2023-2024學(xué)年山西省運(yùn)城市三晉卓越聯(lián)盟高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2山西省運(yùn)城市三晉卓越聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將〖答案〗答在答題卡上.選擇題每小題選出〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑;非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色黑水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍:人教版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)，選擇性必修第三冊(cè).一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知隨機(jī)變量X的分布列為51015則（）A. B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗由分布列的性質(zhì)，得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合分布列的性質(zhì)，所以.故選：C.2.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1〖答案〗D〖解析〗由，得.故選：D3.已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則展開式中的系數(shù)為（）A.－32 B.32. C.－16 D.16〖答案〗C〖解析〗的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，所以，所以的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中的系數(shù)為.故選：C.4.已知變量與的數(shù)據(jù)如下表所示，若關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是，則表中（）1234510111315A.11 B.12 C.12.5 D.13〖答案〗A〖解析〗，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程經(jīng)過樣本中心，所以，解得故選：A.5.已知隨機(jī)變量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗隨機(jī)變量，則有，由，解得，所以.故選：.6.已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若的最大值為8，則的離心率為（）.A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由橢圓的定義，可知，所以當(dāng)最小時(shí)，最大，由橢圓的性質(zhì)得，過橢圓焦點(diǎn)的弦中垂直于長(zhǎng)軸的弦最短，當(dāng)直線AB垂直于軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)，由解得，此時(shí)的離心率.故選：A.7.已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋詳?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，，因?yàn)閷?duì)恒成立，所以，所以的最小值是1.故選：B.8.將7名身高不同的學(xué)生從左往右排成一列，記第名學(xué)生的身高為，當(dāng)時(shí)，由于學(xué)生的身高變化像字母，所以也叫“數(shù)列”，則滿足條件的“數(shù)列”共有（）A.61個(gè) B.65個(gè) C.68個(gè) D.71個(gè)〖答案〗D〖解析〗記這7名學(xué)生的身高由低到高分別為數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，因?yàn)槎急却?，所以只能為，?當(dāng)時(shí)，有種選法，剩余數(shù)字中的最大值作為，所以有種選法，剩下一個(gè)數(shù)作為，共有個(gè)“數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，有種選法，剩余數(shù)字中的最大值作為，剩余兩個(gè)數(shù)排，有種選法，共有個(gè)“數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，，從4，5，6，7中選2個(gè)數(shù)作為有種選法，剩余2個(gè)數(shù)為，共有6個(gè)“數(shù)列”.綜上所述，滿足條件的“數(shù)列”共有個(gè).故選：D.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，則（）A.公差 B. C. D.時(shí)，最小〖答案〗AD〖解析〗是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)公差為，，即，得，所以，即，有，因?yàn)?，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；時(shí)，時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確.故選：AD10.某學(xué)校為迎接校園藝術(shù)節(jié)的到來，決定舉行文藝晚會(huì)，節(jié)目單中有共7個(gè)節(jié)目，則下列結(jié)論正確的是（）A.若節(jié)目與節(jié)目相鄰，則共有1440種不同的安排方法B.若節(jié)目與節(jié)目不相鄰，則共有3600種不同的安排方法C.若節(jié)目在節(jié)目之前表演（可以不相鄰），則共有2520種不同的安排方法D.若決定在已經(jīng)排好的節(jié)目單中臨時(shí)添加3個(gè)節(jié)目，現(xiàn)有節(jié)目次序不變，則共有336種不同的安排方法〖答案〗ABC〖解析〗若節(jié)目與節(jié)目相鄰，共有種不同的安排方法，故正確；若節(jié)目與節(jié)目不相鄰，共有種不同安排方法，故B正確；因?yàn)楣?jié)目在節(jié)目之前表演與節(jié)目在節(jié)目之前表演的情況是一樣的，所以共有種不同的安排方法，故C正確；添加第一個(gè)節(jié)目有8種情況，添加第二個(gè)節(jié)目有9種情況，添加第三個(gè)節(jié)目有10種情況，共有種不同的安排方法，故D錯(cuò)誤.故選：.11.若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A.7 B. C.8 D.9〖答案〗CD〖解析〗由題意可知：，可得，因?yàn)椋勺冃螢?，令，可得，因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.令，則，當(dāng)時(shí)，，所以是方程的一個(gè)正實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，令且1，可得，則，兩式相減可得，兩式相加可得，則，整理得，令，可得，即關(guān)于的方程在內(nèi)有實(shí)根，令，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知函數(shù)與在內(nèi)有交點(diǎn)，由圖象可知，即，可得，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，對(duì)比選項(xiàng)可知：AB錯(cuò)誤，CD正確.故選：CD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨著夏季的來臨，遮陽帽開始暢銷，某商家為了解某種遮陽帽如何定價(jià)才可以獲得最大利潤(rùn)，現(xiàn)對(duì)這種遮陽帽進(jìn)行試銷售，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)銷售量（單位:頂）與單價(jià)（單位:元）具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為，若想要銷售量為80頂，則預(yù)計(jì)該遮陽帽的單價(jià)定為_____________元.〖答案〗40〖解析〗若銷售量為80頂，則，解得，所以預(yù)計(jì)單價(jià)應(yīng)定為40元.故〖答案〗為：4013.已知函數(shù)，點(diǎn)A是的圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A且垂直于軸的直線交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過點(diǎn)A且垂直于軸的直線交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，則的面積的最小值是_____________.〖答案〗2〖解析〗由題意可知，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，不妨設(shè)，則，則，所以的面積，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以的面積的最小值為.故〖答案〗為：2.14.若三點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)是的重心，則的最大值是____________.〖答案〗10〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，不妨設(shè)，則，所以，又，所以當(dāng)，即點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，取得最大值10.故〖答案〗為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.2024年3月28日，小米SU7汽車上市，24小時(shí)預(yù)定88898臺(tái).小米集團(tuán)為了了解小米手機(jī)用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲是否有關(guān)，隨機(jī)抽取了200名小米手機(jī)用戶進(jìn)行調(diào)查，得到下表.已訂購小米SU7未訂購小米SU7總計(jì)是小米粉絲80非小米粉絲4080總計(jì)（1）補(bǔ)全表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否能夠認(rèn)為小米手機(jī)用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲有關(guān)?（2）小米集團(tuán)打算從已訂購小米SU7的用戶中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式抽取6人，再從這6人中抽取3人聽取建議，求這3人中恰有2人是小米粉絲的概率.附:，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.828解：（1）已訂購小米SU7未訂購小米SU7總計(jì)是小米粉絲8040120非小米粉絲404080總計(jì)12080200零假設(shè)為:小米手機(jī)用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲沒有關(guān)聯(lián)，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即能夠認(rèn)為小米手機(jī)用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲沒有關(guān)聯(lián)；（2）從已訂購小米SU7的用戶中按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式抽取6人，其中小米粉絲有人，非小米粉絲有人.設(shè)3人中恰有2人是小米粉絲為事件，則．16.如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)，是棱AB上的一點(diǎn)，且.（1）求證:;（2）若直線MN與平面MBC所成角的正弦值是，求點(diǎn)的位置.解：（1）因，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面平面，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，故兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，所以，因?yàn)樗裕?；?）由（1），得設(shè)為平面的法向量，則，令，得，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，因?yàn)椋?，即是棱PD的中點(diǎn).17.為了迎接即將到來的生物實(shí)驗(yàn)操作考試，小李同學(xué)每天都要去實(shí)驗(yàn)室做兩次實(shí)驗(yàn).某天，他來到實(shí)驗(yàn)室，決定做實(shí)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)，已知小李同學(xué)做實(shí)驗(yàn)成功的概率為，做實(shí)驗(yàn)成功的概率為，假設(shè)每次做實(shí)驗(yàn)是否成功相互獨(dú)立.（1）小李每次都隨機(jī)等可能的從實(shí)驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)中選擇一個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行操作，求他兩次實(shí)驗(yàn)恰好成功一次的概率；（2）小李同學(xué)決定進(jìn)行2次實(shí)驗(yàn)操作，有以下兩種方案，方案一:第一次實(shí)驗(yàn)，小李隨機(jī)等可能的選擇實(shí)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)中的一種，若第一次實(shí)驗(yàn)成功，則第二次繼續(xù)做第一次的實(shí)驗(yàn)，若第一次實(shí)驗(yàn)不成功，則第二次做另一個(gè)實(shí)驗(yàn)；方案二:第一次實(shí)驗(yàn)，小李隨機(jī)等可能的選擇實(shí)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)中的一種，無論第一次實(shí)驗(yàn)是否成功，第二次都繼續(xù)做第一次的實(shí)驗(yàn).若方案選擇以及實(shí)驗(yàn)操作互不影響，以實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)的期望值作為決策依據(jù)，你認(rèn)為哪個(gè)方案更好?解：（1）記選擇實(shí)驗(yàn)為事件，選擇實(shí)驗(yàn)為事件，實(shí)驗(yàn)成功為事件，則所以.所以兩次實(shí)驗(yàn)恰好成功一次的概率.（2）記和分別是方案一與方案二中實(shí)驗(yàn)成功的次數(shù)，則、的取值均為，，，所以，，，所以.，，，所以.因?yàn)?，所以方案一略?18.已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是上異于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為，且.（1）求雙曲線的方程;（2）已知過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)（異于A，B），直線與直線交于點(diǎn).求證:點(diǎn)在定直線上.解：（1）由題意可知，因?yàn)椋?設(shè)，則，所以，又，所以.所以雙曲線的方程為.（2）若直線的斜率為，則直線與雙曲線交于點(diǎn)，與條件矛盾，所以直線的斜率不能為0，設(shè)的方程為.聯(lián)立，化簡(jiǎn)得所以，所以，，直線AD的方程為，直線BE的方程為.聯(lián)立直線AD與BE的方程，得，所以，所以，所以.所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)始終為1，故點(diǎn)在定直線上.19.我們學(xué)過二項(xiàng)分布，超幾何分布，正態(tài)分布等概率分布模型.概率論中還有一種離散概率分布，設(shè)一組獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，將試驗(yàn)進(jìn)行至事件發(fā)生次為止，用表示試驗(yàn)次數(shù)，則服從負(fù)二項(xiàng)分布（也稱帕斯卡分布），記作.為改善人口結(jié)構(gòu)，落實(shí)積極應(yīng)對(duì)人口老齡化國(guó)家戰(zhàn)略，保持中國(guó)的人口資源優(yōu)勢(shì)，我國(guó)自2021年5月31日起實(shí)施三胎政策.政策實(shí)施以來，某市的人口出生率得到了一定程度的提高，某機(jī)構(gòu)對(duì)該市家庭進(jìn)行調(diào)查，抽取到第2個(gè)三胎家庭就停止抽取，記抽取的家庭數(shù)為隨機(jī)變量，且該市隨機(jī)抽取一戶是三胎家庭的概率為.（1）求;（2）若抽取的家庭數(shù)不超過的概率不小于，求整數(shù)的最小值.解：（1）.（2）因?yàn)?所以抽取家庭數(shù)不超過的概率為，即，，兩式相減，得所以.由，得，令，則.，所以，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，因?yàn)?，所以整?shù)的最小值是7.山西省運(yùn)城市三晉卓越聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題考生注意:1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將〖答案〗答在答題卡上.選擇題每小題選出〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑;非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色黑水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍:人教版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè)，選擇性必修第三冊(cè).一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知隨機(jī)變量X的分布列為51015則（）A. B. C. D.或〖答案〗C〖解析〗由分布列的性質(zhì)，得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，不符合分布列的性質(zhì)，所以.故選：C.2.已知隨機(jī)變量，且，則（）A.0.4 B.0.3 C.0.2 D.0.1〖答案〗D〖解析〗由，得.故選：D3.已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則展開式中的系數(shù)為（）A.－32 B.32. C.－16 D.16〖答案〗C〖解析〗的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，所以，所以的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開式中的系數(shù)為.故選：C.4.已知變量與的數(shù)據(jù)如下表所示，若關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是，則表中（）1234510111315A.11 B.12 C.12.5 D.13〖答案〗A〖解析〗，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸方程經(jīng)過樣本中心，所以，解得故選：A.5.已知隨機(jī)變量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗隨機(jī)變量，則有，由，解得，所以.故選：.6.已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若的最大值為8，則的離心率為（）.A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由橢圓的定義，可知，所以當(dāng)最小時(shí)，最大，由橢圓的性質(zhì)得，過橢圓焦點(diǎn)的弦中垂直于長(zhǎng)軸的弦最短，當(dāng)直線AB垂直于軸時(shí)，取得最小值，此時(shí)，由解得，此時(shí)的離心率.故選：A.7.已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，，因?yàn)閷?duì)恒成立，所以，所以的最小值是1.故選：B.8.將7名身高不同的學(xué)生從左往右排成一列，記第名學(xué)生的身高為，當(dāng)時(shí)，由于學(xué)生的身高變化像字母，所以也叫“數(shù)列”，則滿足條件的“數(shù)列”共有（）A.61個(gè) B.65個(gè) C.68個(gè) D.71個(gè)〖答案〗D〖解析〗記這7名學(xué)生的身高由低到高分別為數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，因?yàn)槎急却?，所以只能為，?當(dāng)時(shí)，有種選法，剩余數(shù)字中的最大值作為，所以有種選法，剩下一個(gè)數(shù)作為，共有個(gè)“數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，有種選法，剩余數(shù)字中的最大值作為，剩余兩個(gè)數(shù)排，有種選法，共有個(gè)“數(shù)列”；當(dāng)時(shí)，，從4，5，6，7中選2個(gè)數(shù)作為有種選法，剩余2個(gè)數(shù)為，共有6個(gè)“數(shù)列”.綜上所述，滿足條件的“數(shù)列”共有個(gè).故選：D.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，則（）A.公差 B. C. D.時(shí)，最小〖答案〗AD〖解析〗是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)公差為，，即，得，所以，即，有，因?yàn)?，所以，所以，故A正確，B錯(cuò)誤；，故錯(cuò)誤；時(shí)，時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故D正確.故選：AD10.某學(xué)校為迎接校園藝術(shù)節(jié)的到來，決定舉行文藝晚會(huì)，節(jié)目單中有共7個(gè)節(jié)目，則下列結(jié)論正確的是（）A.若節(jié)目與節(jié)目相鄰，則共有1440種不同的安排方法B.若節(jié)目與節(jié)目不相鄰，則共有3600種不同的安排方法C.若節(jié)目在節(jié)目之前表演（可以不相鄰），則共有2520種不同的安排方法D.若決定在已經(jīng)排好的節(jié)目單中臨時(shí)添加3個(gè)節(jié)目，現(xiàn)有節(jié)目次序不變，則共有336種不同的安排方法〖答案〗ABC〖解析〗若節(jié)目與節(jié)目相鄰，共有種不同的安排方法，故正確；若節(jié)目與節(jié)目不相鄰，共有種不同安排方法，故B正確；因?yàn)楣?jié)目在節(jié)目之前表演與節(jié)目在節(jié)目之前表演的情況是一樣的，所以共有種不同的安排方法，故C正確；添加第一個(gè)節(jié)目有8種情況，添加第二個(gè)節(jié)目有9種情況，添加第三個(gè)節(jié)目有10種情況，共有種不同的安排方法，故D錯(cuò)誤.故選：.11.若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A.7 B. C.8 D.9〖答案〗CD〖解析〗由題意可知：，可得，因?yàn)?，可變形為，令，可得，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.令，則，當(dāng)時(shí)，，所以是方程的一個(gè)正實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，令且1，可得，則，兩式相減可得，兩式相加可得，則，整理得，令，可得，即關(guān)于的方程在內(nèi)有實(shí)根，令，則在內(nèi)恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，可知函數(shù)與在內(nèi)有交點(diǎn)，由圖象可知，即，可得，則，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，對(duì)比選項(xiàng)可知：AB錯(cuò)誤，CD正確.故選：CD.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨著夏季的來臨，遮陽帽開始暢銷，某商家為了解某種遮陽帽如何定價(jià)才可以獲得最大利潤(rùn)，現(xiàn)對(duì)這種遮陽帽進(jìn)行試銷售，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)銷售量（單位:頂）與單價(jià)（單位:元）具有線性相關(guān)關(guān)系，且線性回歸方程為，若想要銷售量為80頂，則預(yù)計(jì)該遮陽帽的單價(jià)定為_____________元.〖答案〗40〖解析〗若銷售量為80頂，則，解得，所以預(yù)計(jì)單價(jià)應(yīng)定為40元.故〖答案〗為：4013.已知函數(shù)，點(diǎn)A是的圖象上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A且垂直于軸的直線交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，過點(diǎn)A且垂直于軸的直線交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，則的面積的最小值是_____________.〖答案〗2〖解析〗由題意可知，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象上方，不妨設(shè)，則，則，所以的面積，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以的面積的最小值為.故〖答案〗為：2.14.若三點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)是的重心，則的最大值是____________.〖答案〗10〖解析〗拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，不妨設(shè)，則，所以，又，所以當(dāng)，即點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，取得最大值10.故〖答案〗為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.2024年3月28日，小米SU7汽車上市，24小時(shí)預(yù)定88898臺(tái).小米集團(tuán)為了了解小米手機(jī)用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲是否有關(guān)，隨機(jī)抽取了200名小米手機(jī)用戶進(jìn)行調(diào)查，得到下表.已訂購小米SU7未訂購小米SU7總計(jì)是小米粉絲80非小米粉絲4080總計(jì)（1）補(bǔ)全表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否能夠認(rèn)為小米手機(jī)用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲有關(guān)?（2）小米集團(tuán)打算從已訂購小米SU7的用戶中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式抽取6人，再從這6人中抽取3人聽取建議，求這3人中恰有2人是小米粉絲的概率.附:，其中.0.0100.0050.0016.6357.87910.828解：（1）已訂購小米SU7未訂購小米SU7總計(jì)是小米粉絲8040120非小米粉絲404080總計(jì)12080200零假設(shè)為:小米手機(jī)用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲沒有關(guān)聯(lián)，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即能夠認(rèn)為小米手機(jī)用戶訂購小米SU7的意愿與用戶是小米粉絲沒有關(guān)聯(lián)；（2）從已訂購小米SU7的用戶中按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式抽取6人，其中小米粉絲有人，非小米粉絲有人.設(shè)3人中恰有2人是小米粉絲為事件，則．16.如圖，四棱錐的底面是矩形，平面平面ABCD，M是棱PD上的動(dòng)點(diǎn)，是棱AB上的一點(diǎn)，且.（1）求證:;（2）若直線MN與平面MBC所成角的正弦值是，求點(diǎn)的位置.解：（1）因，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面平面，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?，故兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，所以，因?yàn)樗?，即；?）由（1），得設(shè)為平面的法向量，則，令，得，所以.設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，因?yàn)?，所以，即是棱PD的中點(diǎn).17.為了迎接即將到來的生物實(shí)驗(yàn)操作考試，小李同學(xué)每天都要去實(shí)驗(yàn)室做兩次實(shí)驗(yàn).某天，他來到實(shí)驗(yàn)室，決定做實(shí)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)，已知小李同學(xué)做實(shí)驗(yàn)成功的概率為，做實(shí)驗(yàn)成功的概率為，假設(shè)每次做實(shí)驗(yàn)是否成功相互獨(dú)立.（1）小李每次都隨機(jī)等可能的從實(shí)驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)中選擇一個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行操作，求他兩次實(shí)驗(yàn)恰好成功一次的概率；（2）