方差分析教學(xué)教程

第九章方差分析第一節(jié)方差分析的意義當(dāng)試驗(yàn)的處理數(shù)目K≥3時(shí)，不能直接應(yīng)用t測驗(yàn)及u測驗(yàn)的兩兩測驗(yàn)方法進(jìn)行平均數(shù)假設(shè)測驗(yàn)的原因有三：

1.當(dāng)有K個(gè)處理平均數(shù)時(shí)，將有[k(k-1)]/2個(gè)差數(shù)，要對這諸多差數(shù)逐一進(jìn)行比較測驗(yàn)，程序?qū)崬榉爆崱?/p>

2.試驗(yàn)誤差估計(jì)的精確度要受到損失。

3.兩兩測驗(yàn)的方法會隨著K的增加而大大增加犯α錯(cuò)誤的概率。因此，當(dāng)處理數(shù)目K≥3時(shí)應(yīng)該采用方差分析法。方差分析的特點(diǎn)是將全部數(shù)據(jù)看成是一個(gè)整體，分析構(gòu)成變量的變異原因，進(jìn)而計(jì)算不同變異來源的總體方差的估值。然后

。表9-1

kn個(gè)觀察值的單向分組資料的模式

處理

觀察值x總和Ti平均12

┋┋kx11x12x13

………x1nx21x22x23

………x2n┋┋xk1xk2xk3………xknT1T2

┋┋Tk

┋┋

Σxij

T注：i=1，2，3，…

…

k;j=1，2，3，…

…

n進(jìn)行F測驗(yàn)，判斷各樣本的總體平均數(shù)是否有顯著差異，在達(dá)到差異顯著的基礎(chǔ)上，再對兩兩樣本的總體平均數(shù)間的差異顯著性作出判斷。（看表9-1解釋）

第二節(jié)方差分析的基本步驟及原理

（以單向分組資料為例，資料的整理模式見9-1）

一、平方和與自由度的分解C=T2/kn

總平方和SST=∑x2-C處理平方和SSt=(∑Ti2/n)-C

誤差平方和SSe=SST–

SSt總自由度dfT=kn-1

處理自由度dft=k-1誤差自由度dfe=dfT–

dft

此步驟分析的目的是要求出各個(gè)變因方差S2的相應(yīng)估計(jì)值σ2。

二、F測驗(yàn)

St2=SSt/dftSe2=SSe/dfe

F=St2/Se2

此步驟分析的目的是判斷各個(gè)處理平均數(shù)之間是否存在顯著差異。三、多重比較

此步驟分析的目的是在F測驗(yàn)結(jié)果達(dá)到顯著以后，進(jìn)一步判斷兩兩處理平均數(shù)之間的差異顯著性。

多重比較常用的方法有以下兩種：（一）保護(hù)性最小顯著差數(shù)法，即PLSD法。步驟：1.根據(jù)dfe查出tα

。

2.計(jì)算平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤

3.計(jì)算顯著尺度PLSDα值：

PLSDα=tα

×

平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤

4.將處理平均數(shù)由大到小排序，并依次求出各處理之間的差值，將各差值均與PLSDα相比較，作出差異顯著性判斷。

PLSD0.01>平均數(shù)差值≥

PLSD0.05，則兩處理平均數(shù)間差異為顯著；平均數(shù)差值≥

PLSD0.01，則兩處理平均數(shù)間差異為極顯著；

PLSD0.05>平均數(shù)差值，則兩處理平均數(shù)間差異為不顯著。

（二）最小顯著極差法，即LSR法。包含有SSR法和q測驗(yàn)法，主要介紹SSR法。SSR法即鄧肯氏新復(fù)極差法。步驟：1.根據(jù)平均數(shù)秩次距k和dfe查出SSRα值。

2.計(jì)算平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。

3.計(jì)算各秩次距下的顯著尺度LSRα或Rα值。秩次距是指當(dāng)平均數(shù)由大到小排序后，相比較的兩個(gè)平均數(shù)之間（含這兩個(gè)平均數(shù)）包含的平均數(shù)個(gè)數(shù)。

4.將處理平均數(shù)由大到小排序，并依次求出各處理之間的差值，將各差值與相應(yīng)秩次距下的Rα相比較，作出差異顯著性判斷。同樣有：

相應(yīng)秩次距的R0.01>平均數(shù)差值≥相應(yīng)秩次距的R0.05，則兩處理平均數(shù)間差異為顯著；平均數(shù)差值≥相應(yīng)秩次距的R0.01

，則兩處理平均數(shù)間差異為極顯著；相應(yīng)秩次距的R0.05>平均數(shù)差值，則兩處理平均數(shù)間差異為不顯著。可將此方法求出的Rα以表表示更為清楚方便，見表9-2。

表9-2各秩次距下的Rα

上面介紹的是當(dāng)試驗(yàn)各個(gè)處理的重復(fù)次數(shù)相等時(shí)進(jìn)行方差分析的方法。這種資料的分析例子可見教案例9-1。如果各處理的重復(fù)次數(shù)不相等，在分析過程中注意與上述方法僅有的區(qū)別為以下三點(diǎn)，其余步驟完全相同（可見教案例9-7）。

1.矯正數(shù)C=T2/∑ni2.處理平方和SSt=∑(Ti2/ni)-C3.以n0代替n進(jìn)行平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤和平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算。

n0=(1/k-1）（∑ni-∑ni2/∑ni）

K234………

SSR0.05SSR0.01R0.05R0.01四、方差分析的數(shù)學(xué)模型（一）線性可加模型（仍以上述單項(xiàng)分組資料為例）方差分析是建立在一定的線性可加模型的基礎(chǔ)上的。所謂線性可加模型是指每一個(gè)觀察值可以化分成若干個(gè)線性組成部分，它是分解平方和與自由度的理論依據(jù),即：

SST=SSt+SSedfT=

dft+

dfe

因此該資料觀察值的數(shù)學(xué)模型為：

xij=μ+τi+εij

xij為任意觀察值，μ為總體平均數(shù)，τi為處理效應(yīng)，εij為誤差效應(yīng)。不同類型資料的線性可加模型是各不相同的。（二）期望均方（EMS）

Se2的EMS是σe2；St2的EMS是σe2+nστ

2

∴

F=St2/Se2=(σe2+nστ

2)/σe2

（三）固定模型和隨機(jī)模型在上述模型中，由于處理效應(yīng)τi的不同又有固定模型和隨機(jī)模型的區(qū)分。

固定模型是指試驗(yàn)的各處理都抽自特定的處理總體，這些總體遵循N(μi,σe2)，因而處理效應(yīng)τi=(μi-μ)是固定的，我們分析的目的就在于研究τi，如果重復(fù)做試驗(yàn)，所用的處理仍然是原來那些處理，而所要測驗(yàn)的假設(shè)則是:H0:τi=0或H0:μi=μ對HA:μ1、μ2、

…

μk不相等。因此我們的推斷也僅限于供試處理的范圍之內(nèi)。

隨機(jī)模型是指試驗(yàn)中的各處理皆是隨機(jī)抽自N(0,στ2)的一