第一章-函數(shù)極限連續(xù)培訓(xùn)課件

§1函數(shù)第一章函數(shù)、極限與連續(xù)

一.函數(shù):自變量,因變量,定義域,值域若變量x在允許范圍D內(nèi)的每一個(gè)確定的值，變量y按照某個(gè)確定的規(guī)則總有相應(yīng)的值與之對(duì)應(yīng)，則稱y為x的函數(shù)，記為y=f(x).

x——自變量；

y——函數(shù)；D——定義域；二要素——定義域、對(duì)應(yīng)規(guī)則。二、函數(shù)的表示法:列表法,圖示法,解析法三、解析法表示的幾個(gè)例子與運(yùn)算1、例(1)取整函數(shù)y=[x](x∈R),(2)符號(hào)函數(shù)sgnx=(3)狄利克萊函數(shù)D(x)=其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù).Dirichlet[德](1805~1859)

2、四則運(yùn)算設(shè)函數(shù)f,g的定義域分別為D(f),D(g),則可以定義f與g的和,差,積,商:(f±g)(x)=f(x)±g(x)D(f±g)=D(f)∩D(g),(fg)(x)=f(x)g(x)D(fg)=D(f)∩D(g),(f/g)(x)=f(x)/g(x)D(f/g)=D(f)∩D(g)\{x|g(x)=0}.

(2)

單調(diào)性設(shè)有函數(shù)y=f(x),區(qū)間I

D(f),若x1,x2∈I,x1<x2

f(x1)f(x2),則稱f在區(qū)間I上單調(diào)增;若

x1,x2∈I,x1<x2

f(x1)<f(x2),則稱f在區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)增.若x1,x2∈I,x1<x2

f(x1)f(x2),則稱f在區(qū)間I上單調(diào)減;若

x1,x2∈I,x1<x2

f(x1)>f(x2),則稱f在區(qū)間I上嚴(yán)格單調(diào)減.

例如y=sinx在上嚴(yán)格單調(diào)增,因此,在說(shuō)明一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性時(shí),要指明單調(diào)區(qū)間,不能籠統(tǒng)地說(shuō)一個(gè)函數(shù)是單調(diào)增的還是單調(diào)減的.上嚴(yán)格單調(diào)減.在

(3)奇偶性設(shè)函數(shù)f

的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若

x∈D(f),f(

x)=

f(x),則稱f為一個(gè)奇函數(shù).若

x∈D(f),f(

x)=f(x),則稱f為一個(gè)偶函數(shù).易見(jiàn)在平面直角坐標(biāo)系中,奇(偶)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱.

(4)

周期性設(shè)有函數(shù)y=f(x)與常數(shù)t>0,則稱f為一個(gè)周期函數(shù),并稱t為f的一個(gè)周期,若常數(shù)T=min{t|t是f的周期},例如2p是y=sinx的最小正周期.若

x∈D(f),有x+t∈D(f),且f(x+t)=f(x),則稱T為f的最小正周期.

1.反函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)

是D→W=R(f)與x=g(y)

是W→D的函數(shù)，則稱g為f

的反函數(shù),記為g=f

-1.

五、初等函數(shù)

2.基本初等函數(shù)

（1）冪函數(shù)y=x

(

R)冪的定義與性質(zhì)①設(shè)a

R,n

N+,我們把n個(gè)a的連乘積稱為a的n次方或n次冪.記為an.即an=

②設(shè)a,b都是實(shí)數(shù),m,n都是正整數(shù),則有:二項(xiàng)展開(kāi)式am·an=am+n,am/an=am

n(a0),(ab)n=anbn,(a/b)n=an/bn(b0),(am)n=(an)m=amn,

(2)幾個(gè)具體的例子這些圖象有那些共同點(diǎn)?

冪函數(shù)y=x

(

R)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1),當(dāng)

>0時(shí),

y=x

在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增

當(dāng)

<0時(shí),

y=x

在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減

（2）指數(shù)函數(shù):y=ax(a>0,且a

1)(1)

當(dāng)0<a<1時(shí),y=ax單調(diào)遞減,(2)

當(dāng)a>1時(shí),y=ax單調(diào)遞增.共同點(diǎn):圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1),都位于x軸上方.

（3）對(duì)數(shù)函數(shù):y=logax(a>0,且a

1)定義設(shè)a>0,且a

1,若ay

=x,則稱y為以a為底x的對(duì)數(shù).記為y=logax常用對(duì)數(shù)(a=10)y=lgx自然對(duì)數(shù)(a=e)y=lnx

運(yùn)算性質(zhì)(0<a

1,0<b

1,u>0,v>0)①(x>0),②③(x

R),④

當(dāng)0<a<1時(shí),y=logax單調(diào)遞減;當(dāng)a>1時(shí),y=logax單調(diào)遞增.共同點(diǎn):圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),都位于y軸右邊.

（4）三角函數(shù)表達(dá)式及圖象

相互關(guān)系①平方關(guān)系:②倒數(shù)關(guān)系:③弦切關(guān)系:sin2x+cos2x=1,tan2x+1=sec2x,cot2x+1=csc2x.sinx·cscx=1,tanx·cotx=1,cosx·secx=1,sinx/cosx=tanx,cosx/sinx=cotx.

三角公式:①誘導(dǎo)公式(“奇變偶不變,符號(hào)看象限”):所處的象限確定.其中“

”號(hào)由角如sin(

+

)=sin

,cos(

+

)=cos

,

②

和角公式:③

積化和差公式:sin(

)=sin

cos

cos

sin

,cos(

)=cos

cos

sin

sin

,sin

cos

=[sin(

+

)+sin(

)],cos

cos

=[cos(

+

)+cos(

)],sin

sin

=[cos(

+

)cos(

)],

④和差化積公式:

⑤降冪公式:（5）反三角函數(shù)

3.復(fù)合函數(shù)函數(shù)y=xx是由y=ux與u=x復(fù)合而成的嗎?y=xx=exlnx是由一元函數(shù)y=eu與u=xlnx復(fù)合而成的.y=arctanex是由一元函數(shù)y=arctanu與一元函數(shù)u=ex復(fù)合而成的.

4.初等函數(shù)設(shè)函數(shù)f

可以用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示,且這個(gè)式子是由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算與有限次復(fù)合運(yùn)算而成的,則稱f

為一個(gè)初等函數(shù).例如上述取整函數(shù),符號(hào)函數(shù),及狄利克萊函數(shù)都不是初等函數(shù).

但不要以為分段函數(shù)都不是初等函數(shù).事實(shí)上,f(t)=g(x)=都是初等函數(shù).但h(x)=就不是初等函數(shù).

§2極限

1.引例--割圓術(shù)

一.數(shù)列極限用半徑為1的圓內(nèi)接正6×2n-1邊形的面積Sn來(lái)近似求圓周率的近似值。2.引例--追及悖論

t時(shí)刻AB之間的距離L:t(s)11.11.111.111…L(m)0.10.010.0010.0001…

3.數(shù)列的概念一列有次序的數(shù)xn排成一列

x1,x2,…,xn,…,稱為數(shù)列,記為{xn}.其中x1稱為首項(xiàng),xn稱為一般項(xiàng)或通項(xiàng).有限數(shù)列,無(wú)限數(shù)列.4.例子5.數(shù)列與函數(shù)若xn=f(n),n=1,2,…,則無(wú)限數(shù)列{xn}是定義在正整數(shù)集上的函數(shù).4.實(shí)例觀察1)追及悖論t時(shí)刻AB之間的距離L:t(s)11.11.111.111…→10/9L(m)0.10.010.0010.0001…→0

2)圓周率（3）考察n→+∞,1/n的變化趨勢(shì):

5.定義:設(shè){an}為一個(gè)數(shù)列,a∈R,若N無(wú)限變大時(shí)an與a之間的距離趨于0,

則稱數(shù)列{an}以a為極限,或稱a為數(shù)列{an}的極限.記為或

an→a(n→∞).例

數(shù)列1,

1,1,

1,…,(

1)n

1,…發(fā)散.

6、性質(zhì)(一)

就某個(gè)給定的數(shù)列而言唯一性保號(hào)性有界性

(二)某個(gè)給定的數(shù)列與其子數(shù)列數(shù)列收斂,則其子數(shù)列也收斂;反之不然.二、

函數(shù)的極限

前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限,知道了數(shù)列極限的定義與意義。請(qǐng)看下例引例：研究數(shù)列{arctann}的極限。

作數(shù)列{arctann}

的散點(diǎn)圖

y=π/2

從散點(diǎn)圖可以看到{arctann}的極限為π/2

。思考：把上述散點(diǎn)圖用比較好的曲線連起來(lái)，這條曲線是什么？

y=arctanx圖像的一部分。

結(jié)果：x→+∞時(shí)，arctanx→

?（π/2）1、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限（1）x→+∞時(shí)，y=f(x)

的極限

設(shè)x0是某一確定的正數(shù)，y=f(x)在(x0，+∞)內(nèi)有定義,A為一個(gè)確定的數(shù).如果在x→+∞的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無(wú)限接近于一個(gè)確定的數(shù)A，那么A叫做函數(shù)y=f(x)當(dāng)x→+∞時(shí)

的極限。記為

幾何意義

例2

問(wèn)題：能否考慮x→-∞時(shí)，y=f(x)

的極限。研究x→-∞時(shí)，y=arctanx的極限。

例1

例3

（2）x→-∞時(shí)f(x)的極限定義設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)x<-

(

為某個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù))時(shí)有定義,A為一個(gè)確定的數(shù).如果在x→-∞的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)一個(gè)無(wú)限接近于確定的數(shù)A，則稱A為函數(shù)f當(dāng)x→-∞時(shí)的極限,記為并稱當(dāng)x→-∞時(shí)函數(shù)f存在極限.幾何意義？或f(x)→A(x→-∞),

例4例5

例6

問(wèn)題：能否既考慮時(shí)又考慮時(shí)時(shí)，的極限？研究，，。

即考慮（3）

x→∞時(shí)f(x)的極限定義設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|≥

(

為某個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù))時(shí)有定義,A為一個(gè)確定的數(shù).如果在x→∞的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)一個(gè)無(wú)限接近于確定的數(shù)A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→∞時(shí)的極限,記為并稱當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)存在極限.幾何意義?或f(x)→A(x→∞),

例7

例8例9

不存在，存在與否，和存在與否，有何關(guān)系？

問(wèn)題：對(duì)于函數(shù)與可以證明,

思考不存在！

因?yàn)楹瘮?shù)y=xsin1/x的振幅隨x的增大越來(lái)越大.對(duì)于函數(shù)y=xsin1/x

，其在x=0無(wú)定義。自然地會(huì)問(wèn)函數(shù)y=xsin1/x在x=0附近的函數(shù)值如何？相應(yīng)地，x→0時(shí)，函數(shù)y=xsin1/x在x=0附近的函數(shù)值如何變化？請(qǐng)看函數(shù)y=xsin1/x在x=0附近的圖像。

區(qū)間[-1,1]上的圖像

區(qū)間[-0.1,0.1]上的圖像

區(qū)間[-0.01,0.01]上的圖像

區(qū)間[-0.001,0.001]上的圖像結(jié)論：

x→0時(shí)，xsin1/x→0。由此可見(jiàn)，有必要研究有限點(diǎn)處函數(shù)的極限。2.

自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限（1）

x→x0時(shí)f(x)的極限例10

x→0,

例11設(shè)

，觀察x→1時(shí),y=f(x)的函數(shù)值變化趨勢(shì)。

例12設(shè)y=f(x)=x+1觀察x→1時(shí)y=f(x)的函數(shù)值變化趨勢(shì)。[定義]設(shè)函數(shù)f(x)在（x0-r,x0+r)內(nèi)有定義,A為一個(gè)確定的數(shù).若x→x0時(shí),

f(x)的函數(shù)值與A越來(lái)越接近，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限,記為或f(x)→A(x→x0),并稱函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)存在極限.幾何意義內(nèi)時(shí),

>0,

>0,s.t.當(dāng)x落在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,f(x))都落在兩條直線y=A+

與y=A

之間.

例14

例13例15例16問(wèn)題:對(duì)于函數(shù)y=f(x)=及函數(shù)y=g(x)=考慮x→1時(shí)的極限.由于函數(shù)y=f(x)=只在x<1時(shí)有定義,故x→1時(shí)的極限只能是x<1并且x→1的極限.同樣地,函數(shù)y=g(x)=只在x>1時(shí)有定義,故x→1時(shí)的極限只能是x>1并且x→1的極限.這樣就產(chǎn)生了單側(cè)極限的問(wèn)題.（2）單側(cè)極限定義設(shè)函數(shù)f(x)在（x0-r,x0)內(nèi)有定義,A為一個(gè)確定的數(shù).若x→x0時(shí),

f(x)的函數(shù)值與A越來(lái)越接近,則稱A為函數(shù)f在點(diǎn)x0處的左極限,記為或f(x0

0)=A,并稱函數(shù)f在點(diǎn)x0處的左極限存在.

類似地可以定義函數(shù)f在點(diǎn)x0處的右極限f(x0+0)=可以證明,

例16(1)證明

(2)sgnx=當(dāng)x→0時(shí),極限不存在.事實(shí)上,而

3、性質(zhì)（1）

唯一性:（2）

局部有界性:設(shè)恒有|f(x)|<M.則

M>0以及

>0s.t.若limf(x)存在,則極限必唯一.

（3）局部保序性:若A<B,則

>0s.t.若

>0s.t.(問(wèn):此處“”能否改成“<”?)（4）

局部保號(hào)性:則

>0s.t.恒有f(x)<g(x);都有f(x)g(x),則A

B.設(shè)f(x)與A同號(hào).設(shè)

你還有什么結(jié)論?設(shè)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)非負(fù)(正),若f(x)在x0有極限A,則A非負(fù)(正).三

無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

1.

無(wú)窮小量概念與性質(zhì)

定義1.若在自變量x的某一變化過(guò)程中,因變量的極限limf(x)=0,則稱f(x)是這一極限過(guò)程中的無(wú)窮小量,簡(jiǎn)稱為無(wú)窮小.注①:無(wú)窮小量是變量.注②:說(shuō)某一個(gè)變量是無(wú)窮小量時(shí),必須指明自變量的變化過(guò)程.籠統(tǒng)地說(shuō)某一個(gè)變量是無(wú)窮小量是無(wú)意義的.

定理1.相對(duì)于自變量的某個(gè)特定的變化過(guò)程來(lái)說(shuō),limX=A

lim(X

A)=0X=A+

,其中

是無(wú)窮小量.例1.證明:當(dāng)x→00時(shí),是無(wú)窮小量.

定義2.設(shè)函數(shù)f(x)在（x0-r,x0+r)內(nèi)若

M>0,0<

<r,s.t.當(dāng)x∈恒有|f(x)|>M,則稱函數(shù)f(x)是當(dāng)x→x0時(shí)的無(wú)窮大量,或稱函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限為∞,其他類型的無(wú)窮大量可以類似地定義.有定義.時(shí),=∞或f(x)→∞(x→x0).記為

2.

無(wú)窮大量概念與性質(zhì)

注③:由定義可見(jiàn),

若注④:由定義可見(jiàn),

若f(x)→∞(x→x0),則函數(shù)f(x)在（x0-r,x0+r)內(nèi)無(wú)界.但是反之未必.例如不存在.但是反之未必.例如則不存在.但也不是∞.其中

注⑤:兩個(gè)無(wú)窮大量的代數(shù)和以及無(wú)窮大量與有界量的乘積都未必是無(wú)窮大量.例如注⑥:易證:若limX=∞,則反之,若X≠0,且limX=0,則

表明不存在.例2.當(dāng)x→0+時(shí),是無(wú)窮大量;

當(dāng)x→0-時(shí),是無(wú)窮小量。例3.證明:當(dāng)n→+∞時(shí),是無(wú)窮大量.

3、無(wú)窮小量的性質(zhì)與四則運(yùn)算法則定理1.兩個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量。推廣有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量。說(shuō)明：無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和不一定是無(wú)窮小量。定理2.無(wú)窮小量與有界變量的乘積仍是無(wú)窮小量。推論1

常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍是無(wú)窮小量。推論2有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍是無(wú)窮小量。說(shuō)明：無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的乘積不一定是無(wú)窮小量。定理3（

四則運(yùn)算法則）

則設(shè)(1)=A±B;(2)=AB;(3)(B≠0).

四極限四則運(yùn)算法則說(shuō)明1：定理對(duì)自變量的其它變化過(guò)程（x→x0-0,x→x0+0,x→+∞,x→-∞,x→∞）也成立。

說(shuō)明2：設(shè)Limf(x)=存在,Limg(x)=

不存在，則（1）Lim[f(x)±g(x)]=

不存在；（2）Limf(x)g(x)可能存在也可能不存在，Limf(x)/g(x)亦然。說(shuō)明3：設(shè)Limf(x)和Limg(x)

不存在，則Lim[f(x)±g(x)]，Limf(x)g(x)，Limf(x)/g(x)

可能存在也可能不存在。推論1

若c為常數(shù)，Limf(x)存在，則Limcf(x)=cLimf(x)推論2

若n為正整數(shù)，Limf(x)存在，則Lim[f(x)]n=[Limf(x)]n關(guān)于數(shù)列，也有類似的極限四則運(yùn)算法則。定理4

設(shè)有數(shù)列{xn}、{yn},若那么

(1);(2);(3)當(dāng)yn≠0（n=1,2,······）并且B≠

0時(shí)，

極限計(jì)算方法1.多項(xiàng)式函數(shù)在有限點(diǎn)x0處的極限——代入例1設(shè)Pn=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an是n次多項(xiàng)式,求解:(a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an)=a0x0n+a1x0n-1+…+an-1x0+an=Pn(x0).

2.

有理函數(shù)在有限點(diǎn)x0處的極限,含有零因子例2.求解:——約去零因子=

3.

3.有理函數(shù)在∞處的極限,含有“∞因子”例3.(1)=0;(2)——約去“∞因子

4.通分或有理化→上述第2,3種類型例4.(1)(2)

(3)

5.利用無(wú)窮小量的性質(zhì)例5.計(jì)算

解:由于1/x→0,當(dāng)x→∞時(shí);并且

|arctanx|<π/2,故由無(wú)窮小量與有界量的乘積仍然為無(wú)窮小量可知6.左右極限分別討論證明:前面已經(jīng)證明了又因?yàn)樗宰ⅱ?類似地,例6.(1)證明:(其中a>0),進(jìn)而可得

(2)證明不存在。證明：所以不存在。五極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限1、極限存在準(zhǔn)則

若N0∈N+s.t.當(dāng)n>N0時(shí),恒有an≤cn≤bn,且(1)

數(shù)列情形的夾逼原理

，則數(shù)列{cn}也收斂,且有證明思路：由數(shù)列極限的幾何意義，可知數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}除前面有限項(xiàng)外，其它項(xiàng)都落在a的某一鄰域內(nèi)，從而數(shù)列{cn}亦然。例1.證明證明:注意到當(dāng)n≥1時(shí),恒有而=0=所以由夾逼原理得注1

使用夾逼原理的關(guān)鍵:尋找適當(dāng)?shù)膮⒖紨?shù)列.注2

怎樣尋找適當(dāng)?shù)膮⒖紭O限(或參考數(shù)列)?

例2.為下列數(shù)列尋找適當(dāng)?shù)膮⒖紨?shù)列{an}與{bn}.(1)cn=解:[統(tǒng)一分母]bn=取an=則an

cn

bn,且

(2)cn=解:[構(gòu)造新數(shù)列]當(dāng)n>1時(shí),設(shè)=1+xn,則xn>0,而且于是從而取an≡1,bn=1+即可.

(3)cn=解:[裂項(xiàng)/插項(xiàng)]由于k=1,2,3,…所以從而0<cn<→0(n→∞).

注3

上述性質(zhì)不能推廣到無(wú)限次.見(jiàn)例2(1).又如:其中其中

(2)函數(shù)情形的夾逼原理若在x0的去心鄰域內(nèi)有f(x)

h(x)

g(x),則證明:由于故對(duì)于中任意的以x0為極限的數(shù)列{xn},都有又因?yàn)?/p>

xn,有f(xn)h(xn)g(xn).由數(shù)列極限的夾逼原理可得所以且

3.

數(shù)列情形的單調(diào)有界準(zhǔn)則注4此處的單調(diào)性不必從第一項(xiàng)開(kāi)始.例4.證明極限存在，并且為e.單調(diào)遞增有上界的數(shù)列必收斂.單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必收斂.

證明:記xn=則xn+1比較xn與xn+1的展開(kāi)式,易見(jiàn)xn<xn+1.即{xn}是單調(diào)遞增的.

另一方面,由xn的展開(kāi)式可知,xn存在.所以由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知極限

例5.證明證明:由右圖可知,從而于是當(dāng)0<x<時(shí),sinx<x<tanx,2、兩個(gè)重要極限

又因?yàn)榕cx2都是偶函數(shù),所以當(dāng)仍成立.由夾逼原理立得<x<0時(shí),因而[副產(chǎn)品]

例6.證明證明:首先證明設(shè)n=[x],則n

x<n+1.從而

而且x→+∞與n→∞是等價(jià)的,故由夾逼原理可得

再令x=

t,則當(dāng)x→

∞時(shí),t→+∞,于是所以注⑤:令可得

為什么?例7.(1)(2)

(4)解:令x

1=t,則(3)

(5)

(6)(7)解:令x=

3t,則(8)

(9)解:故原式而

小結(jié)利用重要極限的關(guān)鍵:(1)

分析所求極限的特點(diǎn)(2)

利用“模板”:

六無(wú)窮小量的比較1、定義設(shè)

與

是在同一自變量的同一變化過(guò)程中的兩個(gè)無(wú)窮小量,且

≠0.(1)

若(或稱

是

的低階無(wú)窮小),記為:

=o(

).則稱

是

的高階無(wú)窮小特別地,一個(gè)無(wú)窮小量

可記為o(1).(2)若則稱

與

是同階無(wú)窮小.

(3)

若則稱

與

是等價(jià)無(wú)窮小,記為:

～

.易見(jiàn)

～

=

+o(

).(4)

若(k∈N+),則稱

是

的k階無(wú)窮小.

例8x→0時(shí)，x3是比x2高階的無(wú)窮??；x3是x的3階的無(wú)窮?。?xsinx與1-cosx是同階無(wú)窮?。籹inx與x是等價(jià)無(wú)窮小。例9x→0時(shí)，f(x)=xsin1/x和g(x)=x2是無(wú)窮小，則(D).Af(x)是比g(x)低階的無(wú)窮小Bf(x)與g(x)是等階無(wú)窮小Cf(x)與g(x)是同階但不等階無(wú)窮小D不可比較2、

等價(jià)無(wú)窮小代換（1）

原理:設(shè)

～

',

～

'且存在,則例10.=1.

（2）

常用的等價(jià)無(wú)窮小:(1)sinx～tanx～arcsinx～arctanx～x(x→0);(1

cosx)～(x→0)(2)(ex

1)～x(x→0)(3)ln(1+x)～x(x→0)(4)～(x→0);(1+x)

1～

x(x→0).

例11.

（3）

注意事項(xiàng):(1)要正確理解無(wú)窮小代換的原理.例如:如果同時(shí)把sinx,tanx用x代換掉就出錯(cuò)了！

又如:=1.雖然x→∞時(shí),～但不能把分子中的換成盡管等式成立,但這不叫“等價(jià)無(wú)窮小代換”!!!(1+sinx)(1+x)1=1

(2)并非任意兩個(gè)無(wú)窮小量都可以比較階的高低.例如f(x)=當(dāng)x→0時(shí)都是無(wú)窮小量,但因此這兩個(gè)無(wú)窮小量無(wú)法進(jìn)行比較.和在x→0時(shí)都不是有界量,g(x)=x2

§3連續(xù)函數(shù)

一.

連續(xù)的概念

1.

引例:(1)天氣溫度,音量旋鈕,…

如何變化？短時(shí)間內(nèi)變化微?。?2)觀察下列函數(shù)的圖象④

(x)=①

f(x)=②g(x)=③

h(x)=

各函數(shù)在x=0這一點(diǎn)如何變化？2.定義:(1)設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在x0的某一鄰域內(nèi),當(dāng)自變量從x0變到x時(shí),對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從f(x0)變到f(x),稱Dx=x

x0為自變量的增量(或自變量的改變量),稱Dy=f(x)

f(x0)=f(x0+Dx)

f(x0)為函數(shù)值的增量(或函數(shù)值的改變量).

則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),并稱x0為y=f(x)的連續(xù)點(diǎn).類似地可以定義y=f(x)在點(diǎn)x0處左(右)連續(xù).(2)若函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)處連續(xù),則稱它在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),記為f∈C(a,b).若y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且在點(diǎn)a處右連續(xù),在點(diǎn)b處左連續(xù),則稱它在[a,b]上連續(xù),記為f∈C[a,b].例1y=sinx是處處連續(xù)的函數(shù)。Dy=0,f(x)=f(x0),i.e.,若

注意：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)的必要充分條件是y=f(x)在點(diǎn)x0處既左連續(xù)又右連續(xù).即例2確定常數(shù)a,使函數(shù)連續(xù)。二、間斷點(diǎn)若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi)有定義.如果x0不是y=f(x)的連續(xù)點(diǎn),則稱x0為y=f(x)的間斷點(diǎn).對(duì)于間斷點(diǎn)x0,若y=f(x)在x0處的左右極限都存在,則稱之為第一類間斷點(diǎn),否則稱之為第二類間斷點(diǎn).

三

連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性定理1.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),則f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)(g(x0)≠0)在點(diǎn)x0處連續(xù).定理2.設(shè)函數(shù)y=f[g(x)]是由y=f(u)