《工程流體力學》第5章 流體動力學

工程流體力學

第五章流體動力學§5-1雷諾輸運定理一、雷諾實驗1883年英國科學家雷諾(Reynolds)通過實驗研究，發(fā)現(xiàn)流體有兩種不同的流動狀態(tài)，即層流和紊流。當管中水流速度較小時，染色水在玻璃管中保持一條直線，不與周圍的水相混，這說明流體只做軸向運動，而無橫向運動，此時水在管中分層運動，各層間互不干擾、互不相混，這種流動狀態(tài)稱為層流?！?-1雷諾輸運定理當管中水流速度達到某一數(shù)值時，水線開始呈波紋狀，流體質(zhì)點出現(xiàn)了與軸向垂直的橫向運動，流體的運動不再只是層狀流動，開始躍層運動，這種狀態(tài)稱為過渡狀態(tài)。管中流速增大到一定程度，染色水線在管中劇烈波動、斷裂并混雜在許多小旋渦中，隨機地充滿整個管子截面，此時管中流體質(zhì)點在向前流動時，處于完全無規(guī)則的亂流狀態(tài)，這種流動狀態(tài)稱為紊流?！?-1雷諾輸運定理二、臨界雷諾數(shù)管中流動呈何種流態(tài)，除了與流體的平均流速有關外，還與管徑d、流體的密度ρ、粘度μ等因素有關：式中的Re稱為雷諾數(shù)。上式說明雷諾數(shù)與平均速度和管徑成正比，與流體的運動粘度成反比。如果管徑及流體運動粘度一定，則雷諾數(shù)只隨平均速度變化。實驗中發(fā)現(xiàn)流體由紊流轉(zhuǎn)變?yōu)閷恿鲿r的平均流速與由層流轉(zhuǎn)變?yōu)槲闪鲿r的平均流速不同。這兩個流速分別稱為下臨界流速

和上臨界流速，相應的雷諾數(shù)分別稱為下臨界雷諾數(shù)Rec。及上臨界雷諾數(shù)Rec’，即§5-1雷諾輸運定理二、臨界雷諾數(shù)雷諾通過實驗測得上臨界雷諾數(shù)為大于4,000的不確定量，其數(shù)值受外界擾動的影響而發(fā)生變化，下臨界雷諾數(shù)為2,000。通常:屬紊流流動屬層流流動屬不穩(wěn)定狀態(tài)，可能是層流也可能是紊流在實際工程上為簡化分析起見，對于圓管中流動一般認為，當時流動為紊流，當時流動為層流。而對理想流體，不存在粘性應力，也沒有層流、紊流的概念，討論雷諾數(shù)是無意義的?！?-1雷諾輸運定理三、雷諾運輸方程設在某時刻的流場中，單位體積流體的物理量分布函數(shù)值為，則t時刻在流體域τ上的流體所具有的總物理量為I(t)，即設t時刻體積在空間τ(t)的位置上，在t+△t時刻該體積到達另一位置τ(t+△t)，如圖所示。由導數(shù)定義:式中為:§5-1雷諾輸運定理現(xiàn)將τ(t+△t)分為兩部分，即與τ(t)重合的部分τ2和τ(t+△t)新占有的區(qū)域部分τ1，又設從τ(t)空出區(qū)域部分為τ3，故有式中，τ2+τ3即為體積τ，于是相應的體積分為因此有：式(5-10)§5-1雷諾輸運定理式(5-10)等號右側(cè)3項分別有：將上述3式帶入式(5-10)得：此式表明，某時刻一可變體積上系統(tǒng)總物理量對時間的變化率，等于該時刻所在空間域(控制體)中物理量的時間變化率以及單位時間通過該空間域邊界凈輸運的流體物理量之和，這就是著名的雷諾(Reynolds)輸運定理，又稱作雷諾運輸方程?！?-2連續(xù)方程的微分和積分形式一、連續(xù)方程的積分形式根據(jù)質(zhì)量守恒定律，體系內(nèi)流體的質(zhì)量在流動過程中不隨時間而變化，則適用的連續(xù)方程為利用雷諾運輸公式，可把式變成如下形式這就是適用于控制體的積分形式的連續(xù)方程，它說明控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增加率等于通過控制面A進出的流體凈流入率。對于定常流，由于，則連續(xù)方程變?yōu)榛蚧蚴?5-18)對于一維定常流動，式(5-18)可寫為或式(5-17)§5-2連續(xù)方程的微分和積分形式二、連續(xù)方程的微分形式利用高斯散度定理把方程式(5-17)中的面積分項改寫為體積分項，即式(5-20)把式(5-20)代入(5-17)，于是有由于積分體積τ是任意取的，且假定被積函數(shù)連續(xù)，因此，只有當括號內(nèi)的值處處為零時，積分才可能為零。于是就得到微分形式的連續(xù)方程，即式(5-22)將式(5-22)中項展開，則式(5-23)§5-2連續(xù)方程的微分和積分形式將式(5-23)代入式(5-22)，有因為則有這是另一種形式的微分形式連續(xù)方程，它與方程式(5-22)完全等價。對于可壓縮流體的定常流動，微分形式的連續(xù)方程為對于不可壓縮流體，因為，則有連續(xù)方程這說明不可壓縮流體在流動過程中速度V的散度，即體積膨脹率處處為零?！?-3動量方程的微分和積分形式一、動量方程的積分形式對于某瞬時占據(jù)空間固定體積τ的流體所構(gòu)成的體系，由牛頓運動第二定律可知，體系的動量隨時間的變化率等于作用在該體系上所有外力的合力，即利用雷諾輸運公式，則式(5-29)可寫為式(5-29)

式(5-30)式(a)§5-3動量方程的微分和積分形式

式(b)負號表示壓強方向與表面外法線方向相反。將式(a)與式(b)代入式(5-30)，則有對于支教坐標系，其三個分量形式為對于定常流，式(5-31a)變?yōu)槭?5-31a)式(5-31b)§5-3動量方程的微分和積分形式二、動量方程的微分形式為了得到無粘流體的微分形式的動量方程，可采用高斯定理，把積分形式的動量方程式(5-31a)中的面積分轉(zhuǎn)換成體積分，于是壓力項變?yōu)槭?5-35)動量通量項變?yōu)閯t式(5-31a)左端變?yōu)椤?-3動量方程的微分和積分形式式(5-35)代入式(5-31a)，便有式(5-38a)因為τ是任意取的，且假定被積函數(shù)連續(xù)，由此可知，被積函數(shù)恒為零，即或這就是理想流體的微分形式的動量方程，又稱為歐拉運動微分方程。令Π代表粘性應力張量，可以推出粘性流體的動量方程為或式(5-38b)式(5-37a)式(5-37b)§5-3動量方程的微分和積分形式對于無粘氣體，可以忽略質(zhì)量力，即R=0，代入式(5-38a)于是有對于定常流動，從式(5-37a)則有上述矢量形式的歐拉運動微分方程也可改寫成直角坐標系或其他坐標系中的相應形式。式(5-39)式(5-40)§5-4能量方程的微分和積分形式能量方程是熱力學第一定律應用于流動流體時的數(shù)學表達式。對于某瞬間占據(jù)空間體積τ的流體所構(gòu)成的體系，熱力學第一定律可表述如下：單位時內(nèi)外界傳給體系的熱量等于體系所儲存的總能量的增加率加上體系對外界輸出的功率，即

§5-4能量方程的微分和積分形式體系所儲存的總能量包括內(nèi)能和動能，以e代表單位質(zhì)量流體的總內(nèi)能(又稱為廣義內(nèi)能)

則整個體系所具有的總內(nèi)能E為§5-4能量方程的微分和積分形式由于外力有質(zhì)量力和表面力，故體系對外界所做的功也可分為克服質(zhì)量力和表面力所做的功兩種。規(guī)定體系對外界做功取正值，外界對體系做功取負值。設單位質(zhì)量流體所受的質(zhì)量力為R，則單位時間作用于體系上的質(zhì)量力對體系所做的功為這里所研究的是理想流體，不存在粘性剪切力，因而克服粘性剪切力所做的功為零。因此，表面力所做的功可以表示成積分號前未加負號是因為它是表示體系對外界所做的功，按規(guī)定應為正。則體系的能量方程可以寫成式(5-43)§5-4能量方程的微分和積分形式一、能量方程的積分形式根據(jù)雷諾輸運公式，則式(5-43)中控制體內(nèi)流體所儲存的能量隨時間的變化率項可以寫成

式(5-46)§5-4能量方程的微分和積分形式

把上面所得到的有關關系式代入式(5-43)，整理后得到把面積分項加以合并，則有式(5-49)這就是適用于控制體的積分形式能量方程式。方程式中的面積分項的積分面積A是指整個控制表面?！?-4能量方程的微分和積分形式

式(5-51)§5-4能量方程的微分和積分形式考慮到固體表面上不會產(chǎn)生流體的流進和流出。因此可以把上式寫成

式(5-53a)式(5-52)式(5-54a)§5-4能量方程的微分和積分形式

式(5-53b)式(5-54b)§5-4能量方程的微分和積分形式二、能量方程的微分形式為了得到微分形式的能量方程，利用高斯定理把適用于控制體的積分形式能量方程式(5-53a)中的面積分項改成體積分項，即這時能量方程式(5-53a)變成

式(5-57)§5-4能量方程的微分和積分形式由于積分體積τ是任意取的，且假定積分號內(nèi)的各參數(shù)都是連續(xù)的，因此被積函數(shù)必然等于零，即由于把這兩個關系式代入式(5-58)，整理后得到式(5-58)式(5-61)§5-4能量方程的微分和積分形式注意到連續(xù)方程式為以及隨體導數(shù)的表達式最后便可得到式(5-64)這就是微分形式的能量方程。§5-4能量方程的微分和積分形式對于粘性流體，令H代表總焓，e代表內(nèi)能，在不考慮勢能時則可以證明有下面兩式成立，即式中，Φ為耗散函數(shù)，其表達式為式中，?為變形率張量。如果質(zhì)量力是重力，方程式(5-64)則變成式(5-68)§5-4能量方程的微分和積分形式當流體流動過程與外界既無熱量交換又無機械功輸入輸出，并且流動為定常流時，則式(5-68)可簡化為根據(jù)隨體導數(shù)的物理意義可知，式(5-69)表明在絕能定常流動過程中，單位質(zhì)量流體所包含的熔值、動能與勢能之和(亦即具有的總能量)保持不變，即上式說明，在多維定常絕能流動中流體所具有的總能量沿跡線保持不變，由于定常流跡線與流線重合，因此沿流線流體總能量亦保持不變。一般情況下，不同流線的流體所具有的總能量是不相同的，只有當起始點上流體所具有的總能量相等，那么在整個流場上流體所具有的總能量才處處相等，這種流動叫做均能流。式(5-70)§5-5伯努利方程及其應用

式(5-71)由幾何關系將流體元的加速度轉(zhuǎn)換為歐拉形式的加速度，沿流線方向的質(zhì)點導數(shù)式為式(5-75)則式(5-71)可表示為上式為無粘性流體沿流線的運動微分方程，又稱為一維歐拉運動方程。為將方程沿流線積分，式(5-75)兩邊乘以ds并移向，又因可得式(5-77)§5-5伯努利方程及其應用§5-5伯努利方程及其應用式(5-78)將式(5-77)沿流線積分式(5-78)稱為歐拉運動方程沿流線的積分式，適合于可壓縮無粘性流體沿流線的不定常運動。對不可壓縮流體的定常流動，式(5-78)可作進一步簡化為式(5-79)式(5-79)稱為伯努利方程。方程中的各項分別代表單位質(zhì)量流體具有的動能、位置勢能和壓強勢能。應用伯努利方程時常采用沿流線上任兩點的總機械能值相等的形式：式(5-80)§5-5伯努利方程及其應用

式(5-81)§5-5伯努利方程及其應用式(5-82)整理后取極限，并考慮到幾何關系可得式(5-83)上式為可壓縮無粘性重力流體沿流線的法線方向的速度壓強關系式。若忽略重力作用，如氣體流動或液體作平行于地面的水平流動時，引起流體質(zhì)點改變方向的唯一原因是沿流線的法線方向存在壓強梯度，即式(5-84)

§5-5伯努利方程及其應用設ρ為常數(shù)時，式(5-83)中g(shù)和1/ρ均可移至微分號之內(nèi)，沿流線法線方向積分可得式(5-85)

式(5-87)或式(5-86)上式與靜止流體中的壓強公式形式相同，它表明不可壓縮無粘流體作直線定常運動時，沿直線流線法線方向的壓強變化規(guī)律與靜止液體中一樣?！?-5伯努利方程及其應用伯努利方程(5-79)式描述單位質(zhì)量流體沿流線流動時總機械能守恒。在由無數(shù)流線組成的流束中，將伯努利方程中三項機械能在有效截面A上按質(zhì)量流量積分，總機械能沿流束仍保持守恒，即式(5-88)在工程上通常將式(5-88)化為沿總流的形式，并用總流有效截面上的平均速度V代替不均勻的速度分布，為此引入動能修正因子α，定義為式(5-90)式(5-89)若截面A符合緩變流條件，將式(5-86)和式(5-89)代入式(5-88)，考慮到ρQ=常數(shù)，可得§5-5伯努利方程及其應用常用的形式為沿總流取兩個緩變流截面A1，A2，平均速度分別為V1，V2，可得式(5-91)式(5-90)和式(5-91)稱為沿總流的伯努利方程或一維平均流動伯努利方程，表明在有效截面上按質(zhì)量流量計算的總機械能沿總流守恒。方程成立的限制條件是(1)忽略粘性，(2)不可壓縮流體，(3)定常流動，(4)

A1，A2截面符合緩變流條件(其他截面上允許有急變流存在)。α由式(5-89)定義。在圓管流動中拋物線速度分布(層流)時α=2，1/7指數(shù)速度分布(湍流)時α=1.0。絕大多數(shù)的實際管流均為湍流，因此通常取α1=α2=1，這樣式(5-91)與沿流線的式(5-80)形式完全一樣?！?-5伯努利方程及其應用三、伯努利方程的水力學意義將伯努利方程（5-79）式和（5-90）式變換為另一種形式通常將v2/2g稱為速度水頭，z稱為位置水頭，p/ρg稱為壓強水頭，后兩者之和稱為測壓管水頭，而H則稱為總水頭。因此式（5-92）可稱為水頭形式的伯努利方程，它表明不可壓縮式(5-92a)式(5-92b)無粘性流體作定常流動時總水頭沿流程不變。在水力學中將流道各截面上相應的水頭高度連成水頭線?！?-5伯努利方程及其應用四、伯努利方程的應用皮托管：在流場中某一點處，放置一根兩端開口的直角彎管，其一端迎著來流方向，當流體流進管內(nèi)并上升一定高度后，管內(nèi)流體就靜止了，如圖所示。因