模型20 軸對(duì)稱-婆羅摩笈多模型-原卷版

軸對(duì)稱模型（二十）——婆羅摩笈多模型一、垂直中點(diǎn)【結(jié)論1】如圖，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，若MN⊥CE，則①點(diǎn)N是AD的中點(diǎn)，②S＝S，③CE＝2BN.【證明】如圖，（知垂直得中點(diǎn)，一線三垂直）過(guò)A作AP⊥MN，垂足為P，過(guò)D作DQ⊥MN交MN的延長(zhǎng)線于Q，易證：△ABP≌△BCM,AP＝BM,△DQB≌△BME,DQ＝BM∴AP＝DQ易證：△APN≌△DQN∴AN＝DN②如圖，由①知，S＝S，S＝S，S＝S∴S＝S＋S＝S＋S＋S－S＝S＋S＝S＋S＝S,即S＝S，得證.③如圖，由①得，PN＝QN，∴CE＝CM＋EM＝BP＋BQ＝BN－NP＋BN＋QN＝2BN，得證.二、中點(diǎn)垂直【結(jié)論2】如圖，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，點(diǎn)P是CE的中點(diǎn)，PB的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)Q，則①PQ⊥AD，②S＝S,③AD=2BP【證明】如圖，（知中點(diǎn)得垂直，倍長(zhǎng)中線）證明：延長(zhǎng)BP至點(diǎn)M，使PM＝BP，連結(jié)ME，易證：△PBC≌PME∴BC＝ME，BC∥ME∵AB＝AC∴AB＝EM，∵BC∥ME，∴∠CBE＋∠BEM＝180°，又∵∠ABC＝∠DBE＝90°∴∠CBE＋∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠MEB，易證：△ABD≌△MEB，∴∠2＝∠1，∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴∠DQP＝90°②如圖，由①知S＝S＋S＝S＋S＝S＝S,得證.③如圖，由①知AD＝MB＝2BP，得證。婆羅摩笈多定理：若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊。這個(gè)定理有另一個(gè)名稱，叫做“布拉美古塔定理”（又譯“卜拉美古塔定理”）。 拓展1：如圖，△AOB和△COD是等腰直角三角形，MN過(guò)點(diǎn)O，⑴若MN⊥AD，則點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，②S＝S，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中點(diǎn)，則①M(fèi)N⊥AD，②S＝S，③AD＝2OM. 拓展2：如圖，△AOB和△COD是等腰三角形，∠AOB＋∠COD=180o，MN過(guò)點(diǎn)O.N在AD延長(zhǎng)線上.⑴若∠ANM＝∠AOB，則M是BC的中點(diǎn)，②S＝S，③AD＝2OM.⑵若M是BC的中點(diǎn)，則②∠ANM＝∠AOB，②S＝S，③AD＝2OM. 拓展3：如圖，△AOB≌△COD且∠AOB＝∠COD=180o，MN過(guò)點(diǎn)O.⑴若M是BC的中點(diǎn)，則①AD＝2OM，②S＝S.⑵若N是AD的中點(diǎn)，則①BC＝2ON，②S＝S.拓展4：如圖，在△AOB、△COD中，，且∠AOB＋∠COD=180o，則S＝S.1．（江西省南昌市第十九中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，求證：DE＝2AM.1．（河北省石家莊市石家莊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）閱讀情境：在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們探究“全等的等腰直角三角形圖形變化問(wèn)題”如圖1，，其中，，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，操作探究1:（1）小凡將圖1中的兩個(gè)全等的和按圖2方式擺放，點(diǎn)落在上，所在直線交所在直線于點(diǎn)，連結(jié)，求證：．操作探究2:（2）小彬?qū)D1中的繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，然后，分別延長(zhǎng)，，它們相交于點(diǎn)．如圖3，在操作中，小彬提出如下問(wèn)題，請(qǐng)你解答：①時(shí)，求證：為等邊三角形；②當(dāng)__________時(shí)，．（直接回答即可）操作探究3:（3）小穎將圖1中的繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度，線段和相交于點(diǎn)，在操作中，小穎提出如下問(wèn)題，請(qǐng)你解答：①如圖4，當(dāng)時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)為_(kāi)________．②如圖5，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段的長(zhǎng)為_(kāi)___________．2．（重慶市沙坪壩區(qū)第一中學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題）已知，，，點(diǎn)線段中點(diǎn)，連接．為平面內(nèi)一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，線段與線段交于點(diǎn)，若，，求的面積；(2)如圖2，若點(diǎn)在的內(nèi)部連接、，線段交線段于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求證：；(3)如圖3，過(guò)作的平行線，交直線于點(diǎn)．連接．將沿翻折得到，當(dāng)線段最短時(shí)，直接寫出此時(shí)的值．1．（2021年四川省達(dá)州市開(kāi)江縣永興中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試題）我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B'C'，當(dāng)a+β＝180°時(shí)，我們稱△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB'C邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”．(1)[特例感知]在圖2，圖3中，△AB'C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形，且BC＝6時(shí)，則AD長(zhǎng)為．②如圖3，當(dāng)∠BAC＝90°，且BC＝7時(shí)，則AD長(zhǎng)為．(2)[猜想論證]在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．（如果你沒(méi)有找到證明思路，可以考慮延長(zhǎng)AD或延長(zhǎng)B'A，…）(3)[拓展應(yīng)用]如圖4，在四邊形ABCD中，∠BCD＝150°，AB＝12，CD＝6，以CD為邊在四邊形ABCD內(nèi)部作等邊△PCD，連接AP，BP．若△PAD是△PBC的“旋補(bǔ)三角形”，請(qǐng)直接寫出△PBC的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)及四邊形ABCD的邊AD長(zhǎng)．2．（2020年湖北省隨州市曾都區(qū)九年級(jí)升學(xué)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題）我們定義：如圖1，在中，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．當(dāng)時(shí)，我們稱是的“旋補(bǔ)三角形”，邊上的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”．【特例感知】（1）在圖2，圖3中，是的“旋補(bǔ)三角形”，是的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)為等邊三角形，且時(shí)，則長(zhǎng)為．②如圖3，當(dāng)，且時(shí)，則長(zhǎng)為．【猜想論證】