直線與平面平面與平面平行的判定附答案

直線與平面、平面與平面平行的判定[學習目標］1。理解直線與平面平行、平面與平面平行判定定理的含義。2。會用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3。能運用直線與平面平行的判定定理、平面與平面平行的判定定理證明一些空間線面關系的簡單問題。知識點一直線與平面平行的判定定理語言敘述符號表示圖形表示平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行eq\b＼ｌc＼\ｒｃ＼}（\a\ｖｓ4\aｌ\cｏ１（ａ?α，b?α,a∥b）)?a∥α思考若一條直線平行于一個平面內的一條直線，則這條直線和這個平面平行嗎？答根據直線與平面平行的判定定理可知該結論錯誤。知識點二平面與平面平行的判定定理語言敘述符號表示圖形表示一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行eq\ｂ\ｌｃ＼＼rc\｝(\a\vs４\ａl\co１（a?α，ｂ?α,ａ∩b＝A,a∥β,ｂ∥β))?α∥β思考如果一條直線與兩個平行平面中的一個平行，那么這條直線與另一個平面也平行嗎？答不一定.這條直線與另一個平面平行或在另一個平面內。題型一直線與平面平行的判定定理的應用例1如圖，空間四邊形ABＣＤ中，E、F、G、H分別是AB、ＢＣ、ＣD、DA的中點。求證:(1)ＥH∥平面ＢＣD；(2)BD∥平面EFGH。證明(1)∵EＨ為△ABD的中位線，∴EＨ∥BD．∵EＨ?平面BCＤ,BＤ?平面BＣD,∴EH∥平面BＣＤ。(2）∵BD∥EH,ＢD?平面ＥFGH，EH?平面EFGＨ,∴BＤ∥平面ＥＦGH.跟蹤訓練1在四面體A-BＣD中,M，N分別是△ＡＢD和△BCD的重心，求證:MN∥平面ADC．證明如圖所示,連接BＭ,BN并延長,分別交ＡＤ,ＤＣ于P，Q兩點,連接ＰQ．因為Ｍ，N分別是△ABＤ和△BCD的重心,所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶1。所以MN∥ＰＱ。又因為MＮ?平面ADC,PQ?平面ADC，所以MN∥平面ＡDＣ.題型二面面平行判定定理的應用例2如圖所示，在三棱柱ＡBC－A1Ｂ1C1中,點D，Ｅ分別是BC與B１C1的中點。求證:平面A1EB∥平面AＤC1。證明由棱柱性質知，B1C1∥ＢＣ,B1C1=BC,又D,E分別為BＣ,B1Ｃ1的中點,所以C1E綊DB，則四邊形C1DBE為平行四邊形,因此EB∥C１D，又C１Ｄ?平面ＡＤC1，EB?平面AＤC1，所以EB∥平面ＡDC1.連接DE,同理，EＢ１綊BＤ,所以四邊形EDBB1為平行四邊形，則ＥD綊B1B。因為B1B∥A１Ａ,B1B=Ａ1Ａ（棱柱的性質），所以ED綊A１A,則四邊形EDAＡ１為平行四邊形,所以A1E∥AD,又Ａ1E?平面ADC1,AD?平面ADC1，所以A1E∥平面ADＣ1。由A1E∥平面ADC1,EB∥平面ＡDC1，A１Ｅ?平面A１EB，EB?平面A1EB，且Ａ1E∩EB=E,所以平面A１ＥB∥平面AＤＣ1．跟蹤訓練2已知ABＣＤ－A1Ｂ1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在ＣC1上,點G在BB1上，且ＡE=ＦＣ1＝B１Ｇ=1,H是B1C1的中點。求證:(1）Ｅ，B，F(xiàn),Ｄ１四點共面；（2)平面A1GH∥平面BED1Ｆ.證明(1）∵AE=B1G＝1,∴BG＝A1E=2．又∵ＢG∥Ａ1E，∴四邊形A１ＥBG是平行四邊形,∴A1G∥BE。連接FG?！逤1F＝Ｂ1G,Ｃ1F∥B１Ｇ，∴四邊形C1FGＢ1是平行四邊形,∴FＧ=C1B１=D１A1，ＦG∥Ｃ１B1∥D1Ａ1,∴四邊形A1GFD1是平行四邊形，∴A1G∥D1F，∴D１F∥ＥB。故E,B，F(xiàn),D1四點共面.（２)∵H是B1Ｃ1的中點,∴B1H=ｅq＼f(3,2)．又∵B1G=1,∴eq\ｆ（Ｂ1G，Ｂ1H)=ｅq\ｆ（２，3）。又ｅq\f(FC，ＢC）=eq\ｆ(２,3），且∠FCB＝∠GB１H=90°,∴△B1HＧ∽△ＣＢF,∴∠B1GＨ=∠ＣFB=∠FBG，∴ＨG∥FB。又由（1)知,A1G∥ＢE，且HＧ∩A1G=G，F(xiàn)B∩ＢＥ＝B，∴平面A1ＧＨ∥平面ＢED1F.題型三線面平行、面面平行判定定理的綜合應用例3在正方體ABCD－A1B１Ｃ１D１中,O為底面ＡBCＤ的中心,P是DＤ1的中點,設Q是CC1上的點.問:當點Ｑ在什么位置時，平面D1BQ∥平面PAO?請說明理由.解當Q為ＣC1的中點時,平面Ｄ1ＢQ∥平面PAＯ.理由如下:連接PQ.∵Ｑ為CC１的中點,P為DＤ1的中點,∴PQ∥DC∥AB,PQ＝DＣ＝AB，∴四邊形ABQＰ是平行四邊形,∴QB∥ＰA.又∵O為DB的中點,∴D１B∥PO．又∵PＯ∩PA＝P，D1Ｂ∩ＱＢ=B,∴平面D1BQ∥平面ＰAＯ。跟蹤訓練3如圖，三棱柱ABC－A1Ｂ1Ｃ1的底面為正三角形，側棱Ａ1A⊥底面AＢC,Ｅ,F分別是棱CC1,BB1上的點，ＥC=2ＦB。M是線段AC上的動點,當點M在何位置時，BM∥平面AEF？請說明理由。解當M為AC中點時，BM∥平面AEＦ。理由如下：方法一如圖1，取AE的中點O,連接OF,ＯＭ.∵O，M分別是AＥ，AC的中點,∴OＭ∥EＣ，OM＝ｅq\f（1,2）EＣ。又∵ＢF∥ＣＥ，EC=2FＢ，∴ＯM∥ＢＦ,ＯM＝ＢF,∴四邊形OMＢF為平行四邊形,∴BM∥OF。又∵OＦ?面AＥＦ,BM?面AEＦ，∴ＢM∥平面AEＦ。方法二如圖2，取EC的中點P,連接PM，PB?！撸校褪恰鳎罜Ｅ的中位線,∴PM∥ＡＥ?！撸臗＝2FＢ＝2PＥ，CC１∥BＢ1,∴PE=BF，PE∥BF,∴四邊形BPEF是平行四邊形,∴ＰＢ∥EF。又∵PM?平面AEF，PＢ?平面AEF,∴PM∥平面ＡEＦ,PB∥平面AEF。又∵ＰＭ∩PB=P，∴平面ＰＢM∥平面AＥF。又∵ＢＭ?面PBM，∴BＭ∥平面AEF。面面平行的判定例4已知在正方體ABＣD－A′B′C′Ｄ′中，Ｍ，Ｎ分別是A′D′，A′B′的中點,在該正方體中是否存在過頂點且與平面AMＮ平行的平面？若存在，試作出該平面,并證明你的結論;若不存在,請說明理由.分析根據題意畫出正方體,根據平面AMN的特點，試著在正方體中找出幾條平行于該平面的直線，然后作出判斷,并證明。解如圖,與平面AMN平行的平面有以下三種情況：下面以圖①為例進行證明。如圖①,取B′C′的中點E，連接BＤ,BＥ，ＤE,ME,B′D′，可知四邊形ABＥＭ是平行四邊形,所以BE∥ＡＭ.又因為BE?平面ＢDE,AM?平面BDＥ,所以AM∥平面BDE。因為ＭＮ是△A′B′D′的中位線,所以ＭN∥B′D′。因為四邊形ＢDD′B′是平行四邊形，所以ＢＤ∥B′D′。所以ＭN∥BD。又因為BＤ?平面BＤE,ＭN?平面BDＥ，所以MＮ∥平面BＤＥ。又因為ＡM?平面AMN，MＮ?平面ＡMN,且AM∩MＮ＝Ｍ，所以由平面與平面平行的判定定理可得,平面AMN∥平面BDE.1。過直線l外兩點，作與l平行的平面,則這樣的平面（)A.不可能作出?B。只能作出一個C。能作出無數個 D.上述三種情況都存在２。經過平面α外兩點,作與α平行的平面,則這樣的平面可以作(）A。１個或2個?B.０個或1個C。1個 D。0個3。若線段ＡB,ＢC，ＣＤ不共面，M，N，P分別為線段AＢ,ＢC,ＣＤ的中點,則直線BD與平面MＮP的位置關系是(）A．平行 B。直線在平面內C。相交?D。以上均有可能4.在正方體ＥFGH-E１F1G1H1中,下列四對截面彼此平行的一對是()A。平面E１FＧ1與平面ＥＧH1Ｂ．平面FHG１與平面F１Ｈ1GＣ。平面F1H1H與平面FＨＥ１Ｄ。平面Ｅ1HG１與平面ＥH１G5.梯形ＡBCＤ中，AB∥CD，ＡB?平面α，CD?平面α，則直線CＤ與平面α的位置關系是___＿_＿__。一、選擇題1.下列說法正確的是（)①若一個平面內有兩條直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平行;②若一個平面內有無數條直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平行;③若一個平面內任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行；④若一個平面內的兩條相交直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平行。A。①③B。②④C.②③④D.③④2。平面α與平面β平行的條件可以是（)A.α內有無窮多條直線與β平行B．直線ａ∥α,ａ∥β，且直線a不在α與β內C．直線ａ?α,直線b?β,且ｂ∥α,a∥βD。α內的任何直線都與β平行3。六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有（）A。2對B。3對C.４對D.5對４．如果直線ａ平行于平面α,那么下列命題正確的是(）A。平面α內有且只有一條直線與ａ平行B。平面α內有無數條直線與a平行C.平面α內不存在與ａ平行的直線D.平面α內的任意直線與直線a都平行5。在空間四邊形AＢＣD中,E,F分別為AＢ,AD上的點，且ＡE∶EB＝AF∶FＤ=1∶4,又H,G分別為ＢC，CD的中點，則()Ａ．BＤ∥平面ＥFG，且四邊形EFGH是平行四邊形B。EF∥平面BCＤ，且四邊形ＥFGH是梯形C．HG∥平面AＢD，且四邊形EＦGH是平行四邊形D．ＥＨ∥平面AＤC,且四邊形EFＧH是梯形6。平面α內有不共線的三點到平面β的距離相等且不為零,則α與β的位置關系為（)A。平行B。相交C。平行或相交D?？赡苤睾?。已知直線l,m,平面α,β,下列命題正確的是（)Ａ。l∥β,l?α?α∥βB。l∥β，m∥β，l?α,ｍ?α?α∥βＣ.l∥m,l?α,m?β?α∥βD。l∥β,m∥β,l?α，m?α,l∩m=M?α∥β二、填空題8。三棱錐SAＢＣ中,Ｇ為△ABC的重心,E在棱SＡ上,且AＥ=2ＥS，則EG與平面ＳBＣ的關系為_＿_＿＿＿_＿。9。如圖是正方體的平面展開圖。在這個正方體中,①BM∥平面ＤE;②CN∥平面AF；③平面BＤM∥平面AFN;④平面BDE∥平面ＮCF.以上四個命題中，正確命題的序號是＿__＿_＿＿_。１0.右圖是一幾何體的平面展開圖,其中四邊形ＡＢCＤ為正方形,Ｅ，F(xiàn),Ｇ，H分別為PＡ，PD,PC,PB的中點，在此幾何體中,給出下面五個結論：①平面EFＧH∥平面ABＣD；②PA∥平面ＢDG;③EF∥平面PＢC;④FH∥平面BＤG；⑤EF∥平面BDG；其中正確結論的序號是_＿___＿__。三、解答題1１。如圖，在已知四棱錐P-AＢCD中,底面ABCＤ為平行四邊形,點M,N，Q分別在PA,BD,PD上,且PＭ∶MＡ＝BＮ∶ND=PQ∶QD.求證:平面MNQ∥平面ＰBC。１2.如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1Ｃ1D1中,M是棱AB的中點,點N在側面ＡA1D1D上運動，點N滿足什么條件時，ＭＮ∥平面BB1D１D?當堂檢測答案1.答案D解析設直線外兩點為Ａ、B，若直線ＡＢ∥l,則過A、B可作無數個平面與l平行;若直線AＢ與l異面,則只能作一個平面與l平行；若直線ＡB與l相交,則過Ａ、Ｂ沒有平面與l平行。2。答案B解析①當經過兩點的直線與平面α平行時,可作出一個平面β使β∥α。②當經過兩點的直線與平面α相交時,由于作出的平面又至少有一個公共點,故經過兩點的平面都與平面α相交，不能作出與平面α平行的平面。故滿足條件的平面有0個或1個。3.答案A解析連接NＰ，因為N、P分別是BC、CD的中點,M是ＡB的中點,AＢ、ＢC、CD不共面,所以直線BD不在平面ＭNＰ上?！嘀本€ＢD與平面ＭNP平行。4．答案A解析如圖，∵EG∥E1G１,EG?平面E１FG1，E１G1?平面E1FG1,∴EG∥平面Ｅ1FＧ1,又Ｇ1F∥H１E,同理可證Ｈ１Ｅ∥平面E１ＦG1,又H１E∩EＧ=E,∴平面E１FG１∥平面EGH1。5．答案ＣＤ∥α解析因為AＢ∥ＣD,ＡB?平面α,CD?平面α，由線面平行的判定定理可得ＣD∥α。課時精練答案一、選擇題1。答案D解析如圖,長方體ABCD－A1B1C１D1中，在平面ABＣＤ內，在ＡＢ上任取一點Ｅ，過點E作EF∥AD,交CD于點F,則由線面平行的判定定理，知ＥＦ,BC都平行于平面ＡDD1A１，用同樣的方法可以在平面ABCD內作出無數條直線都與平面ADD1A1平行,但是平面ABCD與平面ADD1A1不平行,因此①②都錯；③正確,事實上，因為一個平面內任意一條直線都平行于另一個平面,所以這兩個平面必無公共點(要注意“任意一條直線”與“無數條直線＂的區(qū)別)；④是平面與平面平行的判定定理，正確。2。答案D解析對于Ａ項，當α與β相交時,α內也有無數條直線都與交線平行,故A錯誤;對于B項，當a平行于α與β的交線時，也能滿足,但此時α與β相交，故Ｂ錯誤;對于Ｃ項,當a和b都與α與β的交線平行時,也能滿足,但此時α與β相交,故C錯誤；對于D項，α內的任何直線都與β平行,故在一個平面內存在兩條相交直線平行于另一平面,故Ｄ正確。3。答案C解析側面中有３對，對面相互平行,上下兩底面也相互平行．4。答案B解析如圖，直線B1C1∥平面ＡＢCD,B１C1∥BC,B1Ｃ1∥ＡD，B1C1∥EＦ(E,F為中點）等，平面AＢCD內平行于ＢC的所有直線均與Ｂ１C1平行。但ＡB與B1C1不平行。5。答案Ｂ解析易證EF∥平面BＣD。由ＡE∶EB=AF∶FD,知EＦ∥BＤ，且EF＝ｅq\ｆ(1，5)BD.又因為H，G分別為BC，CD的中點,所以ＨG∥ＢD，且ＨG＝ｅq\ｆ(1，2)BD。綜上可知,EF∥HG,ＥF≠HG，所以四邊形ＥＦGH是梯形,且EF∥平面BＣＤ。6。答案C解析若三點分布于平面β的同側，則α與β平行,若三點分布于平面β的兩側,則α與β相交.7。答案D解析如圖所示，在長方體AＢCDＡ１B1C1Ｄ1中，AＢ∥ＣD，則AB∥平面ＤC1,AB?平面ＡC，但是平面AC與平面DC１不平行，所以A錯誤;取ＢB１的中點E,ＣＣ1的中點F,則可證EＦ∥平面AＣ,B１C１∥平面AＣ。EF?平面BＣ1，B1C1?平面BC1,但是平面ＡC與平面BC1不平行，所以B錯誤；可證ＡＤ∥B1C1,AD?平面AC，B1C１?平面ＢＣ1，又平面AC與平面BC１不平行,所以C錯誤;很明顯D是面面平行的判定定理,所以D正確.二、填空題８。答案平行解析如圖,延長ＡG交ＢC于Ｆ,連接SF,則由Ｇ為△ＡＢC的重心知AG∶ＧＦ＝2，又AE∶ES＝2,∴ＥG∥SF，又SF?平面ＳBC，EG?平面SBＣ，∴EG∥平面SBＣ。9.答案①②③④解析以ABC