高中數(shù)學 2.2 第2課時 反證法練習 新人教B版選修1-2

【成才之路】-學年高中數(shù)學2.2第2課時反證法練習新人教B版選修1-2一、選擇題1．反證法是()A．從結(jié)論的反面出發(fā)，推出矛盾的證法B．對其否命題的證明C．對其逆命題的證明D．分析法的證明方法[答案]A[解析]反證法是先否定結(jié)論，在此基礎(chǔ)上，運用演繹推理，導出矛盾，從而肯定結(jié)論的真實性．2．(～學年度河南新野高二階段測試)用反證法證明“a＋b＋c>3，則a、b、c中至少有一個大于1”時，“假設(shè)”應(yīng)為()A．假設(shè)a、b、c中至少有一個小于1B．假設(shè)a、b、c中都小于等于1C．假設(shè)a、b、c至少有兩個大于1D．假設(shè)a、b、c都小于1[答案]B[解析]“至少有一個”的反面是“一個也沒有”，故“a、b、c中至少有一個大于1”的反面是“a、b、c中都小于等于1.”3．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導過程中要把下列哪些作為條件使用()①結(jié)論相反判斷，即假設(shè)；②原命題的條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③[答案]C[解析]由反證法的定義可知為①②③.4．“M不是N的子集”的充分必要條件是()A．若x∈M則x?NB．若x∈N則x∈MC．存在x1∈M?x1∈N，又存在x2∈M?x2?ND．存在x0∈M?x0?N[答案]D[解析]按定義，若M是N的子集，則集合M的任一個元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M但x0?N.選D.5．(·山東文)用反證法證明命題：“設(shè)a、b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根[答案]A[解析]“至少有一個”的反面是“一個也沒有”，故選A.6．用反證法證明命題“a、b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一個是5的倍數(shù)”時，反設(shè)正確的是()A．a(chǎn)、b都是5的倍數(shù)B．a(chǎn)、b都不是5的倍數(shù)C．a(chǎn)不是5的倍數(shù)D．a(chǎn)、b中有一個是5的倍數(shù)[答案]B[解析]“至少有一個”的反面為“一個也沒有”，即“都不是”．二、填空題7．“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)是________．[答案]存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角[解析]“任何三角形”的否定是“存在一個三角形”，“至少有兩個”的否定是“最多有一個”．8．設(shè)正實數(shù)a、b、c滿足a＋b＋c＝1，則a、b、c中至少有一個數(shù)不小于________．[答案]eq\f(1,3)[解析]假設(shè)a、b、c都小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c<1，“假設(shè)錯誤，故a、b、c中至少有一個數(shù)不小于eq\f(1,3).”三、解答題9．求證：當x2＋bx＋c2＝0有兩個不相等的非零實數(shù)根時，bc≠0.[證明]假設(shè)bc＝0，則有三種情況出現(xiàn)：(1)若b＝0，c＝0，方程變?yōu)閤2＝0；x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的根，這與已知方程有兩個不相等的實根矛盾．(2)若b＝0，c≠0，方程變?yōu)閤2＋c2＝0，但當c≠0時x2＋c2≠0與x2＋c2＝0矛盾．(3)若b≠0，c＝0，方程變?yōu)閤2＋bx＝0，方程的根為x1＝0，x2＝－b，這與已知條件：方程有兩個非零實根矛盾．綜上所述，bc≠0.一、選擇題1．設(shè)a、b∈(0，＋∞)，則a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,a)()A．都不大于2 B．都不小于2C．至少有一個不大于2 D．至少有一個不小于2[答案]D[解析]假設(shè)a＋eq\f(1,b)<2，b＋eq\f(1,a)<2，則(a＋eq\f(1,b))＋(b＋eq\f(1,a))<4①.又a、b∈(0，＋∞)，所以a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,a)＝(a＋eq\f(1,a))＋(b＋eq\f(1,b))≥2＋2＝4，這與①式相矛盾，故假設(shè)不成立，即a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,a)至少有一個不小于2.2．已知x>0，y>0，x＋y≤4，則有()A.eq\f(1,x＋y)≤eq\f(1,4) B.eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥1C.eq\r(xy)≥2 D.eq\f(1,xy)≥1[答案]B[解析]由x>0，y>0，x＋y≤4得eq\f(1,x＋y)≥eq\f(1,4)，A錯；x＋y≥2eq\r(xy)，∴eq\r(xy)≤2，C錯；xy≤4，∴eq\f(1,xy)≥eq\f(1,4)，D錯．3．已知數(shù)列{an}、{bn}的通項公式分別為：an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常數(shù))，且a>b，那么兩個數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項的個數(shù)是()A．0個 B．1個C．2個 D．無窮多個[答案]A[解析]假設(shè)存在序號和數(shù)值均相等的兩項，即存在n，使得an＝bn，但若a>b，n∈N*，恒有a·n>b·n，從而an＋2>bn＋1恒成立．∴不存在n，使得an＝bn.故應(yīng)選A.4．如果兩個數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)()A．一個是正數(shù)，一個是負數(shù)B．兩個都是正數(shù)C．至少有一個是正數(shù)D．兩個都是負數(shù)[答案]C[解析]假設(shè)兩個都是負數(shù)，其和必為負數(shù)．二、填空題5．(～學年度濰坊高二檢測)△ABC中，若AB＝AC，P是△ABC內(nèi)的一點，∠APB>∠APC，求證：∠BAP<∠CAP.用反證法證明時的假設(shè)為________________________________________．[答案]∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP[解析]反證法對結(jié)論的否定是全面否定，∠BAP<∠CAP的對立面是∠BAP＝∠CAP或∠BAP>∠CAP.6．設(shè)a、b是兩個實數(shù)，給出下列條件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a、b中至少有一個大于1”的條件是________(填序號)．[答案]③[解析]若a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b>1，但a<1，b<1，故①不能推出．若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出．若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出．對于③即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1.反證法：假設(shè)a≤1且b≤1.則a＋b≤2與a＋b>2矛盾．因此假設(shè)不成立，故a，b中至少有一個大于1.三、解答題7．已知：非實數(shù)a，b，c構(gòu)成公差不為0的等差數(shù)列，求證：eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不可能成等差數(shù)列．[證明]假設(shè)eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列．則eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c).∴2ac＝bc＋ab 又a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c ②∴把②代入①得2ac＝b(a＋c)＝b·2∴b2＝ac. ③由②平方4b2＝(a＋c)2.把③代入4ac＝(a＋c)2，∴(a－c)2＝0.∴a＝c代入②得b＝a，∴a＝b＝c.∴公差為0，這與已知矛盾．∴eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)不可能成等差數(shù)列．8．已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a、b、c、d中至少有一個是負數(shù)．[證明]假設(shè)a、b、c、d都是非負數(shù)．∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1.又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc>ac＋bd.∴ac＋bd<1.這與已知ac＋bd>1矛盾，∴a，b，c，d中至少有一個是負數(shù)．9．已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\