2023-2024學年江蘇省宿遷市高一下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省宿遷市2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的.）1.計算的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由題意可知，，所以，所以共軛復數(shù)對應的點為，在第二象限.故選：B.3.從兩個班級各隨機抽取5名學生測量身高（單位：），甲班的數(shù)據(jù)為169，162，150，160，159，乙班的數(shù)據(jù)為180，160，150，150，165.據(jù)此估計甲、乙兩班學生的平均身高，及方差，的關(guān)系為（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗，所以，，所以，.故選：D.4.已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為向量，向量，則，，所以向量在向量上的投影向量是：.故選：C.5.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事：“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬”.若雙方各自擁有上、中、下等馬各1匹，從中隨機選1匹進行1場比賽，則齊王的馬獲勝的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為，，，齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為，，，由題意可知，可能的比賽為，，，，，，，，，共9種，其中田忌可以獲勝的事件為，，，共3種，則齊王的馬獲勝的概率.故選：A.6.已知點，，，下列說法正確的是（）A. B.C.點到直線的距離為 D.〖答案〗C〖解析〗A：，所以，故A錯誤；B：由選項A知，，，所以，由得，故B錯誤；C：，得，即，所以點到的距離為，故C正確；D：由選項C知，，所以，故D錯誤.故選：C.7.已知，，表示三條不同的直線，，表示不同的平面，則（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，，則〖答案〗C〖解析〗A：若，則或，故A錯誤；B：若，則或，故B錯誤；C：若，則，故C正確；D：若，且，則，故D錯誤.故選：C.8.已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，若該正四棱臺的側(cè)面積為，則側(cè)棱與底面所成的角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在正四棱臺中，，令分別是正方形的中心，連接，顯然四邊形是直角梯形，且是側(cè)棱與底面所成的角，由正四棱臺的側(cè)面積為，得等腰梯形的面積為，過作于，則，解得，而，因此，而，，，所以側(cè)棱與底面所成的角為.故選：B.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張卡片，上面分別標有數(shù)字1，2，3，…，9.從袋中任意抽取1張卡片，記“抽出的卡片號為1，4，7”為事件A，“抽出的卡片號小于7”為事件，“抽出的卡片號大于7”記為事件.下列說法正確的是（）A.事件A與事件是互斥事件 B.事件A與事件是互斥事件C.事件A與事件相互獨立 D.事件與事件是對立事件〖答案〗AC〖解析〗由題意可知：樣本空間，則，可得，對于選項A：因為，所以事件A與事件是互斥事件，故A正確；對于選項B：因為，所以事件A與事件不是互斥事件，故B錯誤；對于選項C：由選項B可知，則，可知，所以事件A與事件相互獨立，故C正確；對于選項D：因為，所以事件與事件不是對立事件，故D錯誤.故選：AC.10.已知，且復平面內(nèi)對應的點為，則下面說法正確的有（）A.B.若，則，中至少有個是C.滿足點形成的圖形的面積為D.若，則的最小值為〖答案〗BD〖解析〗設復數(shù)，對于A，，則，所以，而，故A錯誤；對于B，若，則，即，則或，則或，則，中至少有個是，故B正確；對于C，，所以，所以點形成的圖形面積為，故C錯誤；對于D，因為，所以，且，所以，且，所以，所以最小值為，故D正確.故選：BD.11.如圖，在正方體中，若為棱的中點，點在側(cè)面（包括邊界）上運動，且∥平面，下面結(jié)論正確的是（）A.點的運動軌跡為一條線段B.直線與所成角可以為C.三棱錐的體積是定值D.若正方體的棱長為1，則平面與正方體的截面的面積為〖答案〗ACD〖解析〗不妨設正方體的棱長為1，對于選項A：取的中點，連接，由題意可知：∥，且，可知為平行四邊形，則∥，又因為分別為的中點，則∥，可得∥，且平面，平面，可得∥平面，因為分別為的中點，則∥，且，又因為∥，且，可得∥，且，可知為平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面，由，平面，可得平面∥平面，若∥平面，可知平面，且側(cè)面，側(cè)面平面，可知，所以點的運動軌跡為一條線段，故A正確；對于選項B：因為點的運動軌跡為線段，則直線與所成角為，因為側(cè)面，側(cè)面，則，在中，，又因為，則有：當為線段的中點時，取到最小值；當為線段的端點時，取到最大值；則，即，可知，故B錯誤；對于選項C：由選項A可知：平面∥平面，且平面，則∥平面，且，可知點到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積是定值，故C正確；對于選項D：取的中點，連接，因為分別為的中點，則∥，由選項A可知：∥，則∥，所以平面與正方體的截面為四邊形，由題意可知：，則等腰梯形的高，所以截面的面積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.如圖，用，，這3類不同的元件連接成系統(tǒng)，每個元件是否正常工作不受其它元件的影響，當元件正常工作且，中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知元件，，正常工作的概率分別為0.8，0.7，0.9，則系統(tǒng)正常工作的概率是______.〖答案〗〖解析〗設元件，，正常工作分別為事件，，，則，，，，中至少有一個正常工作的概率為：，則系統(tǒng)正常工作概率為：．故〖答案〗為：.13.粽，即粽籺，俗稱粽子，據(jù)考證，粽早在春秋之前就已出現(xiàn)，最初是用來祭祀祖先和神靈；到了晉代，粽子成為端午節(jié)的節(jié)慶食物.端午食粽的風俗，傳播甚遠.包粽子是端午節(jié)的一種傳統(tǒng)風俗，同學們在勞動課上學習包粽子，將包的四角蛋黃粽近似看成一個正四面體，蛋黃近似看成一個球體，且每個粽子里僅包裹一個蛋黃，若粽子的棱長為，則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積為______.〖答案〗〖解析〗蛋黃近似看成一個棱長為6cm的正四面體的內(nèi)切球，設正面體的內(nèi)切球的球心為，球的半徑為，正四面體的表面積為，體積為，因為正四面體的棱長為6，所以正四面體高，正四面體表面積為，因為，所以，解得，所以蛋黃的體積為.故〖答案〗為：.14.記的三個內(nèi)角，且，，若是的外心，是角的平分線，在線段上，則______.〖答案〗〖解析〗是角的平分線，在線段上，且，，，，設的高為，由等面積法得，，過點作垂線分別交于，由外心性質(zhì)得分別為的中點，.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5大題，共77分.解答應寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，，，分別是的邊，，上的點，且，，，，，.設，.（1）用向量，表示；（2）求.解：（1）由題意可知：.（2）由題意可知：，因為，，，則，所以.16.如圖，在三棱錐中，，，，分別是，的中點，是上一點.（1）若平面平面，求證：；（2）若點在上，且滿足，求證：直線，，相交于一點.解：（1）由題意可知：，若平面平面，且平面平面，平面，可知平面，且平面，所以.（2）連接，因為，分別是，的中點，則∥，且；又因為，則∥，且；可得∥，且，可知四點共面，且為梯形，則可設，則，且平面，平面，則平面，平面，且平面平面，可知，所以直線，，相交于一點.17.已知向量，，設.（1）求的最小正周期；（2）若，，求的值.解：（1）因為，所以函數(shù)的最小正周期.（2），，，故.18.某企業(yè)準備購進新型機器以提高生產(chǎn)效益.根據(jù)調(diào)查得知，使用該新型機器生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量是用質(zhì)量指標值來衡量的，按質(zhì)量指標值劃分產(chǎn)品等級的標準如圖表1.圖表1質(zhì)量指標值或或等級一等品二等品三等品現(xiàn)從該新型機器生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取200件作為樣本，檢測其質(zhì)量指標值，得到如圖表2所示的頻率分布直方圖.（1）用分層抽樣的方法從樣本質(zhì)量指標值在區(qū)間和內(nèi)的產(chǎn)品中隨機抽取6件，再從這6件中任取2件作進一步研究，求這2件產(chǎn)品都取自區(qū)間的概率；（2）根據(jù)市場調(diào)查得到該新型機器生產(chǎn)的產(chǎn)品的銷量數(shù)據(jù)如圖表3：圖表3產(chǎn)品等級一等品二等品三等品銷售率單件產(chǎn)品原售價20元15元10元未按原價售出的產(chǎn)品統(tǒng)一按原售價的全部售出（產(chǎn)品各等級的銷售率為等級產(chǎn)品銷量與其對應產(chǎn)量的比值）已知該企業(yè)購進新型機器的前提條件是，該機器生產(chǎn)的產(chǎn)品同時滿足下列兩個條件：①質(zhì)量指標值的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）不低于300.②單件產(chǎn)品平均利潤不低于4元.已知該新型機器生產(chǎn)的產(chǎn)品的成本為10元/件，月產(chǎn)量為2000件，根據(jù)圖表1、圖表2、圖表3信息，分析該新機器是否達到企業(yè)的購進條件.解：（1）因為質(zhì)量指標值在區(qū)間和內(nèi)的頻率分別為，可知樣本中質(zhì)量指標值在區(qū)間有件，設為；質(zhì)量指標值在區(qū)間內(nèi)有件，設為，則這6件中任取2件，則樣本空間，可知，記“這2件產(chǎn)品都取自區(qū)間”為事件A，則，可知，所以.（2）由頻率分布直方圖可知，產(chǎn)品質(zhì)量指標值的平均數(shù)為，故滿足認購條件①；再分析該產(chǎn)品的單價平均利潤值：由頻率分布直方圖可知，新型機器生產(chǎn)的產(chǎn)品為一?二?三等品的概率估計值分別為：，故2000件產(chǎn)品中，一?二?三等品的件數(shù)估計值為：件，一等品的利潤元，二等品的利潤元，三等品的利潤元，則2000件產(chǎn)品的總利潤為：元，故2000件產(chǎn)品的單件平均利潤的估計值為，故不滿足認購條件②，綜上，該新型機器沒有達到該企業(yè)的認購條件.19.在銳角中，角，，的對邊為，，，若，.（1）求角的大小；（2）若為的中點，且，求的面積；（3）如圖，過點在所在平面內(nèi)作，且滿足.求線段的最大值.解：（1）因為，，所以，即，由余弦定理得，又，∴．（2）因為是的中點，所以，兩邊平方可得，即，又，所以，面積為.（3）令為銳角，，則，在中由正弦定理得，即，在中由正弦定理得，即，同理可得，所以，當，即時，取最大值.江蘇省宿遷市2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的.）1.計算的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故選：B.2.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由題意可知，，所以，所以共軛復數(shù)對應的點為，在第二象限.故選：B.3.從兩個班級各隨機抽取5名學生測量身高（單位：），甲班的數(shù)據(jù)為169，162，150，160，159，乙班的數(shù)據(jù)為180，160，150，150，165.據(jù)此估計甲、乙兩班學生的平均身高，及方差，的關(guān)系為（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗，所以，，所以，.故選：D.4.已知向量，向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因為向量，向量，則，，所以向量在向量上的投影向量是：.故選：C.5.《史記》中講述了田忌與齊王賽馬的故事：“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬”.若雙方各自擁有上、中、下等馬各1匹，從中隨機選1匹進行1場比賽，則齊王的馬獲勝的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗依題意，記田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別為，，，齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別為，，，由題意可知，可能的比賽為，，，，，，，，，共9種，其中田忌可以獲勝的事件為，，，共3種，則齊王的馬獲勝的概率.故選：A.6.已知點，，，下列說法正確的是（）A. B.C.點到直線的距離為 D.〖答案〗C〖解析〗A：，所以，故A錯誤；B：由選項A知，，，所以，由得，故B錯誤；C：，得，即，所以點到的距離為，故C正確；D：由選項C知，，所以，故D錯誤.故選：C.7.已知，，表示三條不同的直線，，表示不同的平面，則（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，，則〖答案〗C〖解析〗A：若，則或，故A錯誤；B：若，則或，故B錯誤；C：若，則，故C正確；D：若，且，則，故D錯誤.故選：C.8.已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，若該正四棱臺的側(cè)面積為，則側(cè)棱與底面所成的角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗在正四棱臺中，，令分別是正方形的中心，連接，顯然四邊形是直角梯形，且是側(cè)棱與底面所成的角，由正四棱臺的側(cè)面積為，得等腰梯形的面積為，過作于，則，解得，而，因此，而，，，所以側(cè)棱與底面所成的角為.故選：B.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張卡片，上面分別標有數(shù)字1，2，3，…，9.從袋中任意抽取1張卡片，記“抽出的卡片號為1，4，7”為事件A，“抽出的卡片號小于7”為事件，“抽出的卡片號大于7”記為事件.下列說法正確的是（）A.事件A與事件是互斥事件 B.事件A與事件是互斥事件C.事件A與事件相互獨立 D.事件與事件是對立事件〖答案〗AC〖解析〗由題意可知：樣本空間，則，可得，對于選項A：因為，所以事件A與事件是互斥事件，故A正確；對于選項B：因為，所以事件A與事件不是互斥事件，故B錯誤；對于選項C：由選項B可知，則，可知，所以事件A與事件相互獨立，故C正確；對于選項D：因為，所以事件與事件不是對立事件，故D錯誤.故選：AC.10.已知，且復平面內(nèi)對應的點為，則下面說法正確的有（）A.B.若，則，中至少有個是C.滿足點形成的圖形的面積為D.若，則的最小值為〖答案〗BD〖解析〗設復數(shù)，對于A，，則，所以，而，故A錯誤；對于B，若，則，即，則或，則或，則，中至少有個是，故B正確；對于C，，所以，所以點形成的圖形面積為，故C錯誤；對于D，因為，所以，且，所以，且，所以，所以最小值為，故D正確.故選：BD.11.如圖，在正方體中，若為棱的中點，點在側(cè)面（包括邊界）上運動，且∥平面，下面結(jié)論正確的是（）A.點的運動軌跡為一條線段B.直線與所成角可以為C.三棱錐的體積是定值D.若正方體的棱長為1，則平面與正方體的截面的面積為〖答案〗ACD〖解析〗不妨設正方體的棱長為1，對于選項A：取的中點，連接，由題意可知：∥，且，可知為平行四邊形，則∥，又因為分別為的中點，則∥，可得∥，且平面，平面，可得∥平面，因為分別為的中點，則∥，且，又因為∥，且，可得∥，且，可知為平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面，由，平面，可得平面∥平面，若∥平面，可知平面，且側(cè)面，側(cè)面平面，可知，所以點的運動軌跡為一條線段，故A正確；對于選項B：因為點的運動軌跡為線段，則直線與所成角為，因為側(cè)面，側(cè)面，則，在中，，又因為，則有：當為線段的中點時，取到最小值；當為線段的端點時，取到最大值；則，即，可知，故B錯誤；對于選項C：由選項A可知：平面∥平面，且平面，則∥平面，且，可知點到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積是定值，故C正確；對于選項D：取的中點，連接，因為分別為的中點，則∥，由選項A可知：∥，則∥，所以平面與正方體的截面為四邊形，由題意可知：，則等腰梯形的高，所以截面的面積為，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.如圖，用，，這3類不同的元件連接成系統(tǒng)，每個元件是否正常工作不受其它元件的影響，當元件正常工作且，中至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知元件，，正常工作的概率分別為0.8，0.7，0.9，則系統(tǒng)正常工作的概率是______.〖答案〗〖解析〗設元件，，正常工作分別為事件，，，則，，，，中至少有一個正常工作的概率為：，則系統(tǒng)正常工作概率為：．故〖答案〗為：.13.粽，即粽籺，俗稱粽子，據(jù)考證，粽早在春秋之前就已出現(xiàn)，最初是用來祭祀祖先和神靈；到了晉代，粽子成為端午節(jié)的節(jié)慶食物.端午食粽的風俗，傳播甚遠.包粽子是端午節(jié)的一種傳統(tǒng)風俗，同學們在勞動課上學習包粽子，將包的四角蛋黃粽近似看成一個正四面體，蛋黃近似看成一個球體，且每個粽子里僅包裹一個蛋黃，若粽子的棱長為，則其內(nèi)可包裹的蛋黃的最大體積為______.〖答案〗〖解析〗蛋黃近似看成一個棱長為6cm的正四面體的內(nèi)切球，設正面體的內(nèi)切球的球心為，球的半徑為，正四面體的表面積為，體積為，因為正四面體的棱長為6，所以正四面體高，正四面體表面積為，因為，所以，解得，所以蛋黃的體積為.故〖答案〗為：.14.記的三個內(nèi)角，且，，若是的外心，是角的平分線，在線段上，則______.〖答案〗〖解析〗是角的平分線，在線段上，且，，，，設的高為，由等面積法得，，過點作垂線分別交于，由外心性質(zhì)得分別為的中點，.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共5大題，共77分.解答應寫出必要文字說明、證明過程或演算步驟.）15.如圖，，，分別是的邊，，上的點，且，，，，，.設，.（1）用向量，表示；（2）求.解：（1）由題意可知：.（2）由題意可知：，因為，，，則，所以.16.如圖，在三棱錐中，，，，分別是，的中點，是上一點.（1）若平面平面，求證：；（2）若點在上，且滿足，求證：直線，，相交于一點.解：（1）由題意可知：，若平面平面，且平面平面，平面，可知平面，且平面，所以.（2）連接，因為，分別是，的中點，則∥，且；又因為，則∥，且；可得∥，且，可知四點共面，且為梯形，則可設，則，且平面，平面，則平面，平面，且平面平面，可知，所以直線，，相交于一點.17.已知向量，，設.（1）求的最小正周期；（2）若，，求的值.解：（1）因為，所以函數(shù)的最小正周期.（2），，，故.18.某企業(yè)準備購進新型機器以提高生產(chǎn)效益.根據(jù)調(diào)查得知，使用該新型機器生產(chǎn)產(chǎn)品的質(zhì)量是用質(zhì)量指標值來衡量的，按質(zhì)量指標值劃分產(chǎn)品等級的標準如圖表1.圖表1質(zhì)量指標值或或等級一等品二等品三等品現(xiàn)從該新型機器生產(chǎn)的產(chǎn)品中