專題09 一次函數(shù)（講義）（原卷版）

專題09一次函數(shù)核心知識點精講理解一次函數(shù)的概念定義，理解一次函數(shù)是線性函數(shù)的特殊形式，并能夠識別和判斷一個函數(shù)是否為一次函數(shù)。掌握一次函數(shù)的表達式y(tǒng)=kx+b，其中k和b是常數(shù)，且k≠0。要掌握如何確定函數(shù)的斜率（k值）和截距（b值）。掌握了解一次函數(shù)圖像的特點，掌握如何繪制一次函數(shù)的圖像，并能夠根據(jù)圖像分析函數(shù)的特點、與坐標軸的交點等性質(zhì)。掌握一次函數(shù)的與其他數(shù)學知識的聯(lián)系：理解一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式等的關系，并能夠進行相互轉(zhuǎn)化。能夠利用一次函數(shù)解決實際問題，如路程、時間、速度問題，以及與其他數(shù)學知識的綜合應用?？键c1一次函數(shù)的概念1.一次函數(shù)概念：一般地，如果（k，b是常數(shù)，k0），那么y叫做x的一次函數(shù)。2.正比例函數(shù)：當一次函數(shù)中的b為0時，（k為常數(shù)，k0）。這時，y叫做x的正比例函數(shù)。考點2一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.一次函數(shù)的圖象：所有一次函數(shù)的圖象都是一條直線。2.一次函數(shù)的圖象特征：（1）一次函數(shù)的圖象是經(jīng)過點（0，b）的直線；（2）特別的，正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過原點（0，0）和（1，k）的直線。3.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)k的符號b的符號函數(shù)圖象圖象特征k>0b>0圖象經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。b<0圖象經(jīng)過一、三、四象限，y隨x的增大而增大。K<0b>0圖象經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小b<0圖象經(jīng)過二、三、四象限，y隨x的增大而減小。注：當b=0時，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例。一般地，正比例函數(shù)有下列性質(zhì)：（1）當k>0時，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；（2）當k<0時，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小?？键c3正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定1.確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法，它的步驟通常是：（1）設一次函數(shù)的解析式為：；（2）用圖象上的點A（x1，y1），B（x2，y2）的橫、縱坐標分別去替代函數(shù)解析式中的x和y，得到二元一次方程組{（3）解這個方程組，求出k，b的值；（4）求k，b的值帶入所設的解析式中，即可得到索要其的一次函數(shù)的解析式。2.一次函數(shù)圖象的平移一次函數(shù)的平移若一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，向左平移m個單位后解析式為y=k(x+m)+b，規(guī)律為“左加”；向右平移m個單位后解析式為y=k(x-m)+b，規(guī)律為“右減”；向上平移m個單位后解析式為y=kx+b+m，規(guī)律為“上加”；向下平移m個單位后解析式為y=kx+b-m，規(guī)律為“下減”；考點4一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關系一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關系與一元一次方程的關系方程kx+b=0的解x=-是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸的交點橫坐標；與二元一次方程組關系聯(lián)立兩個一次函數(shù)關系式得出的解是兩個一次函數(shù)的交點坐標；與一元一次不等式的關系①從“數(shù)”上看：kx+b>0的解集是y=kx+b中，y>0時x的取值范圍；kx+b<0的解集是y=kx+b中，y<0時x的取值范圍；②從“形”上看：kx+b>0的解集是函數(shù)y=kx+b的圖象位于x軸上方部分對應點的橫坐標；kx+b<0的解集是函數(shù)y=kx+b的圖象位于x軸下方部分對應點的橫坐標；考點5根據(jù)實際問題列一次函數(shù)關系式根據(jù)實際問題確定一次函數(shù)關系式關鍵是讀懂題意，建立一次函數(shù)的數(shù)學模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是一次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關知識，關鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關系，關鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．考點6一次函數(shù)的實際應用1.解一次函數(shù)的實際應用的一般步驟：2.集中常見題型及及其解法（1）文字性應用題：從體感中提取兩組有關量（自變量和因變量）作為一次函數(shù)圖像上的兩點，應用待定系數(shù)法求出解析式，對于階梯收費問題注意選取的關系量應是同一標準的；（2）表格型應用題：分析表格中數(shù)據(jù)，從表格中提取兩組量應用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（3）圖象型應用題：從函數(shù)圖象上找出兩點，找到其坐標帶入解析式；若函數(shù)圖象為分段函數(shù)，注意要取通斷函數(shù)圖像上的兩點，一次方法分別求隔斷函數(shù)的解析式，最后記得加上對應自變量的取值范圍。（4）方案選取問題：①根據(jù)解析式分類討論，比較兩個發(fā)難在不同取值下的最有結(jié)果；②根據(jù)題意列不等式求出自變量的取值范圍，然后選取符合題意的自變量的取值范圍，分別代入兩個一次函數(shù)解析式中比較，設計或選擇最優(yōu)的方案即可?！绢}型1：一次函數(shù)的概念】【典例1】下列函數(shù)中，是一次函數(shù)但不是正比例函數(shù)的為A． B． C． D．1．（2023?霞山區(qū)一模）下列函數(shù)中，y是x的正比例函數(shù)的是（）A．y＝4x+1 B．y＝2x2 C．y=?5x D．y2．關于函數(shù)，都是不等于0的常數(shù)），下列說法，正確的是A．與成正比例B．與成正比例 C．與成正比例D．與成正比例【題型2：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】【典例2】（2023?蓬江區(qū)校級一模）一次函數(shù)y＝x﹣2的圖象大致是（）A． B． C． D．【典例3】（2023?東莞市校級一模）已知點（﹣1，y1），（3，y2）在一次函數(shù)y＝2x+1的圖象上，則y1，y2的大小關系是（）A．y1＜y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＞y2 D．不能確定1.（2023?惠城區(qū)校級開學）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y＝x+k的圖象大致是（）A． B． C． D．2．（2023?廣東模擬）已知正比例函數(shù)y＝kx（k≠0），且y隨x的增大而減小，則直線y＝﹣2x+k的圖象是（）A． B． C． D．3．（2023?茂南區(qū)二模）若直線y1＝ax+b經(jīng)過第一、二、四象限，則直線y2＝bx+a不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型3：正比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定】【典例3】（2023?潮南區(qū)模擬）如圖，已知A（2，3），B（0，2），在x軸上找一點C，使得|AC﹣BC|的值最大，則此時點C的坐標為（﹣4，0）．1．（2022?增城區(qū)一模）如圖所示，直線y=23x+2分別與x軸、y軸交于點A、B，以線段AB為邊，在第二象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，則過B、A．y=?13x+2 B．y=?15x+2 C．y=?2．（2023?中山市三模）若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，6），則該函數(shù)的解析式為y＝2x．【題型4：一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關系】【典例5】（2023?豐順縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝ax+b與兩坐標軸的交點分別為（2，0），（0，3），則不等式ax+b＞0的解為（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3【典例6】（2023?東莞市校級三模）已知二元一次方程組x?y=?5x+2y=?2的解為x=?4y=1，則在同一平面直角坐標系中，直線l1：y＝x+5與直線l2：y=?A．（4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣4，1）1．（2023?海珠區(qū)校級二模）已知一次函數(shù)y＝ax+2的圖象與x軸的交點坐標為（3，0），則一元一次方程ax+2＝0的解為（）A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a2．（2023?英德市二模）如圖，直線y＝kx+3經(jīng)過點（2，0），則關于x的不等式kx+3＜0的解集是（）A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥23．（2023?南山區(qū)模擬）如圖，函數(shù)y＝﹣2x和y＝kx+5的圖象相交于點A（a，2），則不等式﹣2x≤kx+5的解集為（）A．x≤2 B．x≥﹣1 C．x≤﹣1 D．x＞﹣14．（2023?曲江區(qū)校級三模）如圖，直線y＝﹣x+3與y＝mx+n交點的橫坐標為1，則關于x、y的二元一次方程組x+y=3?mx+y=nA．x=1y=3 B．x=3y=1 C．x=1y=25.（2023?金平區(qū)二模）如圖，直線y＝x+b與直線y＝kx+4交于點P(23，83)，則關于x的不等式x+b≥kx6．（2023?江門校級三模）如圖，已知函數(shù)y＝2x+b與函數(shù)y＝kx﹣3的圖象交于點P，則方程組2x?y=?bkx?y=3的解是x=4y=?6【題型5：根據(jù)實際問題列一次函數(shù)關系式】【典例7】（2023?天河區(qū)二模）已知一根彈簧在不掛重物時長6cm，在一定的彈性限度內(nèi)，每掛1kg重物彈簧伸長0.3cm．則該彈簧總長y（cm）隨所掛物體質(zhì)量x（kg）變化的函數(shù)關系式為y＝0.3x+6．1．（2023?南海區(qū)一模）某學校要建一塊矩形菜地供學生參加勞動實踐，菜地的一邊靠墻，另外三邊用木欄圍成，木欄總長為40m．如圖所示，設矩形一邊長為xm，另一邊長為ym，當x在一定范圍內(nèi)變化時，y隨x的變化而變化，則y與x滿足的函數(shù)關系是（）A．y＝20x B．y＝40﹣2x C．y=40x D．y＝x（40﹣22．（2023春?澄海區(qū)期末）一根蠟燭長25cm，點燃后每小時燃燒5cm，蠟燭燃燒時剩下的高度h（厘米）與燃燒時間t（小時）（0≤t≤5）之間的關系是h＝﹣5t+25．【題型6：一次函數(shù)的實際應用】【典例8】（2023?蓬江區(qū)校級三模）如圖表示一艘輪船和一艘快艇沿相同的路線，從甲港到乙港行駛過程中路程隨時間變化的圖象（直線）．（1）輪船的速度是20千米/時，快艇的速度是40千米/時；（2）分別求出表示輪船和快艇行駛過程的函數(shù)解析式；（3）快艇出發(fā)多長時間趕上輪船？1．（2023?龍崗區(qū)校級一模）設備每年都需要檢修，該設備使用年數(shù)n（單位：年，n為正整數(shù)且1≤n≤10）與每年至第n年該設備檢修支出的費用總和y（單位：萬元）滿足關系式y(tǒng)＝1.4n﹣0.5，結(jié)論正確的是（）A．從第2年起，每年的檢修費用比上一年增加1.4萬元 B．從第2年起，每年的檢修費用比上一年減少0.5萬元 C．第1年至第5年平均每年的檢修費用為3.7萬元 D．第6年至第10年平均每年的檢修費用為1.4萬元2．（2023?惠州校級模擬）圖1是我國青海湖最深處的某一截面圖，青海湖水面下任意一點A的壓強P（單位：cmHg）與其離水面的深度h（單位：m）的函數(shù)解析式為P＝kh+P0，其圖象如圖2所示，其中P0為青海湖水面大氣壓強，k為常數(shù)且k≠0（計算結(jié)果保留一位小數(shù)）．根據(jù)圖中信息分析，下列結(jié)論正確的是（）A．青海湖水深16.4m處的壓強為189.36cmHg B．青海湖水面大氣壓強為76.0cmHg C．函數(shù)解析式P＝kh+P0中自變量h的取值范圍是h≥0 D．P與h的函數(shù)解析式為P＝9.8×105h+763．（2023?金平區(qū)一模）如圖，甲乙兩人以相同的路線前往距離單位10km的培訓中心參加學習，圖中L甲，L乙分別表示甲乙兩人前往目的地所走的路程S（千米）隨時間t（分）變化的函數(shù)圖象，以下說法：①乙比甲提前12分鐘到達；②甲、乙相遇時，乙走了6千米；③乙出發(fā)6分鐘后追上甲．其中正確的是①②③．（填序號）4．（2023?龍崗區(qū)校級一模）臨近期末，某文具店需要購進一批2B涂卡鉛筆和0.5mm黑色水筆，已知用600元購進鉛筆與用400元購進水筆的數(shù)量相同，且每支鉛筆比每支水筆進價高1元．（1）求這兩種筆每支的進價分別是多少元？（2）該商店計劃購進水筆的數(shù)量比鉛筆數(shù)量的2倍還多60支，且兩種筆的總數(shù)量不超過360支，售價見店內(nèi)海報（如下所示）．該商店應如何安排進貨才能使利潤最大？最大利潤是多少？為期末加油！2B涂卡鉛筆4元/支0.5mm黑色水筆2.5元/支5．（2023?龍川縣三模）春天來了，我校計劃組織師生共1600人坐A、B兩種型號的大巴車外出春游，且A型車每輛租金為580元，B型車每輛租金為700元，為了保證安全，校方要求必須保證人人都有座位．學生南南發(fā)現(xiàn)若租2輛A型與3輛B型大巴車恰好能坐下195人，若租3輛A型與2輛B型大巴車恰好能坐下180人．（1）請問1輛A型與1輛B型大巴車各有幾座？（2）現(xiàn)學校決定租兩種型號的大巴車共50輛作為出行交通工具，但政教主任蔣老師發(fā)現(xiàn)租車總經(jīng)費不能超過32000元．他想運用函數(shù)的知識進行分析，為學校尋找最節(jié)省的租車方案．現(xiàn)蔣老師設學校租了A型大巴車x輛，租車總費用為w元．請你幫蔣老師完成分析過程，確定共有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？并求出最低費用．一．選擇題（共7小題）1．已知點（﹣3，2）在一次函數(shù)y＝kx﹣4的圖象上，則k等于（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣32．下列函數(shù)中，y是x的一次函數(shù)的是（）A．y=x+2 B．y＝5﹣3x C．y=2x D．y3．已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則k，b的取值范圍是（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜04．若直線y＝2x+b與x軸交于點A（﹣3，0），則方程2x+b＝0的解是（）A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C．x＝6 D．x=?5．把直線y＝x+2向上平移n個單位后，與直線y＝﹣2x+5的交點在第二象限，則n的取值范圍是（）A．1＜n＜7 B．n＜5 C．2＜n＜5 D．n＞36．下列函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，且y隨x的增大而減小的是（）A．y＝﹣x B．y＝x+1 C．y＝﹣2x+1 D．y＝x﹣17．直線y＝x﹣1的圖象與x軸的交點坐標為（）A．（1，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）二．填空題（共5小題）8．如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=12x+3上的一個動點，將Q繞點P（0，1）順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點Q'，連接OQ'，則OQ9．在平面直角坐標系中，將直線y＝2x+4沿x軸向右平移2個單位長度后，得到新直線的函數(shù)關系式為．10．如果正比例函數(shù)y＝（m﹣2）x的圖象y隨x的增大而減小，那么m的取值范圍是．11．如圖，在平面直角坐標系中，線段AB的端點為A（1，0），B（5，8）．（1）直線AB的函數(shù)表達式為．（2）某同學設計了一個動畫：在函數(shù)y＝﹣2x+b中，輸入b（b＞0）的值，得到直線CD，其中點C在x軸上，點D在y軸上．當直線CD與線段AB有交點時，直線CD就會發(fā)紅光，則此時輸入的b的取值范圍是．12．若點P（a，b）在直線y＝2x+3上，則4a﹣2b的值為．三．解答題（共3小題）13．已知一次函數(shù)y＝kx+b經(jīng)過點A（3，0），B（0，3）．（1）求k，b的值．（2）在平面直角坐標系xOy中，畫出函數(shù)圖象；（3）結(jié)合圖象直接寫出不等式kx+b＞0的解集．14．已知y是2x+3的正比例函數(shù)，且當x＝1時，y＝﹣5．（1）求y與x的函數(shù)關系式．（2）若點（a，2）在該函數(shù)的圖象上，求a的值．15．如圖，函數(shù)y＝﹣2x+3與y=?12x+m的圖象交于P（（1）求出m、n的值；（2）直接寫出不等式?12x+m＞﹣2一．選擇題（共5小題）1．一次函數(shù)y＝kx+b與y＝x+2的圖象相交于如圖點P（m，4），則關于x，y的二元一次方程組y=kx+by=x+2A．x=2y=4 B．x=1y=4 C．x=2.4y=42．正比例函數(shù)y＝kx與一次函數(shù)y＝x﹣k在同一坐標系中的圖象大致應為（）A． B． C． D．3．正比例函數(shù)y＝ax與一次函數(shù)y＝ax﹣2a在同一坐標系中的大致圖象可能是（）A． B． C． D．4．甲、乙兩人在一條長400米的直線跑道上同起點、同終點、同方向勻速跑步，先到終點的人原地休息．已知乙先出發(fā)3秒，在跑步過程中，甲、乙兩人間的距離y（米）與甲出發(fā)的時間x（秒）之間的函數(shù)關系如圖所示，則下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①乙的速度為4米/秒；②離開起點后，甲、乙兩人第一次相遇時，距離起點80米；③甲到達終點時，乙距離終點還有80米；④甲、乙兩人之間的距離為60米時，甲出發(fā)的時間為72秒和82秒．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過A（m，1），B（m+4，0）兩點，若點M（2，y1）和點N（3，y2）恰好也是該函數(shù)圖象上的兩點，則y1，y2的大小關系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．無法確定二．填空題（共4小題）6．甲、乙兩人沿同一條直路走步，如果兩人分別從這條直路上的A，B兩處同時出發(fā)，都以不變的速度相向而行，圖1是甲離開A處后行走的路程y（單位：m）與行走時間x（單位：min）的函數(shù)圖象，圖2是甲、乙兩人之間的距離y（單位：m）與甲行走時間x（單位：min）的函數(shù)圖象，則a﹣b＝．7．如圖，直線AB的解析式為y＝﹣x+b分別與x，y軸交于A，B兩點，點A的坐標為（3，0），過點B的直線交x軸負半軸于點C，且OB：OC＝3：1．在x軸上方存在點D，使以點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，則點D的坐標為．8．將一個直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標系中，點A（3，0），點B（0，1），點O（0，0），過邊OA上的動點M（點M不與點O，A重合）作MN⊥AB于N，沿著MN折疊該紙片，得頂點A的對應點A'．設OM＝m，折疊后的△A'MN與四邊形OMNB重疊部分的面積為S．（1）如圖，當點A'與頂點B重合時，點M的坐標為．（2）當S=324時，點M的坐標為9．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖所示方式放置，點A1，A2，A3，…和C1，C2，C3，…分別在直線y＝x+1和x軸上，則點B4的坐標是，B2020的縱坐標是．三．解答題（共3小題）10．為了鼓勵大家節(jié)約用電，某電力公司采取按月用電量分段收費，居民每月應交電費y（元）與用電量x（度）的函數(shù)圖象是一條折線（如圖所示），根據(jù)圖像解答下列問題：（1）求出y與x的函數(shù)關系式；（2）若某用戶某月用電80度，則應繳電費多少元？（3）若某用戶某月應繳電費105元，則該用戶用了多少度電？11．加強勞動教育，落實五育并舉．孝禮中學在政府的支持下，建成了一處勞動實踐基地．2023年計劃將其中1000m2的土地全部種植甲乙兩種蔬菜．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲種蔬菜種植成本y（單位：元/m2）與其種植面積x（單位：m2）的函數(shù)關系如圖所示，其中200≤x≤700；乙種蔬菜的種植成本為50元/m2．（1）當200≤x≤600時，y與x的函數(shù)關系式為；（2）設2023年甲乙兩種蔬菜總種植成本為w元，如何分配兩種蔬菜的種植面積，使w最小？（3）該校計劃今后每年在這1000m2土地上，均按（2）中方案種植蔬菜，因技術改進預計種植成本逐年下降．若甲種蔬菜種植成本平