五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)培優(yōu)奧數(shù)講義-第17講 不定方程

第17講不定方程知識(shí)與方法1、不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且未知數(shù)受到某些限制的方程或方程組。2、解不定方程的一般方法有：①嘗試法；②奇偶分析法；③尾數(shù)分析法（如5的倍數(shù)的個(gè)位只能是0或5）。④倍數(shù)分析法。⑤整除性分析法。初級(jí)挑戰(zhàn)1下列方程，哪些的解是唯一的？哪些是不唯一的？不唯一的請(qǐng)找出至少兩組的解。①②③思維點(diǎn)撥：我們已經(jīng)學(xué)過只含有一個(gè)未知數(shù)的方程，題目中很容易得出①和②的解是唯一的。只有③中的方程含有兩個(gè)未知數(shù)。所以③的解不是唯一的?？赏ㄟ^嘗試法，先設(shè)定的值，再求出的值。答案：①②的解唯一，③的解不唯一，有：，……（答案不唯一）。能力探索1請(qǐng)找出下列方程的解,每個(gè)至少寫兩組。①②答案：①解：，（答案不唯一）。②解：，（答案不唯一）。初級(jí)挑戰(zhàn)2若，且均為非零自然數(shù)，求的所有解。思維點(diǎn)撥：要求均為非零自然數(shù)，即取大于0的整數(shù)，可通過嘗試法，從最小取值開始試起，注意不遺漏不重復(fù)。答案：解：，，。能力探索2若，且均為非零自然數(shù)，求的所有解。答案：嘗試法得：，。中級(jí)挑戰(zhàn)1若，且均為非零自然數(shù)，求的所有解。思維點(diǎn)撥：觀察發(fā)現(xiàn)是偶數(shù)，40也是偶數(shù)，那么肯定也是偶數(shù)，即必須是偶數(shù)。那么只能為2或4。這就是奇偶分析法，大大縮小了取值范圍，提高了解題速度。答案：解：，。能力探索3若，且均為非零自然數(shù)，求。答案：奇偶分析法，是偶數(shù)，27是奇數(shù)，那么肯定是奇數(shù)，即必須是奇數(shù)。那么只能為1或3。得：。中級(jí)挑戰(zhàn)2已知、均為大于0的自然數(shù)，且，求、的值。思維點(diǎn)撥：尾數(shù)分析法：5的倍數(shù)末尾要么是0，要么是5，所以的末尾只有兩種情況，而和是28，末尾是8，因此的末尾要么是8，要么是3，是偶數(shù)，所以只可能末尾是8。答案：解：。能力探索41、已知、為大于0的自然數(shù)，求滿足的所有、的值。答案：尾數(shù)分析法。的個(gè)位是0或5，所以的個(gè)位是6或1，是偶數(shù)，個(gè)位不可能是1，那么的個(gè)位只能是6。那么＝3或8，當(dāng)＝8時(shí)，＝0不符合要求，所以只有一組解：。2、已知、為自然數(shù)，求滿足的所有、的值。答案：尾數(shù)分析法。的個(gè)位是0，所以的個(gè)位是5，那么＝5或15，所以解為：或聰明泉數(shù)學(xué)家朱世杰朱世杰（公元1300年前后），字漢卿，號(hào)松庭，寓居燕山（今北京附近），“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”，“踵門而學(xué)者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》后序）。朱世杰數(shù)學(xué)代表作有《算學(xué)啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）?！端銓W(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展?！端脑耔b》則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造有“四元術(shù)”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術(shù)”（高階等差數(shù)列求和）與“招差術(shù)”（高次內(nèi)插法）。拓展挑戰(zhàn)已知、為非零自然數(shù)，求下列方程的解。①②③思維點(diǎn)撥：觀察這三式，發(fā)現(xiàn)②式是①式左右兩邊同時(shí)縮小4倍而來，③式是①式左右兩邊同時(shí)擴(kuò)大10倍而來。根據(jù)等式的性質(zhì)，、的取值相同，因此求出一個(gè)即可。解得：，，。能力探索51、下列方程的解與相同的是（）A、B、C、D、答案： D2、求下列不定方程的解（）。（1）（2）答案：（1）化簡(jiǎn)得，解得：，，，，。（2）等式兩邊同時(shí)乘以10，得，等式兩邊再同時(shí)除以3，得，解得：。課堂小測(cè)：1、請(qǐng)寫出方程的兩組以上的解。答案：解：，。（答案不唯一）2、已知為自然數(shù)，求的解。答案：奇偶分析法，是偶數(shù)。解得：，，。3、已知為非零自然數(shù)，求的解。答案：尾數(shù)分析法，的個(gè)位是5或0。解得：，。4、求滿足，且為自然數(shù)的解。答案：化簡(jiǎn)得：，解得：。課后作業(yè)1、若，且均為非零自然數(shù)，求。答