方差分析教學(xué)教程

第九章方差分析第一節(jié)方差分析的意義當(dāng)試驗的處理數(shù)目K≥3時，不能直接應(yīng)用t測驗及u測驗的兩兩測驗方法進行平均數(shù)假設(shè)測驗的原因有三：

1.當(dāng)有K個處理平均數(shù)時，將有[k(k-1)]/2個差數(shù)，要對這諸多差數(shù)逐一進行比較測驗，程序?qū)崬榉爆崱?/p>

2.試驗誤差估計的精確度要受到損失。

3.兩兩測驗的方法會隨著K的增加而大大增加犯α錯誤的概率。因此，當(dāng)處理數(shù)目K≥3時應(yīng)該采用方差分析法。方差分析的特點是將全部數(shù)據(jù)看成是一個整體，分析構(gòu)成變量的變異原因，進而計算不同變異來源的總體方差的估值。然后

。表9-1

kn個觀察值的單向分組資料的模式

處理

觀察值x總和Ti平均12

┋┋kx11x12x13

………x1nx21x22x23

………x2n┋┋xk1xk2xk3………xknT1T2

┋┋Tk

┋┋

Σxij

T注：i=1，2，3，…

…

k;j=1，2，3，…

…

n進行F測驗，判斷各樣本的總體平均數(shù)是否有顯著差異，在達到差異顯著的基礎(chǔ)上，再對兩兩樣本的總體平均數(shù)間的差異顯著性作出判斷。（看表9-1解釋）

第二節(jié)方差分析的基本步驟及原理

（以單向分組資料為例，資料的整理模式見9-1）

一、平方和與自由度的分解C=T2/kn

總平方和SST=∑x2-C處理平方和SSt=(∑Ti2/n)-C

誤差平方和SSe=SST–

SSt總自由度dfT=kn-1

處理自由度dft=k-1誤差自由度dfe=dfT–

dft

此步驟分析的目的是要求出各個變因方差S2的相應(yīng)估計值σ2。

二、F測驗

St2=SSt/dftSe2=SSe/dfe

F=St2/Se2

此步驟分析的目的是判斷各個處理平均數(shù)之間是否存在顯著差異。三、多重比較

此步驟分析的目的是在F測驗結(jié)果達到顯著以后，進一步判斷兩兩處理平均數(shù)之間的差異顯著性。

多重比較常用的方法有以下兩種：（一）保護性最小顯著差數(shù)法，即PLSD法。步驟：1.根據(jù)dfe查出tα

。

2.計算平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤

3.計算顯著尺度PLSDα值：

PLSDα=tα

×

平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤

4.將處理平均數(shù)由大到小排序，并依次求出各處理之間的差值，將各差值均與PLSDα相比較，作出差異顯著性判斷。

PLSD0.01>平均數(shù)差值≥

PLSD0.05，則兩處理平均數(shù)間差異為顯著；平均數(shù)差值≥

PLSD0.01，則兩處理平均數(shù)間差異為極顯著；

PLSD0.05>平均數(shù)差值，則兩處理平均數(shù)間差異為不顯著。

（二）最小顯著極差法，即LSR法。包含有SSR法和q測驗法，主要介紹SSR法。SSR法即鄧肯氏新復(fù)極差法。步驟：1.根據(jù)平均數(shù)秩次距k和dfe查出SSRα值。

2.計算平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。

3.計算各秩次距下的顯著尺度LSRα或Rα值。秩次距是指當(dāng)平均數(shù)由大到小排序后，相比較的兩個平均數(shù)之間（含這兩個平均數(shù)）包含的平均數(shù)個數(shù)。

4.將處理平均數(shù)由大到小排序，并依次求出各處理之間的差值，將各差值與相應(yīng)秩次距下的Rα相比較，作出差異顯著性判斷。同樣有：

相應(yīng)秩次距的R0.01>平均數(shù)差值≥相應(yīng)秩次距的R0.05，則兩處理平均數(shù)間差異為顯著；平均數(shù)差值≥相應(yīng)秩次距的R0.01

，則兩處理平均數(shù)間差異為極顯著；相應(yīng)秩次距的R0.05>平均數(shù)差值，則兩處理平均數(shù)間差異為不顯著。可將此方法求出的Rα以表表示更為清楚方便，見表9-2。

表9-2各秩次距下的Rα

上面介紹的是當(dāng)試驗各個處理的重復(fù)次數(shù)相等時進行方差分析的方法。這種資料的分析例子可見教案例9-1。如果各處理的重復(fù)次數(shù)不相等，在分析過程中注意與上述方法僅有的區(qū)別為以下三點，其余步驟完全相同（可見教案例9-7）。

1.矯正數(shù)C=T2/∑ni2.處理平方和SSt=∑(Ti2/ni)-C3.以n0代替n進行平均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤和平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的計算。

n0=(1/k-1）（∑ni-∑ni2/∑ni）

K234………

SSR0.05SSR0.01R0.05R0.01四、方差分析的數(shù)學(xué)模型（一）線性可加模型（仍以上述單項分組資料為例）方差分析是建立在一定的線性可加模型的基礎(chǔ)上的。所謂線性可加模型是指每一個觀察值可以化分成若干個線性組成部分，它是分解平方和與自由度的理論依據(jù),即：

SST=SSt+SSedfT=

dft+

dfe

因此該資料觀察值的數(shù)學(xué)模型為：

xij=μ+τi+εij

xij為任意觀察值，μ為總體平均數(shù)，τi為處理效應(yīng)，εij為誤差效應(yīng)。不同類型資料的線性可加模型是各不相同的。（二）期望均方（EMS）

Se2的EMS是σe2；St2的EMS是σe2+nστ

2

∴

F=St2/Se2=(σe2+nστ

2)/σe2

（三）固定模型和隨機模型在上述模型中，由于處理效應(yīng)τi的不同又有固定模型和隨機模型的區(qū)分。

固定模型是指試驗的各處理都抽自特定的處理總體，這些總體遵循N(μi,σe2)，因而處理效應(yīng)τi=(μi-μ)是固定的，我們分析的目的就在于研究τi，如果重復(fù)做試驗，所用的處理仍然是原來那些處理，而所要測驗的假設(shè)則是:H0:τi=0或H0:μi=μ對HA:μ1、μ2、

…

μk不相等。因此我們的推斷也僅限于供試處理的范圍之內(nèi)。

隨機模型是指試驗中的各處理皆是隨機抽自N(0,στ2)的一