計值為，則，解得，即樣本成績的中位數(shù)約為81.4.（3）全年級“地理愛好者”約有人.16.如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，是等邊三角形.平面平面分別棱的中點.（1）證明：平面平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由三棱柱的定義可知，因為分別是棱的中點，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，因為平面平面，所以平面，因為分別是棱的中點，所以，因為平面平面，所以平面，因為平面，且，所以平面平面.（2）作的延長線于點，連接，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，則是直線與平面所成的角，設(shè)，則，因為，所以，則，因為是等邊三角形，所以，所以，由余弦定理可得，因為平面平面，所以，則，故，即直線與平面所成