2022年吉林省(初三學(xué)業(yè)水平考試)中考數(shù)學(xué)真題試卷含詳解

吉林省2022年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試卷

數(shù)學(xué)試卷共6頁，包括六道大題，共26道小題;全卷滿分120分?？荚嚂r間120分鐘;考試結(jié)束后，

將本試卷和答題卡一并交回

注意事項(xiàng)：

1.答題前，請您將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)

2.答題時，請按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無效

一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）

1.吉林松花石有“石中之寶”的美譽(yù)，用它制作的硯臺叫松花硯，能與中國四大名硯媲美.下圖是一款松花硯的

示意圖，其俯視圖為（）

々面

°o

A.jflB.1..................C.

2.要使算式（-1）口3的運(yùn)算結(jié)果最大，則“口”內(nèi)應(yīng)填入的運(yùn)算符號為（)

A.+B.-C.XD.+

3.y與2的差不大于0,用不等式表示為（）

A.y-2>0B.y-2<0C.y-2>0D.y-2<0

4.實(shí)數(shù)“，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則〃的大小關(guān)系為（)

------1------11------>>

a0b

A.a>hB.a<bC.a=bD.無法確定

5.如圖，如果N1=N2,那么A5〃CD,其依據(jù)可以簡單說成（）

AC

A兩直線平行，內(nèi)錯角相等B.內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，同位角相等D.同位角相等，兩直線平行

6.如圖，在:A8C中，ZACB=90°,A」B=5,BC=4.以點(diǎn)A為圓心，『為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)。在A內(nèi)且點(diǎn)

8在OA外時，r的值可能是（）

VphJ,"

A.2B.3C.4D.5

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.實(shí)數(shù)—近的相反數(shù)是.

8.計(jì)算：a-a2=__.

9.籃球隊(duì)要購買10個籃球，每個籃球加元，一共需要元.（用含加的代數(shù)式表示）

10.《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒

3斛（斛，音hii,是古代一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛.1個大桶、1個小桶分別可以盛酒

多少斛？設(shè)1個大桶可以盛酒x斛、1個小桶可以盛酒y斛.根據(jù)題意，可列方程組為.

11.第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素.如圖，這個圖案繞著它的中心旋

轉(zhuǎn)角a（0°<a<360°）后能夠與它本身重合，則角a可以為.度.（寫出一個即可）

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（—2,0）,點(diǎn)B在y軸正半軸上，以點(diǎn)8為圓心，84長為半徑作

弧，交》軸正半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

13.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC,5。相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E是邊AO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在對角線AC上，且

AF=-AC,連接EE.若AC=10,則a=.

4

14.如圖，在半徑為1的。0上順次取點(diǎn)A,B,C,D,E，連接AB,AE,OB,0C,0D,0E.若

ZBAE=65°,NCO￡>=70°,則與DE的長度之和為.（結(jié)果保留萬）.

三、解答題（每小題5分，共20分）

16.下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中A是關(guān)于加的多項(xiàng)式.請寫出多項(xiàng)式A,并將該例題的解答過

程補(bǔ)充完整.

例先去括號，再合并同類項(xiàng)：陽（A）-6（^+1）.

解：〃？（A）-6（m+l）

=m2+6m—6m-6

17.長白山國家級自然保護(hù)區(qū)、松花湖風(fēng)景區(qū)和凈月潭國家森林公園是吉林省著名的三個景區(qū).甲、乙兩人用抽卡

片的方式?jīng)Q定一個自己要去的景區(qū).他們準(zhǔn)備了3張不透明的卡片，正面分別寫上長白山、松花湖、凈月潭.卡

片除正面景區(qū)名稱不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，甲先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下景區(qū)名稱后

正面向下放回，洗勻后乙再從中隨機(jī)抽取一張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都決定去長白山的概

率.

18.圖①，圖②均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).其中點(diǎn)A，8，C均在格點(diǎn)上.請?jiān)诮o

(1)在圖①中，找一格點(diǎn)。，使以點(diǎn)A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是軸對稱圖形；

(2)在圖②中，找一格點(diǎn)E，使以點(diǎn)A,B,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是中心對稱圖形.

四、解答題(每小題7分，共28分)

19.劉芳和李婷進(jìn)行跳繩比賽.已知劉芳每分鐘比李婷多跳20個，劉芳跳135個所用的時間與李婷跳120個所用

的時間相等.求李婷每分鐘跳繩的個數(shù).

33

20.密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)容器的體積V(單位：m)變化時，氣體的密度夕(單位：kg/m)隨

之變化.已知密度。與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖像如圖所示.

(1)求密度「關(guān)于體積V函數(shù)解析式;

(2)當(dāng)V=10m3時，求該氣體的密度「.

21.動感單車是一種新型的運(yùn)動器械.圖①是一輛動感單車的實(shí)物圖，圖②是其側(cè)面示意圖.4BCD為主車架,

AB為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)A,B,C在同一直線上.已知BC長為70cm,N8CC的度數(shù)為58。.當(dāng)48長度調(diào)至34cm時,

求點(diǎn)A到CD的距離AE的長度（結(jié)果精確到1cm）.（參考數(shù)據(jù)：sin58*0.85,cos58°=0.53,tan580-1.60）

22.為了解全國常住人口城鎮(zhèn)化率的情況，張明查閱相關(guān)資料，整理數(shù)據(jù)并繪制統(tǒng)計(jì)圖如下:

注：城鎮(zhèn)化率=城鎮(zhèn)吊駐人口x100%.例如，城鎮(zhèn)常住人口60.12萬人，總?cè)丝?00萬人，則總?cè)丝诔擎?zhèn)化

總?cè)丝?/p>

率60.12%.

回答下列問題:

（1）2017-2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率的中位數(shù)是%；

（2）2021年年末全國人口141260萬人，2021年年末全國城鎮(zhèn)常住人口為萬人；（只填算式，不計(jì)算結(jié)

果）

（3）下列推斷較為合理的是（填序號）.

①2017-2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升，估計(jì)2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率高于64

72%.

②全國常住人口城鎮(zhèn)化率2020年年末比2019年年末增加1.18%,2021年年末比2020年年末增加0.83%,全國常

住人口城鎮(zhèn)化率增加幅度減小，估計(jì)2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率低于64.72%.

五、解答題(每小題8分，共16分)

23.李強(qiáng)用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時加熱相同質(zhì)量的水，甲壺比乙壺加熱速度快.在一段時間內(nèi)，水

溫y(℃)與加熱時間x(s)之間近似滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，畫函數(shù)圖象如下：

(2)求乙壺中水溫y關(guān)于加熱時間x的函數(shù)解析式；

(3)當(dāng)甲壺中水溫剛達(dá)到80℃時，乙壺中水溫是℃.

24.下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整.

【作業(yè)】如圖①，直線「ABC與的面積相等嗎？為什么？

圖①

解：相等.理由如下：

設(shè)乙與4之間的距離為〃，則Svw=；8C1，

???°qABC-_°qDBC?

【探究】

sh

(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在4，4之間時，設(shè)點(diǎn)A,。到直線4的距離分別為〃，h',則設(shè)"=7；.

圖②

證明：???S.BC_______________

sAM

(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在心，2之間時，連接AO并延長交4于點(diǎn)M，則產(chǎn)

1△DBC~DM

圖③

證明：過點(diǎn)A作AE_L8M，垂足為E，過點(diǎn)。作。尸J_3M，垂足為尸，則NA￡M=NOR0=9?！?

：.AE//.

△AEMs.

.AEAM

,?DF-DM.

s

由【探究】（1）可知產(chǎn)u=_______

'△DBC

__AM

S/\DBC~~DM'

(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)。在4下方時，連接AQ交4于點(diǎn)石.若點(diǎn)A,E,。所對應(yīng)的刻度值分別為5,1.5,0,

的值為________

DBC

h

六、解答題(每小題10分，共20分)

25.如圖，在uWC中，NACB=90°，NA=3O。，AB=6cm.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊

A8向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動.以期為一邊作N4%=120。，另一邊尸。與折線AC—CB相交于點(diǎn)。，以PQ為邊作

菱形PQMN,點(diǎn)N在線段PB上.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為x(s),菱形尸QWN與.ABC重疊部分圖形的面積為

J（cm2）.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上時，H2的長為cm；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時，求x的值；

(3)求V關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

26.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+歷c+c(b,，是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)41,0),點(diǎn)8(0,3).點(diǎn)p在此拋

物線上，其橫坐標(biāo)為旭.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，結(jié)合圖象，直接寫出加的取值范圍；

(3)若此拋物線在點(diǎn)尸左側(cè)部分(包括點(diǎn)P)最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2-機(jī).

①求加的值；

②以R4為邊作等腰直角三角形PA。，當(dāng)點(diǎn)。在此拋物線的對稱軸上時，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

吉林省2022年初中學(xué)業(yè)水平考試

數(shù)學(xué)試卷

數(shù)學(xué)試卷共6頁，包括六道大題，共26道小題;全卷滿分120分。考試時間120分鐘;考試結(jié)束后，

將本試卷和答題卡一并交回

注意事項(xiàng)：

1.答題前，請您將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)

2.答題時，請按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無效

一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共12分）

1.吉林松花石有“石中之寶”的美譽(yù)，用它制作的硯臺叫松花硯，能與中國四大名硯媲美.下圖是一款松花硯的

示意圖，其俯視圖為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)俯視圖的定義（從上面觀察物體所得到的視圖）即可得.

【詳解】解：其俯視圖是由兩個同心圓（不含圓心）組成，即為

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了俯視圖，熟記定義是解題關(guān)鍵.

2.要使算式（-1）03的運(yùn)算結(jié)果最大，則“口”內(nèi)應(yīng)填入的運(yùn)算符號為（）

A.十B.C.XD.

【答案】A

【分析】將各選項(xiàng)的運(yùn)算符號代入計(jì)算即可得.

【詳解】解：(-1)+3=2,

(—1)-37,

(—1)x3=—3,

(-1)+3=-g，

因?yàn)椤?<—3<—<2,

3

所以要使運(yùn)算結(jié)果最大，應(yīng)填入的運(yùn)算符號為+,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

3.y與2的差不大于0,用不等式表示為()

A.y—2>0B.y—2<0C,y-2>0D.y—2^0

【答案】D

【分析】根據(jù)差運(yùn)算、不大于的定義列出不等式即可.

【詳解】解；由題意，用不等式表示為y-2W0,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次不等式，熟練掌握“不大于是指小于或等于“是解題關(guān)鍵.

4.實(shí)數(shù)"，b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則。，〃的大小關(guān)系為()

------1------1--------------1------

a0b

A.a>hB.a<bC.a=bD.無法確定

【答案】B

【分析】在以向右為正方向的數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)，根據(jù)此結(jié)論即可得出結(jié)論.

【詳解】由圖知，數(shù)軸上數(shù)b表示的點(diǎn)在數(shù)。表示的點(diǎn)的右邊，則

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上有理數(shù)大小的比較，是基礎(chǔ)題.

5.如圖，如果N1=N2,那么A8〃CD,其依據(jù)可以簡單說成（）

A.兩直線平行，內(nèi)錯角相等B,內(nèi)錯角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，同位角相等D.同位角相等，兩直線平行

【答案】D

【分析】根據(jù)“同位角相等，兩直線平行''即可得.

【詳解】解：因?yàn)镹1與N2是一對相等的同位角，得出結(jié)論是A5CD,

所以其依據(jù)可以簡單說成同位角相等，兩直線平行，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵.

6.如圖，在4ABe中，ZACB=90°，AB=5,BC=4.以點(diǎn)A為圓心，『為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)。在［A內(nèi)且點(diǎn)

B在oA外時，r的值可能是（）

【答案】C

【分析】先利用勾股定理可得AC=3,再根據(jù)“點(diǎn)C在內(nèi)且點(diǎn)8在OA外”可得3（廠<5,由此即可得出答

案.

【詳解】解：在二ABC中，ZACB=90°,43=5,BC=4,

.-.AC=7AB2-BC2=3>

點(diǎn)C在：A內(nèi)且點(diǎn)B在0A外,

AC<r<AB,即3vrv5,

觀察四個選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵.

二、填空題（每小題3分，共24分）

7.實(shí)數(shù)—近的相反數(shù)是..

【答案】V2

【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)為互為相反數(shù)進(jìn)行解答.

【詳解】解：根據(jù)相反數(shù)的定義，

可得-正相反數(shù)是血.

故答案為：夜

【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相反數(shù)的定義.

8.計(jì)算：a-a2=__.

【答案】a3

2+23

【詳解】試卷分析：根據(jù)同底數(shù)塞的乘法性質(zhì)，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可直接結(jié)算，a-a=a'=a.

考點(diǎn)：同底數(shù)塞的乘法

9.籃球隊(duì)要購買10個籃球，每個籃球加元，一共需要元.（用含加的代數(shù)式表示）

【答案】10小

【分析】根據(jù)“總費(fèi)用=購買籃球的數(shù)量x每個籃球的價格”即可得.

【詳解】解：由題意得：一共需要的費(fèi)用為10〃7元，

故答案為：10/71.

【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，正確找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

10.《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個大桶加上1個小桶可以盛酒

3斛（斛，音hd,是古代一種容量單位），1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛.1個大桶、1個小桶分別可以盛酒

多少斛？設(shè)1個大桶可以盛酒x斛、1個小桶可以盛酒V斛.根據(jù)題意，可列方程組為.

x+5y-2

【答案】〈

5x+y=3

【分析】根據(jù)題中兩個等量關(guān)系：5個大桶加上1個小桶可以盛酒3斛；1個大桶加上5個小桶可以盛酒2斛，列

出方程組即可.

5x+y=3

【詳解】由題意得：4/一

x+5y=2

5x+y=3

故答案為：*

x+5y=2

【點(diǎn)睛】本題考查了列二元一次方程組解實(shí)際問題，理解題意、找到等量關(guān)系并列出方程組是解題的關(guān)鍵.

11.第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素.如圖，這個圖案繞著它的中心旋

轉(zhuǎn)角。（0°<。<360°）后能夠與它本身重合，則角a可以為度.（寫出一個即可）

【答案】60或120或180或240或300（寫出一個即可）

【分析】如圖（見解析），求出圖中正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可得.

360°

【詳解】解：這個圖案對應(yīng)著如圖所示的一個正六邊形，它的中心角Nl=；—=60°,

6

0°<a<360°,

角a可以為60°或120°或180?；?40°或300°,

故答案為：60或120或180或240或300（寫出一個即可）.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的中心角、圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B在y軸正半軸上，以點(diǎn)B為圓心，長為半徑作

弧，交x軸正半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為

【答案】(2,0)

【分析】連接BC,先根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可得。A=2,再根據(jù)等腰三角形的判定可得.ABC是等腰三角形，然后根

據(jù)等腰三角形的三線合一可得OC=Q4=2,由此即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接BC,

.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(—2,0),

OA-2,

由同圓半徑相等得：BA=BC,

.?.AABC是等腰三角形，

BO1AC,

:.OC^OA=2(等腰三角形的三線合一),

又點(diǎn)C位于x軸正半軸，

二點(diǎn)C坐標(biāo)為(2,0),

故答案為：(2,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了同圓半徑相等、等腰三角形的三線合一、點(diǎn)坐標(biāo)等知識點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的三線合一

是解題關(guān)鍵.

13.如圖，在矩形A8C。中，對角線AC,80相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是邊A。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在對角線AC

上，且AF=，AC,連接防.若AC=10,則"=—

【分析】由矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)尸是04的中點(diǎn)，從而EF是△40。的中位線，則由三角形中位線定理即可求得EF

的長.

【詳解】???四邊形ABC。是矩形，

：.BD=AC=10,0A=yAC,0D=』BD=5,

；AF=-AC,

4

AAF=-0A,即點(diǎn)尸是0A的中點(diǎn).

2

???點(diǎn)E是邊AO的中點(diǎn)，

...EF是△AO。的中位線，

:.EF=-OD=-.

22

故答案為：一.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，掌握中位線定理是本題的關(guān)鍵.

14.如圖，在半徑為1的《O上順次取點(diǎn)A,B,C,D,E，連接AB,AE，OB,OC,OD,OE.若

NR4E=65。，NCQ9=70°,則BC與DE的長度之和為.（結(jié)果保留乃）.

【分析】由圓周角定理得/BQE=2NB4E=130°,根據(jù)弧長公式分別計(jì)算出BE與。C的長度，相減即可得到

答案.

【詳解】解：,??44E=65。,

...NBOE=2NBAE=130°

又:。的半徑為1,

130萬x1_13乃

的長度=

BE1801T

又NCW=70°,

““心70萬xl7萬

的長度二E

."C78

]376?

BC與DE的長度之和'

10101OJ

故答案為：~71?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)算弧長，圓周角定理，熟練掌握弧長計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題（每小題5分，共20分）

15.如圖，AB^AC,ABAD=ACAD.求證：BD=CD.

A

【答案】證明見解析

【分析】先利用三角形全等的判定定理（S45定理）證出_A3OM_AC。，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得.

AB^AC

【詳解】證明：在△A3。和AACZ)中，＜NBAD=ZCAD,

AD^AD

:._ABD=.ACD(SAS),

：.BD=CD.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

16.下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中A是關(guān)于加的多項(xiàng)式.請寫出多項(xiàng)式A

,并將該例題的解答過程補(bǔ)充完整.

例先去括號，再合并同類項(xiàng)：m(A)-6(m+l).

解：tn(A)-6(m+l)

=nr+6m-6m-6

【答案】A=m+6,解答過程補(bǔ)充完整為機(jī)2一6

【分析】利用根2+6根除以加可得A,再根據(jù)合并同類項(xiàng)法則補(bǔ)充解答過程即可.

【詳解】解：觀察第一步可知，A=(4+6m)+加，

解得A=〃z+6,

將該例題的解答過程補(bǔ)充完整如下：〃?(〃7+6)—6(m+1)

=加？+6m—6m—6

=療—6，

故答案為：m2—6■

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的乘除法、合并同類項(xiàng)，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

17.長白山國家級自然保護(hù)區(qū)、松花湖風(fēng)景區(qū)和凈月潭國家森林公園是吉林省著名的三個景區(qū).甲、乙兩人用抽卡

片的方式?jīng)Q定一個自己要去的景區(qū).他們準(zhǔn)備了3張不透明的卡片，正面分別寫上長白山、松花湖、凈月潭.卡

片除正面景區(qū)名稱不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗勻，甲先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下景區(qū)名稱后

正面向下放回，洗勻后乙再從中隨機(jī)抽取一張卡片，請用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都決定去長臼山的概

率.

【答案】甲、乙兩人都決定去長白山的概率為

【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中兩人都決定去長白山的結(jié)果有1種，再由概率公式求解即可.

【詳解】解：長白山、松花湖、凈月潭依次用字母A,B,C表示，

畫樹狀圖如下：

ABC

Zl\/1\/1\

ABCABCABC

共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人都決定去長白山的結(jié)果有1種，

...甲、乙兩人都決定去長白山的概率為1.

【點(diǎn)睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及隨機(jī)事件等知識.樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)

果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

18.圖①，圖②均是4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).其中點(diǎn)A，B,C均在格點(diǎn)上.請?jiān)诮o

（1）在圖①中，找一格點(diǎn)D,使以點(diǎn)A,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是軸對稱圖形；

（2）在圖②中，找一格點(diǎn)￡,使以點(diǎn)A,B,C,E為頂點(diǎn)的四邊形是中心對稱圖形.

【答案】（1）圖見解析

（2）圖見解析

【分析】（1）以AC所在直線為對稱軸，找出點(diǎn)8的對稱點(diǎn)即為點(diǎn)再順次連接點(diǎn)即可得;

（2）根據(jù)點(diǎn)8平移至點(diǎn)A的方式，將點(diǎn)。進(jìn)行平移即可得點(diǎn)￡,再順次連接點(diǎn)A,8,C,E即可得.

解：先將點(diǎn)B向左平移2格，再向上平移1個可得到點(diǎn)A,

則將點(diǎn)C按照同樣的平移方式可得到點(diǎn)E，

如圖②，平行四邊形ABCE是中心對稱圖形.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形、平移作圖，熟練掌握軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念是解題

關(guān)鍵.

四、解答題（每小題7分，共28分）

19.劉芳和李婷進(jìn)行跳繩比賽.已知劉芳每分鐘比李婷多跳20個，劉芳跳135個所用的時間與李婷跳120個所用

的時間相等.求李婷每分鐘跳繩的個數(shù).

【答案】160個

【分析】設(shè)李婷每分鐘跳繩的個數(shù)為x個，則劉芳每分鐘跳繩的個數(shù)為（x+20）個，根據(jù)“劉芳跳135個所用的時間

與李婷跳120個所用的時間相等”建立方程，解方程即可得.

【詳解】解：設(shè)李婷每分鐘跳繩的個數(shù)為*個，則劉芳每分鐘跳繩的個數(shù)為（x+20）個,

135120

由題意得:

x+20x

解得x=160,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=160是所列分式方程的解，且符合題意,

答：李婷每分鐘跳繩的個數(shù)為160個.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系，并建立方程是解題關(guān)鍵.

20.密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)容器的體積V（單位：n?）變化時，氣體的密度夕（單位：kg/n?）隨

之變化.已知密度夕與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖像如圖所示.

(1)求密度Q關(guān)于體積V的函數(shù)解析式;

(2)當(dāng)V=10m3時，求該氣體的密度「.

【答案】(1)p=^(V>0)

(2)1kg/m3

【分析】(1)用待定系數(shù)法即可完成；

(2)把V=10值代入(1)所求得的解析式中，即可求得該氣體的密度.

【小問1詳解】

設(shè)密度P關(guān)于體積v的函數(shù)解析式為p=9(v〉0,氏70),

把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式中得：-=2.5,

4

解得：k=10,

.”=￡”>0).

【小問2詳解】

當(dāng)V=100?時，夕=*=1(kg/m3).

即此時該氣體的密度為1kg/m3.

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的應(yīng)用問題，考查了求反比例函數(shù)的解析式及求反比例函數(shù)的函數(shù)值等知識，由圖像

求得反比例函數(shù)解析式是關(guān)鍵.

21.動感單車是一種新型的運(yùn)動器械.圖①是一輛動感單車的實(shí)物圖，圖②是其側(cè)面示意圖.ABC。為主車架，

AB為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)A,B,C在同一直線上.已知BC長為70cm,N8CD的度數(shù)為58。.當(dāng)AB長度調(diào)至34cm時,

求點(diǎn)A到C￡>的距離AE的長度(結(jié)果精確到1cm).(參考數(shù)據(jù):sin580=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60)

圖1圖2

【答案】點(diǎn)A到CD的距離AE的長度約為88cm.

【分析】根據(jù)正弦的概念即可求解.

【詳解】解：在RdACE中，ZAEC=90°,ZACE=58°,AC=A8+BC=34+70=104(cm),

AE?AE

VsinZAC￡=---,即nsin58°=----,

AC104

.,M￡=104x0.85=88.4~88(cm),

二點(diǎn)A到CD的距離AE的長度約為88cm.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的知識，掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

22.為了解全國常住人口城鎮(zhèn)化率的情況，張明查閱相關(guān)資料，整理數(shù)據(jù)并繪制統(tǒng)計(jì)圖如下:

城鎮(zhèn)常駐人口

注：城鎮(zhèn)化率=叫/1；九八又100%.例如，城鎮(zhèn)常住人口60.12萬人，總?cè)丝?00萬人，則總?cè)丝诔擎?zhèn)化

總?cè)丝?/p>

率為60.12%.

回答下列問題:

(1)2017-2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率的中位數(shù)是%；

(2)2021年年末全國人口141260萬人，2021年年末全國城鎮(zhèn)常住人口為萬人；(只填算式，不計(jì)算結(jié)

果)

(3)下列推斷較為合理的是(填序號).

①2017-2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升，估計(jì)2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率高于64.72%.

②全國常住人口城鎮(zhèn)化率2020年年末比2019年年末增加1.18%,2021年年末比2020年年末增加0.83%,全國常

住人口城鎮(zhèn)化率增加幅度減小，估計(jì)2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率低于64.72%.

【答案】⑴62.71

（2）141260x64.72%

（3）①

【分析】（D根據(jù)中位數(shù)的定義即可得；

（2）根據(jù)城鎮(zhèn)化率的計(jì)算公式即可得；

（3）根據(jù)全國常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升的趨勢，可估計(jì)2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率高于64.72%,由

此即可得出答案.

【小問1詳解】

解：2017-2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率按從小到大進(jìn)行排序?yàn)?0.24%,61.5%,62.71%,63.89%,

64.72%,則排在中間位置的數(shù)即為中位數(shù)，

所以中位數(shù)為62.71%,

故答案為：62.71.

【小問2詳解】

解：2021年年末全國城鎮(zhèn)常住人口為141260x64.72%萬人，

故答案為：141260x64.72%.

【小問3詳解】

解：2017-2021年年末，全國常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升，估計(jì)2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率高于

64.72%,則推斷①較為合理；

全國常住人口城鎮(zhèn)化率2020年年末比2019年年末增加1.18%,2021年年末比2020年年末增加0.83%,全國常

住人口城鎮(zhèn)化率增加幅度減小，可估計(jì)全國常住人口城鎮(zhèn)化率2022年年末比2021年年末增加幅度小于0.83%,

但2022年年末全國常住人口城鎮(zhèn)化率會高于64.72%,則推斷②不合理；

故答案為：①.

【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù)和折線統(tǒng)計(jì)圖，讀懂折線統(tǒng)計(jì)圖是解題關(guān)鍵.

五、解答題（每小題8分，共16分）

23.李強(qiáng)用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時加熱相同質(zhì)量的水，甲壺比乙壺加熱速度快.在一段時間內(nèi)，水

溫y（℃）與加熱時間x（s）之間近似滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，畫函數(shù)圖象如下:

(2)求乙壺中水溫y關(guān)于加熱時間x的函數(shù)解析式；

(3)當(dāng)甲壺中水溫剛達(dá)到80℃時，乙壺中水溫是℃.

3

【答案】(1)20(2)y=-x+20

8

(3)65

【分析】(1)根據(jù)x=0時，y=20即可得；

(2)先判斷出乙壺對應(yīng)的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,20),(160,80),再利用待定系數(shù)法即可得；

(3)先利用待定系數(shù)法求出甲壺中y與x的函數(shù)解析式，再求出y=80時，x的值，然后將x的值代入乙壺中y

與x的函數(shù)解析式即可得.

【小問1詳解】

解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x=0時，y=20,

則加熱前水溫是20。。，

故答案為：20.

【小問2詳解】

解：因?yàn)榧讐乇纫覊丶訜崴俣瓤欤?/p>

所以乙壺對應(yīng)的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,20),(160,80),

設(shè)乙壺中水溫N關(guān)于加熱時間x的函數(shù)解析式為y=kx+b*70),

160攵+。=80

將點(diǎn)(0,20),(160,80)代入得:

。=20

,3

k=-

解得《8,

Z?=20

3

則乙壺中水溫y關(guān)于加熱時間X的函數(shù)解析式為y=W尤+20,

O

自變量X的取值范圍是OWxW160.

【小問3詳解】

解：設(shè)甲壺中水溫y關(guān)于加熱時間x的函數(shù)解析式為y=mx+n(m豐0),

SOm+”=60

將點(diǎn)(0,20),(80,60)代入得：\M,

”=20

1

m--

解得J2,

n=20

則甲壺中水溫V關(guān)于加熱時間x的函數(shù)解析式為y=gx+20,

當(dāng)y=80時，1x+20=80,解得x=120,

33

將x=120代入y=—x+20得：j=-xl20+20=65,

88

即當(dāng)甲壺中水溫剛達(dá)到80°C時，乙壺中水溫是65℃,

故答案為：65.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，讀懂函數(shù)圖象，并熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵.

24.下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整.

【作業(yè)】如圖①，直線4〃6，一ABC與的面積相等嗎？為什么？

圖①

解：相等.理由如下：

設(shè)4與4之間的距離為〃，則S&DBC=qBCh

??0ABC-°DBC.

【探究】

Sh

(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在4，6之間時，設(shè)點(diǎn)A,。到直線4的距離分別為〃，/?'，則《3=77.

'△DBC"

圖②

證明：???S.BC_______________

sAM

(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在心，2之間時，連接AO并延長交4于點(diǎn)M，則產(chǎn)

1△DBC~DM

圖③

證明：過點(diǎn)A作AE_L8M，垂足為E，過點(diǎn)。作。尸J_3M，垂足為尸，則NA￡M=NOR0=9?！?

：.AE//.

△AEMs.

.AEAM

,?DF-DM.

s

由【探究】（1）可知產(chǎn)u=_______

'△DBC

__AM

S/\DBC~~DM'

(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)。在4下方時，連接AQ交4于點(diǎn)石.若點(diǎn)A,E,。所對應(yīng)的刻度值分別為5,1.5,0,

的值為________

DBC

/1

圖④

【答案】（1）證明見解析

7

（2）證明見解析（3）-

3

【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可得S由此即可得證；

（2）過點(diǎn)A作AEJ_8W，垂足為E，過點(diǎn)。作。產(chǎn)_L?W,垂足為E，先根據(jù)平行線的判定可得AEDF,

再根據(jù)相似三角形的判定可證AEMDFM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得一=——，然后結(jié)合【探究】

DFDM

（1）的結(jié)論即可得證；

（3）過點(diǎn)A作A〃_L3C于點(diǎn)/，過點(diǎn)。作ON，3c于點(diǎn)N,先根據(jù)相似三角形的判定證出

A.UAP7

NAME^/DNE,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得——=——=一，然后根據(jù)三角形的面積公式可得

DNDE3

SABC=]8C-AM,SDBC=-BCDN,由此即可得出答案.

【小問1詳解】

證明：SABC=—BC?h,SDBC——BC-h',

【小問2詳解】

證明：過點(diǎn)A作AE_L8W，垂足為E，過點(diǎn)。作OFLBM，垂足為尸，則NA￡M=NDR0=90°,

BECFM

圖③

r.AE//DF.

：^AEM-.DFM.

AEAM

?________

"~DF~~DM'

由【探究】（1）可知乎竺-=槳,

、VDBC

.SvABC_AM

SvDBCDM

【小問3詳解】

AMPDN,

：NAME^/DNE,

.AMAE

,?而一法’

點(diǎn)AE,。所對應(yīng)的刻度值分別為5,1.5,0,

；.AE=5—L5=3.5,DE=1.5,

?AM__3_.5__7

"15N~T5~3,

又?'SDBC=^BC.DN，

.S7ABe_AM_7

7

故答案為：一.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、三角形的面積等知識點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的

判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

六、解答題（每小題10分，共20分）

25.如圖，在ABC中，ZACB=90°,NA=3O。，AB=6cm.動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊

A8向終點(diǎn)5勻速運(yùn)動.以曰為一邊作=120。，另一邊PQ與折線AC—C8相交于點(diǎn)。

，以尸。為邊作菱形PQMN,點(diǎn)N在線段PB上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為Ms),菱形尸QMN與.ABC重疊部分圖

形的面積為'(cm?).

(1)當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上時，PQ的長為cm；(用含x的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)點(diǎn)〃落在邊8C上時，求x的值；

(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

【答案】(1)2x(2)1

2屈20<x<l

3

(3)丫=-7后+18辰-96Kx<-

2

yf3x2-6s/3x+9y/3|X3

【分析】(1)先證明/A=NAQP=30。，BPAP=PQ,根據(jù)題意有AP=2x,即PQ=2x；

(2)當(dāng)M點(diǎn)在BC上，。點(diǎn)在AC上，在(1)中己求得AP=PQ=2x,再證明△MNB是等邊三角形，即有

BN=MN,根據(jù)AB=6x=6cm,即有1(s)；

(3)分類討論：當(dāng)OVxWl時，此時菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部，此時菱形PQMN與△ABC重疊的面積即是菱

形PQMN的面積，過。點(diǎn)作QGLAB于G點(diǎn)，求出菱形的面積即可；當(dāng)x>l,且。點(diǎn)在線段AC上時，過。點(diǎn)

作QGLA5于G點(diǎn)，設(shè)QM交8c于F點(diǎn)，MN交BC于■E羔,過M點(diǎn)作M/D于〃點(diǎn)，先證明△ENB是等邊

三角形、AMEF是等邊三角形，重疊部分是菱形PQMN的面積減去等邊△ME尸的面積，求出菱形PQWN的面積

和等邊AMEF的面積即可，此時需要求出當(dāng)。點(diǎn)在C點(diǎn)時的臨界條件；當(dāng)3<XW3時，此時。點(diǎn)在線段BC

2

上，此時N點(diǎn)始終與B點(diǎn)重合，過。點(diǎn)作0GLAB于G點(diǎn)，重疊部分的面積就是△PBQ的面積，求出等邊△P8。

的面積即可.

【小問1詳解】

當(dāng)。點(diǎn)在AC上時，

VZA=3O°,ZAPQ=\20Q,

AZAQP=3>0°,

JNA=NAQP,

：.AP=PQ,

???運(yùn)動速度為每秒2cm,運(yùn)動時間為x秒,

.\AP=2xf

：.PQ=2x；

【小問2詳解】

當(dāng)M點(diǎn)在3c上，。點(diǎn)在AC上，如圖，

在(1)中已求得AP=PQ=2x,

???四邊形。尸MN是菱形，

:?PQ=PN=MN=2x,PQ//MN,

VZAPQ=\20°,

AZ0PB=6O°,

?.?PQ//MN,

:?/MNB=/QPB=60°,

???在R/ZV1BC中，ZC=90°,ZA=30°,

AZB=60°,

???△MN8是等邊三角形，

:.BN=MN,

：.AB=AP+PN+BN=2xX3=6x=6cm,

Ax=l(s)；

【小問3詳解】

當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動到8點(diǎn)時，用時6+2=3(s),

即x取值范圍為：0Wx<3,

當(dāng)M點(diǎn)剛好在5C上時，

在(2)中已求得此時x=l,

分情況討論，

即當(dāng)0<xWl時，此時菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部，

...此時菱形PQWN與△4BC重疊的面積即是菱形PQMN的面積,

過。點(diǎn)作QGLAB于G點(diǎn)，如圖，

VZAPQ=\20a,

:.NQPN=60°,即菱形PQMN的內(nèi)角/QPN=NQMN=60°,

AQG=PQxsinZQPN=2xxsin600=y/3x，

...重疊面積等于菱形PQMN的面積為，即為：y=PNxQG=2x義超x=2出士；

當(dāng)x>l,且。點(diǎn)在線段AC上時，

過。點(diǎn)作QGLAB于G點(diǎn)，設(shè)。M交BC于F點(diǎn)，MN交BC于E前,過M點(diǎn)作N”_LEF于”點(diǎn)，如圖,

PQ//MN,

NMNB=NQPN=60,

;NB=60°,

是等邊三角形，

同理可證明△MEF是等邊三角形

.\BN=NE,ZM￡F=60°,ME=EF,

,:AP=PQ=PN=MN=2x,AB=6,

:.BN=6-AN=64x,

：.ME=MN-NE=2x-BN=6x-6,

'：MHLEF,

，MH=MExsin/MEH=(6x-6)xsin60°=(3x-3)百，

.,.△MEF的面積為：S4MEF=gxEFxMH=^x(6x-6)x(3x-3)>/3=9A/3(X-1)2,

QG二PQxsinNQPN