四川省2025屆高三上學(xué)期入學(xué)摸底考試 數(shù)學(xué)試題含答案

四川省2025屆新高三秋季入學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷試卷共4頁(yè)，19小題，滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1．的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，則（）A． B．1 C．0 D．3．，則（）A． B． C． D．4．函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知某地區(qū)高考二檢數(shù)學(xué)共有8000名考生參與，且二檢的數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布，若成績(jī)?cè)?0分以下的有1500人，則可以估計(jì)（

）A． B． C． D．6．定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個(gè)集合的交集為空集時(shí)，稱(chēng)為不交）的非空真子集且，那么稱(chēng)子集族構(gòu)成集合的一個(gè)劃分.已知集合，則集合的所有劃分的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．14 D．167．已知圓臺(tái)的上?下底面的面積分別為，側(cè)面積為，則該圓臺(tái)外接球的球心到上底面的距離為（

）A． B． C． D．8．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為1，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn)與軸分別交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．與有相同的最小值C．直線(xiàn)為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸D．將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像10．已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A．B．在上單調(diào)遞增C．的極小值為D．方程有3個(gè)不等的實(shí)根11．已知正方體的體積為8，線(xiàn)段的中點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)在下底面內(nèi)（含邊界），動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上，且，則（

）A．三棱錐的體積為定值B．動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C．不存在點(diǎn)，使得平面D．四面體DEFG體積的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．已知向量，若，則.13．已知一組數(shù)據(jù)：的平均數(shù)為6，則該組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為.14．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在以為圓心?為半徑的圓上，且直線(xiàn)與圓相切，若直線(xiàn)與的一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)，且，則的離心率為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15．已知中，角所對(duì)的邊分別為，其中.(1)求的值；(2)若的面積為3，周長(zhǎng)為6，求的值.16．如圖，在四棱錐中，底面為正方形、平面分別為棱的中點(diǎn)(1)證明：平面;(2)若，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值17．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.(1)求的方程；(2)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，若直線(xiàn)與相切，且，求的值.18．已知函數(shù).(1)若，求曲線(xiàn)y=fx在x=1處的切線(xiàn)方程；(2)若x>0時(shí)，求的取值范圍；(3)若，證明：當(dāng)時(shí)，.19．已知首項(xiàng)為1的數(shù)列滿(mǎn)足.(1)若，在所有中隨機(jī)抽取2個(gè)數(shù)列，記滿(mǎn)足的數(shù)列的個(gè)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足：若存在，則存在且，使得.（i）若，證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和；（ii）在所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列中，求使得成立的的最小值.1．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)得，再根據(jù)虛部的定義即可求解．【詳解】，則所求虛部為.故選：A．2．C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】由可得：，所以，故選：C3．D【分析】利用誘導(dǎo)公式對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用進(jìn)行求解即可.【詳解】由，則，因此可得，故選：D.4．B【分析】對(duì)分段函數(shù)中的每一段的函數(shù)分別探究其單調(diào)性情況，再進(jìn)行綜合考慮即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故此時(shí)函數(shù)有一個(gè)極小值點(diǎn)為2；當(dāng)時(shí)，，因恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知0不是函數(shù)的極值點(diǎn).綜上，函數(shù)的極值點(diǎn)只有1個(gè).故選：B.5．B【分析】解法一，求出，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，即可求得答案；解法二，求出數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至95分的人數(shù)，由對(duì)稱(chēng)性，再求出數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分至110分的人數(shù)，即可求得答案.【詳解】解法一：依題意，得，故；解法二：數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至95分的有人，由對(duì)稱(chēng)性，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5分至110分的也有2500人，故.故選：B.6．B【分析】解二次不等式得到集合，由子集族的定義對(duì)集合進(jìn)行劃分，即可得到所有劃分的個(gè)數(shù).【詳解】依題意，，的2劃分為，共3個(gè)，的3劃分為，共1個(gè)，故集合的所有劃分的個(gè)數(shù)為4.故選：B.7．C【分析】由圓臺(tái)的側(cè)面積公式求出母線(xiàn)長(zhǎng)，再由勾股定理得到高即可計(jì)算；【詳解】依題意，記圓臺(tái)的上?下底面半徑分別為，則，則，設(shè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)為，則，解得，則圓臺(tái)的高，記外接球球心到上底面的距離為，則，解得.故選：C.8．C【分析】通過(guò)聯(lián)立方程組的方法求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算求得.【詳解】依題意，拋物線(xiàn)，即，則，設(shè)，直線(xiàn)，聯(lián)立得，則.而直線(xiàn)，即，令，則，即，令，則，故，則，故.故選：C

【點(diǎn)睛】求解拋物線(xiàn)的切線(xiàn)方程，可以聯(lián)立切線(xiàn)的方程和拋物線(xiàn)的方程，然后利用判別式來(lái)求解，也可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行求解.求解拋物線(xiàn)與直線(xiàn)有關(guān)問(wèn)題，可以利用聯(lián)立方程組的方法來(lái)求得公共點(diǎn)的坐標(biāo).9．ABD【分析】對(duì)于A：根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)解析式可得與的最小值；對(duì)于C：代入求，結(jié)合最值與對(duì)稱(chēng)性分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)三角函數(shù)圖象變換結(jié)合誘導(dǎo)公式分析判斷.【詳解】因?yàn)椋瑢?duì)于選項(xiàng)A：的最小正周期，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：與的最小值均為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可知直線(xiàn)不為圖象的對(duì)稱(chēng)軸，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，故D正確.故選：ABD.10．BD【分析】利用導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，A說(shuō)法錯(cuò)誤；令解得或，令解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，B說(shuō)法正確；的極大值點(diǎn)為，極大值，極小值點(diǎn)為，極小值，C說(shuō)法錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以方程有3個(gè)不等的實(shí)根，分別在，和中，D說(shuō)法正確；故選：BD11．ACD【分析】對(duì)于A，由題意可證平面，因此點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，其為定值，據(jù)此判斷A；對(duì)于B，根據(jù)題意求出正方體邊長(zhǎng)及的長(zhǎng)，由此可知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；對(duì)于C，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的方向向量，假設(shè)平面，則平面的法向量和的方向向量共線(xiàn)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再判斷點(diǎn)是否滿(mǎn)足B中的軌跡即可；對(duì)于D，利用空間直角坐標(biāo)系求出點(diǎn)到平面的距離，求出距離的最大值即可.【詳解】對(duì)于A，如圖，連接、，依題意，，而平面平面，故平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，其為定值，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱維的體積為定值，故正確；對(duì)于B，因?yàn)檎襟w的體積為8，故，則，而，故，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在底面內(nèi)的部分，即四分之一圓弧，故所求軌跡長(zhǎng)度為，故B錯(cuò)誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)n=x,y,z為平面的法向量，則故令，故為平面的一個(gè)法向量，設(shè)，故，若平面，則，則，解得，但，所以不存在點(diǎn)點(diǎn)，使得平面，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)闉榈妊切?，故，而點(diǎn)到平面的距離，令，則，則，其中，則四面體體積的最大值為，故D正確.故選：ACD.12．【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計(jì)算即得.【詳解】由可得，解得，.故答案為：.13．【分析】由平均數(shù)的定義算出，再由百分位數(shù)的定義即可求解.【詳解】依題意，，解得，將數(shù)據(jù)從小到大排列可得：，又，則分位數(shù)為.故答案為：.14．【分析】由題意可得，由此求出，，即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入，即可得出答案.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，連接，則，故，，設(shè)，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，，故.，將代入中，故，則.故答案為：.

15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，從而求出的值；（2）根據(jù)三角形的面積公式、余弦定理即可求出的值.【詳解】（1）由正弦定理得，因?yàn)?，故可得，則，因?yàn)?，?（2）由題意，故.由余弦定理得，解得.16．(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）由題意易知，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明即可；（2）由題意，兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量,再通過(guò)空間角的向量求解即可.【詳解】（1）分別為的中點(diǎn)為正方形平面平面平面.（2）由題知平面建立如圖所示的空間直角堅(jiān)標(biāo)系，，則,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=則,令則,設(shè)直線(xiàn)與平面所或的角為,，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率定義和橢圓上的點(diǎn)以及的關(guān)系式列出方程組，解之即得；（2）將直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，消元，根據(jù)題意，由推得，又由，寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，與直線(xiàn)聯(lián)立，求得點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，將前式代入化簡(jiǎn)即得.【詳解】（1）設(shè)Fc,0，依題意，解得故的方程為.（2）

如圖，依題意F1,0，聯(lián)立消去，可得，依題意，需使，整理得（*）.因?yàn)?，則直線(xiàn)的斜率為，則其方程為，聯(lián)立解得即故，將（*）代入得，故.18．(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線(xiàn)斜率即可得解；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，得到極值，轉(zhuǎn)化為極大值小于0即可得解；（3）轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值，再由導(dǎo)數(shù)求關(guān)于的函數(shù)的最小值，由不等式的傳遞性可得證.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，又，所以切線(xiàn)方程為.（2），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，又，所以，即，所以的取值范圍為.（3）由可得，即證當(dāng)，時(shí)，，令，則，由可知，，故在上單調(diào)遞減，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，，所以，故?x在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)中，要證明不等式成立，適當(dāng)轉(zhuǎn)化為證明成立，首先關(guān)鍵在于構(gòu)造視為關(guān)于的函數(shù)，由此利用導(dǎo)數(shù)求出，其次關(guān)鍵在于構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.19．(1)分布列見(jiàn)解析，1(2)（i）證明見(jiàn)解析，（ii）1520【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系化簡(jiǎn)可得，或?qū)懗鰯?shù)列的前四項(xiàng)，利用古典概型即可求出分布列及期望；（2）（i）假設(shè)數(shù)列中存在最小的整數(shù)，使得，根據(jù)所給條件可推出存在，使得，矛盾，即可證明；（ii）由題意可確定必為數(shù)列中的項(xiàng)，構(gòu)成新數(shù)列，確定其通項(xiàng)公式及，探求與的關(guān)系得解.【詳解】（1）依題意，，故，即，故，或因?yàn)椋?；則，故的可能取值為，故，故的分布列為012故.（2）（i）證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，或；假設(shè)此時(shí)數(shù)列中存在最小的整數(shù)，使得，則單調(diào)遞增，即均為正數(shù)，且，所以；則存在，使得，此時(shí)與