2022-2023學(xué)年上海初二年級(jí)下冊(cè)同步講義第7講 代數(shù)方程的復(fù)習(xí)解析版

第7講代數(shù)方程的復(fù)習(xí)

本章學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的高次方程、分式方程、無(wú)理方程以及簡(jiǎn)單的二次方程（組）的概念及

其解法，學(xué)習(xí)了列方程解應(yīng)用題.到本章為止，可以說(shuō)初等代數(shù)方程的基本知識(shí)內(nèi)容已經(jīng)大

體完整.

本講將代數(shù)方程的基本解法和常見(jiàn)題型做一總結(jié)，幫助大家更好的復(fù)習(xí).

有理方程

二元?次方

.程組.

代

數(shù)二元二次方

方程組

程

J無(wú)理方程］

列方程解應(yīng)用題

一、選擇題

例1.下列方程中，是二項(xiàng)方程的是（）

A.V+3x=0B.X4+2X2-3=0C.f=1D.x，+l）+8=0

【難度】★

【答案】C

【解析】如果一元"次方程的一邊只有含未知數(shù)的一項(xiàng)和非零的常數(shù)項(xiàng)，另一邊是零，那么

這樣的方程就叫做二項(xiàng)方程.A.左邊沒(méi)有非零常數(shù)；B.左邊含有未知數(shù)的兩項(xiàng)；D.右邊不是

零.

【總結(jié)】考查二項(xiàng)方程的概念.

例2.（2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試）下列方程中，是關(guān)于x的分式方程的是（

「X-1.x+21cnX-1x+21

C.----1--------=0D.----1---------=0n

32xmnnm

【答案】c

【分析】A、B選項(xiàng)分母上都沒(méi)有未知數(shù)，所以不是分式方程；D選項(xiàng)是分式方程，但不是

關(guān)于x的分式方程，只有.C正確.

【詳解】根據(jù)分式方程的定義得：等-1=0是分式方程，

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的定義，熟練掌握分式方程的定義是解本題的關(guān)鍵.

例3.（2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試）如果xa0,yA0,且3x-2y=J亞則（的值可能是

（）

A.B.1C.；D.以上都無(wú)可能

44

【答案】B

【分析】可將方程兩邊同時(shí)平方，從而將無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為整式方程，運(yùn)用因式分解法即可

得到y(tǒng)與x的關(guān)系，從而解決問(wèn)題.

【詳解】將方程3x-2y=后兩邊同時(shí)平方，并整理得，

9x2—13xy+4y2=0（其中3x-2y>0）

即（9x-4y）（x-y）=0,解得，y-\x,或丫=乂，

4

當(dāng)y=時(shí)，3x-2y=-|x,Vx>0,:.3x-2y<0,不符合要求，

當(dāng)y二x時(shí)，3x-2y=x>0,符合要求.，?=1,故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解無(wú)理方程，運(yùn)用因式分解法解方程，需要注意的是將無(wú)理方程

轉(zhuǎn)化為整式方程，可能會(huì)出現(xiàn)增根，本題需要挖掘出隱含條件3x-2y>0.

例4.(2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試)下列判斷錯(cuò)誤的是()

A.方程+5=>—1沒(méi)有負(fù)數(shù)根B.方程Vx+2=x'x+2的解的個(gè)數(shù)為2

C.方程VFi耳=3—x沒(méi)有正數(shù)根D.方程=0的解為X1=2,打=3

【答案】D

【分析】解各個(gè)方程即可得到結(jié)論.

【詳解】A.V%+5=x-1>Ax+5=(x—I)2

解得，X1=4,X2=-1經(jīng)檢驗(yàn)，x=-l,是增根，...原方程的解為：x=4.

故選項(xiàng)A判斷正確.

B.方程田”=4/^短兩邊同時(shí)平方得，x+2=x2(x+2),

x+2-x2(x+2)=0/.(x+2)(1—x2)=0

解得，%i=-2.x2=1.x3=—1經(jīng)檢驗(yàn)，x=T是增根.

.?.Xi=-2,x2=1是原方程的解，故B判斷正確；

C.方程STT百=3—%兩邊同時(shí)平方得，x+9=(3—x)2

解得，x=0,或x=7,經(jīng)檢驗(yàn)，x=7是增根，...原方程的解為：x=0,

故選項(xiàng)C判斷正確：

rx-2=0

D.根據(jù)題意得，［x+3=0,解得，x=-3.故選項(xiàng)D判斷錯(cuò)誤，

x2-4>0

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理方程，分式方程，一元二次方程的解法，熟練掌握解各種方程的

方法是解題的關(guān)鍵.

x=1x+y-a

例5.（2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試）如果《是方程組《',的一組解，那么這

y=4xy=b

個(gè)方程組的另一組解是（）

*

x=二4x=-1x=-4x=4

A.,B.《C.D.《

=1y=-4J=T

【答案】A

x=1x+y=aCl二=54,再解方程組|x+y=5

【分析】將?4代入方程羋求得,.,即可得解

3二xy=bbxy=4

x=1x+y=a1+4=〃a=5

【詳解】將〈代入方程組，中得:<解得：

b=4'

y=4xy=blx4=h

x+y=5

則方程組變形為:由x+y=5得：x=5-y,

xy=4

將x=5-y代入方程xy=4中可得：y2-5y+4=0,解得y=4或y=l,

x=4

將y=l代入xy=4中可得：x=4,所以方程的另一組解為：\

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程，二元一次方程組的解法，熟記解二元一次方程的解法是解

題的關(guān)鍵.

例6.下列方程中，不是無(wú)理方程的是（）

A.Vx（Vx+2）=3B.（應(yīng)-1?+:=3

0

C.（岳+1）（岳_|）=3D.\fx—=3

【難度】★

【答案】B

【解析】無(wú)理方程是根號(hào)下含有未知數(shù)的方程，8選項(xiàng)的根號(hào)下是常數(shù)，容易錯(cuò)選.

【總結(jié)】考查無(wú)理方程的概念.

2

例7.已知方程：①-+—=3x；?-^-+x=2；③二一5=0；④(-+-)(x+6)=-l.

52x+2x2x8

這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【難度】★

【答案】C

【解析】分式方程是方程中的一種，是指分母里含有未知數(shù)的有理方程.

①中分母是常數(shù)，②③④分母中都含有未知數(shù)，是分式方程

【總結(jié)】考查分式方程的概念.

例8.用換元法解分式方程—―-竺'+2=0時(shí)，設(shè)丫=二匚，原方程可變形為()

x2+\x-x2+1

A.y2+2y-3=0B.y2-3y+2=0C.3y2-y+2=0D./-2y+3=0

【難度】★

【答案】A

3r2+33(x2+1)33

【解析】=3——!=士，，原方程變形為y-士+2=0即V+2y—3=0

xxyy

【總結(jié)】考查換元后方程的變形問(wèn)題.

例9.如果關(guān)于X的方程("Ll)x=l無(wú)解，那么加滿足().

A.m>\B.m=\C./n#1D.任意實(shí)數(shù).

【難度】★

【答案】B

【解析】當(dāng)加一1=0時(shí)，(m—l)x=031,帆=1

【總結(jié)】考查方程無(wú)解的條件.

例10.下列方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)解的是（）

r24_____

A.——=----B.\/x—2+x=OC.x4—x2—2=0D.x2+y2=1

x+2x+2

【難度】★

【答案】B

【解析】〃中無(wú)一220即x之2,\lx-2>0,x>2,.\>/x-2+x>2,，無(wú)解

【總結(jié)】考查無(wú)理方程的解的情況.

例11.方程組[廣二的解的個(gè)數(shù)是（）

[x2-y2+2=0

A.1B.2C.3D.4

【難度】★

【答案】B

【解析】由②式知/=丁-2代入①式得^+>-3=0,△=1+12=13>0，有兩個(gè)解.

【總結(jié)】考查方程的解法.

例12.方程J3x-5=x-l的根是（）.

A.x,=2>x2=3B.X]=-2,毛=-3C.x=3D.x=-3

【難度】★★

【答案】A

【解析】?jī)蛇呁瑫r(shí)平方得：3x-5=d—2x+l,即f-5x+6=0,

即：（x-2）（x-3）=0,解得：%=2,々=3,經(jīng)檢驗(yàn)，與=2,超=3均是原方程的解.

【總結(jié)】考查無(wú)理方程的解法，注意解完要驗(yàn)根.

例13.等式J16—3()

A.x<4B.x>4C.xNYD.-4<x<4

【難度】★★

【答案】D

【解析】由16—丁20,得Wx44,由4+xNO得xW,由4-xNO得x44,，一44x44.

【總結(jié)】考查二次根式的被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性的運(yùn)用.

例14.若解分式方程二-42=四產(chǎn)生增根，則勿的值（）

x-1X~+XX

A.-1或-2B.T或2C.1或2D.1或-2

【難度】★★

【答案】A

【解析】最簡(jiǎn)公分母為：傘+1）（1）;去分母：2匹+1）Xl）=（x+iy（l）：

把x=0代入方程，得：加+1=-1,帆=-2；把x=0代入方程，得：方程無(wú)解；

把x=0代入方程，得：2（機(jī)+1）=0,所以〃?=-1.

綜上，加=—2或加=—1.

【總結(jié)】考查分式方程產(chǎn)生增根的條件.

例15?分式方程d+[—2x—2=4中，若設(shè)y=x+』，則原方程可化為（）

XXX

A.y2_2y_]0=0B.y2_2y_8=0

C.y2-2y-6=0D.y2_2y_4=0

【難度】★★

【答案】C

【解析】原方程可變形為：（x+J-2卜+3-6=0....原方程可化為：y2-2y-6-0.

【總結(jié)】考查分式方程的變形，注意完全平方公式的運(yùn)用.

例16.甲隊(duì)為小區(qū)安裝60臺(tái)熱水器，乙隊(duì)為/小區(qū)安裝熱水器66臺(tái)，兩隊(duì)安裝的天數(shù)相

同，

乙隊(duì)比甲隊(duì)每天多安裝2臺(tái)，設(shè)乙隊(duì)每天安裝x臺(tái)，則下列方程中正確的是（）

.6660?6660?6660n6660

xx-2x—2xxx+2x+2x

【難度】★★

【答案】A

【解析】乙比甲每天多2臺(tái)，...甲每天安裝（尸2）臺(tái)

甲安裝的天數(shù)為旦，乙安裝的天數(shù)為生，由題意知可列方程：—.

x-2xx-2x

【總結(jié)】考查方程的應(yīng)用，注意尋找題目中的等量關(guān)系.

例17.某項(xiàng)工程若乙單獨(dú)做要比甲慢3天完成，現(xiàn)甲乙合作5天，余下的再由甲獨(dú)做3天完

成，求甲乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程所需的時(shí)間，若設(shè)乙單獨(dú)做需要x天，可列方程（）

85,58,「85,85,

As?-------1—=1BD.---------1—=1C.—i--------=1Dn.---------1—=1

x+3xx+3xxx—3x—3x

【難度】★★

【答案】D

【解析】由題意知甲單獨(dú)做需要x-3天，甲、乙的工作效率分別為一二」：

x-3x

由甲乙先合作5天，然后甲單獨(dú)做3天，可知甲一共做了8天，乙一共做了5天,

Q5

可列方程-7+己=1.

x-3x

【總結(jié)】考查方程在工程問(wèn)題中的應(yīng)用，注意工作總量通?？醋鳌?”.

例18.若(x+y-5)2+(盯-6)2=0,則x-y的值為()

A.6B.-1C.1D.1或-1

【難度】★★

【答案】D

【解析】由題意知即P,：5,

［孫一6=0［xy=6

所以（x-y）2=（x+y）2-4孫=25-24=1,二x—y的值為1或-1.

【總結(jié)】本題一方面考查了非負(fù)數(shù)的和為零的基本模型，另一方面考查了整體思想的運(yùn)用.

例19.已知。為非負(fù)整數(shù)，關(guān)于x的方程3-。+4=0至少有一個(gè)整數(shù)根，則a可能

取值的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【難度】★★★

【答案】B

【解析】由題意，顯然滿足條件的x,必然使得為整數(shù)，否則一不可能為

VPx+l

整數(shù)，

設(shè)Jl-x=y（y為非負(fù)數(shù)），則原式化為：2（1-y2）-ay-a+4=0,

即a=2（f）+4=2（］_y）+士,因?yàn)閥非負(fù)，所以要使得a為整數(shù)，則尸0、1、

1+y1+y

3；

此時(shí)爐6、2、-3（舍），當(dāng)a=0時(shí)，方程也有一個(gè)整數(shù)根，故a=6或2或0,故選B.

【總結(jié)】考查無(wú)理方程的根的情況，對(duì)至少一個(gè)整數(shù)根要準(zhǔn)確理解.

二、填空題

17TY+1

例1.（2018?上海市行知實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如果關(guān)于x的方程———1=0有增根，

x-1

則tn=.

【答案】-1

【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根.有增根，最

簡(jiǎn)公分母x-l=O,所以增根是x=l,把增根代入化為整式方程的方程即可求出未知字母的

值.

【詳解】方程兩邊都乘x-1得mx+l-x+l=O,?.?方程有增根，

最簡(jiǎn)公分母x-l=O,即增根是x=l,

把x=l代入整式方程，得m=-l.故答案為：T.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根，解決增根問(wèn)題的步驟：①確定增根的值；②化分式

方程為整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.

例2.（2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試）若方程J"+2=%有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍為

【答案】k》及

【分析】方程兩邊同時(shí)平方，再移項(xiàng)，根據(jù)x?2。求解即可.

【詳解】：&+2=公.?./+2=々2,即％2=r_2，

..”220,二公-220，夜或kW-立

:方程JY+2=）有實(shí)數(shù)根,...k〉。，故答案為：k》五.

【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)理方程，解無(wú)理方程的基本思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)

解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法.常用的方法有：乘方法，配方

法，因式分解法，設(shè)輔助元素法，利用比例性質(zhì)法等.

x=-1x=l

例3.（2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試）已知方程ax+by=8的兩個(gè)解為《八和《」則

y=01y=4

a+b=.

【答案】-4

【分析】將兩個(gè)解的值代入ax+by=8中，然后解出方程組即可求出a與b的值.

[x=\-a=8

【詳解】叫尸。和《代入ax+by=8,

[y=4a+4Z>=:8

62=—8

解得：〈,,,，a+b=-4,故答案為：-4.

Z>=4

【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是正確理解二元一次方程的解的概念，

本題屬于基礎(chǔ)題型.

ink

例4.（2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試）已知x=3是方程——+—=1一個(gè)根，求k的值

x+2x

【答案】-3

【分析】根據(jù)方程的解的定義，把x=3代入原方程，得關(guān)于k的一元一次方程，再求解可

得k的值.

ink10k

【詳解】把x=3代入方程」2+勺=1,得義+8=1,

x+2x53

解得k=-3.故答案為：-3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解的定義，屬于基礎(chǔ)題型.

例5.（2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試）若關(guān)于x的分式方程匚=一匕無(wú)解，則

x-3尤一3

【答案】2

【分析】因?yàn)殛P(guān)于x的分式方程無(wú)解，即分式方程去掉分母化為整式方程，整式方程的解

就是方程的增根，即x=3,據(jù)此即可求解.

【詳解】?jī)蛇呁瑫r(shí)乘以（x-3）去分母解得x=l+m,

???方程無(wú)解，，說(shuō)明有增根x=3,所以l+m=3,解得m=2,故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，理解分式方程的增根產(chǎn)生的原因是解題的關(guān)鍵.

例6.方程-學(xué)3=3的解是_____.

x+2x2+3

【難度】★★

【答案】玉=5,%=-1.

+34

【解析】令尸上二，則原方程變形為y—2=3,即—4=0,解得：^=-1,^=4,

x+2y

y-2Ia丫2.Q

當(dāng)上士=一1時(shí)，X2+X+5=0,無(wú)解；當(dāng)^~^=4時(shí)，(x-5)(x+l)=0,解得:

x+2x+2

%=5,毛=-1,

經(jīng)檢驗(yàn)芭=5,%=T是原方程的解.

【總結(jié)】考查換元法解分式方程，注意解完后要檢驗(yàn).

例7.(1)方程y/x-l=X-7的根是;

(2)方程Jx+2?程2x-l-6=o的根是.

【難度】★★

【答案】(1)x=10；(2)x=l.

【解析】(1)首先考慮x-120,即xNl,兩邊同時(shí)平方得：X-1=X2-14X+49,

即(x-5)(x-10)=0,解得：々=5,x2=10,經(jīng)檢驗(yàn)內(nèi)=5是原方程的增根，

所以原方程的根為：x=10；

(2)由x+220且2x-l±0,^x>-;對(duì)原方程兩邊同時(shí)平方得：2X2+3X-5=0

2

即(x-l)(2x+5)=0,...芭=1,&=-|,經(jīng)檢驗(yàn)與=-|是原方程的增根，

所以原方程的解為：x=i.

【總結(jié)】考查無(wú)理方程的解法，注意解完后要檢驗(yàn).

例8.方程2x4+/n，—3=o有個(gè)實(shí)數(shù)根.

【難度】★★

【答案】2個(gè).

【解析】首先用換元法，令f=降次得2/+血-3=0,根據(jù)一元二次方程根的判別式,

可知：A>0,

則方程有兩不相等的實(shí)數(shù)根，再由：根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理)可知方程兩根之積為負(fù)，

則舍掉負(fù)根，那么其中的一個(gè)正根必然會(huì)對(duì)應(yīng)兩個(gè)解，也就是x的值.

【總結(jié)】考查高次方程的解的個(gè)數(shù).

例9.學(xué)校舉行乒乓球女子單打比賽，采用單循環(huán)賽制，共比賽21場(chǎng)，則參加比賽的選手

有

___________名.

【難度】★★

【答案】7

【解析】假設(shè)參賽選手有〃人，那么每個(gè)人都要和除了自己以外的(〃-1)個(gè)人去打比賽，則

〃個(gè)人就要打〃("-1)場(chǎng)，又因?yàn)楸荣悊窝h(huán)賽制，這樣算下來(lái)有重復(fù)，所以再除以2,即可

得最終比賽場(chǎng)次，那么根據(jù)題意可列出方程：=解得：爐7,即參賽選手有7

名.

【總結(jié)】考查學(xué)生的知識(shí)廣度，本題涉及到一些小升初奧數(shù)知識(shí)，有條件的老師可略加拓展.

例10.(1)當(dāng)卬時(shí)，方程G石=2-加有實(shí)數(shù)解；

(2)方程Cx-1=1+加無(wú)解,勿的值為.

【難度】★★

【答案】(1)m<2；(2),n<-\.

【解析】(1)由2—得桃M2：(2)由l+/n<0,得/we—1.

【總結(jié)】考查二次根式的非負(fù)性的運(yùn)用.

例11.方程上+二_=其產(chǎn)生增根，則公

]-xX+1/―1

【難度】★★

【答案】A=-3或々=—1.

3

【解析】?jī)蛇呁瑫r(shí)乘以f-l，可得：-2x-8=63即x=T-3k；

當(dāng)x=l或-1時(shí)，方程有增根，所以當(dāng)-4-34=1時(shí)，k=~；

當(dāng)一4一3R=—1時(shí)，k=-\,

綜上所述1<=-2或々=-1.

3

【總結(jié)】考查方程有增根的情況，注意先化成整式方程再代值計(jì)算.

例12.當(dāng)a=時(shí)，關(guān)于*的方程_2_=，二無(wú)解.

x+3x-a

【難度】★★

【答案】a=-3或0.

【解析】當(dāng)歸-3時(shí)，方程可化為二3-=二3，無(wú)解；當(dāng)a=0時(shí)，方程可化為33=0,無(wú)

x+3x+3x+3

解.

【總結(jié)】考查方程無(wú)解的條件，注意進(jìn)行分類討論.

例13.若(x+3=9,則｛x--)2的值為.

XX

【難度】★★

【答案】5

【總結(jié)】考查完全平方公式的應(yīng)用.

例14.已知關(guān)于x的分式方程史2=1的解是非正數(shù)，則”的取值范圍是.

x+1

【難度】★★

【答案】且力-2.

【解析】由題意，先去分母，得：a+2=x+l,解得：x=a+1.

首先，因?yàn)榉匠探馐欠钦龜?shù)，那么：x=a+l<0,解得：a<-],

其次，必須滿足原分式方程分母不為零：即X+1H0,XW-1,

即a+lw—1,解得：a*—2,因此，1且aH—2.

【總結(jié)】考查方程的解的應(yīng)用及方程有意義的隱藏條件.

例15.一本書(shū)有a頁(yè)，若每天看6頁(yè)，則需要___天看完；若每天多看3頁(yè)，則需要

天看完；若要比原來(lái)提前3天看完，則每天需要比原來(lái)多看_____頁(yè).

【難度】★★

【答案】￡

bZ?+3a-3b

【解析】每天看％頁(yè)，需要4天看完；每天多看3頁(yè)，需要，—天看完；

bb+3

若要比原來(lái)提前3天看完，即現(xiàn)在需要4-3天看完，現(xiàn)在每天看/一=*—,

b3_3〃-3b

b~

...現(xiàn)在每天比原來(lái)多看上一-一頁(yè)

a-3ba-3b

【總結(jié)】考查分式方程的應(yīng)用.

例16.兩個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)的和的平方是196,這兩個(gè)數(shù)是.

【難度】★★

【答案】6、8.

【解析】設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為X、廣2,則(x+x+2)2=196,二2x+2=14,解得：x=6,

???這兩個(gè)數(shù)分別是6、8.

【總結(jié)】考查方程在數(shù)字問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

例17.方程4/+3》-3丁+5^-3=0的解中，x、y互為相反數(shù)的解是

【難度】★★

【答案】x=-l,y=l或x=3,y=—3.

【解析】由題意，x、y互為相反數(shù)，即丁=-彳，代入方程得：4X2+3X-3(-X)2+5(-X)-3=0

化筒得：4X2+3X-3X2-5X-3=0,即：x2-2x-3=0,(x+l)(x-3)=0,

解得：x=-l或x=3,所以y=l或y=-3

所以互為相反數(shù)的兩個(gè)解是x=-l,y=l或x=3,y=-3.

【總結(jié)】考查方程的解的應(yīng)用.

例18.若方程組卜一+2步=6有兩組相等的實(shí)數(shù)解，則女的值為_(kāi)_____.

fcr+y=3

【難度】★★

【答案】4=土1.

【解析】由y=3-d，代入化簡(jiǎn)可得：x?+2(3-履)2=6,即(2公+i)x?-12"+12=0,

因?yàn)榉匠探M有兩組相等的實(shí)數(shù)解，所以△=(T2Z>-4xl2x(2公+1)=48公-48=0,

解得：無(wú)=±1.

【總結(jié)】考查方程組有兩組相等的實(shí)數(shù)解的問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解進(jìn)行求值.

例19.若卜=：是方程組的一個(gè)解，則這個(gè)方程組的另一個(gè)解是______.

[y=b[xy=n

【難度】★★

【答案】彳.

【解析】將方程組的解[尤=:代入原方程組，可得|"+,"=帆，

[y=b[ab=n

可以發(fā)現(xiàn)，只要滿足這樣的關(guān)系，就可以是方程組的解，那么我們考慮把X、y互換位置

\x=b

即方程組的另一個(gè)解可以是

(7=0

【總結(jié)】考查方程的解的問(wèn)題，以后碰到類似的情況仍然可以使用這個(gè)辦法，因?yàn)椋尽是

不分先后的.

例20.方程組憶3"：；由①+②得(…a國(guó)則原方程組可化為｛；；：*

與兩個(gè)方程組.

【難度】★★

尤+2y=-6

【答案】

xy+4y2=8

x+2y=-6

【解析】由題意,我們將(x+2y)2=36開(kāi)方,得x+2y=±6,故答案為

xy+4y2=8

【總結(jié)】考查二元二次方程組的因式分解問(wèn)題.

例21.若飛機(jī)在無(wú)風(fēng)時(shí)每小時(shí)飛行165千米，飛機(jī)依直線飛行了450千米后，依原來(lái)的路線

飛回原處，已知飛機(jī)去時(shí)是逆風(fēng)，回來(lái)時(shí)是順風(fēng)，回來(lái)時(shí)比去時(shí)少用了半個(gè)小時(shí)，求風(fēng)速是

多少，設(shè)風(fēng)速是x千米每小時(shí)，根據(jù)題意可列方程

【難度】★★★

450450

【答案】+0.5.

165-x165+x

【解析】設(shè)風(fēng)速是X,根據(jù)來(lái)回所用的時(shí)間差，可列方程：/_=*_+0.5

165—x165+x

【總結(jié)】考查分式方程，先找準(zhǔn)等量關(guān)系是關(guān)鍵，再依據(jù)題意列方程即可.

例22.若5+3,+3。）2=0,貝汁。=,%=.

【難度】★★★

【答案】。=9,h=—3.

【解析】由題意知：“+?-3=。、〃+3，=0,J。+?-3=0、。+3b=0,

b+\

:?b=T,a=9.

【總結(jié)】考查絕對(duì)值與平方的非負(fù)性的運(yùn)用.

例23.當(dāng)加<-2時(shí)，方程組卜2一,+1=°的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是個(gè).

y-mx

【難度】★★★

【答案】2.

【解析】由題意，把y=代入x?-y+1=0,可得：x2-/nr+1=0,

根的判別式△=加-4，因?yàn)榭芍?加2-4>0，

則x有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，所以方程組也有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.

【總結(jié)】考查含參數(shù)的方程組的應(yīng)用.

三、解答題

2,2

1.（2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試）k為何值時(shí)，方程組〈x+.>=16只有唯一解?

x-y=k

【答案】k=±4&.

【分析】將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)△=（）求解即可.

P+y2=]6⑴

【詳解】

x-y-k(2)

由(2)得,y=x-k(3)

將（3）代入（1）得，2/—2日+公一16=0,

要使原方程組有唯一解，只需要上式的△=（）,即

（一2&）2-4*2*（/-16）=0,

解得，k=±4、歷.

llx2+y2=16

所以當(dāng)k=±4五時(shí)，方程組《只有唯一解.

[x-y=k

【點(diǎn)睛】本題考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判別式的應(yīng)用，掌握當(dāng)判別式

為0時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵.

2.（2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試）已知直角三角形周長(zhǎng)為48厘米，面積為96平方厘米，

求它的各邊長(zhǎng).

【答案】12cm、16cm、20cm.

a+b+\Ja2+b2=48

【分析】設(shè)兩宜角邊為a、b,則斜邊為J7左，根據(jù)已知得：\1求

—ab=96

12

解即可.

【詳解】設(shè)該直角三角形的兩條直角邊為a、b,則斜邊長(zhǎng)為病I”，根據(jù)題意得，

a+b+y/a2+b2=48

,1,

—ab=96

12

a=l2[a=\6

解得《,/或＜

6=16b=n

。二12。=16--------------

經(jīng)檢驗(yàn)，\和V都是方程的解，所以斜邊長(zhǎng)為J12?+伺=20cm.

b=16。二1，

答：該直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是12cm、16cm、20cm.

【點(diǎn)睛】此題運(yùn)用三角形面積表示出ga》=96,然后由勾股定理導(dǎo)出是關(guān)鍵.

2xATI+]X+]

3.(2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試)若解分式方程「一一7―n=：—產(chǎn)生增根，則m

x+1x(x+l)X

的值是多少？

【答案】m=l或m=-2.

【分析】方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母x(x+1)化分式方程為整式方程，然后把增根代入進(jìn)

行計(jì)算即可求出m的值.

【詳解】方程兩邊都乘以x(x+1)得，2xJm-l=(x+1))

若分式方程產(chǎn)生增根，則x(x+1)=0,解得x=0或x=T,

把X=0代入整式方程，得0-(根+1)=1.解得m=-2；

把X=-1代入整式方程，得2x(-1)2一(加+1)=(-1+以.解得加=1.

/?m=l或m=-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的增根的問(wèn)題，增根就是使分式方程的最簡(jiǎn)公分母等于。的

未知數(shù)的值，把分式方程化為整式方程代入求解即可.

4.(2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試)解下列方程

,、1以2,,c、12524

(1)-----1—----1-------1(2)---------1---------=-3-----

x+2x—42—xx~—2x—2x—2x+2x—2x+l

【答案】(1)Xi=l;(2)Xi=-1,X2=3,X3=—2,x」=4.

【分析】(1)方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程

的解；

(2)運(yùn)用換元法求解即可.

【詳解】(1)方程兩邊同乘以(x+2)(x-2),得(x-2)+4x-2(x+2)=(x+2)(x-2),即x?-

3x+2=0,

Xi=l,X2=2.

檢驗(yàn)：x=l時(shí),(x+2)(x-2)WO,知x=l是原方程的解；x=2時(shí),(x+2)(x-2)=0,知x=2是

原方程的增根.故原方程的根是x=L

(2)設(shè)x?—2x=y,

125_24

則原方程變形為

>'-2y+2y+1

(y+2)(y+1)+25(y-2)(y+1)=24(y2-4)

整理后，得y‘一1ly+24=0.

解得yi=3,y2=8.

①當(dāng)y=3時(shí)，X2-2X=3,

解得Xi——1,x?=3,

②當(dāng)y=8時(shí)，X2-2X=8.

解得X3=—2,x4=4.

經(jīng)檢驗(yàn)：Xi=-1,X2=3,X3=—2,x,i=4都是原方程的解.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了分式方程的解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用分式方程的解法.

3(2<z-l)>3?-8

5.(2019?上海八年級(jí)單元測(cè)試)已知a是非零整數(shù)，且滿足卜11—3〃，解關(guān)

------>a+2

I2

22

于x的方程：x-3x+3\lx-3x=1Oa

【答案】XE—l，X2=4

【分析】首先解不等式組求得a的范圍，然后根據(jù)a是非零整數(shù)，即可求得a的值，然后

利用平方的方法即可求得.

’3(2。-1)>3。-8①

【詳解】解：111一3a〉a+2②，解①得：a>，，解②得：a<1,

、2°-

則不等式組的解集是：-572是非零整數(shù)，...a=：l或-1.

35

當(dāng)a=T時(shí)，方程無(wú)解.

當(dāng)a=l時(shí)，則方程是：x2—3x+3\Jx2-3x=10)

設(shè)5/7一3%可,則原方程變形為:y2+3y=10,

2

解得：X=-5(舍去)，y2=2,x-3x=4,解得：x=-l和4,

經(jīng)檢驗(yàn)x=-l和4都是方程的解.故方程的解是：x,=-l，X2=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)理方程.在解無(wú)理方程是最常用的方法是兩邊平方法及換元法，本

題用了換元法.

6.解下列關(guān)于x的方程：

(1)X4-7X2+10=0；(2)x2+x-2+k(x2+2x)=0.

【難度】★★

【答案】(1)X,=>/2,x2=—V2)x3=y/5,xA=—x/5；(2)Xj=-2,x2=---.

【解析】⑴原方程可分解為：(幺-2)(1一5)=0,.,.分=延=5,

解得原方程的解為：x,=>72,x2=-V2,x3=A/5,x4=—>/5；

(2)原方程可化為(x+2)(x-l)+依(x+2)=0,即(x+2)[(k+l)x-l]=0,

解得原方程的解為：x-2,

1='Z+l

【總結(jié)】考查簡(jiǎn)單的整式方程的求解，注意含字母參數(shù)時(shí)要討論.

7.解下列關(guān)于x的方程：

(1)3or+b=4；(2)b2x2+(b2x)2=b2+(b2)2.

【難度】★★

【解析】(1)移項(xiàng)得：36=4一6：分類討論：

當(dāng)。=0,6=4時(shí)，方程左邊=0,右邊=0,有無(wú)數(shù)個(gè)解：

當(dāng)a=O,6/4時(shí)，方程左邊=0,右邊,0,無(wú)解：

當(dāng)awO時(shí)，方程有唯一解：x=—；

3a

(2)觀察方程每一項(xiàng)都含有從，故而考慮消去從，而題中沒(méi)有說(shuō)明匕不等于零，那么

要分類討論：當(dāng)6=0時(shí)，方程左邊=右邊=0,有無(wú)數(shù)個(gè)解：

當(dāng)bwO時(shí)，方程左邊右邊可同時(shí)約掉從，方程化為：Y+b2d=1+從，即

(1+b2)x2=i+b2,得x?=1,所以%=1,Xj=7.

【總結(jié)】考查含參數(shù)的整式方程的解法，注意要分類討論.

8.解下列方程：

(1)J2x—1+j3-2x=2:(2)y/2x+l-y/x+2=2y/3.

【難度】★★

【答案】(1)x=l；(2)73.

【解析】(1)兩邊平方得：2+2j(2x-1)(3-2x)=4,J(2x-1)(3—2x)=1,

兩邊再平方得：-4X2+8X-4=0,解得：x=l，經(jīng)檢驗(yàn)x=l是原方程的解;

(2)在R=471+26，兩邊平方，整理得x-13=4,3(x+2),

兩邊再平方，整理得：X2-74X+73=0-解得：藥=1，芻=73,

經(jīng)檢驗(yàn)，產(chǎn)1是原方程的增根，所以是原方程的解為x=73.

【總結(jié)】考查無(wú)理方程的解法，通常整理后兩邊平方即可，注意解完后要檢驗(yàn).

9.解下列方程組：

⑴(x2+2xy-3y2=2x1-y2=3

x+3y=2x2-2xy+y2=\

\x2-7xy+ny2=0

(J)

x2-4xy+4y2=4

【難度】★★

5

x=—

4玉=2Jx,=-2Jx,=6JX=-6\X=4\X=-4

【答案】(1)y=ll%=T；b=2，U=2-2，U3=l，U=4-l

【解析】(1)由f+2盯一3y2=2可得(x+3y)(x-y)=2,代入得，2(x-y)=2,

5