湖南省長沙市岳麓區(qū)長郡雙語實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期9月月考模擬數(shù)學(xué)試卷

湖南省長沙市岳麓區(qū)長郡雙語實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期9月月考模擬一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列曲線中，不能表示y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．2．（3分）已知點(diǎn)，（1，y2），（﹣2，y3）都在直線上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y13．（3分）下列圖案中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．（3分）如圖，把△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)某個角度a得到△A'B'C，∠A＝30°，∠1＝50°，則旋轉(zhuǎn)角a等于（）A．110° B．70° C．40° D．20°5．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，若∠ADC＝60°，，則⊙O的半徑為（）A． B．4 C． D．56．（3分）如圖，AB是圓O的直徑，BC、AC、BE、CE是圓O的弦，CE平分∠BCA，CE＝CB，則∠ABC的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°7．（3分）若式子有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞0 B．x≠5 C．x≠0 D．x≥0且x≠58．（3分）2023年9月9日，上海微電子研發(fā)的28nm浸沒式光刻機(jī)的成功問世，標(biāo)志著我國在光刻機(jī)領(lǐng)域邁出了堅(jiān)實(shí)的一步．已知28nm為0.000000028米，數(shù)據(jù)0.000000028用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.8×10﹣10 B．2.8×10﹣8 C．2.8×10﹣6 D．2.8×10﹣99．（3分）下列平行四邊形中，根據(jù)圖中所標(biāo)出的數(shù)據(jù)，不能判定是菱形的是（）A． B． C． D．10．（3分）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一個根是﹣1，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)t＝2a+b，則t的取值范圍是（）A． B． C． D．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）若一組數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的眾數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．12．（3分）將拋物線y＝2（x﹣3）2+1向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則平移后拋物線解析式是．13．（3分）點(diǎn)A（﹣2，m）和點(diǎn)B（n，6）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m+n＝．14．（3分）如圖，直線y＝kx+b與y＝mx+n分別交x軸于點(diǎn)，B（2，0），則不等式組的解集是．15．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，若AB＝8，OD＝3，那么⊙O的半徑為．16．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC、BD為對角線，BD經(jīng)過圓心O．若∠DBC＝65°，則∠BAC的度數(shù)為．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）計(jì)算：18．（6分）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中x＝+1．19．（6分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．（1）請?jiān)趫D中畫出△A1B1C1，使它和△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1；（2）直接寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)．20．（8分）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，將AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得AE；（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）求∠DCE的度數(shù)；（3）若BD＝1，求AD，CD的長．21．（8分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E．連接AC、OC、BC．（1）求證：∠ACO＝∠BCD．（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的半徑長．22．（9分）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，AB＝2，與y軸交于點(diǎn)C，圖象的對稱軸為直線x＝2．（1）求二次函數(shù)的解析式．（2）設(shè)P為對稱軸上一動點(diǎn)，求△APC周長的最小值．23．（9分）為支援抗疫前線，某省紅十字會采購甲、乙兩種抗疫物資共540噸，甲物資單價為3萬元/噸，乙物資單價為2萬元/噸，采購兩種物資共花費(fèi)1380萬元．（1）求甲、乙兩種物資各采購了多少噸？（2）現(xiàn)在計(jì)劃安排A，B兩種不同規(guī)格的卡車共50輛來運(yùn)輸這批物資．甲物資7噸和乙物資3噸可裝滿一輛A型卡車；甲物資5噸和乙物資7噸可裝滿一輛B型卡車．按此要求安排A，B兩型卡車的數(shù)量，請問有哪幾種運(yùn)輸方案？24．（10分）關(guān)于x的一元二次方程，如果a、b、c滿足a2+b2＝c2且a≠0，那么我們把這樣的方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）判斷方程x2+2x+1＝0是否是“勾系一元二次方程”，并說明理由；（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）如圖，已知AB、CD是半徑為8的⊙O的兩條平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且關(guān)于x的方程是“勾系一元二次方程”，則∠BAC的度數(shù)為°．25．（10分）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．已知直線y＝kx+n過B，C兩點(diǎn)．（1）求拋物線和直線BC的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)．①如圖1，若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，連接PA，交直線BC于點(diǎn)D．設(shè)△PDC的面積為S1，△ADC的面積為S2，求的最大值；②如圖2，拋物線的對稱軸l與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F．點(diǎn)Q是對稱軸l上的一個動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

湖南省長沙市岳麓區(qū)長郡雙語實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期9月月考模擬參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）下列曲線中，不能表示y是x的函數(shù)的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，所以y是x的函數(shù)，故A不符合題意；B、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，所以y是x的函數(shù)，故B不符合題意；C、對于自變量x的每一個值，因變量y不是都有唯一的值與它對應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)，故C符合題意；D、對于自變量x的每一個值，因變量y都有唯一的值與它對應(yīng)，所以y是x的函數(shù)，故D不符合題意；故選：C．2．（3分）已知點(diǎn)，（1，y2），（﹣2，y3）都在直線上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（）A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y2＜y1【解答】解：∵k＝﹣＜0，∴y隨x的增大而減小，又∵點(diǎn)，（1，y2），（﹣2，y3）都在直線上，且﹣＜﹣2＜1，∴y2＜y3＜y1．故選：A．3．（3分）下列圖案中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，不符合題意；B、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；C、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，符合題意；D、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：C．4．（3分）如圖，把△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)某個角度a得到△A'B'C，∠A＝30°，∠1＝50°，則旋轉(zhuǎn)角a等于（）A．110° B．70° C．40° D．20°【解答】解：∵△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)某個角度α得到△A′B′C，∴∠A＝∠A′＝30°，又∵∠1＝∠A′+∠ACA′＝50°，∴∠BCB′＝∠ACA′＝20°，故選：D．5．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，若∠ADC＝60°，，則⊙O的半徑為（）A． B．4 C． D．5【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝2，＝，∠AED＝∠AEC＝90°，∴∠A+∠ADC＝90°，∵∠ADC＝60°，∴∠A＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，∴sin∠BOC＝＝，∴OC＝＝＝4，即⊙O的半徑為4，故選：B．6．（3分）如圖，AB是圓O的直徑，BC、AC、BE、CE是圓O的弦，CE平分∠BCA，CE＝CB，則∠ABC的度數(shù)為（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【解答】解：∵AB是圓O的直徑，∴∠BCA＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CE平分∠BCA，∴∠BCE＝∠BCA＝45°，∵CE＝CB，∴∠E＝∠CBE＝×（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠E＝∠A＝67.5°，∴∠ABC＝22.5°，故選：B．7．（3分）若式子有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞0 B．x≠5 C．x≠0 D．x≥0且x≠5【解答】解：根據(jù)題意可知，，解得x≥0且x≠5．故選：D．8．（3分）2023年9月9日，上海微電子研發(fā)的28nm浸沒式光刻機(jī)的成功問世，標(biāo)志著我國在光刻機(jī)領(lǐng)域邁出了堅(jiān)實(shí)的一步．已知28nm為0.000000028米，數(shù)據(jù)0.000000028用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.8×10﹣10 B．2.8×10﹣8 C．2.8×10﹣6 D．2.8×10﹣9【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8．故選：B．9．（3分）下列平行四邊形中，根據(jù)圖中所標(biāo)出的數(shù)據(jù)，不能判定是菱形的是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)等腰三角形的判定定理可得，平行四邊形的一組鄰邊相等，即可判定該平行四邊形是菱形，故A不符合題意；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，平行四邊形的對角線互相垂直，即可判定該平行四邊形是菱形，故B不符合題意；一組鄰角互補(bǔ)，不能判定該平行四邊形是菱形，故C符合題意；根據(jù)平行四邊形的鄰角互補(bǔ)，對角線平分一個120°的角，可得平行四邊形的一組鄰邊相等，即可判定該平行四邊形是菱形，故D不符合題意；故選：C．10．（3分）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一個根是﹣1，若二次函數(shù)y＝ax2+bx+的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)t＝2a+b，則t的取值范圍是（）A． B． C． D．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一個根是﹣1，∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+的圖象過點(diǎn)（﹣1，0），∴a﹣b+＝0，∴b＝a+，而t＝2a+b，∴t＝2a+a+＝3a+，∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，∴a＜0，Δ＝b2﹣4ac＝a2++a﹣2a＝（a﹣）2≥0，﹣＞0，∴b＞0，∴a+＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，∴﹣1＜3a+＜，∴﹣1＜t＜，故選：D．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）若一組數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的眾數(shù)是3，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為4．【解答】解：數(shù)據(jù)3，4，x，6，7的眾數(shù)是3，因此x＝3，將數(shù)據(jù)3，4，3，6，7排序后處在第3位的數(shù)是4，因此中位數(shù)是4．故答案為：4．12．（3分）將拋物線y＝2（x﹣3）2+1向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，則平移后拋物線解析式是y＝2（x﹣1）2﹣2．【解答】解：將拋物線y＝2（x﹣3）2+1向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度后所得拋物線解析式為：y＝2（x﹣3+2）2+1﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣2．故答案為：y＝2（x﹣1）2﹣2．13．（3分）點(diǎn)A（﹣2，m）和點(diǎn)B（n，6）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則m+n＝﹣4．【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣2，m）和點(diǎn)B（n，6）關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴m＝﹣6，n＝2，∴m+n＝﹣6+2＝﹣4．故答案為：﹣4．14．（3分）如圖，直線y＝kx+b與y＝mx+n分別交x軸于點(diǎn)，B（2，0），則不等式組的解集是﹣＜x＜2．【解答】解：∵直線y＝kx+b與y＝mx+n分別交x軸于點(diǎn)，B（2，0），∴不等式組的解集﹣＜x＜2．15．（3分）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，若AB＝8，OD＝3，那么⊙O的半徑為5．【解答】解：連接OB，∵OC⊥AB于點(diǎn)D，AB＝8，∴BD＝AB＝4，在Rt△BOD中，∵OB2＝OD2+BD2＝32+42＝25，∴OB＝5，故答案為：5．16．（3分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC、BD為對角線，BD經(jīng)過圓心O．若∠DBC＝65°，則∠BAC的度數(shù)為25°．【解答】解：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∴∠DBC+∠BDC＝90°，∵∠DBC＝65°，∴∠BDC＝25°，∴∠BAC＝∠BDC＝25°，故答案為：25°．三．解答題（共9小題，滿分72分）17．（6分）計(jì)算：【解答】解：原式＝﹣+2+2﹣2＝3﹣．18．（6分）先化簡，再求值：（﹣1）÷，其中x＝+1．【解答】解：原式＝?＝?＝，當(dāng)x＝+1時，原式＝＝．19．（6分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．（1）請?jiān)趫D中畫出△A1B1C1，使它和△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1；（2）直接寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1就是所要求畫的三角形；（2）A1（﹣1，﹣3），B1（﹣4，﹣5），C1（﹣5，﹣1）．20．（8分）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，將AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得AE；（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）求∠DCE的度數(shù)；（3）若BD＝1，求AD，CD的長．【解答】（1）證明：∵將AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得AE，∴∠DAE＝60°，∴△ADE為等邊三角形，∵△ABC為等邊三角形，∴AD＝AE，BA＝CA，∠BAC＝60°，∴∠EAC＝∠DAB，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠AEC＝∠ADB＝120°，而∠ADC＝90°，∠DAE＝60°，∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°；（3）解：∵△ADE為等邊三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°，又∵∠DCE＝90°，∴DE＝2CE＝2BD＝2，∴AD＝DE＝2，在Rt△DCE中，DC＝＝．21．（8分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦，且AB⊥CD于點(diǎn)E．連接AC、OC、BC．（1）求證：∠ACO＝∠BCD．（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的半徑長．【解答】解：（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AB⊥CD，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD；（2）∵CD＝8，AB⊥CD，∴CE＝ED＝4，設(shè)半徑OC＝OB＝r在Rt△OCE中，（r﹣3）2+42＝r2，∴r＝．22．（9分）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，AB＝2，與y軸交于點(diǎn)C，圖象的對稱軸為直線x＝2．（1）求二次函數(shù)的解析式．（2）設(shè)P為對稱軸上一動點(diǎn)，求△APC周長的最小值．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，AB＝2，圖象的對稱軸為直線x＝2，∴﹣＝2，AQ＝BQ＝1，解得：b＝﹣4，A（1，0），即y＝x2﹣4x+c，把A的坐標(biāo)代入得：0＝1﹣4+c，解得：c＝3，即二次函數(shù)的解析式是y＝x2﹣4x+3；（2）y＝x2﹣4x+3，當(dāng)x＝0時，y＝3，即C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3），∵A（1，0），∴AC＝＝，作C關(guān)于對稱軸EF的對稱點(diǎn)M，則M在拋物線的圖象上，坐標(biāo)為（4，3），連接AM，交EF于P，則此時△APC的周長最小，AP+PC＝AP+PM＝AM，由勾股定理得：AM＝＝3，即△APC周長的最小值為AC+AM＝+3．23．（9分）為支援抗疫前線，某省紅十字會采購甲、乙兩種抗疫物資共540噸，甲物資單價為3萬元/噸，乙物資單價為2萬元/噸，采購兩種物資共花費(fèi)1380萬元．（1）求甲、乙兩種物資各采購了多少噸？（2）現(xiàn)在計(jì)劃安排A，B兩種不同規(guī)格的卡車共50輛來運(yùn)輸這批物資．甲物資7噸和乙物資3噸可裝滿一輛A型卡車；甲物資5噸和乙物資7噸可裝滿一輛B型卡車．按此要求安排A，B兩型卡車的數(shù)量，請問有哪幾種運(yùn)輸方案？【解答】解：（1）設(shè)甲物資采購了x噸，乙物資采購了y噸，依題意，得：，解得：．答：甲物資采購了300噸，乙物資采購了240噸．（2）設(shè)安排A型卡車m輛，則安排B型卡車（50﹣m）輛，依題意，得：，解得：25≤m≤27．∵m為正整數(shù)，∴m可以為25，26，27，∴共有3種運(yùn)輸方案，方案1：安排25輛A型卡車，25輛B型卡車；方案2：安排26輛A型卡車，24輛B型卡車；方案3：安排27輛A型卡車，23輛B型卡車．24．（10分）關(guān)于x的一元二次方程，如果a、b、c滿足a2+b2＝c2且a≠0，那么我們把這樣的方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：（1）判斷方程x2+2x+1＝0是否是“勾系一元二次方程”，并說明理由；（2）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；（3）如圖，已知AB、CD是半徑為8的⊙O的兩條平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且關(guān)于x的方程是“勾系一元二次方程”，則∠BAC的度數(shù)為45°．【解答】解：（1）方程x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”，理由如下：x2+2x+1＝0，由題意知：，滿足且1≠0，故方程x2+2x+1＝0是“勾系一元二次方程”；（2）證明：∵是“勾系一元二次方程”，∴a2+b2＝c2，∵，∴必有實(shí)數(shù)根；（3）連接OC，OB，作OE⊥CD于E，EO的延長線交AB于F．∵關(guān)于x的方程是“勾系一元二次方程”，∴a2+b2＝82，∵AB∥CD，OE⊥CD，∴OF⊥AB，∴∠OEC＝∠OFB＝90°，∴CE2+OE2＝OC2，OF2+BF2＝OB2，DE＝EC＝b，BF＝AF＝a，∵OD＝OB＝8，∴，，∴CE＝OF，OE＝BF，∴△OEC≌△BFO（SSS），∴∠EOC＝∠OBF，∵∠OBF+∠BOF＝90°，∴∠EOC+∠BOF＝90°，∴∠COB＝90°，∴，故答案為：45．25．（10分）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．已知直線y＝kx+n過B，C兩點(diǎn)．（1）求拋物線和直線BC的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的一個動點(diǎn)．①如圖1，若點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，連接PA，交直線BC于點(diǎn)D．設(shè)△PDC的面積為S1，△ADC的面積為S2，求的最大值；②如圖2，拋物線的對稱軸l與x軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BC，垂足為F．點(diǎn)Q是對稱軸l上的一個動點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，解得∴直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+3．（2）①∵PA交直線BC于點(diǎn)D，∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣m+3），設(shè)直