復(fù)變函數(shù)與積分變換第八章教案

教案教案復(fù)變函數(shù)教案周次課題課時(shí)課型教具24.1傅里葉變換2新授教材教學(xué)目的1、理解傅里葉變換的概念2、掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算教學(xué)重點(diǎn)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算教學(xué)方法例證法、啟發(fā)誘導(dǎo)法、講授法教學(xué)過(guò)程一、引入傅立葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào)，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào)，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率、振幅和相位。因此，可以說(shuō)，傅立葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。2‘二、講授新課1、傅里葉級(jí)數(shù)如果我們將基本三角函數(shù)中的函數(shù)，任意取n個(gè)組合，則我們可以得到一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)。例如圖1（a）是兩個(gè)函數(shù)的組合；圖1（b）是三個(gè)函數(shù)的組合。如果我們?nèi)「嗟暮瘮?shù)組合，甚至全體的組合，將會(huì)得到更復(fù)雜的函數(shù)或我們期望的函數(shù)?，F(xiàn)在我們討論上述問(wèn)題的逆問(wèn)題。即如果給定一個(gè)周期為的任意周期函數(shù)我們能否將它表示成簡(jiǎn)單的三角函數(shù)（有限個(gè)或無(wú)限個(gè)）之和呢？即能否將分解成如下形式：其中如果能實(shí)現(xiàn)這種分解，那么對(duì)許多復(fù)雜的函數(shù)就可以通過(guò)簡(jiǎn)單的三角函數(shù)來(lái)研究其性質(zhì)了。上述問(wèn)題的回答是肯定的，由于正弦函數(shù)與余弦函數(shù)可以統(tǒng)一地由指數(shù)函數(shù)表示出來(lái)，因此我們可以得到另外一種更為簡(jiǎn)潔的形式=1\*GB3①稱為傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式。傅里葉級(jí)數(shù)有著非常明確的物理含義。在傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式中，基頻為，頻率為基頻的倍數(shù)。稱為相位。在傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式中，為周期函數(shù)的離散頻譜，為離散振幅譜，為離散相位譜。為了進(jìn)一步明確與頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，常常記例1求以T為周期的函數(shù)的離散頻譜和它的傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式。振幅譜為相位譜為2、博氏積分與博氏變換（1）通過(guò)前面的討論，我們知道了一個(gè)周期函數(shù)可以展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，那么，對(duì)非周期函數(shù)是否同樣適合？令時(shí)，由周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)來(lái)推倒非周期函數(shù)的傅里葉積分公式。即，在按照積分定義，在一定條件下，可整理成=2\*GB3②則=2\*GB3②式為傅里葉積分公式，簡(jiǎn)稱博氏積分。（2）傅氏變換與傅氏積分從=2\*GB3②式出發(fā)，令=3\*GB3③則有=4\*GB3④其中=3\*GB3③式為傅里葉變換（簡(jiǎn)稱傅氏變換），函數(shù)稱為的像函數(shù)，記為；稱=4\*GB3④為傅里葉逆函數(shù)（簡(jiǎn)稱傅氏逆變換）即傅氏積分，其中，函數(shù)稱為的像原函數(shù)，記為。與傅氏級(jí)數(shù)一樣，傅氏變換也有明確的物理含義。為頻譜密度函數(shù)（簡(jiǎn)稱頻譜或者連續(xù)頻譜），稱為振幅，為相位譜。由于傅氏變換這種特殊的物理含義，因而在工程實(shí)際中得到廣泛的應(yīng)用。例2求矩陣脈沖函數(shù)的傅氏變換以及傅氏積分表達(dá)式振幅譜為相位譜為再根據(jù)=4\*GB3④可得到傅氏逆變換，即的傅氏積分表達(dá)式為已知的頻譜