4空間直線與平面知識梳理高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)滬教版

專題1.4空間直線與平面【知識梳理】一、平面與空間中的直線1、平面表示方法平面用平行四邊形表示，常用表示方法：①一個(gè)大寫字母，②一個(gè)小寫希臘字母，③三個(gè)或者三個(gè)以上的字母．2、平面的基本性質(zhì)公理1、如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．推理模式：如圖示：應(yīng)用：是判定直線是否在平面內(nèi)的依據(jù)，也可用于驗(yàn)證一個(gè)面是否是平面．公理1說明了平面與曲面的本質(zhì)區(qū)別．通過直線的“直”來刻劃平面的“平”，通過直線的“無限延伸”來描述平面的“無限延展性”，它既是判斷直線在平面內(nèi)，又是檢驗(yàn)平面的方法．公理2、如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線．推理模式：且且唯一如圖示：應(yīng)用：①確定兩相交平面的交線位置；②判定點(diǎn)在直線上公理2揭示了兩個(gè)平面相交的主要特征，是判定兩平面相交的依據(jù)，提供了確定兩個(gè)平面交線的方法．公理3、經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推理模式：不共線存在唯一的平面，使得應(yīng)用：①確定平面；②證明兩個(gè)平面重合“有且只有一個(gè)”的含義分兩部分理解，“有”說明圖形存在，但不唯一，“只有一個(gè)”說明圖形如果有頂多只有一個(gè)，但不保證符合條件的圖形存在，“有且只有一個(gè)”既保證了圖形的存在性，又保證了圖形的唯一性．在數(shù)學(xué)語言的敘述中，“確定一個(gè)”，“可以作且只能作一個(gè)”與“有且只有一個(gè)”是同義詞，因此，在證明有關(guān)這類語句的命題時(shí)，要從“存在性”和“唯一性”兩方面來論證．推論1、經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．推理模式：存在唯一的平面，使得，推論2、經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面．推理模式：存在唯一的平面，使得推論3、經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．推理模式：存在唯一的平面，使得公理4、平行于同一條直線的兩條直線互相平行．推理模式：，3、空間兩直線的位置關(guān)系（1）相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）平行——在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；（3）異面——不在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．4、異面直線（1）異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線．（2）異面直線畫法：（3）異面直線證法：反證法，即證明兩直線既不平行也不相交．（4）求異面直線所成的角異面直線所成的角是指過空間任意一點(diǎn)O分別作兩條異面直線的平行線，所得的兩條相交直線所成的銳角（或直角）。它的取值范圍為．辨析：異面直線所成的角的取值范圍是；向量所成的角的取值范圍是．所以，用向量方法求異面直線所成的角時(shí)，如果得出的是鈍角，還要修正為銳角．異面直線所成的角求法：①幾何法：通過直線搬動(dòng)，具體搬動(dòng)一條直線還是兩條都搬動(dòng)，要看實(shí)際情況；②代數(shù)法：采用向量運(yùn)算．二、空間中的直線與平面1、直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）；（2）直線和平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；（3）直線和平面平行（沒有公共點(diǎn)）2、線面平行（1）判定定理：如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．（2）性質(zhì)3、線面垂直（1）判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．（2）性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．∥1．平面的斜線當(dāng)直線與平面相交且不垂直時(shí)，叫做直線與平面斜交，叫做平面的斜線.斜線與平面的交點(diǎn)叫做斜足，斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段．2．射影設(shè)直線與平面斜交于點(diǎn)，過上任意點(diǎn)，作平面的垂線，垂足為，我們把點(diǎn)叫做點(diǎn)在平面上的射影，直線叫做直線在平面上的射影．射影長定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中：（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；（3）垂線段比任何一條斜線段都短．3．直線和平面所成角如圖，是平面的一條斜線，點(diǎn)是斜足，是上任意一點(diǎn)，是的垂線，點(diǎn)是垂足，所以直線（記作）是在內(nèi)的射影，（記作）是與所成的角．定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條斜線和平面所成的角.【規(guī)定】【規(guī)定】（1）一條直線垂直于平面，定義這直線與平面所成的角是直角；（2）一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，定義它和平面所成的角是的角．【注意】【注意】（1）直線與平面所成的角的大小與點(diǎn)在上的取法無關(guān)；（2）直線和平面所成角的范圍是；（3）斜線和平面所成角的范圍是．直線與平面所成角求解方法：第一步：作出斜線在平面上的射影，找到斜線與射影所成的角；第二步：解含的三角形，求出其大?。?．距離定義：（1）點(diǎn)和平面的距離：過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，我們把點(diǎn)到垂足之間的距離叫做點(diǎn)和平面的距離．（2）直線和平面的距離：設(shè)直線平行于平面．在直線上任取一點(diǎn)，我們把點(diǎn)到平面的距離叫做直線和平面的距離．（3）設(shè)平面平行平面，在平面上任取一點(diǎn)，我們把點(diǎn)到平面的距離叫做平面和平面的距離．（4）異面直線和的距離：設(shè)直線和是異面直線，當(dāng)點(diǎn)、分別在和上，且直線既垂直于直線，又垂直于直線時(shí)，我們把直線叫做異面直線和公垂線，，垂足、之間的距離叫做異面直線和的距離．三、空間中的平面與平面1、平面與平面位置關(guān)系位置關(guān)系定義符號表示平行平面與平面沒有公共點(diǎn)∥相交平面與平面有且僅有一條公共直線2、平面與平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行圖形語言：符號語言：且，那么3、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行圖形語言：符號語言：若，，則4、幾個(gè)重要結(jié)論（1）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行（2）如果兩個(gè)平面平行那么在一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面（3）一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，則它也垂直于另外一個(gè)（4）夾在兩個(gè)平行平面中的平行線段相等（5）經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知直線平行注：①兩個(gè)平面平行的判定定理中必須是“兩條”“相交”直線才能得出面面平行，把條件改成“一條”、“兩條”、“無數(shù)條”都不一定成立②面面平行則面內(nèi)的所有直線都平行與另一個(gè)平面，但是分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線不一定平行5、半平面的定義一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面6、二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面7、畫法第一種是臥式法，也稱為平臥式：第二種是立式法，也稱為直立式：8、二面角的平面角：（1）過二面角的棱上的一點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角（2）一個(gè)平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，【說明】（1）二面角的平面角范圍是；（2）二面角平面角為直角時(shí)，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直；（3）二面角的求法：①幾何定義法；②空間向量法；③射影面積法【說明】（1）二面角的平面角范圍是；（2）二面角平面角為直角時(shí)，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直；（3）二面角的求法：①幾何定義法；②空間向量法；③射影面積法.9、平面與平面垂直定義三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直說明：（1）定理的實(shí)質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系；（2）推理模式：三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直推理模式：．注意：⑴三垂線指PA，PO，AO都垂直α內(nèi)的直線。其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理。⑵要考慮的位置，并注意兩定理交替使用。

兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面垂直.表示方法：平面與垂直，記作.畫法：兩個(gè)互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.如圖：10、平面與平面垂直的判定定理

判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

符號語言：

圖形語言：

特征：線面垂直面面垂直

注：平面與平面垂直的判定定理告訴我們，可以通過直線與平面垂直