模型34 旋轉(zhuǎn)-費馬點模型-原卷版

旋轉(zhuǎn)模型（三十四）——費馬點模型費馬點：到一個三角形三個頂點距離之和最小的點，稱為三角形的費馬點.當(dāng)PA+PB+PC取最小值時，點P叫三角形的費馬點.◎結(jié)論：如圖,△ABC的三個內(nèi)角均不大于120°，點P在形內(nèi)，當(dāng)∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120o時，PA+PB+PC的值最小.【證明】如圖，將△ABP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△A1BP1，連接PP1，則△BPP1是等邊三角形，所以PB=PP1.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA+PB+PC＝P1A1+PP1+PC≥A1C,∴當(dāng)A1、P1、P、C四點共線時，PA+PB+PC的值最小，∵△BPP1是等邊三角形，∠BPP1＝60o，∴∠BPC＝120o，∵∠APB＝∠A1P1B，∠BP1P＝60o，∴∠APB＝180o－60o＝120o則∠CPA＝360o－120o－120o＝120o，故∠BPC＝∠APC＝∠CPA＝120o.費馬點作法：分別以AC、BC、AB為邊作等邊△ACD、△BCE、△ABF,連接CF,BD,AE,由手拉手可得△ACE≌△DCB，△ABE≌△FBC,∴AE＝BD，AE＝CF，∴AE＝BD＝CF旋轉(zhuǎn)角：∠BPE＝∠EPC＝∠CPD＝60°eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)有等邊，求長度，不好求，作等邊1．（2021·四川·成都實外九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點，求的最小值為______．2．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為________．1．（2022·福建三明·八年級期中）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費馬點”．如圖，點是內(nèi)的一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點共線時，線段的長為所求的最小值，即點為的“費馬點”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點是等邊內(nèi)的一點，連接，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點與點之間的距離是______；②當(dāng)，，時，求的大?。?2)如圖2，點是內(nèi)的一點，且，，，求的最小值．2．（2021·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校八年級期中）背景資料：在已知所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當(dāng)三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在內(nèi)部，當(dāng)時，則取得最小值．(1)如圖2，等邊內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉(zhuǎn)到處，此時這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段、、轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出_______；知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，三個內(nèi)角均小于120°，在外側(cè)作等邊三角形，連接，求證：過的費馬點．(3)如圖4，在中，，，，點P為的費馬點，連接、、，求的值．(4)如圖5，在正方形中，點E為內(nèi)部任意一點，連接、、，且邊長；求的最小值．3．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點，求最小值1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，點B的坐標(biāo)為(0，2)，點在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點的拋物線與軸相交于、兩點（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點M、N在線段AE上，求AE及的長；（3）點為△內(nèi)的一個動點，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時，線段的長.2．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在R