2024年中考數(shù)學(xué)《二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)》真題含解析

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(39題)1(2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題)將拋物線y=x2+2x向下平移2()A.y=x+12-3B.y=x+12-2C.y=x-12-3y=x-12-2Ay=x2+2x-2的拋物線為y=x2+2x-2y=x2+2x向下平移個單位后，則拋物線變?yōu)閥=x2+2x-2∴y=x2+2x-2化成頂點式則為y=x+12-3，化為頂點式即可．2，故選：A．kx2(2024·廣東廣州·中考真題)函數(shù)y1=ax2+bx+c均隨著x的增大而減?。cy=2()yy時，，12A.x<-1DB.-1<x<0C.0<x<2x>1x>1時，y隨著x的增大而減?。粂y均隨著x122得到答案．x>1時，y1隨著x的增大而減小；yy均隨著x的增大而減小，22∴當(dāng)x>1時，yy均隨著x的增大而減小，12故選：D．23523(2024·四川涼山·中考真題)拋物線y=x-1+c經(jīng)過-2y，0yyyyy123，，，，123的大小關(guān)系正確的是(A.y>y>y)B.y>y>yC.y>y>yy>y>y132123231312D1的圖象與性質(zhì)可進(jìn)行求解．23y=x-12+cx=1，52∵-2,y，0,y，,y，123523232而1--2=31-0=1，-1=1<<3∴點0,y-2,y離對稱軸最遠(yuǎn)，12∴y>y>y；132故選：D．4(2024·四川達(dá)州·中考真題)拋物線y=-x2+bx+c一個交點的橫坐標(biāo)小于1(與x1)A.b+c>1AB.b=2C.b2+4c<0c<0y=-x2+bx+c與xx,x,x<x2，121依題意，x<1,x>1x=1時，y>0A12BCDy=-x2+bx+c與xx,x,x<x1212依題意，x<1,x>112∵a=-1<0∴當(dāng)x=1時，y>0-1+b+c>0∴b+c>1Ab2ab-2b2若對稱軸為x=-=-==1b=2，而x<1,x>1x=1，12故B∵拋物線與坐標(biāo)軸有2個交點，∴方程-x2+bx+c=0Δ=b2-4ac>0a=-1∴b2+4c>0C無法判斷cD故選：A．5(2024·四川瀘州·中考真題)已知二次函數(shù)y=ax2+2a-3x+a-1(x是自變量的圖象經(jīng)過第一、)a的取值范圍為()98329832A.1≤a<AB.0<a<C.0<a<1≤a<2x軸有2y：∵二次函數(shù)y=ax2+2a-3x+a-1Δ=2a-32-4aa-1>0a-3x+x=->012a設(shè)拋物線與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)分別為x,x12a-1x?x=≥012aa>098解得1≤a<故選：A．．6(2024·陜西·中考真題)已知一個二次函數(shù)y=ax2+bx+c的自變量與函數(shù)的幾組對應(yīng)值如下表，xyxy?-4-2-24-80035??-3-15?則下列關(guān)于這個二次函數(shù)的結(jié)論正確的是()A.圖象的開口向上B.當(dāng)x>0時，y的值隨x的值增大而增大圖象的對稱軸是直線x=1C.D4a-2b+c=-8c=0a=-1c=0，b=29a+3b+c=-3∴二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x=-x-12+1，∵a=-1<0，∴A不符合題意；圖象的對稱軸是直線x=1D符合題意；當(dāng)0<x<1時，y的值隨xx>1時，y的值隨xB不符合題意；∵頂點坐標(biāo)為1,1∴C不符合題意；故選：D．7(2024·湖北·中考真題)拋物線y=ax2+bx+c的頂點為-1,-2C.a-b+c=-2yx軸的交點位于軸上方．以下結(jié)論正確的是(A.a<0)B.c<0b2-4ac=0Cy=ax2+bx+c3∵y軸的交點位于x軸上方，∴a>0c>0，∵拋物線與x軸有兩個交點，∴Δ=b2-4ac>0，∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點為-1,-2，∴a-b+c=-2，C符合題意，故選：C．8(2024·廣東·中考真題)若點0,y1,1,y2,2,y3都在二次函數(shù)y=x2()A.y>y>yB.y>y>yC.y>y>yy>y>y312321213132A得出函數(shù)圖象的對稱軸是y軸(直線x=0)y隨x即可．∶二次函數(shù)y=x的對稱軸為∴當(dāng)x>0時，y隨x的增大而增大，∵點0,y,1,y,2,y都在二次函數(shù)y=x20<1<2，2y312∴y>y>y，321故選∶A．9(2024·四川自貢·中考真題)一次函數(shù)y=x-2n+4y=x2+(n-1)x-3y=n+1xn的取值范圍是()A.n>-1CB.n>2C.-1<n<11<n<2-2n+4>0n-12->0，n+1>04解得：-1<n<1，∴n的取值范圍是-1<n<1，故選：C．10(2024·四川遂寧·中考真題)y=ax2+bx+c(abc線x=-1x軸交于點A1,0y軸的交點B在0,-20,-3之間(不含端點)論正確的有多少個(、、a≠0)的對稱軸為直)①abc>0；②9a-3b+c≥0；23③<a<1；④若方程ax2+bx+c=x+1兩根為m,nm<n-3<m<1<n．A.1B.2C.34Ba>0b=2a>0-3<c<-2-3,0c和b用a-3<-3a<-2y=ax2+bx+c和直線y=x+1與xa>0，∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=-1x軸交于點A1,0，b2a∴x=-=-1a+b+c=0，則b=2a>0，∵拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點B在0,-2，0,-3之間，∴-3<c<-2，則abc<0設(shè)拋物線與x軸另一個交點x,0，∵對稱軸為直線x=-1x軸交于點A1,0，∴1--1=-1-xx=-3，則9a-3b+c=0∵-3<c<-2a+b+c=0b=2a>0，523∴-3<-3a<-2<a<1根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A1,0和-3,0y=x+1過點-1,0和0,1方程ax2+bx+c=x+1兩根為故選：B．m,n滿足-3<m<1<n、、是常數(shù)，11(2024·江蘇連云港·中考真題)已知拋物線y=ax2+bx+c(abca<0)的頂點為(1,2)．小abc<0x>1時，y隨xax2+bx+c=0的一個根為312a=-y=ax2+2是由拋物線y=ax2+bx+c向左平移12個單位得到的．其中一定正確的是()A.①②B.②③C.③④②④Bb2a-=1a<0a+b+c=2a表示bcb2a-=1，b∴-=a，2∵a<0，b∴-<0即b>0，2∵a+b+c=2b=-2a∴c=2-a-b=2+a，∴c的值可正也可負(fù)，∴不能確定abc∵a<0，∴x=1對稱，當(dāng)x>1時，y隨x∵b=-2a,c=2+a，∴拋物線為y=ax2-2ax+2+a，6∵0=9a-6a+2+a，1∴a=-2∵拋物線y=ax2+bx+c=ax-12+2，將y=ax-1+2向左平移個單位得：，y=ax-1+12+2=ax2+21∴拋物線y=ax2+2是由拋物線y=ax2+bx+c向左平移1∴正確的有②③，故選：B．a(chǎn)表示bc的值是本題的關(guān)鍵．12(2024·四川廣安·中考真題)y=ax2+bx+c(abc，，為常數(shù)，的圖象與軸交于a≠0)x3212點A-,0x=-abc<0-1,y1和點2,y2112y<yam2+bm≤a-b(m為任意實數(shù))3a+4c=0．其中正確的有()124A.1個B.2個C.3個4個Bx軸交點問題逐項分析判斷即可.y軸正半軸交于一點，∴a<0c>0.b2a∵-<0，∴b<0.∴abc>0.故①錯誤；12∵對稱軸是直線x=--1,y和點2,y都在拋物線上，121212121212而---1=-+1=<2--=2，∴y>y.故②錯誤；12當(dāng)x=m時，y=am2+bm+c，121412當(dāng)x=-a2-b+c，∴對于任意實數(shù)m有：71412am2+bm+c≤a2-b+c，1412∴am2+bm≤a-bb2a12∵-=-，∴b=a.3當(dāng)x=-時，y=0，29432∴a-b+c=0.∴9a-6b+4c=03a+4c=0，故④正確..故選：B.坐標(biāo)軸的交點.13(2024·四川眉山·中考真題)y=ax2+bx+ca≠0的圖象與軸交于點xA3,0y軸交于點Bx=1bc<03a+2c<0ax2+bx≥a+b若-2<c<8343-1-<a+b+c<-()A.1個B.2個C.3個4Cc=-3a1323<a<b=-2a得到a+b+c=a-2a-3a=-4a∵函數(shù)圖象開口方向向上，∴a>0；∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴ab異號，∴b<0，∵拋物線與y軸交點在y軸負(fù)半軸，8∴c<0，∴bc>0②∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與軸交于點xA3,0yBx=1軸交于點，b2a∴-=1，∵b=-2a，∴x=-1時，y=0，∴a-b+c=0，∴3a+c=0，∴3a+2c<0③∵對稱軸為直線x=1a>0，∴y=a+b+c最小值，ax2+bx+c≥a+b+c，∴ax2+bx≥a+b，故③正確；④∵-2<c<-1，ca∴根據(jù)拋物線與相應(yīng)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得xx=-1×3=-3=，12∴c=-3a，∴-2<-3a<-1，1323∴<a<，∵b=-2a，∴a+b+c=a-2a-3a=-4a，8343∴-<a+b+c<-，故④正確；故選：Ca214(2024·福建·中考真題)已知二次函數(shù)y=x2-2ax+aa≠0的圖象經(jīng)過A,yB3a,y，21下列判斷正確的是()A.可以找到一個實數(shù)ay1>aC.可以找到一個實數(shù)ay2<0B.無論實數(shù)ay1>a無論實數(shù)ay2<0C-2a2x=-=a9坐標(biāo)為a,a-a2a>0a<0y時，，y21：∵二次函數(shù)解析式為y=x2-2ax+aa≠0，-2a∴x=-=aa,a-a2，2a2a2434當(dāng)x=時，y1=-a2+a=a-a2，a當(dāng)a>0時，0<<a，2∴a>y1>a-a2，a當(dāng)a<0時，a<<0，2∴a-a2<y1<a，故AB∵當(dāng)a>0時，0<a<2a<3a，由二次函數(shù)對稱性可知，y2>a>0，當(dāng)a<0時，3a<2a<a<0y2>a0，故C正確符合題意；D故選：C．15(2024·貴州·中考真題)y=ax2+bx+c的部分圖象與軸的一個交點的橫坐標(biāo)是x-3，頂點坐標(biāo)為-1,4()A.二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=1C.當(dāng)x<-1時，y隨x的增大而減小B.二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標(biāo)是2二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標(biāo)是3D斷選項ABCy軸的交點坐標(biāo)即可判定選項D．∶∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)為-1,4，∴二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=-1A錯誤；∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點的橫坐標(biāo)是-3x=-1，∴二次函數(shù)圖象與x軸的另一個交點的橫坐標(biāo)是1B錯誤；∵x=-1，10∴當(dāng)x<-1時，y隨xC錯誤；設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax+12+4，把-3,00=a-3+12+4解得a=-1，∴y=-x+12+4，，當(dāng)x=0時，y=-0+1+4=3，∴二次函數(shù)圖象與y軸的交點的縱坐標(biāo)是3D正確，故選D．16(2024·四川樂山·中考真題)已知二次函數(shù)y=x2-2x-1≤x≤t-1x=-1當(dāng)x=1t的取值范圍是()A.0<t≤2CB.0<t≤4C.2≤t≤4t≥2的關(guān)鍵．由y=x2-2x=x-12-1x=1，1-1x=-1y=時，3-13關(guān)于對稱軸對稱的點坐標(biāo)為33x=-1x=11≤t-1≤3：∵y=x2-2x=x-12-1∴x=11-1，，當(dāng)x=-1時，y=3，∴-13關(guān)于對稱軸對稱的點坐標(biāo)為33，∵當(dāng)x=-1x=1∴1≤t-1≤3，解得，2≤t≤4，故選：C．17(2024·黑龍江綏化·中考真題)二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0x=-1bc①>0②am2+bm≤a-b(m為任意實數(shù))③3a+c<1④若Mx,yNx,yx+x≤-3．其中正確的結(jié)論有()121211A.1個B.2個C.3個4個Ba<0b=2a<0即可判斷①，x=-1x=1時，y<0x+x=-2即可12：∵二次函數(shù)圖象開口向下∴a<0∵對稱軸為直線x=-1，b2a∴x=-=-1∴b=2a<0∵拋物線與yc>0bc∴<0∵x=-1,∴當(dāng)x=-1時，ya-b+c∴am2+bm+c≤a-b+c(m為任意實數(shù))即am2+bm≤a-b∵x=1時，y<0即a+b+c<0∵b=2a∴a+2a+c<0即3a+c<0∴3a+c<1∵M(jìn)x,yNx,y是拋物線上不同的兩個點，12∴M,N關(guān)于x=-1對稱，x1+x∴2=-1即x+x=-2故④不正確122正確的有②③12故選：B18(2024·四川廣元·中考真題)y=ax2+bx+c過點別為xx-1<x<02<x<3C0,-2x與軸交點的橫坐標(biāo)分1212①a-b+c<0；②方程ax2+bx+c+2=0有兩個不相等的實數(shù)根；③a+b>0；23④a>；⑤b2-4ac>4a．其中正確的結(jié)論有()A.1個B.2個C.3個4個Cx=-1時，y=ab2a12b2a-b+c>0y<-2x=-<-32<x=1時，y=a-b+c>0x=3時，y=9a+3b+c>0可判斷⑤；∵拋物線開口向上，-1<x<02<x<3，12∴當(dāng)x=-1時，y=a-b+c>0②∵拋物線y=ax2+bx+c過點∴函數(shù)的最小值y<-2，C0,-2，∴ax2+bx+c=-2有兩個不相等的實數(shù)根；∴方程ax2+bx+c+2=0③∵-1<x<02<x<3，12b2a12b2a32∴拋物線的對稱軸為直線x=-<-<，ba∴1<-<3a>0，∴-3a<b<-a，∴a+b<0④∵拋物線y=ax2+bx+c過點∴c=-2，C0,-2，∵x=1時，y=a-b+c>0，13即3a-3b+3c>0，當(dāng)x=3時，y=9a+3b+c>0，∴12a+4c>0，∴12a>8，23∴a>⑤∵-1<x<02<x<3，12∴x-x>2，21baca由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x+x=-xx=，1212b2-4ac4a214baca2∴=×--14===x+x2-xx121214x+x2-4xx21211414x-x2>×4=112b2-4ac4a2∴>1，∴b2-4ac>4a2故選：C．19(2024·黑龍江牡丹江·中考真題)y=ax2+bx+ca≠0與軸交于xA、43B兩點，A-3,0,B1,0y軸交點C的縱坐標(biāo)在-3~-2abc2>056<b<2ax2-bx=ax2-bx且x≠xx+x=-2y=-cx+c與拋物線y=ax2+bx+c112212121的一個交點(m,n)(m≠0)m=．其中正確的結(jié)論是()2A.①②④AB.①③④C.①②③①②③④關(guān)系是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意得到拋物線的解析式為y=ax2+2ax-3ab=2ac=-3a，-3<-3a<-2b=2a代入ax2-bx=ax2-bxb=1122142ac=-3a代入解方程求出m的值判斷④．y=ax+3x-1=ax2+2ax-3a，∴b=2ac=-3a，∴abc2=a?2a?-3a2=18a4>0∵點C的縱坐標(biāo)在-3~-2之間，43∴-3<-3a<-2<2a<2，43∴<b<2∵ax2-bx=ax2-bx，1122∴ax2-2ax=ax2-2axx2-2x-x2+2x=0，11221122∴x+x-2x-x=0，2121又∵x≠x，12∴x+x=21256∵令y-cx+c=ax2+bx+c5212∴ax-3a=ax2+2ax-3ax=0(舍)x=，111∴m=2故選A．20(2024·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題)的頂點AC在拋物線y=-x2+4在軸Dy上．若AC兩點的橫坐標(biāo)分別為mn(m>n>0)()mnA.m+n=1BB.m-n=1C.mn=1=1ACBD交于點EA作MN⊥y軸于點MB作BN⊥MN于點N△ANB≌△DMA(AAS)．可得AM=NBDM=AN．點AC的橫坐標(biāo)分別為mnm+n-m2-n2+8A(m,-m2+4)C(n,-n2+4)．E，M(0,-m2+4)D(0,b)B(m+n,-m2-22n2+8-b)N(m+n,-m2+4)BN=-n2+4-bAM=mAN=nDM=m2-4+b．再由AM=NB，DM=AN進(jìn)而可以求解判斷即可．15ACBD交于點EA作MN⊥y軸于點MB作BN⊥MN于點N，∵四邊形是正方形，∴ACBD互相平分，AB=AD∠=90°，∴∠+∠=90°∠M+∠ADM=90°，∴∠=∠ADM．∵∠BNA=∠AMD=90°=AD，∴△ANB≌△DMA(AAS)．∴AM=NBDM=AN．∵點AC的橫坐標(biāo)分別為mn，∴A(m,-m2+4)C(n,-n2+4)．m+n-m2-n2+8∴E，M(0,-m2+4)，22設(shè)D(0,b)B(m+n,-m2-n2+8-b)N(m+n,-m2+4)，，∴BN=-n2+4-bAM=mAN=nDM=m2-4+b．又AM=NBDM=AN，∴-n2+4-b=mn=m2-4+b．∴b=-n2-m+4．∴n=m2-4-n2-m+4．∴(m+n)(m-n)=m+n．∵點AC在yA在點C的右側(cè)，∴m+n≠0．∴m-n=1．故選：B．21(2024·四川宜賓·中考真題)y=ax2+bx+ca<0的圖象交軸于點xA-3,0、B1,0y軸于點Ca+b+c=0a+3b+2c<0ABC為頂點的三角形是23973等腰三角形時，c=7c=3△AOC內(nèi)有一動點POP=2CP+AP的最小值為．其中正確結(jié)論有()16A.1個B.2個C.3個4個CB1,0x=1時，y=a+b+c=0式求出b=2ac=-3aa+3b+2c=a+6a-6a=a軸為直線x=-1AC≠BCAB=4OC=cAC=AB=4時，當(dāng)BC=AB=44343況求出對應(yīng)的cc=3時，C03OC=3H-0PH=2323證明△HOP∽△POAPH=CP+AP=CP+PHP在線段23CH上時，CP+PHCP+APCHCH即可判斷④．：∵拋物線y=ax2+bx+ca<0的圖象經(jīng)過點∴當(dāng)x=1時，y=a+b+c=0B1,0，∵拋物線y=ax2+bx+ca<0的圖象交x軸于點A-3,0B1,0，-3+1∴拋物線對稱軸為直線x==-1，2b∴-=-1，2a∴b=2a，∴a+2a+c=0c=-3a，∴a+3b+2c=a+6a-6a=a，∵a<0，∴a+3b+2c<0∵對稱軸為直線x=-1，∴AC≠BC；∵A-3,0B1,0，∴OA=3OB=1，∴AB=4；在y=ax2+bx+ca<0x=0y=c時，，∴C0c，∴OC=c，當(dāng)AC=AB=4AC2=2+OC2∴42=32+c2，，∴c=7或c=-7(舍去)；同理當(dāng)BC=AB=4c=15；ABC為頂點的三角形是等腰三角形時，c=7或c=1517當(dāng)c=3時，C03OC=3，4343H-0PH=，432OP23∴∵∴====，OPOA23，OPOPOA，又∵∠HOP=∠POA，∴△HOP∽△POA，PHOPOA23∴==，2∴PH=，323∴CP+AP=CP+PH，23∴當(dāng)點P在線段CH上時，CP+PHCP+APCH的長，439732在Rt△OCHCH=2+OC2=+32=∴正確的有3個，故選：C．掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．22(2024·黑龍江齊齊哈爾·中考真題)y=ax2+bx+2a≠0的圖象與(x,0)2<x<3．結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：x軸交于-1,0，11①ab>0a-b=-2；③當(dāng)x>1時，y隨x的增大而減??；2a④關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0的另一個根是-；4⑤b的取值范圍為1<b<．其中正確結(jié)論的個數(shù)是()3A.2B.3C.45C18用結(jié)論④及題中條件2<x1<3可求得aa-b=-2可得b確．b2aa<0x=->0，∴b>0，∴ab<0-1,0-1,0代入y=ax2+bx+c可得∴a-b=-2a-b+2=0，∵該函數(shù)圖象與x軸的另一個交點為x,02<x<3，11b2a∴對稱軸x=-<1，b2ab2a∵x>-時，y隨著xx<-時，y隨著x的增大而增大，∴當(dāng)x>1時，y隨著x的增大而減小，∴③正確；∵b=a+2c=2，-b±b2-4ac∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+a+2x+2=0a≠0的根為x==2a-a+2±a+2-8a-a+2±a-2=，2a2a∵a<0，-a+2-2-a-a+2+2-a=-x2=2a∴x1=∴④正確；∵2<x1<32<-<3，=-1，2a2a2a23解得-1<a<-，∵a-b=-2即a=b-2，23∴-1<b-2<-，43∴1<b<，∴⑤正確．4個．故選：C．x1923(2024·四川內(nèi)江·中考真題)已知二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖象向左平移兩個單位得到拋物線CP2,yQ3,y在拋物線Cy1y(填“<”)；21<C的解析式為y=x+1：y=x2-2x+1=x-1，∵二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖象向左平移兩個單位得到拋物線C，∴拋物線C的解析式為y=x+12，∴x=-1，∴當(dāng)x>-1時，y隨x的增大而增大，∵2<3，∴y<y，12故答案為：<．24(2024·吉林長春·中考真題)若拋物線y=x2-x+c(c是常數(shù)與的取值范圍是)xc．14c>y=ax2+bx+c交點與x2-x+c=0沒有實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．由拋物線與xc的一元一次不等式求解即可．與xy=ax2+bx+c與軸沒有x：∵拋物線y=x2-x+c∴x2-x+c=0沒有實數(shù)根，與x軸沒有交點，14∴Δ=12-4×1×c=1-4c<0c>．14故答案為：c>．25(2024·黑龍江牡丹江·中考真題)將拋物線y=ax2+bx+3向下平移5-2,4，則6a-3b-7=2．2a-b=3代入變形后代數(shù)式即可．y=ax2+bx+3向下平移個單位長度后得到y(tǒng)=ax2+bx+3-5=ax2+bx-2，5把點-2,4代入得到，4=a×-2-2b-2，得到2a-b=3，∴6a-3b-7=32a-b-7=3×3-7=2，故答案為：226(2024·四川成都·中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Ax,y1Bx,y2Cx,y3是二次函數(shù)y=-x2+4x-1圖象上三點．若0<x<1x>4yy(填“<”)m<x<m+1，1212120m+1<x<m+2m+2<x<m+3y<y<ym的取值范圍是．2313212>-<m<1y=-x2+4x-1=-x-22+3得拋物線的對稱軸為直線x=2∵0<x<1x>4，12∴x-2<x-2，12∴y>y；12∵m<m+1<m+2m<x<m+1m+1<x<m+2m+2<x<m+3，123∴x<x<x，123∵存在y<y<y，132∴x<2x>2Ax,y離對稱軸最遠(yuǎn)，Bx,y離對稱軸最近，213112∴2-x>x-2>x-2x+x<4x+x>4，1321323∵2m+2<x+x<2m+42m+3<x+x<2m+5，1323∴2m+2<4且2m+5>4，1解得-<m<1，212故答案為：>-<m<1．27(2024·上?！ぶ锌颊骖})對于一個二次函數(shù)y=a(x-m)2+k(a≠0)中存在一點Px′,y′x′-m1213=y′-k≠02x′-my=-x2+x+．4121-=13-y-k=a(x-m)2中存在一點Px′,y′x′-m=y′-k-k(-m)21≠0a==，-m1213∵y=-x2+x+31223=-=-=-x2-x+312231919x2-x2-x+-+3122319118x+++321121355182=-x-+，121312111∴y=-x2+x+3中存在一點Px′,y′-=-=-22x′-=4，3313-1213∴拋物線y=-x2+x+4，故答案為：4．，，是常數(shù)，兩點，28(2024·湖北武漢·中考真題)拋物線y=ax2+bx+c(abca<0)經(jīng)過-1,1m,1且0<m<1．下列四個結(jié)論：①b>0；②若0<x<1ax-1+bx-1+c>1；③若a=-1x的一元二次方程ax2+bx+c=2無實數(shù)解；1212④點Ax,y1Bx,y2x+x>-x>xy<y0<m≤．121212其中正確的是(填寫序號)．12-1+m-<<02-1,1，m,1兩點之間的距離大于1-1,1得出c=b+2-1+m21214-<≤-：∵y=ax，，是常數(shù)，2+bx+c(abca<0)經(jīng)過-1,1m,10<m<1．b2a-1+m12-1+m∴對稱軸為直線x=-=-<<0，22b2a∵x=-<0a<0∴b<0∵0<m<1∴m--1>1-1,1，m,1兩點之間的距離大于1又∵a<0∴x=m-1時，y>1∴若0<x<1ax-12+bx-1+c>112-1+m③由①可得-<<0，212b2∴-<<0-1<b<0，當(dāng)a=-1y=-x2+bx+c4ac-b24a-4c-b2-4設(shè)頂點縱坐標(biāo)為t==∵拋物線y=-x2+bx+c(abc是常數(shù)，a<0)經(jīng)過-1,1，∴-1-b+c=122∴c=b+2-4c-b2b2+4c141414∴t===b2+c=b2+b+2=b+2+1-4414∵-1<b<0，>0b=-2，∴當(dāng)b=0時，t取得最大值為2b<0，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=212④∵a<0Ax,y1Bx,y2在拋物線上，x+x>-x>xy<y，121212x1+x14又x=2>-，214∴點Ax,y離x=-較遠(yuǎn)，1112-1+m14∴對稱軸-<≤-212解得：0<m≤1329(2024·四川德陽·中考真題)y=ax2+bx+c的頂點A的坐標(biāo)為-,nx軸的一個交點位于0和1abc>05b+2c<0-6,y1,5,y2y>y12若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=4n<4．其中正確結(jié)論是()請?zhí)顚懶蛱枺產(chǎn)32=bx=1時，y=a+b+c<0-6,y,5,y兩點12橫坐標(biāo)與對稱軸的距離為dd12根據(jù)圖象即可判斷．∵拋物線y=ax2+bx+c的頂點A的坐標(biāo)為-13,n，b2a13∴-=-，b2a13∴=>0ab>0，a<0，23∴b<0，當(dāng)x=0時，y=c>0，∴abc>013②∵直線x=-是拋物線的對稱軸，b2a13∴-=-，b2a13∴=>0，32∴a=bx=1時，y=a+b+c<0，52∴b+c<05b+2c<013③∵直線x=-是拋物線的對稱軸，設(shè)-6,y1,5,y2兩點橫坐標(biāo)與對稱軸的距離為dd，121317313163則d1=-6--=d2=5--=，∴d<d，21∴y<y12④如圖，∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=4無實數(shù)根，∴n<430(2024·山東煙臺·中考真題)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的與的部分對應(yīng)值如下表：yxxy-4-3-1155059-27abc>0x的一元二次方程ax2+bx+c=9-4<x<1時，y24的取值范圍為0<y<5m,y1-m-2,y2y=yax2+b+1x12+c<2的x的取值范圍是x<-2或x>3．其中正確結(jié)論的序號為．a(chǎn)bc圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．-4,0-1,91,5代入y=ax2+bx+c得，16a-4b+c=0a-b+c=9a+b+c=5，a=-1解得b=-2，c=8∴abc>0∵a=-1b=-2c=8，∴y=-x2-2x+8，當(dāng)y=9時，-x2-2x+8=9∴x2+2x+1=0，，∵Δ=22-4×1×1=0，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=9-3+1∵拋物線的對稱軸為直線x==-1，2∴拋物線的頂點坐標(biāo)為-1,9，又∵a<0，∴當(dāng)x<-1時，y隨xx>-1時，y隨xx=-19，∵x=-3與x=15，∴當(dāng)-4<x<1時，y的取值范圍為0<y≤9m+-m-2∵=-1，2∴點m,y，-m-2,y關(guān)于對稱軸x=-1對稱，12∴y=y12由ax2+b+1x+c<2得ax2+bx+c<-x+2，即-x2-2x+8<-x+2，畫函數(shù)y=-x2-2x+8和y=-x+2圖象如下：y=-x+2y=-x2-2x+8x1=2x2=-3，由，y1=0y2=525∴A2,0B-3,5，x<-3或x>2時，-x2-2x+8<-x+2ax2+b+1x+c<231(2024·江蘇揚州·中考真題)y=-x2+bx+c的圖像與軸交于兩點．x，A(-2,0)B(1,0)(1)求bc的值；(2)若點P△的面積為6P的坐標(biāo)．(1)b=-1c=2(2)P(2-4)P(-3-4)12的關(guān)鍵．(1)運用待定系數(shù)法即可求解；(2)根據(jù)題意設(shè)Pm,nP(1)y=-x2+bx+c的圖像與軸交于x，兩點，A(-2,0)B(1,0)-4-2b+c=0∴，-1+b+c=0b=-1解得，，c=2∴b=-1c=2；(2)解(1)可知二次函數(shù)解析式為：y=-x2-x+2A(-2,0)B(1,0)，∴AB=1-(-2)=3，設(shè)Pm,n，12∴S=AB·n=6，∴n=4，∴n=±4，∴當(dāng)-x2-x+2=4時，Δ=1-8=-7<0當(dāng)-x2-x+2=-4時，x=-3x=2，；12∴P(2-4)P(-3-4)．122632(2024·安徽·中考真題)已知拋物線y=-x2+bx(b為常數(shù)的頂點橫坐標(biāo)比拋物線點橫坐標(biāo)大1．(1)求b的值；(2)點Ax,y在拋物線y=-x2+2xBx+t,y+h在拋物線y=-x2+bx上．)y=-x2+2x的頂1111(ⅰ)若h=3tx1≥0t>0h的值；(ⅱ)若x1=t-1h的最大值．(1)b=4103(2)(ⅰ)3(ⅱ)解題關(guān)鍵．(1)根據(jù)題意求出y=-x2+2x的頂點為1,1y=-x2+bx(b為常數(shù))的頂點橫坐標(biāo)為2解；(2)根據(jù)題意得出y=-x2+2xy+h=-(x+t)2+4(x+t)h=-t2-2xt+2x+4t(ⅰ)11111111將h=3t代入求解即可；(ⅱ)將x1=t-1(1)解：y=-x2+2x=-(x2-2x+1)+1=-(x-1)2+1∴y=-x2+2x的頂點為1,1，，∵拋物線y=-x2+bx(b為常數(shù))的頂點橫坐標(biāo)比拋物線y=-x2+2x的頂點橫坐標(biāo)大1，∴拋物線y=-x2+bx(b為常數(shù))的頂點橫坐標(biāo)為2，b∴-=2，2×-1∴b=4；(2)由(1)得y=-x2+bx=-x2+4x∵點Ax,y在拋物線y=-x2+2x上Bx+t,y+h在拋物線y=-x2+4x上．1111∴y=-x2+2xy+h=-(x+t)2+4(x+t)，111111整理得：h=-t2-2xt+2x+4t11(ⅰ)∵h(yuǎn)=3t，∴3t=-t2-2xt+2x+4t，11整理得：tt+2x1=t+2x1，∵x1≥0t>0，∴t=1，∴h=3；(ⅱ)將x=t-1代入h=-t2-2xt+2x+4t，111431032整理得h=-3t2+8t-2=-3t-+，∵-3<0，4313103∴當(dāng)t=x1=時，h取得最大值為．2733(2024·北京·中考真題)在平面直角坐標(biāo)系xOyy=ax2-2axa≠0.(1)當(dāng)a=1(2)已知Mx,y和Nx,y是拋物線上的兩點.若對于x=3a3≤x≤4y<ya的取值范圍.21121212(1)1,-1；(2)0<a<1或a<-4(1)把a(bǔ)=1代入y=ax2-2ax(2)分①a>0和a<0(1)a=1代入y=ax2-2ax得，y=x2-2x=x-12-1，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為1,-1；-2a22a(2)x=-=a；①當(dāng)a>03a<3，∴a<1，又∵a>0，∴0<a<1；當(dāng)a<0-a>4，解得a<-4，又∵a<0，∴a<-4；0<a<1或a<-4y<y．1234(2024·浙江·中考真題)已知二次函數(shù)y=x2+bx+c(bc為常數(shù)的圖象經(jīng)過點A(-2,5))12線x=-．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點B(1,7)向上平移2m(m>0)y=x2+bx+c的圖象m的值；94(3)當(dāng)-2≤x≤ny=x2+bx+c的最大值與最小值的差為n的取值范圍．(1)y=x2+x+3(2)m=41(3)-≤n≤12(1)采用待定系數(shù)法即可求解二次函數(shù)關(guān)系式；(2)先求出平移后點B1212(3)分為n<--≤n<1時，n>112122(1)y=x++kA(-2,5)代入得-2++k=5，228114解得k=，121142∴y=x++=x2+x+3；(2)解B平移后的點的坐標(biāo)為1-m,9，則9=1-m2+1-m+3m=4m=-1(舍，或)∴m的值為4；1(3)解n<-時，2121194122∴最大值與最小值的差為5-n++=：n=n=-1241當(dāng)-≤n<1時，211494∴最大值與最小值的差為5-當(dāng)n>1時，=12114114942最大值與最小值的差為n++-=n=1或n=-21212綜上所述，n的取值范圍為-≤n<1．35(2024·廣西·中考真題)x的二次函數(shù)y=x2+2ax+a-3的最值問題展開探究．(1)老師給出a=-4y=x2+2ax+a-3的最小值．①請你寫出對應(yīng)的函數(shù)解析式；②求當(dāng)xyy值；ax取何值時，y下表：ax???-4-20024???**2-2-5-4-15y的最小值-9-3注：*為②的計算結(jié)果．a(chǎn)x=-ayy的最小值隨aa由小變大時，yy(2)請結(jié)合函數(shù)解析式y(tǒng)=x2+2ax+a-3(3)114(1)①y=x2-8x-7x=4時，有最小值為y-23(2)見解析(3)正確，-(1)①把a(bǔ)=-429(2)(3)y：(1)①把a(bǔ)=-4代入y=x2+2ax+a-3y=x2+2?-4x+-4-3=x2-8x-7；∴y=x2-8x-7；②∵y=x2-8x-7=x-42-23∴當(dāng)x=4時，y有最小值為-23；(2)∵y=x2+2ax+a-3=x+a2-a2+a-3，，∵拋物線的開口向上，∴當(dāng)x=-a時，y有最小值；∴甲的說法合理；(3)正確；∵y=x2+2ax+a-3=x+a2-a2+a-3，∴當(dāng)x=-a時，y有最小值為-a2+a-3，121142即：y=-a2+a-3=-a--，12114∴當(dāng)a=時，y-．3236(2024·云南·中考真題)已知拋物線y=x2+bx-1的對稱軸是直線m5-33x=．設(shè)是拋物線my=x2+bx-1與xM=．109(1)求b的值；132(2)比較M與的大?。?1)b=-33+131323-13132(2)當(dāng)M=時，M>M=時，M<時，M<．．22b2a(1)由對稱軸為直線x=-直接求解；3+131323-13132(2)當(dāng)M=時，M>M=2232(1)解：∵拋物線y=x2+bx-1的對稱軸是直線x=，b32∴-=，2×1∴b=-3；(2)解：∵m是拋物線y=x2+bx-1與x軸交點的橫坐標(biāo)，∴m2-3m-1=0，∴m2-1=3m，30∴m4-2m2+1=9m2，∴m4=11m2-1，而m2=3m+1代入得：m4=113m+1-1=2=33m+10，∴m5=m?m4=33m+10m=33m2+10m=333m+1+10m=109m+33，m5-33109109m+33-33∴M===m，109∵m2-3m-1=0，3±13解得：m=，23+131323+1313232當(dāng)M=m=時，M-==--==>022132∴M>；3-131323-131323-213當(dāng)M=m=時，M-<0，222132∴M<．x鍵是對m5進(jìn)行降次處理．37(2024·四川成都·中考真題)xOyLy=ax2-2ax-3aa>0與x軸交于AB兩點(點A在點B的左側(cè))CD是拋物線第四象限上一點．(1)求線段AB的長；(2)當(dāng)a=1時△的面積與△ABDtan∠ABD的值；(3)延長交x軸于點EAD=時△沿方向平移得到△．將拋物線L平移得到拋物線都落在拋物線上．試判斷拋物線與L(1)AB=4103(2)tan∠ABD=(3)拋物線與L交于定點3,0(1)根據(jù)題意可得ax2-2ax-3a=0x2-2x-3=0A-1,0,B3,0,AB=4則有；(2)由題意得拋物線Ly=x2-2x-3=x-12-4C1,-4,設(shè)Dn,n2-2n-3,0<n<3S=-2n2+4n+6AD解析式為y=n-3x+1AD與拋物線對稱軸交于3173209點EE1,2n-6S=n2-1D,-D作DH⊥AB于點BHH23209DHBH=,DH=tan∠ABD=；(3)設(shè)Dn,an2-2an-3a,可求得直線AD解析式為y=an-3x+1D作DM⊥ABAM=n+1,DM=-an2+2an+3aEM=n+1,n,-an2+2an+3a,n+4,-an2+2an+3a,設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+ca>0可求得拋物線解析式為y=ax2+-2an-4ax+6an+3aax2-2ax-3a=ax2+-2an-4ax+6an+3a解得x=3線與L交于定點3,0．(1)解：∵拋物線Ly=ax2-2ax-3aa>0與軸交于，兩點，xAB∴ax2-2ax-3a=0x2-2x-3=0x=-1,x=3,12∴A-1,0,B3,0,則AB=3--1=4；(2)當(dāng)a=1Ly=x2-2x-3=x-12-4，則C1,-4,1212設(shè)Dn,n2-2n-3,0<n<3S=AB?y=-×4×n2-2n-3=-2n2+4n+6，D設(shè)直線AD解析式為y=kx+1，∵點D在直線AD上，∴n2-2n-3=kn+1k=n-3，則直線AD解析式為y=n-3x+1，設(shè)直線AD與拋物線對稱軸交于點EE1,2n-6，1212∴S=CE?x-x=A×2n-6--4×n+1=n2-1，D∵△的面積與△ABD的面積相等，73∴-2n2+4n+6=n2-1n=-1,n=，1273209∴點D,-，7323209過點D作DH⊥AB于點HBH=3-=,DH=，DHBH103則tan∠ABD==；(3)設(shè)Dn,an2-2an-3a,直線AD解析式為y=kx+1，1則an2-2an-3a=kn+1k=an-3a，11那么直線AD解析式為y=an-3x+1，過點D作DM⊥AB則AM