復(fù)變函數(shù)與積分變換題庫習(xí)題集帶答案

復(fù)變函數(shù)與積分變換習(xí)題集PAGEPAGE2復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)判斷題（8）平面點(diǎn)集是單聯(lián)通區(qū)域。（9）如果不是實(shí)數(shù)，則。選擇題1．當(dāng)時(shí)，的值等于（）（A）（B）（C）（D）2．一個(gè)復(fù)數(shù)乘以，則()（A）復(fù)數(shù)的模不變，輻角減少/2。（B）復(fù)數(shù)的模不變，輻角增加/2。（C）復(fù)數(shù)的模增加，輻角減少/2。（D）復(fù)數(shù)的模減少，輻角增加/2。3.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，，那么（）（A）（B）（C）（D）4．復(fù)數(shù)的三角表示式是（）（A）（B）（C）（D）5．設(shè)為實(shí)數(shù)，且有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）（A）圓（B）橢圓（C）雙曲線（D）拋物線６．．一個(gè)向量順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，向右平移３個(gè)單位，再向下平移１個(gè)單位后對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則原向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）（A）（B）（C）（D）7．設(shè)為復(fù)數(shù)，則方程組的解是（）（A）（B）（C）（D）8．方程所代表的曲線是（）（A）中心為，半徑為的圓周（B）中心為，半徑為２的圓周（C）中心為，半徑為的圓周（D）中心為，半徑為２的圓周9．下列方程所表示的平面點(diǎn)集中，為有界區(qū)域的是（）（A）（B）（C）（D）10．設(shè)且，為復(fù)數(shù)，則函數(shù)的最大值為（）（A）（B）1（C）2（D）三、填空題1．設(shè)，則2．設(shè)，則3．復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式為4．設(shè)，則5．以方程的根的對應(yīng)點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形的面積為６．不等式所表示的區(qū)域是連通區(qū)域７．方程所表示曲線的直角坐標(biāo)方程為８．不等式所表示的區(qū)域是圓的部。四、若復(fù)數(shù)滿足，試求的取值范圍．五、設(shè)是兩個(gè)復(fù)數(shù)且滿足都是負(fù)實(shí)數(shù)，證明必為實(shí)數(shù)。六、設(shè)復(fù)數(shù)，試證.七、試證非零復(fù)數(shù)滿足的充要條件是他們有相同的輔角.八、設(shè)，試證.九．指出下列各題中點(diǎn)z的存在范圍，是否區(qū)域，若是，指出是有界區(qū)域還是無界區(qū)域，單聯(lián)通還是多連通的。（1）；（2）（3）；（4）（5）（6）（7）（8）答案一、√，√，，，，，√，，√二、(1)C(2)A(3)A(4)D(5)C(6)A(7)B(8)C(9)A(10)A三、1．2。3。4。5。46。單7。8。外四、（或）．九、(1)直線的左邊，無界單聯(lián)通區(qū)域。（2）以1為心，以2為心的圓的外部，無界多連通區(qū)域（3）以原點(diǎn)為心的去心單位圓，有界多連通區(qū)域。（4）角形域，無界單聯(lián)通區(qū)域.（5）圓的外部，無界多連通區(qū)域（6）橢圓的內(nèi)部，有界單聯(lián)通區(qū)域。（7）圓拋物線，不是區(qū)域.（8）直線不是區(qū)域.解析函數(shù)判斷題（1）設(shè)為整函數(shù)，則也是整函數(shù)。（2）設(shè)和均為整函數(shù)，則也是整函數(shù)。（3）設(shè)和均為整函數(shù)，則也是整函數(shù)。（4）若在區(qū)域內(nèi)滿足柯西-黎曼方程，則在內(nèi)解析（5）若均在區(qū)域D內(nèi)解析，則在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).(6)指數(shù)函數(shù)是以為周期的函數(shù)。（7）在整個(gè)復(fù)平面上有界.(8)對任意復(fù)數(shù)。選擇題1．設(shè)和均為整函數(shù)，下列命題錯(cuò)誤的是（）（A）是整函數(shù)（B）是整函數(shù)（C）是整函數(shù)（D）是整函數(shù)2．函數(shù)在點(diǎn)處是()（A）解析的（B）可導(dǎo)的（C）不可導(dǎo)的（D）既不解析也不可導(dǎo)3．假設(shè)點(diǎn)是函數(shù)的奇點(diǎn)，則函數(shù)在點(diǎn)處()（A）不可導(dǎo)（B）不解析（C）不連續(xù)（D）以上答案都不對4．下列函數(shù)中，為整個(gè)復(fù)平面上解析函數(shù)的是()（A）（B）（C）（D）5．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)()（A）等于0（B）等于1（C）等于（D）不存在6．函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)()（A）處處解析（B）處處可導(dǎo)（C）在坐標(biāo)軸上可導(dǎo)（D）在坐標(biāo)軸上解析7．．設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則()（A）無定義（B）等于1（C）是復(fù)數(shù)，其實(shí)部等于1（D）是復(fù)數(shù)，其模等于18．設(shè)，則()（A）（B）（C）（D）9．設(shè)是復(fù)數(shù)，則()（A）在復(fù)平面上處處解析（B）的模為（C）一般是多值函數(shù)（D）的輻角為的輻角的倍10．下列數(shù)中，為實(shí)數(shù)的是()（A）（B）（C）（D）三、填空題1．假設(shè)，則2．設(shè)在區(qū)域內(nèi)是解析的，如果是實(shí)常數(shù)，那么在內(nèi)是3．設(shè)，則4．設(shè)，則方程的所有根為5．cos(iln5)=6．復(fù)數(shù)7．復(fù)數(shù)8．Ln(cosi)=9．10．方程的全部解為四、證明：如果在連續(xù)，則函數(shù)都在處連續(xù).五、設(shè),指出它在哪些點(diǎn)處不連續(xù)，并說明原因.六、討論下列函數(shù)的解析性：（1）（2）（3）（4）（5）（6）七、求的實(shí)部、虛部。八．求下列初等函數(shù)的值。（1）（2）（3）；（4）（5）（6）（7）九、解方程：（1）（2）（3）答案一、，√，√，，√，√，，二、(1)C(2)B(3)B(4)D(5)A(6)C(7)D(8)A(9)C(10)B三、1．2。常值函數(shù)3。4。5。6。7。8。9。10。五、除外連續(xù).六、（1）處處不解析（2）僅在原點(diǎn)可導(dǎo)，處處不解析（3）在原點(diǎn)可導(dǎo)，處處不解析（4）僅在處可導(dǎo)，處處不解析（5）在直線上可導(dǎo)，處處不解析（6）處處解析七、實(shí)部為，虛部為。八．求下列初等函數(shù)的值。（1）（2）（3）；（4）（5）（6）（7）九、解方程：（1）（2）（3），第三章復(fù)變函數(shù)的積分判斷題微積分中的求導(dǎo)公式、洛必達(dá)法則、積分中值定理等均可推廣到復(fù)變函數(shù)。（）有界整函數(shù)必為常數(shù)。（）積分的值與半徑的大小無關(guān)。（）若在區(qū)域內(nèi)有，則在內(nèi)存在且解析。（）若在內(nèi)解析，且沿任何圓周的積分等于零，則在處解析。（）設(shè)在區(qū)域內(nèi)均為的共軛調(diào)和函數(shù)，則必有。（）解析函數(shù)的實(shí)部是虛部的共軛調(diào)和函數(shù)。（）以調(diào)和函數(shù)為實(shí)部與虛部的函數(shù)是解析函數(shù)。（）二、選擇題：1．設(shè)C為從原點(diǎn)沿至的有向線段，則()（A）（B）（C）（D）2．設(shè)C為不經(jīng)過點(diǎn)與的正向簡單閉曲線，則為()（A）（B）（C）（D）以上都不對3．設(shè)C為從沿至的直線段，則()（A）（B）（C）（D）4．設(shè)C為正向圓周，則()（A）（B）（C）（D）5．設(shè)為正向圓周，則()（A）（B）（C）（D）6．設(shè)，其中，則()（A）（B）（C）（D）7．設(shè)為正向圓周，則()（A）（B）（C）（D）8．設(shè)為橢圓，則積分=（）（A）（B）（C）（D）9．設(shè)為任意實(shí)常數(shù)，那么由調(diào)和函數(shù)確定的解析函數(shù)是()(A)（B）（C）（D）10．設(shè)在區(qū)域內(nèi)為的共軛調(diào)和函數(shù)，則下列函數(shù)中為內(nèi)解析函數(shù)的是()（A）（B）（C）（D）三、填空題1．設(shè)為負(fù)向圓周，則2．設(shè)為正向圓周，則3．設(shè)其中曲線C為橢圓正向，則4．設(shè)為正向圓周，則5．解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的6．設(shè)C是從到的直線段，則積分7．設(shè)C為過點(diǎn)的正向簡單閉曲線，則當(dāng)從曲線C內(nèi)部趨向時(shí)，，當(dāng)從曲線C外部趨向時(shí)，。8．調(diào)和函數(shù)的共軛調(diào)和函數(shù)為9．若函數(shù)為某一解析函數(shù)的虛部，則常數(shù)10．設(shè)的共軛調(diào)和函數(shù)為，那么的共軛調(diào)和函數(shù)為四、計(jì)算積分1．2.,其中且。3．，其中為不經(jīng)過的簡單正向閉曲線.五、設(shè)在平面上解析，且恒大于正常數(shù)M,試證為常值函數(shù).六、證明：若在圓周上及其內(nèi)部解析，則七、設(shè)在復(fù)平面上處處解析且有界，對于任意給定的兩個(gè)復(fù)數(shù)，試求極限并由此推證（劉維爾Liouville定理）.八、設(shè)在內(nèi)解析，且，試計(jì)算積分并由此得出之值.答案：一、，，，，，，，，二、1．C2.D3.D4.B5.B6.A7.A8．A9.D10.B三、1．2．3.,,4.5.平均值6。7。，08.9.10.四、1.設(shè)則所以2．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，3．分情況討論：（1）為不包含的簡單正向閉曲線=0（2）為包含，不包含的簡單正向閉曲線（3）為包含，不包含的簡單正向閉曲線（4）為即包含，也包含的簡單正向閉曲線=0五、提示：對運(yùn)用劉維爾定理.七、提示：估值不等式證明極限.再用柯西積分公式計(jì)算，可驗(yàn)證。八、.第四章級數(shù)判斷題冪級數(shù)在收斂圓上處處收斂。（）冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓內(nèi)可能有奇點(diǎn)。（）如果是和的極點(diǎn)，則是的極點(diǎn)。（）如果是的本性奇點(diǎn)，為的極點(diǎn)，則是的本性奇點(diǎn)。（）如果是的本性奇點(diǎn)，為的極點(diǎn)，則是的極點(diǎn)。（）如果是的級零點(diǎn)，為的級極點(diǎn)，，則是的可去奇點(diǎn)。（）如果是的級極點(diǎn)，則是的級極點(diǎn)。（）若，則在內(nèi)無奇點(diǎn)。（）存在在原點(diǎn)解析，在處取值為的函數(shù)。（）一、選擇題：1．設(shè)，則()（A）等于（B）等于（C）等于（D）不存在2．下列級數(shù)中，條件收斂的級數(shù)為()（A）（B）（C）（D）3.設(shè)函數(shù)的泰勒展開式為，那么冪級數(shù)的收斂半徑()（A）（B）（C）（D）4．級數(shù)的收斂域是()（A）（B）（C）（D）不存在的5．函數(shù)在處的泰勒展開式為()（A）（B）（C）（D）6．是函數(shù)的()奇點(diǎn)（A）可去奇點(diǎn)（B）極點(diǎn)（C）本性奇點(diǎn)（D）非孤立奇點(diǎn)7．設(shè)函數(shù)在以為中心的圓環(huán)內(nèi)的洛朗展開式有個(gè)，那么()（A）1（B）2（C）3（D）48．設(shè)是的級極點(diǎn)，則是的（）級極點(diǎn)(A)（B）（C）（D）9．設(shè)為函數(shù)的級極點(diǎn)，那么()（A）8（B）6(C)4（D）210.是函數(shù)的（）奇點(diǎn)（A）可去奇點(diǎn)（B）極點(diǎn)（C）本性奇點(diǎn)（D）非孤立奇點(diǎn)二、填空題1．若冪級數(shù)在處發(fā)散，那么該級數(shù)在處的收斂性為。2．冪級數(shù)的收斂半徑。3．在處的泰勒展開式為。4．假設(shè)是函數(shù)的級極點(diǎn)，則是函數(shù)的極點(diǎn)．5．雙邊冪級數(shù)的收斂域?yàn)椋?．函數(shù)在內(nèi)洛朗展開式為．7．具有可去奇點(diǎn)，6級級點(diǎn)和本性奇點(diǎn)的一個(gè)函數(shù)為．8．函數(shù)在內(nèi)洛朗展開式為．9．函數(shù)的有限奇點(diǎn)為，類型為．10．函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上的奇點(diǎn)為；類型為．三、用冪級數(shù)證明初值問題在解析的唯一解為四、菲波那契(Fibonacci)數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系為：。證明函數(shù)在處的泰勒展開式的系數(shù)即為菲波那契(Fibonacci)數(shù)列，并明確給出的表達(dá)式．五、試證明1．2．.六、將函數(shù)在內(nèi)展開成洛朗級數(shù).七、試證在內(nèi)的洛朗展開式為：其中答案：一、，，，，，，，，，二、1．（B）2．（C）3．（C）4．（B）５．（D）６．（D）７．（C）８．（B）９．（A）10．（A）二、1．不能確定2．13．4．一級5．6。7．8.9.二級極點(diǎn)、一級極點(diǎn)、三級極點(diǎn)10．；可去奇點(diǎn)，本性奇點(diǎn)四、.六、.答案留數(shù)理論及其應(yīng)用判斷題1．若是函數(shù)的奇點(diǎn)，則可將函數(shù)在處展開來計(jì)算在處的留數(shù)（）2．在處的留數(shù)與在處的留數(shù)相等。（）3．若，則在內(nèi)無奇點(diǎn)。（）4．若是函數(shù)的可去奇點(diǎn)，則在處的留數(shù)為0。（）5．假設(shè)是函數(shù)的級極點(diǎn)，則，。（）選擇題1．是函數(shù)的()（A）可去奇點(diǎn)（B）一級極點(diǎn)（C）二級極點(diǎn)（D）本性奇點(diǎn)2．設(shè)函數(shù)與分別以為級極點(diǎn)與級極點(diǎn)（），則為的（）（A）可去奇點(diǎn)（B）級極點(diǎn)（C）級零點(diǎn)（D）本性奇點(diǎn)3．設(shè)為函數(shù)的本性奇點(diǎn)，則為函數(shù)的（）（A）可去奇點(diǎn)（B）一級極點(diǎn)（C）本性奇點(diǎn)（D）非孤立奇點(diǎn)4．設(shè)在內(nèi)解析，為正整數(shù)，那么()（A）（B）（C）（D）5.如果為的級極點(diǎn)，則為的（）級極點(diǎn)(A)（B）（C）（D）6．是函數(shù)的（）（A）可去奇點(diǎn)（B）一級極點(diǎn)（C）二級極點(diǎn)（D）本性奇點(diǎn)7．（）（A）（B）（C）（D）8．（）（A）（B）（C）（D）填空題1．設(shè)為函數(shù)的奇點(diǎn)．2為函數(shù)的奇點(diǎn)．3．是函數(shù)的級極點(diǎn)．4．設(shè)為函數(shù)的級零點(diǎn)，那么．5．設(shè)為函數(shù)的級極點(diǎn)，那么．6．設(shè)，則．7．設(shè)，則．8．設(shè)，則．9．積分．四、計(jì)算下列函數(shù)在各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。1．2。3。4．五、計(jì)算下列圍線積分。1．2。3.4．，其中C為不經(jīng)過0和1的簡單閉曲線.5．答案：一、1。2。3。4。5?！潭?、(1)A(2)B(3)C(4)C(5)D(6)C(7)A(8)B三、1?？扇?。本性3。14。5.6.7.8.9.四、(1)為的一級極點(diǎn)，為的本性奇點(diǎn)，(2)為的本性奇點(diǎn)，為的本性奇點(diǎn)又所以，(3)為的3級極點(diǎn)，為的1級極點(diǎn)，所以（4）均為的一級極點(diǎn)，為的極點(diǎn)。由知五、1．被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)，均為單極點(diǎn)。又因?yàn)樗?。2．=因?yàn)樗?因?yàn)樗?，從而有3.因?yàn)樗?。4．（1）0。（2）C只包含0時(shí)，積分為（3）C只包含1時(shí)，積分為（4）C包含0，1時(shí)，積分為5．當(dāng)時(shí)，為可去奇點(diǎn)，積分為零。當(dāng)時(shí)，為一級極點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為級極點(diǎn)，所以傅立葉變換判斷題1．任意函數(shù)的傅立葉變換都存在。（）2．的正弦變換就是為奇函數(shù)時(shí)的傅立葉變換。（）3．則成立。（）4．具有性質(zhì)其中的積分就是我們數(shù)學(xué)分析中熟悉的廣義積分。（）5．因?yàn)?，所以。（?．古典意義下的傅立葉變換的所有性質(zhì)對于廣義傅立葉變換均成立，且形式完全相同。（）選擇題（9）設(shè)，則=（）（A）（B）（C）（D）填空題（5）積分（6）積分（7）假設(shè)函數(shù)的傅立葉變換為，則函數(shù)的傅立葉變換為（8）函數(shù)的傅立葉逆變換為（9）積分方程的解計(jì)算下列函數(shù)的傅立葉變換（1）（2）（3）（4）（5）計(jì)算下列函數(shù)的傅立葉變換，并求給出的相應(yīng)的積分的值。（1），（2），已知函數(shù)F求下列函數(shù)的傅立葉變換。（1）（2）（3）（4））計(jì)算下列函數(shù)的傅立葉逆變換。（1）（2）（3）八、證明：若F其中為一實(shí)函數(shù)，則FF九、證明：答案：一、1。2?！?。4。5?！?。二、(1)D(2)A(3)C(4)B(5)A(6)C(7)B(8)D(9)B(10)C三、1。2。3。4。5.6.7.8.9.四、(1)=(2)因?yàn)镕，，所以F（5）因?yàn)橛上嗨菩再|(zhì)F五（1）所以在連續(xù)點(diǎn)處=所以。（2），因此六、（1）因?yàn)橛上嗨菩再|(zhì)，F(xiàn)F（2）FF（3）因?yàn)橛上嗨菩再|(zhì)，F(xiàn)FF=（4）FF七、（1）F{F}==（2）,所以（3）=，所以證F同理可證另一等式.九、證拉普拉斯變換判斷題1．Laplace變換本質(zhì)是傅立葉變換。（）2．任意函數(shù)的拉普拉斯變換都存在。（）3．和的拉普拉斯變換結(jié)果相同。4．可以通過計(jì)算在處留數(shù)得到的拉普拉斯逆變換。（）5．可以通過計(jì)算在處留數(shù)得到的拉普拉斯逆變換。（）6．用拉普拉斯變換求微分方程時(shí)可直接求出滿足初始條件的解。（）選擇題（2）（）（A）（B）（C）（D）(3)（）（A）（B）（C）（D）(4)（）（A）（B）（C）（D）(5)函數(shù)的拉普拉斯逆變換為（）（A）（B）（C）(D)(6)函數(shù)的拉普拉斯逆變換為（）（A）（B）（C）（D）(7)積分的值為（）（A）0(B)(C)(D)(8)積分的值為（）（A）0(B)1(C)(D)不存在(9)時(shí)的值為（）（A）0(B)1(C)(D)不存在填空題（1）設(shè)則（2）（3）（4）（5）（6）