數(shù)字信號處理（第3版）課件 第03章 傅里葉變換和離散傅里葉級數(shù)

第3章傅里葉變換和

離散傅里葉級數(shù)（DFS）3.1傅里葉變換的定義3.2傅里葉變換與z變換的關系3.3傅里葉變換的性質(zhì)3.4DFS的定義3.5周期信號的傅里葉變換表示3.6DFS的性質(zhì)傅里葉變換的核心思想任何波都可以用不同頻率的正弦波（復指數(shù)信號）加權組合而成。傅里葉變換就是求不同頻率正弦波的權重（復數(shù)函數(shù)，含幅度和相位兩部分信息），得到幅度譜和相位譜。圖片來自https:///h2zZhou/p/8405717.html?from=timeline周期信號由有限個離散頻率的正弦波加權組合而成，非周期信號由無窮多連續(xù)頻率的正弦波加權組合而成。二者分別做FS和FT得到頻譜，F(xiàn)S離散，F(xiàn)T連續(xù)。圖片出自https:///h2zZhou/p/8405717.html?from=timeline負頻率和復數(shù)頻譜的物理意義負頻率3.1傅里葉變換的定義離散時間信號的傅里葉變換稱為離散時間傅里葉變換（DTFT:Discrete-TimeFourierTransform）,簡稱傅里葉變換。傅里葉變換是離散時間信號分析與處理的重要工具之一，它給出了在頻域分析離散時間信號和系統(tǒng)的方法。很多序列都能用作為基函數(shù)進行正交展開，表示成如下的傅里葉積分形式

傅里葉反變換其中傅里葉正變換特殊變換對周期性把正變換的右邊代入反變換的右邊：證明正反變換互逆證明一般來說，是的復值函數(shù)，可以表示成

.幅度譜和相位譜圖片來自《離散時間信號處理》（第3版），奧本海默連續(xù)相位主值相位舉例舉例矩形序列的傅里葉變換振幅(實函數(shù))幅度（大于等于0）舉例振幅取值小于0時相位+π旁瓣峰值/主瓣峰值

=常數(shù)主瓣寬與窗長成反比M=8

絕對可和是收斂的充分條件如果,則收斂性對于穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應滿足所以其FT收斂，即頻率響應存在。舉例有些序列不是絕對可和但是平方可和，即

也能有傅里葉變換表示

舉例x[n]

還有一些序列,既非絕對可和也非平方可和，若在頻域引入沖激函數(shù),它們也可以有傅里葉變換表示舉例常用DTFT3.2傅里葉變換與z變換的關系傅里葉變換是單位圓上的z變換

z變換是對序列作的傅里葉變換傅里葉變換不收斂的序列，有可能通過恰當選擇r使z變換收斂;z變換的收斂域包括單位圓時傅里葉變換就收斂;也有z變換不收斂，而傅里葉變換表示存在的情況，例如sinc序列.3.3傅里葉變換的性質(zhì)舉例已知利用線性性質(zhì)寫出零相位理想高通濾波器的單位脈沖響應例題2.時域移位利用時移性質(zhì)寫出線性相位理想低通濾器的單位脈沖響應已知例題3.頻域移位舉例已知利用頻移性質(zhì)寫出零相位高通濾波器的單位脈沖響應例題已知矩形序列

的傅里葉變換為

，用

表示以下序列(hanning漢寧窗)的傅里葉變換例題Hanning窗的傅里葉變換的振幅(M=20)4.頻域微分證明5.時間反轉(zhuǎn)證明6.時域卷積證明周期卷積7.時域加窗（調(diào)制/頻域卷積）證明：能量密度譜8.帕斯瓦爾定理（Paswal）證明例題9.對偶和對稱性質(zhì)對于實序列

共軛對稱分量共軛反對稱分量實序列的FT相對原點或π共軛對稱實序列的FT的對稱性舉例例題對偶、對稱和時移性質(zhì)的綜合應用n0

振幅（是實函數(shù),可以小于0）廣義線性相位舉例對偶、對稱和時移性質(zhì)的綜合應用n0

振幅（是實函數(shù),可以小于0）廣義線性相位舉例3.4DFS的定義

：周期為N

也是周期為N的序列:DFS反變換DFS正變換證明將正變換代入反變換的右邊證明正反變換互逆證明

四種變換對比時域連續(xù)非周期頻域非周期連續(xù)時域連續(xù)周期(T)頻域非周期離散有效頻率成分無窮多時域離散非周期頻域周期(2π)連續(xù)時域離散周期(N)頻域周期(N)離散有效頻率成分N個周期

N=10廣義線性相位廣義幅度(振幅)舉例時域周期化導致頻域離散化。時域離散化導致頻域周期化：若橫坐標是ω(FT)則以2π為周期；若將橫軸的頻率ω歸一化成k(DFS)，則頻域以N為周期。周期為N的序列只有N個頻率分量,在[0,2π)內(nèi)等間隔分布振幅小于0的頻段相位+π3.5周期信號的傅里葉變換表示DFS是計算周期信號頻譜的手段將上式代入FT的反變換得到證明舉例舉例3.6DFS的性質(zhì)1.線性性質(zhì)

若兩個信號的周期不同，則N取兩個信號周期的公倍數(shù)參見習題3-25（c）2.時域移位證明3.頻域移位性質(zhì)

4.對偶性質(zhì)證明5.對稱性質(zhì)實序列X[k]相對k=0和k=N/2共軛對稱。實周期序列的DFS舉例

定義