2022屆新高考一輪復(fù)習(xí)-第三章-函數(shù)的概念及基本初等函數(shù)-第1講-函數(shù)及其表示-導(dǎo)學(xué)案

第三章第三章函數(shù)的概念及根本初等函數(shù)第1講第1講函數(shù)及其表示1．能夠用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用，理解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域．2．理解分段函數(shù)的概念，并能畫出分段函數(shù)圖象．1．函數(shù)概念一般地，設(shè)集合，是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為集合到集合的一個(gè)函數(shù)．2．函數(shù)的三要素在函數(shù)，中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)定義域，與的值相對(duì)應(yīng)的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，值域是集合的子集．3．分段函數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)，對(duì)于定義域的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．4．復(fù)合函數(shù)如果函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋敲串?dāng)時(shí)，稱函數(shù)為與在上的復(fù)合函數(shù)，其中叫做中間變量，叫做內(nèi)層函數(shù)，叫做外層函數(shù)．1．函數(shù)概念辨析【例1】以下圖形中，不可能是函數(shù)圖象的是〔〕A． B． C． D．【變式1．1】設(shè)集合，，那么下面的4個(gè)圖形中，能表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有〔〕A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【例2】以下選項(xiàng)中不是函數(shù)的是〔〕A． B． C． D．【變式2．1】以下各式中是的函數(shù)的解析式有_________個(gè)．①，②，③，④．【變式2．2】如下圖某加油站地下圓柱體儲(chǔ)油罐示意圖，儲(chǔ)油罐長(zhǎng)度為，截面半徑為〔為常量〕，油面高度為，油面寬度為，儲(chǔ)油量為〔為變量〕，那么以下說(shuō)法：①是的函數(shù)，②是的函數(shù)，③是的函數(shù)，④是的函數(shù)．其中正確的個(gè)數(shù)是〔〕A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【例3】存在函數(shù)，對(duì)于任意都成立的以下等式的序號(hào)是_______．①；②；③；④．【變式3．1】〔多項(xiàng)選擇〕存在函數(shù)滿足：對(duì)任意都有〔〕A． B．C． D．1．判斷一個(gè)解析式是否為函數(shù)，可以看其是否符合函數(shù)的定義，對(duì)于任意的一個(gè)自變量，是否都有唯一確定的的值與之對(duì)應(yīng)．2．判斷一個(gè)圖象是否為函數(shù)圖象，同樣得緊扣定義，可以看是否認(rèn)義域范圍內(nèi)都有圖象，然后可以用與軸垂直的直線與這個(gè)圖象是否只有一個(gè)公共點(diǎn)來(lái)判斷．2．同一函數(shù)的判斷【例4】以下函數(shù)中，與函數(shù)是相等函數(shù)的是〔〕A． B． C． D．【變式4．1】〔多項(xiàng)選擇〕以下各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是〔〕A．與 B．與C．與 D．與1．判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，可以看這兩個(gè)函數(shù)的三要素“定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域〞是否相同，只要有一個(gè)不同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)就不是同一函數(shù)．1．具體函數(shù)定義域求解【例5】函數(shù)的定義域是〔〕A． B． C． D．【變式5．1】函數(shù)的定義域?yàn)椤病矨． B． C． D．【變式5．2】函數(shù)的定義域?yàn)開_______________．常見函數(shù)定義域類型=1\*GB3①分式型要滿足；=2\*GB3②根式型要滿足；=3\*GB3③零指數(shù)冪型要滿足；=4\*GB3④對(duì)數(shù)型要滿足；=5\*GB3⑤正切型要滿足，．2．抽象函數(shù)定義域求解【例6】〔1〕的定義域?yàn)椋蠛瘮?shù)的定義域；〔2〕的定義域?yàn)?，求的定義域；〔3〕函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域．【變式6．1】的定義域是，那么的定義域?yàn)椤病矨．， B．，C．， D．，【變式6．2】的定義域是，那么函數(shù)的定義域?yàn)開______，的定義域?yàn)開__________．【變式6．3】假設(shè)函數(shù)的定義域是，那么函數(shù)的定義域?yàn)開__________．抽象函數(shù)定義域的求解抓住兩點(diǎn)即可：=1\*GB3①函數(shù)的定義域指的是自變量的取值范圍；=2\*GB3②相同對(duì)應(yīng)關(guān)系下，括號(hào)內(nèi)代數(shù)式的取值范圍一致．3．函數(shù)定義域求參數(shù)的范圍【例7】假設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋敲础病矨．1 B． C．2 D．無(wú)法確定【變式7．1】假設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．【變式7．2】函數(shù)的定義域?yàn)镽，那么__________．【變式7．3】函數(shù)的定義域?yàn)镽，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是〔〕A． B． C． D．【例8】一次函數(shù)滿足，那么________．【變式8．1】二次函數(shù)滿足，．〔1〕求的解析式；〔2〕求在上的最大值．【例9】函數(shù)，那么__________〔注明定義域〕【變式9．1】假設(shè)，那么有_____________．【變式9．2】，那么函數(shù)_______，_______．【例10】，，那么的解析式為________．【變式10．1】，求的解析式．【變式10．2】函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且．〔1〕求函數(shù)，的解析式；〔2〕假設(shè)對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；求函數(shù)解析式的方法1．待定系數(shù)法本方法適用于函數(shù)類型或根據(jù)題目意思可以確定函數(shù)類型，求解析式時(shí)，可以先設(shè)含待定系數(shù)的對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式，再利用條件建立方程〔組〕，通過(guò)解方程〔組〕求出對(duì)應(yīng)的待定系數(shù)，即解出解析式．2．換元法對(duì)于形如的函數(shù)解析式，令，從中求出，然后代入求出，再將換成，得到的解析式，但要注意新元的取值范圍．3．配湊法由條件，可將改寫成關(guān)于的表達(dá)式，然后以代替，得到的解析式．常見的配湊形式有：=1\*GB3①；=2\*GB3②．4．解方程組法如果對(duì)任意的都有=1\*GB3①因?yàn)榉匠?1\*GB3①對(duì)任意都成立，那么顯然可以將換成得到一個(gè)新的方程=2\*GB3②聯(lián)立方程=1\*GB3①和方程=2\*GB3②可得如下方程組：，解方程組即可得到函數(shù)解析式．1．分段函數(shù)求值【例11】，那么〔〕A．1 B．2 C．3 D．15【變式11．1】函數(shù)，那么_________．2．分段函數(shù)解析式，求參數(shù)值【例12】假設(shè)函數(shù)，滿足，那么的值等于〔〕A．2 B．0 C． D．【變式12．1】，函數(shù)，假設(shè)，那么___________．【變式12．2】函數(shù)，(a>0，a≠1)，假設(shè)，那么___________，___________．3．分段函數(shù)解析式，求復(fù)合函數(shù)的解析式【例13】函數(shù)，那么不等式的解集為〔〕A． B． C． D．【變式13．1】設(shè)函數(shù)，那么滿足的的取值范圍是〔〕A． B． C． D．【變式13．2】函數(shù)，那么不等式的解集為___________．4．分段函數(shù)解析式，解不等式【例14】設(shè)函數(shù)，，求．【變式14．1】假設(shè)函數(shù)，滿足對(duì)于任意的，都有成立，．〔1〕求b的取值范圍；〔2〕當(dāng)b=2時(shí)，寫出f[g(x)]，g[f(x)]的表達(dá)式．一、選擇題．1．以下各圖中，可表示函數(shù)的圖象的只可能是〔〕A． B．C． D．2．以下函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是〔〕A．與 B．與C．與 D．與3．假設(shè)函數(shù)的定義域是，那么函數(shù)的定義域?yàn)椤病矨． B． C． D．4．函數(shù)在定義域上單調(diào)，且，那么的值為〔〕A．3 B．1 C．0 D．5．函數(shù)的定義域?yàn)?，那么的取值范圍是〔〕A． B． C． D．6．函數(shù)，假設(shè)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A． B． C． D．7．〔多項(xiàng)選擇〕以下式子中，能表示是的函數(shù)關(guān)系有〔〕A． B． C． D．二、填空題．8．函數(shù)的定義域?yàn)開_________．9．函數(shù)，那么________．10．函數(shù)，假設(shè)，那么_________．11．假設(shè)函數(shù)對(duì)于一切恒成立，那么求實(shí)數(shù)的取值范圍是．三、解答題．12．求函數(shù)解析式：〔1〕假設(shè)，求；〔2〕假設(shè)，求；〔3〕假設(shè)，求．答案與解析答案與解析【例1】【答案】D【解析】根據(jù)函數(shù)的定義，一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)唯一的函數(shù)值，表現(xiàn)在圖象上，用一條垂直于軸的直線交函數(shù)圖象，至多有一個(gè)交點(diǎn)，所以D不是函數(shù)圖象．應(yīng)選D．【變式1．1】【答案】C【解析】對(duì)于①，函數(shù)圖象不滿足函數(shù)的定義域，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，函數(shù)圖象滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，故正確；對(duì)于③，函數(shù)圖象滿足函數(shù)的定義域以及函數(shù)的值域，故正確；對(duì)于④，函數(shù)圖象不滿足函數(shù)的定義〔任意的，存在唯一實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)〕，故錯(cuò)誤，應(yīng)選C．【例2】【答案】D【解析】A，B，C選項(xiàng)任意的都能找到唯一的值與之對(duì)應(yīng)，所以是函數(shù)，而D選項(xiàng)反例：時(shí)，，因此不是函數(shù)．【變式2．1】【答案】3【解析】對(duì)于①②③，定義域中的任意一個(gè)，都有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng)，滿足函數(shù)定義，對(duì)④，當(dāng)時(shí)，，不滿足函數(shù)定義，故是的函數(shù)的解析式有3個(gè)，故答案為3．【變式2．2】【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以是的函?shù)，故④正確；因?yàn)椋?，?duì)于的每一個(gè)取值，都有2個(gè)與之對(duì)應(yīng)，所以不是的函數(shù)，故③不正確；由知，對(duì)于的每一個(gè)取值，都有2個(gè)與之對(duì)應(yīng)，而對(duì)于的每一個(gè)取值，弓形的面積都有一個(gè)取值與之對(duì)應(yīng)，所以根據(jù)柱體體積公式可知，對(duì)于的每一個(gè)取值，都有2個(gè)與之對(duì)應(yīng)，所以不是的函數(shù)，故②不正確；根據(jù)柱體體積公式可知，對(duì)于每一個(gè)確定的，都有唯一的一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，對(duì)于每一個(gè)確定的，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)，所以是的函數(shù)，故①正確，應(yīng)選B．【例3】【答案】④【解析】①當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，與函數(shù)定義矛盾，不符合；②當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，與函數(shù)定義矛盾，不符合；③當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，與函數(shù)定義矛盾，不符合；④令，所以，令，所以，所以，所以，符合，故答案為④．【變式3．1】【答案】CD【解析】A：取時(shí)，，，取時(shí)，，，故A不正確；B：取時(shí)，，，取時(shí)，，，故B錯(cuò)誤；C：，令，那么，C正確；D：，令，那么，D正確，應(yīng)選CD．【例4】【答案】B【解析】的定義域?yàn)?；?duì)于A，定義域?yàn)?，與定義域不同，不是同一函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，與定義域相同，解析式相同，是同一函數(shù)，B正確；對(duì)于C，定義域?yàn)?，與定義域不同，不是同一函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，與解析式不同，不是同一函數(shù)，D錯(cuò)誤，應(yīng)選B．【變式4．1】【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)B：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域相同對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)C：的定義域?yàn)椋亩x域，定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)D：的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)?，?duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一個(gè)函數(shù)，應(yīng)選AC．【例5】【答案】C【解析】由題意得，解得或，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?，?yīng)選C．【變式5．1】【答案】C【解析】由題意，函數(shù)有意義，那么滿足，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，?yīng)選C．【變式5．2】【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，那么，即，所以，故答案為．【例6】【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕．【解析】〔1〕∵中的的范圍與中的x的取值范圍相同．∴，∴，即的定義域?yàn)椋?〕由題意知中的，∴．又中的取值范圍與中的x的取值范圍相同，∴的定義域?yàn)椋?〕∵函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，∴的定義域?yàn)椋?，即，∴函?shù)的定義域?yàn)椋咀兪?．1】【答案】A【解析】的定義域是，故由可得，解得，，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?，?yīng)選A．【變式6．2】【答案】，【解析】因?yàn)榈亩x域是，所以，那么，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，得，即函?shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧?，．【變?．3】【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，要使函數(shù)有意義，那么且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為．【?】【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，那么的解集為，即，且的根，故．?yīng)選B．【變式7．1】【答案】【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，那么，即，解得，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故答案為．【變式7．2】【答案】【解析】因?yàn)槿我?，根式恒有意義，所以的解集為R，即不等式在R上恒成立．①當(dāng)時(shí)，恒成立，滿足題意；②當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，，故答案為．【變式7．3】【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，等價(jià)于無(wú)解，設(shè)，那么，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，g(x)單調(diào)遞增，，又∵當(dāng)x趨近于時(shí)，趨近于，∴g(x)的取值范圍是，由于無(wú)解，，∴，∴m的取值范圍是，應(yīng)選A．【例8】【答案】【解析】設(shè)，那么由，得，即，故，解得，所以，故答案為．【變式8．1】【答案】〔1〕；〔2〕3．【解析】〔1〕設(shè)，，那么，∴由題，恒成立，∴，，得，，，∴．〔2〕由〔1〕可得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，∴．【例9】【答案】【解析】令，那么，，所以，，所以，故答案為．【變式9．1】【答案】【解析】令，那么，因?yàn)椋?，即，故答案為．【變?．2】【答案】，11【解析】令，那么，所以，所以，所以．故答案為，．【例10】【答案】【解析】由題知，，①；又，②，由①②，得，那么，故答案為．【變式10．1】【答案】．【解析】因?yàn)椋么婵傻?，由，消去，解得，所以．【變?0．2】【答案】〔1〕，；〔2〕．【解析】〔1〕，用代替得，那么，解方程組得，．〔2〕由題意可得對(duì)任意恒成立，令，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，故，那么對(duì)恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故，即實(shí)數(shù)的最大值為．【例11】【答案】A【解析】因?yàn)椋裕?，?yīng)選A．【變式11．1】【答案】1【解析】因?yàn)?，，所以，故答案為．【?2】【答案】A【解析】由題意易知，分別在上單調(diào)，假設(shè)，那么不在同一單調(diào)區(qū)間，又，一定有，∴，即，∴，∴，應(yīng)選A．【變式12．1】【答案】2【解析】，故，故答案為2．【變式12．2】【答案】1，2【解析】，解得，由，那么，得，故答案為1，2．【例13】【答案】A【解析】易得函數(shù)在R上單調(diào)遞增，那么由可得，解得，故不等式的解集為，應(yīng)選A．【變式13．1】【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，那么，作出的大致圖象如下圖，結(jié)合圖象可知，要使，那么需或，解得或，所以，應(yīng)選D．【變式13．2】【答案】【解析】，或，解得或，即，不等式的解集為，故答案為．【例14】【答案】．【解析】比擬兩個(gè)分段函數(shù)的定義域，可將函數(shù)區(qū)間分為三個(gè)區(qū)間段求，當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以；當(dāng)時(shí)，，，所以，綜上可知：．【變式14．1】【答案】〔1〕；〔2〕，．【解析】〔1〕因?yàn)槿我獾?，都有成立，故設(shè)任意的時(shí)，有，即分段函數(shù)在R上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即，即；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，即對(duì)稱軸，即；且在臨界點(diǎn)處，左邊取值不大于右邊取值，即，即．綜上，b的取值范圍是．〔2〕當(dāng)b=2時(shí)，，又，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，那么，當(dāng)時(shí)，，那么，故．一、選擇題．1．【答案】D【解析】由函數(shù)的定義可知，在定義域內(nèi)的每一個(gè)，都有唯一一個(gè)與它對(duì)應(yīng)，那么只有D正確，應(yīng)選D．2．【答案】B【解析】對(duì)于A：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于B：與顯然是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于C：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)；對(duì)于D：的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，應(yīng)選B．3．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，，?yīng)選B．4．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)，且，所以為常數(shù)，不妨設(shè)，那么，由，得，解得，所以，所以，應(yīng)選A．5．【答案】C【解析】由題意得在上恒成立．，即時(shí)，恒成立，符合題意；時(shí)，只需，解得，綜上：，應(yīng)選C．6．【答案】A【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，解得，即不等式的解集為，?yīng)選A．7．【答案】BCD【解析】選項(xiàng)A中，時(shí)，可以有與之對(duì)應(yīng)，故不是的函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)B中，對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)集中的每個(gè)x值，都有唯一確定的的值與之對(duì)應(yīng)，故是的函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)C中，對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)集中的每個(gè)x值，都有唯一確定的的值與之對(duì)應(yīng)，故是的函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)D中，對(duì)