廣西南寧三校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期段考期中試題文含解析

PAGE18-廣西南寧三校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期段考（期中）試題文（含解析）第Ⅰ卷(選擇題，共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）.A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)公式計(jì)算即可．【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題考查平面對(duì)量的坐標(biāo)表示，考查向量共線的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2.化簡(jiǎn)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)兩角和余弦公式化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，逆用兩角和余弦公式化簡(jiǎn)求值，屬于簡(jiǎn)潔題.3.已知中，,那么為（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】試題分析：在中，,，，那么為銳角，由正弦定理可得解得.考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用.4.已知數(shù)列滿意，則（）A.18 B.20 C.32 D.64【答案】A【解析】【分析】由已知可得數(shù)列是等差數(shù)列，然后由等差數(shù)列的性質(zhì)易得結(jié)論．【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是等差數(shù)列，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的推斷，考查等差數(shù)列的性質(zhì)．推斷等差數(shù)列的方法：（1）定義法：證明，為常數(shù)；（2）等差中項(xiàng)法：；（3）通項(xiàng)公式法：；（4）前項(xiàng)和法：．證明數(shù)列為等差數(shù)列通常用定義法．5.若，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】.分子分母同時(shí)除以，即得：.故選D6.數(shù)列滿意，，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由遞推關(guān)系，可求出的前5項(xiàng)，從而可得出該數(shù)列的周期性，進(jìn)而求出即可.【詳解】由，可得，由，可得，，，，由，可知數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4，所以.故選：B.7.的三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿意，則的形態(tài)是（）A.正三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理，再結(jié)合已知可求得，從而可得，可推斷的形態(tài).【詳解】解：中，由正弦定理得：，∴，又，∴，∴，∴或，即或，∴為等腰三角形或直角三角形.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查推斷三角形的形態(tài)，利用正弦定理化邊為角后，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得角的關(guān)系，得三角形形態(tài)．8.的三邊為，若為銳角三角形，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角形的內(nèi)角和定理，得到，再由，求得，依據(jù)正切函數(shù)和正弦函數(shù)的單調(diào)性及誘導(dǎo)公式，可判定A、B不正確；再由余弦定理，可判定D不正確.【詳解】由為銳角三角形，可得，又由，可得，即，所以C正確；由，可得，由正切函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，所以，所以A不正確；由正弦函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，可得，即，所以B不正確；由余弦定理可得，則，所以D不正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了銳角三角形的性質(zhì)，以及正弦函數(shù)、正切函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，著重考查了推理與論證實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.9.已知，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，,,,則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可分別以直線AC，AB為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，依據(jù)條件便可求出點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得出向量的坐標(biāo)，這樣進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出的值．【詳解】如圖，分別以邊AC，AB所在直線為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則：因?yàn)?，所以?，∴故選C．【點(diǎn)睛】考查建立平面直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)解決向量問題的方法，能求平面上點(diǎn)的坐標(biāo)，以及向量數(shù)乘的幾何意義，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．10.已知向量，滿意，，且，則在方向上的投影為（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由向量垂直求得，再依據(jù)數(shù)量積的定義求得在方向上的投影．【詳解】因?yàn)?，，，所以在方向上的投影為．故選：B．11.已知數(shù)列滿意：，．則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化得，構(gòu)造為等比數(shù)列，求解出通項(xiàng)，進(jìn)而求出.【詳解】因?yàn)?，所以兩邊取倒?shù)得，則，所以數(shù)列為等比數(shù)列，則，所以，故.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于形如型，通?？蓸?gòu)造等比數(shù)列（其中）來進(jìn)行求解.12.在中，角的對(duì)邊分別為，已知，且，點(diǎn)滿意，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由得是的重心，設(shè)直線交于，則是中點(diǎn)，利用得，兩邊平方后可求得，再由可得三角形面積．【詳解】∵，∴是的重心，設(shè)直線交于，則是中點(diǎn)，設(shè)，∴，則，∴，化簡(jiǎn)得，解得（舍去），由，是三角形內(nèi)角，則，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查三角形面積公式．解題關(guān)鍵是由得是的重心，然后可由向量的線性運(yùn)算得出關(guān)系式（是邊中點(diǎn)），平方后變成向量的數(shù)量積運(yùn)算，從而求得中線長(zhǎng)，由面積公式可得面積．第Ⅱ卷(非選擇題，共90分)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知在等比數(shù)列中，，則=_______．【答案】【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)干脆計(jì)算．【詳解】因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，又同號(hào)，所以．故答案為：6．14.已知向量，滿意，，且向量，的夾角為，若與垂直，則實(shí)數(shù)的值為__________【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知條件求得，再對(duì)向量垂直進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可列出等式求得參數(shù)值.【詳解】依據(jù)與垂直得到（）·=0，所以故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的運(yùn)算，以及向量垂直的轉(zhuǎn)化，屬綜合基礎(chǔ)題.15.若，，，，則________.【答案】【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得，，再由，依據(jù)兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】∵，，則，，∴，，因此，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查了基本運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，與的夾角為，且，與的夾角為，，，，若，則的取值是_______．【答案】【解析】【分析】由，與的夾角為，可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而用坐標(biāo)表示出，，，結(jié)合，可求出的值.【詳解】由題意，可知，與夾角為，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，可得，，，，所以，，，由，可得，即，所以.故答案為：.三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.如圖，是直角斜邊上一點(diǎn)，．（1）若，求角的大??；（2）若，且求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理得可得，從而求得角；（2）由直角三角形求得，再用余弦定理計(jì)算．【詳解】解：（1）在中，由正弦定理得：，由題意得：，∵，∴，∴；（2），∴在中，∴，在中，由余弦定理得：．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，駕馭正弦定理與余弦定理解三角形的類型是解題關(guān)鍵．正弦定理解三角形類型：（1）已知兩角及一角對(duì)邊；（2）已知兩邊及一邊對(duì)角（這種類型可能出現(xiàn)兩解，需推斷）；余弦定理解三角形類型：（1）已知兩邊及夾角；（2）已知三邊求內(nèi)角．在已知兩邊及一角時(shí)都可得用余弦定理解三角形．18.某中學(xué)組織了地理學(xué)問競(jìng)賽，從參與考試的學(xué)生中抽出40名學(xué)生，將其成果（均為整數(shù)）分成六組，，…，，其部分頻率分布直方圖如圖所示．視察圖形，回答下列問題．（1）求成果在的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；（2）估計(jì)這次考試的平均分（計(jì)算時(shí)可以用組中值代替各組數(shù)據(jù)的平均值）；（3）從成果在和的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率．【答案】（1）頻率為0.3，頻率分布直方圖見解析；（2）71分；（3）．【解析】【分析】（1）由全部頻率之和為1可求得成果在的頻率，從而可補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）由每組數(shù)據(jù)的中值乘以頻率相加可得均值；（3）成果在的人數(shù)為人，成果在的人數(shù)為人，將分?jǐn)?shù)段的4人編號(hào)為，，，，將分?jǐn)?shù)段的2人編號(hào)為，，用列舉法寫出任取2人的全部基本領(lǐng)件，同時(shí)得出同一分?jǐn)?shù)段內(nèi)所含基本領(lǐng)件，計(jì)數(shù)后可得概率．【詳解】（1）因?yàn)楦鹘M的頻率之和等于1，所以成果在的頻率為．補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示：（2）利用中值估算學(xué)生成果的平均分，則有所以本次考試的平均分為71分．（3）成果在的人數(shù)為人，成果在的人數(shù)為人從成果在和的學(xué)生中選兩人，將分?jǐn)?shù)段的4人編號(hào)為，，，，將分?jǐn)?shù)段的2人編號(hào)為，，從中任選兩人，則基本領(lǐng)件構(gòu)成集合共15個(gè)，其中同一分?jǐn)?shù)段內(nèi)所含基本領(lǐng)件為：，，，，，，共7個(gè)，故所求概率為=．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查頻率分布直方圖，考查由頻率分布直方圖求均值，考查古典概型．求古典概型方法：列舉法，用列舉法寫出事務(wù)空間中的全部基本領(lǐng)件，同時(shí)得出所求概率事務(wù)中所含有的基本領(lǐng)件，計(jì)數(shù)后計(jì)算概率．假如元素個(gè)數(shù)較多，事務(wù)的個(gè)數(shù)也可用排列組合學(xué)問計(jì)算．19.已知數(shù)列中，已知：，．（1）設(shè)，求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記，求．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）已知等式變形為由的定義可得，同時(shí)求得，從而證得等比數(shù)列；（2）求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式教化處出．【詳解】（1）∵∴∵∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（要指明首項(xiàng)和公比，否則扣1分）（2）∵，．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的證明，證明方法是等比數(shù)列的定義．本題證明事實(shí)上可以干脆由得，代入已知等式即可遞推關(guān)系，然后肯定要計(jì)算出，只有在時(shí)才能確定數(shù)列為等比數(shù)列，這是易錯(cuò)點(diǎn)．20.如圖，四邊形是正方形，平面，，且（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（Ⅰ）利用面面平行的判定定理證明平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明平面；（2）先證明平面，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，利用等體積法得，通過計(jì)算即可得.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，又平面，平面，平面，因?yàn)椋砜勺C平面，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫?；?）因?yàn)槠矫妫啵矫?，又∵，，∴平面，∴又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為∵又∵∴;∴即點(diǎn)到平面的距離為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明直線與平面平行可通過證明直線與直線平行或平面與平面平行來證明.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：對(duì)隨意，都有，使得成等比數(shù)列.【答案】（1）（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）由和項(xiàng)求通項(xiàng)，主要依據(jù)進(jìn)行求解.因?yàn)樗援?dāng)時(shí)又時(shí)，所以（2）證明存在性問題，實(shí)質(zhì)是確定要使得成等比數(shù)列，只須要，即.而此時(shí)，且所以對(duì)隨意，都有，使得成等比數(shù)列.試題解析：（1）因?yàn)樗援?dāng)時(shí)又時(shí)，所以（2）要使得成等比數(shù)列，只須要，即.而此時(shí)，且所以對(duì)隨意，都有，使得成等比數(shù)列.考點(diǎn)：由和項(xiàng)求