模型35 圓-圓冪定理模型-解析版

圓模型（三十五）——圓冪定理模型知識(shí)點(diǎn)一：相交弦定理◎結(jié)論1：如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P，半徑為r,則①AP·BP＝CP·DP,②AP·BP＝CP·DP＝r2－OP2.①【證明】如上右圖∵∠A＝∠D，∠APC＝∠DPB∴△APC∽△DPB∴APDP＝即AP·BP＝CP·DP②OP與⊙O交于M.N兩點(diǎn)，r為⊙O的半徑，AP·BP＝CP·DP＝MP·NP＝（r＋OP）（r－OP）＝r2－OP2知識(shí)點(diǎn)二：切割線定理◎結(jié)論2：如圖，PBC是⊙O的一條割線，PA是⊙O的一條切線，切點(diǎn)為A，半徑為r,則①PA2＝PB·PC，②PA2＝PB·PC＝PO2－r2【證明】①連接AB,AC,連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于D，連接DB.∵PA為⊙O的切線∴∠DAP＝90°即∠1＋∠2＝90°∵AD是⊙O的直徑∴∠ABD＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3∵∠3＝∠4∴∠1＝∠4∴△PAB∽△PCA∴PAPC＝即PA2＝PB.PC ②PA2＝PB·PC＝PM·PN＝（PO－r）（PO＋r）＝PO2－r2知識(shí)點(diǎn)三：割線定理◎結(jié)論3：如圖，PAB、PCD是⊙O的兩條割線，半徑為r,則①PA·PB＝PC·PD,②PA·PB＝PC·PD＝OP2－r2【證明】∵∠B＝∠D，∠BPC＝∠DPA∴△PBC∽△PDA∴PBPD＝PC∴PA·PB＝PC·PD＝PM·PN＝（PO－r）（PO＋r）＝PO2－r2eq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)從兩線交點(diǎn)處引出的共線，線段的乘積相等1．（2020·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，圓內(nèi)一條弦CD與直徑AB相交成30°角，且分直徑成1cm和5cm兩部分，則這條弦的弦心距是_____．【答案】1cm【分析】首先過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)E，由分直徑成1cm和5cm兩部分，可求得直徑，半徑的長(zhǎng)，繼而求得OE的長(zhǎng)，又由圓內(nèi)一條弦CD與直徑AB相交成30°角，即可求得這條弦的弦心距．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)E，∵分直徑成1cm和5cm兩部分，∴AB＝6cm，∴OA＝AB＝3cm，∴OE＝OA﹣AE＝2cm，∵∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝1（cm）．故答案為：1cm．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（2015·浙江寧波·九年級(jí)階段練習(xí)）半圓O的直徑AB=9，兩弦AB、CD相交于點(diǎn)E，弦CD=，且BD=7，則DE=_______【答案】3．【詳解】試題分析：根據(jù)圓周角定理得出的兩組相等的對(duì)應(yīng)角，易證得△AEB∽△DEC，根據(jù)CD、AB的長(zhǎng)，即可求出兩個(gè)三角形的相似比；設(shè)BE=x，則DE=7-x，然后根據(jù)相似比表示出AE、EC的長(zhǎng)，連接BC，首先在Rt△BEC中，根據(jù)勾股定理求得BC的表達(dá)式，然后在Rt△ABC中，由勾股定理求得x的值，進(jìn)而可求出DE的長(zhǎng)．試題解析：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴；設(shè)BE=x，則DE=7-x，EC=x，AE=（7-x）；連接BC，則∠ACB=90°；Rt△BCE中，BE=x，EC=x，則BC=x；在Rt△ABC中，AC=AE+EC=-x，BC=x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，即：92=（-x）2+（x）2，整理，得x2-14x+31=0，解得：x1=7+3（不合題意舍去），x2=7-3則DE=7-x=3．考點(diǎn)：1.圓周角定理；2.相似三角形的判定與性質(zhì)．3．（2018·四川資陽(yáng)·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H.(1)求證：AHAB=AC2；(2)若過(guò)A的直線與弦CD(不含端點(diǎn))相交于點(diǎn)E，與⊙O相交于點(diǎn)F，求證：AEAF=AC2；(3)若過(guò)A的直線與直線CD相交于點(diǎn)P，與⊙O相交于點(diǎn)Q，判斷APAQ=AC2是否成立(不必證明).【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）成立.【分析】（1）連接CB，證明△CAH∽△BAC即可；（2）連接CF，證△AEC∽△ACF，根據(jù)射影定理即可證得；（3）由（1）（2）的結(jié)論可知，AP?AQ=AC2成立．【詳解】(1)連結(jié)CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°.而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC.∴，即AHAB=AC2.(2)連結(jié)FB，易證△AHE∽△AFB，∴AEAF=AHAB，∴AEAF=AC2.(也可連結(jié)CF，證△AEC∽△ACF)(3)結(jié)論APAQ=AC2成立.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，其中由相似三角形的性質(zhì)得出比例式是解題關(guān)鍵．1．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·九年級(jí)期末）我們定義：如果圓的兩條弦互相垂直且相交，那么這兩條弦互為“十字弦”，也把其中的一條弦叫做另一條弦的“十字弦”．如圖1，已知⊙O的兩條弦AB⊥CD，則AB、CD互為“十字弦”，AB是CD的“十字弦”，CD也是AB的“十字弦”．【概念理解】（1）若⊙O的半徑為5，一條弦AB=8，則弦AB的“十字弦”CD的最大值為，最小值為．（2）如圖2，若⊙O的弦CD恰好是⊙O的直徑，弦AB與CD相交于H，連接AC，若AC=12，DH=7，CH=9，求證︰AB、CD互為“十字弦”；【問(wèn)題解決】（3）如圖3，在⊙O中，半徑為，弦AB與CD相交于H，AB、CD互為“十字弦”且AB=CD，，則CD的長(zhǎng)度．【答案】（1）10，6；（2）證明見(jiàn)解析；（3）6．【分析】（1）根據(jù)“十字弦”定義可得弦AB的“十字弦”CD為直徑時(shí)最大，當(dāng)CD過(guò)A點(diǎn)或B點(diǎn)時(shí)最??；（2）根據(jù)線段長(zhǎng)度得出對(duì)應(yīng)邊成比例且有夾角相等，證明△ACH∽△DCA，由其性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等，結(jié)合90°的圓周角證出AH⊥CD，根據(jù)“十字弦”定義可得；（3）過(guò)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)DH=x，由題意可得其它線段的長(zhǎng)，在Rt△OEA中，根據(jù)勾股定理列方程得出x的值，從而可求CD的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）當(dāng)CD為直徑時(shí)，CD最大，此時(shí)CD=10，∴弦AB的“十字弦”CD的最大值為10；當(dāng)CD過(guò)A點(diǎn)時(shí)，CD長(zhǎng)最小，即AM的長(zhǎng)度，過(guò)O點(diǎn)作ON⊥AM，垂足為N，作OG⊥AB，垂足為G，則四邊形AGON為矩形，∴AN=OG，∵OG⊥AB，AB=8，∴AG=4，∵OA=5，∴由勾股定理得OG=3，∴AN=3，∵ON⊥AM，∴AM=6，即弦AB的“十字弦”CD的最小值是6．（2）證明：如圖，連接AD，∵AC=12，DH=7，CH=9，∴CD=CH+DH=16∴，∴∵∠C=∠C，∴△ACH∽△DCA，∴∠AHC=∠CAD∵CD是直徑，∴∠CAD=90°，∴∠AHC=90°，∴AH⊥CD，∴AB、CD互為“十字弦”．（3）如圖，過(guò)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，作OF⊥CD于點(diǎn)F，連接OA，OD，則四邊形OEHF是矩形，∴OE=FH，OF=EH，設(shè)DH=x，∵，AB=CD，則CH=5x，CD=AB=6x，∴FD=AE=3x，∴OE=FH=3x-x=2x，∵半徑為，在Rt△OEA中，由勾股定理得，，∴，解得，x=1，∴CD=6×1=6【點(diǎn)睛】本題考查圓的相關(guān)性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，準(zhǔn)確做出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．1．（2017·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，中，弦，相交于點(diǎn)，，，則的大小是()A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：∵∠D=∠A=42°，∴∠B=∠APD﹣∠D=35°，故選B．考點(diǎn)：圓周角定理．2．（2019·四川·恩陽(yáng)二中一模）圓內(nèi)一條弦與直徑相交成30°的角，且分直徑1cm和5cm兩段，則這條弦的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】4【分析】根據(jù)垂徑定理，過(guò)圓心作弦的垂線，構(gòu)成直角三角形，然后利用30°的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半以及勾股定理計(jì)算，求出弦長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB與CD相交于E，∠DEB＝30°，AE＝1cm，EB＝5cm，過(guò)O作OH⊥CD于H