1.4.2第1課時(shí)　用空間向量研究距離問(wèn)題 導(dǎo)學(xué)案正文

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問(wèn)題第1課時(shí)用空間向量研究距離問(wèn)題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.借助直線的方向向量和平面的法向量,能計(jì)算點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離,并知道兩條平行直線之間的距離、直線與平面平行時(shí)兩者間的距離、兩個(gè)平行平面之間的距離.2.能分析和解決一些立體幾何中的距離問(wèn)題,體會(huì)向量方法與綜合幾何方法的共性和差異,體會(huì)直線的方向向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究幾何問(wèn)題的有效工具.◆知識(shí)點(diǎn)用空間向量研究距離問(wèn)題1.點(diǎn)到直線的距離如圖,已知直線l的單位方向向量為u,A是直線l上的定點(diǎn),P是直線l外一點(diǎn),設(shè)AP=a,則向量AP在直線l上的投影向量AQ=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ==.

2.點(diǎn)到平面的距離如圖,已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點(diǎn),P是平面α外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作平面α的垂線l,交平面α于點(diǎn)Q,則n是直線l的方向向量,且點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長(zhǎng)度.因此PQ=AP·n|n|3.用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系,用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面,把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題;(2)通過(guò)向量運(yùn)算,研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間的距離和夾角等問(wèn)題;(3)把向量運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.【診斷分析】判斷正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面α外一點(diǎn)A到平面α的距離,就是點(diǎn)A與平面α內(nèi)一點(diǎn)B所成向量AB的長(zhǎng)度. ()(2)若直線l∥平面α,則直線l到平面α的距離就是直線l上的點(diǎn)到平面α的距離. ()(3)若平面α∥平面β,則兩平面α,β的距離可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某條直線到平面β的距離,也可轉(zhuǎn)化為平面α內(nèi)某點(diǎn)到平面β的距離. ()◆探究點(diǎn)一點(diǎn)到直線的距離例1(1)[2024·重慶開(kāi)州中學(xué)高二月考]已知直線l過(guò)點(diǎn)A(1,-1,2),直線l的一個(gè)方向向量為n=(-3,0,4),則P(3,5,0)到直線l的距離等于 ()A.5 B.23C.22265 D(2)[2024·江蘇淮安高二期中]已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=1,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),則點(diǎn)E到直線PD的距離是 ()A.54 B.C.22 D.變式如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,且∠A1AC=60°,平面A1ACC1⊥平面ABC,點(diǎn)P,Q分別在AB,A1C1上,且AP=A1Q.(1)求證:PQ∥平面B1BCC1;(2)當(dāng)點(diǎn)P是棱AB的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)B1到直線PQ的距離.[素養(yǎng)小結(jié)]用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟:(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求直線的方向向量;(3)計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線上的投影向量的長(zhǎng)度;(4)利用勾股定理求解.另外,要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.◆探究點(diǎn)二點(diǎn)到平面的距離例2如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=DA=2,F,E分別為AD,PC的中點(diǎn).(1)求證:DE∥平面PFB;(2)求點(diǎn)E到平面PFB的距離.變式[2024·廣西玉林高二期中]如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=3,點(diǎn)F是棱PD的中點(diǎn),點(diǎn)E是棱DC上靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn).(1)證明:AF⊥EF;(2)求點(diǎn)B到平面AEF的距離.[素養(yǎng)小結(jié)]用向量法求點(diǎn)到平面的距離的步驟:(1)建系:建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)求點(diǎn)的坐標(biāo):寫(xiě)出(求出)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo);(3)求向量:求出相關(guān)向量的坐標(biāo);(4)利用公式即可求得點(diǎn)到平面的距離.拓展如圖①,平行四邊形AECF由一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形(正方形ABCD)和2個(gè)等腰直角三角形(△BCE,△ADF)組成,沿AD,BC將2個(gè)三角形折起,使得平面ADF、平面BCE均與平面ABCD垂直(如圖②),連接EF,AE,CF,AC,求點(diǎn)E到平面ACF的距離.◆探究點(diǎn)三線面距和面面距例3如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N,R分別是OA,BC,AD的中點(diǎn).求:(1)直線MN到平面OCD的距離;(2)平面MNR與平面OCD的距離.變式設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2.(1)求直線B1C到平面A1BD的距離;(2)求平面A1BD與平面B1CD1的距