公路交通工程導論 課件 第4章 道路交通流理論

第四章交通流理論

概述交通流的統(tǒng)計分布特性排隊論的應用跟馳理論簡介流體力學理論

作為交通工程學理論基礎的交通流理論是運用物理和數(shù)學的方法來描述交通特性的一門邊緣科學，它用分析的方法闡述交通現(xiàn)象及其機理，使我們能更好地理解交通現(xiàn)象及其本質，并使城市道路與公路的規(guī)劃設計和營運管理發(fā)揮最大的功效。4.1概述交通流理論是發(fā)展中的科學，有很多理論在探討各種交通現(xiàn)象：交通流量、速度和密度的相互關系及量測方法；（第二章內(nèi)容）交通流的統(tǒng)計分布特性；排隊論的應用；跟馳理論；交通流的流體力學模擬理論；車流波理論。4.2交通流的統(tǒng)計分布特性4.2.1研究目的在建設或改善新交通設施，確定新的交通管理方案時，均需要預測交通流的某些具體特性，并且常希望能用現(xiàn)有的或假設的有限數(shù)據(jù)，作出預報。例如：信號燈配時設計時，需要預報一個信號周期到達的車輛數(shù)；設計行人交通管制系統(tǒng)時，要求預測大于行人穿越時間的車頭時距頻率。研究交通流特性的統(tǒng)計分布的目的是為解決這些問題提供了有效的手段。4.2.2離散型分布1、泊松分布適用條件：車流密度不大，其他外界干擾因素基本上不存在，即車流是隨機的?；竟?式中：P(k)—在計數(shù)間隔t內(nèi)到達k

輛車的概率;

λ

—平均到車率(輛/s)；

t—每個計數(shù)間隔持續(xù)的時間(s)。

令m=λt,則：遞推公式：分布的均值M和方差D都等于m應用舉例例1：設60輛車隨機分布在10km長的道路上，其中任意1km路段上，試求：無車的概率；小于5輛車的概率；不多于5輛車的概率；

6輛及其以上的概率；至少為3輛但不多于6輛的概率；恰好為5輛車的概率。

解：這里t理解為車輛數(shù)的空間間隔，λ為車輛平均分布率，m

為計數(shù)空間間隔內(nèi)的平均車輛數(shù)。

由λ=60/10t=1，因此m=λt=6（輛）這里m即為計數(shù)空間間隔內(nèi)的平均車輛數(shù)。

無車的概率為：小于5輛車的概率為：不多于5輛車的概率為：6輛及其以上的概率為：至少為3輛但不多于6輛的概率為：

恰好為5輛車的概率為：例2：已知某信號燈周期為60s，某一個入口的車流量為240輛/h，車輛到達符合泊松分布，求：在1s、2s、3s內(nèi)無車的概率；求有95%的置信度的每個周期最多來車數(shù)。解：1）1s、2s、3s內(nèi)無車的概率

λ=240/3600（輛/s），當t=1s時，m=λt=0.067

當t=2s時，m=λt=0.133，當t=3s時，m=λt=0.3，2）有95%置信度的每個周期來車數(shù)的含義為：來車數(shù)小于或等于k輛的概率≥95%時的k值，即：，求這時的k

即λ=240/3600（輛/s），當t=60s時，m=λt=4

來車的分布為：求：的k值。設計上具有95%置信度的來車數(shù)不多于8輛。kP(k)P(≤k)kP(k)P(≤k)00.01830.018350.15630.785210.07330.091660.10420.889420.14650.238170.05950.948930.19540.433580.02980.978740.19540.6289適用條件：車輛比較擁擠、自由行駛機會不多的車流，當交通流具有較小的方差時，來車符合二項分布?；竟剑?/p>

式中：

P（k）—在計數(shù)間隔t內(nèi)到達k輛車的概率;

λ—平均到車率（輛/s）；

t—每個計數(shù)間隔持續(xù)的時間（s）；

n—正整數(shù)；

p—二項分布參數(shù)，2、二項分布遞推公式：

均值M和方差D分別為:

M=np

D=np(1-p)例3：在一交叉口，設置左轉彎信號相，經(jīng)研究來車符合二項分布，每一周期平均來車30輛，其中有30%的左轉彎車輛，試求：到達的5輛車中，有2輛左轉彎的概率；到達的5輛車中，少于2輛左轉彎的概率；某一信號周期內(nèi)沒有左轉彎車輛的概率。解：1）由：p=30%，n=5，k=22）由：p=30%，n=5，k=23）由：p=30%，n=30，k=04.2.3連續(xù)性分布1、負指數(shù)分布適用條件:用于描述有充分超車機會的單列車流和密度不大的多列車流的車頭時距分布。負指數(shù)分布常與泊松分布相對應，當來車符合泊松分布時，車頭時距則符合負指數(shù)分布。由公式：可知，當車輛平均到達率為λ時，P(0)為計數(shù)間隔t

內(nèi)無車到達的概率。

可見，在具體的時間間隔

t

內(nèi)，如無車輛到達，則在上一次車和下一次車到達之間車頭時距h至少有t，即h≥t。

或者說：P(0)也就是車頭時距h大于或等于t的概率。對于任意的t

，如果在t內(nèi)沒有車輛到達，上一次車和下一次車到達之間車頭時距必然大于或等于t，即：

式中：λ—車輛平均到達率（輛/s）

P(h≥t)—車頭時距大于或等于t(s)的概率車頭時距小于t(s)的概率，可有下式求得：例4：對于單向平均流量為360輛/h的車流，求車頭時距大于或等于10s的概率。解：車頭時距大于或等于10s的概率也就是10s以內(nèi)無車的概率。

由λ=360/3600=0.1

同樣，車頭時距小于10s的概率為：

由上例可見，設車流的單向流量為Q（輛/h），則λ=Q/3600，于是負指數(shù)公式可改寫成：負指數(shù)分布的均值M和方差D分別為：車頭時距服從負指數(shù)分布的車流特性見圖，曲線是單調(diào)下降的，說明車頭時距愈短，出現(xiàn)的概率愈大。這種情形在不能超車的單列車流中是不可能出現(xiàn)的，因為車輛的車頭與車頭之間至少存在一個車長，所以車頭時距必有一個大于零的最小值τ。適用條件：用于描述不能超車的單列車流的車頭時距分布和車流量低的車流的車頭時距分布。移位負指數(shù)分布公式:分布的均值M和方差D分別為：2、移位負指數(shù)分布移位負指數(shù)分布的局限性：服從移位負指數(shù)分布的車頭時距愈接近τ出現(xiàn)的可能性愈大。這在一般情況下是不符合駕駛員的心理習慣和行車特點的。車頭時距分布的概率密度曲線一般總是先升后降。例5：在一條有隔離帶的雙向四車道道路上，單向流量為360輛/h，該方向路寬7.5m，設行人步行速度為1m/s，求1h中提供給行人安全橫過單向車道的次數(shù)，如果單向流量增加到900輛/h，1h中提供給行人安全橫過單向車道的次數(shù)是增加還是減少。7.5mQ=360輛/h解：行人橫過單向行車道所需要的時間：

t=7.5/1=7.5s

因此，只有當h≥7.5s時，行人才能安全穿越，由于雙車道道路可以充分超車，車頭時距符合負指數(shù)分布，對于任意前后兩輛車而言，車頭時距大于7.5s的概率為：對于Q=360輛/h的車流，1h車頭時距次數(shù)為360，其中h≥7.5s的車頭時距為可以安全橫穿的次數(shù)：

當Q=900輛/h時，車頭時距大于7.5s的概率為：

1h內(nèi)車頭時距次數(shù)為900，其中h≥7.5s的車頭時距為可以安全橫穿的次數(shù)：4.3.1引言排隊論是研究“服務”系統(tǒng)因“需求”擁擠而產(chǎn)生等待行列（即排隊）的現(xiàn)象，以及合理協(xié)調(diào)“需求”與“服務”關系的一種數(shù)學理論，是運籌學中以概率論為基礎的一門重要分支，亦稱隨機服務系統(tǒng)理論。排隊論是20世紀初由丹麥電信工程師歐蘭最先提出，在二戰(zhàn)期間排隊論在戰(zhàn)時后勤保障、軍事運輸?shù)确矫娴玫搅藦V泛應用，發(fā)展成為軍事運籌學的一個重要分支。在交通工程中，排隊論被用來研究車輛延遲、信號配時、收費站和加油站的設計與管理。4.3排隊論的應用4.3.2排隊論的基本原理“排隊”與“排隊系統(tǒng)”

當一隊車輛通過收費站，等待服務（收費）的車輛和正在被服務（收費）的車輛與收費站構成一個“排隊系統(tǒng)”。等候的車輛自行排列成一個等待服務的隊列，這個隊列則稱為“排隊”。排隊系統(tǒng)的三個組成部分:輸入過程：是指各種類型的“顧客(車輛或行人)”按怎樣的規(guī)律到達。輸入方式包括：泊松輸入：顧客到達時距符合負指數(shù)分布。定長輸入：顧客等時距到達愛爾朗輸入：顧客到達時距符合愛爾朗分布。排隊規(guī)則：是指到達的顧客按怎樣的次序接受服務。排隊規(guī)則包括：等待制：顧客到達時，若所有服務臺均被占，該顧客就自動消失，永不再來。損失制：顧客到達時，若所有服務臺被占，他們就排隊等待服務，服務次序有先到先服務和優(yōu)先權服務等多種規(guī)則?；旌现疲侯櫩偷竭_時，若隊伍長小于L，就排入隊伍；若隊伍長等于L，顧客就離去，永不再來。服務方式：指同一時刻多少服務臺可接納顧客，每一顧客服務了多少時間。服務時間分布包括：定長分布：每一顧客的服務時間都相等；負指數(shù)分布：各顧客的服務時間相互獨立，服從相同的負指數(shù)分布；愛爾朗分布：各顧客的服務時間相互獨立，具有相同的愛爾朗分布。為敘述方便，引用下列符號：令M代表泊松輸入或負指數(shù)分布服務，D代表定長輸入或定長服務，Ek代表愛爾朗分布的輸入或服務。于是便有M/M/N，M/D/1等排隊系統(tǒng)。其中，最常見的排隊系統(tǒng)為M/M/1和M/M/N系統(tǒng)。排隊系統(tǒng)的主要數(shù)量指標：等待時間：即從顧客到達時起到他開始接受服務時止這段時間。忙期：即服務臺連續(xù)繁忙的時期，這關系到服務臺的工作強度。隊長：有排隊顧客數(shù)與排隊系統(tǒng)中顧客之分，這是排隊系統(tǒng)提供服務水平的一種衡量指標。4.3.3M/M/1排隊系統(tǒng)M/M/1系統(tǒng)的基本概念：泊松輸入、負指數(shù)分布服務，接受服務的通道只有一條的排隊系統(tǒng)，也叫做“單通道服務”系統(tǒng)。服務（收費站）μ輸出輸入λM/M/1系統(tǒng)主要參數(shù)：設平均到達率為λ，則兩次到達的平均間隔時間（時距）為1/λ；設排隊從單通道接受服務后出來的系統(tǒng)平均服務率（輸出率）為μ，則平均服務時間為1/μ

；比率：

稱為交通強度或利用系數(shù)，由比率ρ即可確定各種狀態(tài)的性質。當比率ρ<1（即λ<μ），且時間充分，每個狀態(tài)都會以非0的概率反復出現(xiàn)；當比率ρ≥1（即λ≥μ），任何狀態(tài)都是不穩(wěn)定的，且排隊會越來越長。要保持穩(wěn)定狀態(tài)，確保單通道排隊消散的條件是ρ<1（即λ<μ）。例如：某高速公路進口收費站平均每10s有一輛車到達，收費站發(fā)放通行卡的時間平均需要8s，即:1/λ=10s；1/μ=8s

如果時間充分，這個收費站不會出現(xiàn)大量阻塞。當比率ρ<1（即λ<μ），系統(tǒng)處以穩(wěn)定狀態(tài)：在系統(tǒng)中沒有顧客的概率為（即沒有接受服務，也沒有排隊）：在系統(tǒng)中有k個顧客的概率為（包括接受服務的顧客與排隊的顧客之和）：在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)為（平均接受服務的顧客與排隊的顧客之和）：系統(tǒng)中顧客數(shù)的方差：隨著ρ的增大，n增大；當ρ≥0.8以后，n迅速增大，從而使排隊長度快速增加，排隊系統(tǒng)便的不穩(wěn)定，造成系統(tǒng)的服務能力迅速下降。平均排隊長度：

這里是指排隊顧客（車輛）的平均排隊長度，不包括接受服務的顧客（車輛）。平均非零排隊長度：即排隊不計算沒有顧客的時間，僅計算有顧客時的平均排隊長度，即非零排隊。如果把有顧客時計算在內(nèi)，就是前述的平均排隊長度。排隊系統(tǒng)中平均消耗時間：這里是指排隊中消耗時間與接受服務所用時間之和。排隊中的平均等待時間：這里在排隊時平均需要等待的時間，不包括接受服務的時間，等于排隊系統(tǒng)平均消耗時間與平均服務時間之差。共有八個指標。例1：高速公路入口收費站，車輛到達是隨機的，流入量為400輛/h，如果收費工作人員平均能在8s內(nèi)發(fā)放通行卡，符合負指數(shù)分布，求：收費站排隊系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)，平均排隊長度，排隊系統(tǒng)中的平均消耗時間和排隊中的平均等待時間。

解：λ=400/3600（輛/s）,μ=1/8（輛/s）

ρ=λ/μ=0.89<1，排隊系統(tǒng)是穩(wěn)定的。收費站排隊系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)：

平均排隊長度：排隊系統(tǒng)中的平均消耗時間：排隊中的平均等待時間：例2：修建一個服務能力為120輛/h的停車場，布置一條進入停車場的引道，經(jīng)調(diào)查車輛到達率為72輛/h，進入停車場的引道長度能夠容納5輛車，是否合適。解：λ=72（輛/h）,μ=120（輛/h）

ρ=λ/μ=0.6<1，排隊系統(tǒng)是穩(wěn)定的。進入停車場的引道長度能夠容納5輛車,如果系統(tǒng)中的平均車輛數(shù)小于5輛車則是合適的，否則，準備停放的車輛必然影響交通。

驗證系統(tǒng)中平均車輛數(shù)超過5輛車的概率P(＞5)，如果P(＞5)很小，則得到“合適”的結論正確。由：驗證結果表明：系統(tǒng)中平均車輛數(shù)超過5輛車的概率P(＞5)不足5%，概率很小，進入停車場的引道長度是合適的。4.3.4M/M/N排隊系統(tǒng)簡介（多通道服務系統(tǒng)）一般收費站屬于多路排隊多通道服務的M/M/N系統(tǒng)，如果總流入量為Q，可以假設每個收費站的流入量為Q/N，就可以按照M/M/1系統(tǒng)計算。服務收費站1μ輸出輸入λM/M/1系統(tǒng)服務收費站Nμ輸出輸入λM/M/1系統(tǒng)N

單路排隊多通道服務的M/M/N排隊系統(tǒng)如下：從服務效率分析這種排隊系統(tǒng)的效率較高，但用于收費站顯然是不合適的（這一系統(tǒng)同樣有一整套計算公式）。輸入λ服務1μ輸出服務Nμ輸出N

4.4.1引言跟馳理論是運用動力學方法，研究在無法超車的單一車道上車輛列隊行駛時，后車跟隨前車的行駛狀態(tài)，并且借數(shù)學模式表達并加以分析闡明的一種理論。由于有1950年魯契爾的研究和1953年派普斯的研究，跟馳理論的解析方法才告定型。而赫爾曼和羅瑟瑞于1960年在美國通用汽車公司動力實驗室進行的研究為跟馳理論作了進一步的擴充。4.4跟馳理論簡介4.4.2車輛跟馳特性分析在道路上行駛的一隊高密度汽車，車頭間距不大，車隊中任意一輛車的車速都受前車速度的制約，駕駛員只能按前車所提供的信息采用相應的車速，這種狀態(tài)稱為非自由行駛狀態(tài)。跟馳理論只研究非自由行駛狀態(tài)下車隊的特性。非自由行駛狀態(tài)的車隊有以下三個特性：制約性：前車車速制約著后車車速和二車間距。延遲性：感覺、認識、判斷、執(zhí)行階段構成車輛的反應時間，延遲了后車采取措施。傳遞性：前車運行狀態(tài)制約著后車的運行狀態(tài)，并依次向后傳遞。4.4.3線性跟馳模型跟馳模型是一種刺激－反應的表達式。一個駕駛員所接受的刺激是指其前方導引車的加速或減速以及隨之而發(fā)生的這兩車之間的速度差和車間距離的變化；該駕駛員對刺激的反應是指其為了緊密而安全地跟蹤前車的加速或減速動作及其實際效果。假定駕駛員保持他所駕駛車輛與前導車的距離為S(t)，以便在前導車剎車時能使車停下而不致于和前導車尾相撞。設駕駛員的反應時間為T，在反應時間內(nèi)車速不變，這兩輛車在t時刻的相對位置如圖所示，圖中n為前導車，n+1為后隨車。線性跟車模型示意圖兩車在剎車操作后的相對位置如圖所示。

—第i輛車在時刻t的位置；

—兩車在時刻t的間距，且:—后車在反應時間T內(nèi)行駛的距離；

—后隨車在減速期間行駛的距離；

—前導車在減速期間行駛的距離；

—停車后的車頭間距；

—第n+1輛車在時刻t的速度。

假定，要使在時刻t兩車的間距能保證在突然剎車事件中不發(fā)生碰撞，則應有：對t

微分，得:

或式中:為后車在(t+T)時刻的加速度，稱為后車的反應；1/T

稱為敏感度；稱為t時刻的刺激。這樣，上式就可理解為：反應＝敏感度×刺激。上式是在前導車剎車、兩車的減速距離相等以及后車在反應時間T內(nèi)速度不變等假定條件下推導出來的。實際的跟車操作要比這兩條假定所限定的情形復雜得多，例如刺激也可能是有前車加速引起。而兩車得變速過程中行駛的距離可能不相等。為了適應一般得情況，把上式修改為：

式中稱為反映強度系數(shù)，量綱為s-1，這里不再理解為敏感度，而應看成是與駕駛員動作的強弱程度直接相關。它表明后車的反應與前車的刺激成正比，此公式稱為線性跟車模型。4.5.1流體動力學理論建立車流連續(xù)性方程的建立設車流順次通過斷面Ⅰ和Ⅱ的時間間隔為△t，兩斷面的間距為△x。車流在斷面Ⅰ的流入量為Q、密度為K；同時，車流在斷面Ⅱ的流出量為：(Q+△q)，(K-△K)，其中：△K的前面加一負號，表示在擁擠狀態(tài)，車流密度隨車流量增加而減小。ⅠⅡ△

x

△tQ

KQ+△Q

K-△K

KQ(K,Q)(K-△K,Q+△Q

)4.5流體力學理論根據(jù)物質守恒定律，在△t時間內(nèi)：流入量-流出量=△x內(nèi)車輛數(shù)的變化，即：

[Q-(Q+△Q)]△t=[K-(K-△K)]△x

或：，取極限可得：含義為：當車流量隨距離而降低時，車輛密度隨時間而增大。1）車流波及波速：

列隊行駛的車輛在信號交叉口遇到紅燈后，即陸續(xù)停車排隊而集結成密度高的隊列；當綠燈開啟后，排隊的車輛又陸續(xù)起動疏散成一列具有適當密度的隊列。車流中兩種不同密度部分的分界面掠過一輛輛車向車隊后部傳播的現(xiàn)象，稱為車流的波動。此車流波動沿道路移動的速度稱為波速。4.5.2車流波動理論2）公式的推導：假設一條公路上由兩個相鄰的不同交通流密度區(qū)域（K1和K2）用垂線S分割這兩種密度，稱S為波陣面，設S的速度為w（w為垂線S相對于路面的絕對速度），并規(guī)定垂線S的速度w沿車流運行方向為正。由流量守恒可知，在t時間內(nèi)由A進入S面的車輛數(shù)等于由S面駛入B的車輛數(shù)，即：式中:(V1-w)、(V2-w)分別為車輛進出S面前后相對于S面的速度。V1=100km/hK1=10輛/kmV2=80km/hK2=14輛/km

車頭間距71mwwK1V1K2V2ABSS

由：規(guī)定：當K2<K1，密度降低，產(chǎn)生的w為消散波；當K2>K1，密度增加，產(chǎn)生的w為集結波。3）車流波動狀態(tài)討論

當Q2<Q1

、K2<K1時，產(chǎn)生一個消散波，w為正值，消散波在波動產(chǎn)生的那一點，沿著與車流相同的方向，以相對路面為w的速度移動。KQ(K1,Q1)(K2,Q2)

當Q2>Q1

、K2>K1時，產(chǎn)生一個集結波，w為正值，集結波在波動產(chǎn)生的那一點，沿著與車流相同的方向，以相對路面為w的速度移動。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)

當Q2<Q1

、K2>K1時，產(chǎn)生一個集結波，w為負值，集結波在波動產(chǎn)生的那一點，沿著與車流相反的方向，以相對路面為w的速度移動。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)

當Q2>Q1

、K2<K1時，產(chǎn)生一個消散波，w為負值，集結波在波動產(chǎn)生的那一點，沿著與車流相反的方向，以相對路面為w的速度移動。KQ(K1,Q1)(K2,Q2)

當Q2=Q1

、K2>K1時，產(chǎn)生一個集結波，w=0，集結波在波動產(chǎn)生的那一點原地集結。KQ(K1,Q1)(K2,Q2)

當Q2=Q1

、K2<K1時，產(chǎn)生一個消散波，w=0，消散波在波動產(chǎn)生的那一點原地消散。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)4.5.3車流波動理論的應用例：道路上的車流量為720輛/h，車速為60km/h，今有一輛超限汽車以30km/h的速度進入交通流并行駛5km后離去，由于無法超車，就在該超限車后形成一低速車隊，密度為40輛/km，該超限車離去后，受到擁擠低速車隊以車速50km/h，密度為25輛/km的車流疏散，計算：

(1)擁擠消散時間ts；(2)擁擠持續(xù)時間tj；(3)最大排隊長度；(4)排隊最長時的排隊車輛數(shù)；(5)參與過排隊的車輛總數(shù)。

解：三種狀態(tài)的Q、K、V分別如圖所示：超限車進入后，車流由狀態(tài)變Ⅰ為狀態(tài)Ⅱ

，將產(chǎn)生一個集結波：（注意集結波的方向?。?kmQ1=720V1=60K1=12Q2=1200V2=30K2=40Q3=1250V3=50K3=25w1w2ⅠⅡⅢ

超限車插入后，領頭超限車的速度為30km/h，集結波由超限車進入點以w1=17.14km/h的速度沿車流方向運動。如果這種狀況持續(xù)1h，1h后跟在超限車后的低速車隊長度為：30-17.14=12.86km。但超限車行駛5km后離去，超限車行駛5km所用集結時間為：ta=5/30=0.167h，在超限車駛離時刻超限車后的低速車隊長度應為：5-w1ta=2.14km。5kmw1w1ta5-w1ta=2.14km

超限車離去后，車流由狀態(tài)Ⅱ變?yōu)闋顟B(tài)Ⅲ，