高中數(shù)學(xué) 4-2-3 直線與圓的方程的應(yīng)用能力強化提升 新人教A版必修2

【成才之路】高中數(shù)學(xué)4-2-3直線與圓的方程的應(yīng)用能力強化提升新人教A版必修2一、選擇題1．一輛卡車寬1.6m，要經(jīng)過一個半圓形隧道(半徑為3.6m)則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過()A．1.4m B．3.5mC．3.6m D．2.0m[答案]B[解析]圓半徑OA＝3.6，卡車寬1.6，∴AB＝0.8，∴弦心距OB＝eq\r(3.62－0.82)≈3.5.2．與圓x2＋y2－ax－2y＋1＝0關(guān)于直線x－y－1＝0對稱的圓的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，則a＝()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]x2＋y2－4x＋3＝0化為標準形式為(x－2)2＋y2＝1，圓心為(2,0)，∵(2,0)關(guān)于直線x－y－1＝0對稱的點為(1,1)，∴x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圓心為(1,1)．∵x2＋y2－ax－2y＋1＝0，即為(x－eq\f(a,2))2＋(y－1)2＝eq\f(a2,4)，圓心為(eq\f(a,2)，1)，∴eq\f(a,2)＝1，即a＝2.3．直線2x－y＝0與圓C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9交于A、B兩點，則△ABC(C為圓心)的面積等于()A．2eq\r(5) B．2eq\r(3)C．4eq\r(3) D．4eq\r(5)[答案]A[解析]∵圓心到直線的距離d＝eq\f(|4＋1|,\r(5))＝eq\r(5)，∴|AB|＝2eq\r(9－d2)＝4，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5)..4．點P是直線2x＋y＋10＝0上的動點，直線PA、PB分別與圓x2＋y2＝4相切于A、B兩點，則四邊形PAOB(O為坐標原點)的面積的最小值等于()A．24 B．16C．8 D．4[答案]C[解析]∵四邊形PAOB的面積S＝2×eq\f(1,2)|PA|×|OA|＝2eq\r(OP2－OA2)＝2eq\r(OP2－4)，∴當直線OP垂直直線2x＋y＋10＝0時，其面積S最?。?．若直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，則點P(a，b)的位置是()A．在圓上 B．在圓外C．在圓內(nèi) D．以上都不對[答案]B[解析]由eq\f(|0＋0－1|,\r(a2＋b2))<1，∴a2＋b2>1.6．(年山東高考題)已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0.設(shè)該圓過點(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A．10eq\r(6) B．20eq\r(6)C．30eq\r(6) D．40eq\r(6)[答案]B[解析]圓心坐標是(3,4)，半徑是5，圓心到點(3,5)的距離為1，根據(jù)題意最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直，故最短弦的長為2eq\r(52－12)＝4eq\r(6)，所以四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)×AC×BD＝eq\f(1,2)×10×4eq\r(6)＝20eq\r(6).7．方程eq\r(1－x2)＝kx＋2有唯一解，則實數(shù)k的范圍是()A．k＝±eq\r(3)B．k∈(－2,2)C．k<－2或k>2D．k<－2或k>2或k＝±3[答案]D[解析]由題意知，直線y＝kx＋2與半圓x2＋y2＝1(y≥0只有一個交點．結(jié)合圖形易得k<－2或k>2或k＝±eq\r(3).8．(拔高題)臺風(fēng)中心從A地以每小時20km的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū)，城市B在A的正東40km外，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A．0.5h B．1hC．1.5h D．2h[答案]B[解析]建系后寫出直線和圓的方程，求得弦長為20千米，故處于危險區(qū)內(nèi)的時間為eq\f(20,20)＝1(h)．二、填空題9．已知實數(shù)x，y滿足x2＋y2－4x＋1＝0.則x－y的最大值和最小值分別是________和________．eq\f(y,x)的最大值和最小值分別是________和________．x2＋y2的最大值和最小值分別是______和______．[答案]2＋eq\r(6)，2－eq\r(6)；1，－1；7＋4eq\r(3)，7－4eq\r(3)[解析](1)設(shè)x－y＝b則y＝x－b與圓x2＋y2－4x＋1＝0有公共點，即eq\f(|2－b|,\r(12＋12))≤eq\r(3)，∴2－eq\r(6)≤b≤2＋eq\r(6)故x－y最大值為2＋eq\r(6)，最小值為2－eq\r(6)(2)設(shè)eq\f(y,x)＝k，則y＝kx與x2＋y2－4x＋1＝0有公共點，即eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤eq\r(3)∴eq\r(3)≤k≤eq\r(3)，故eq\f(y,x)最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3)(3)圓心(2,0)到原點距離為2，半徑r＝eq\r(3)故(2－eq\r(3))2≤x2＋y2≤(2＋eq\r(3))2由此x2＋y2最大值為7＋4eq\r(3)，最小值為7－4eq\r(3).10．如下圖所示，一座圓拱橋，當水面在某位置時，拱頂離水面2m，水面寬12m，當水面下降1m后，水面寬為________m.[答案]2eq\r(51)[解析]如下圖所示，以圓拱拱頂為坐標原點，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸，建立直角坐標系，設(shè)圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，則由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)．設(shè)圓的半徑為r，則C(0，－r)，即圓的方程為x2＋(y＋r)2＝r2.①將點A的坐標(6，－2)代入方程①，解得r＝10.∴圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100.②當水面下降1m后，可設(shè)點A′的坐標為(x0，－3)(x0>0)，將A′的坐標(x0，－3)代入方程②，求得x0＝eq\r(51).所以，水面下降1m后，水面寬為2x0＝2eq\r(51).11．已知直線x－2y－3＝0與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于E，F(xiàn)兩點，圓心為點C，則△CEF的面積等于________．[答案]2eq\r(5)[解析]∵圓心C(2，－3)到直線的距離為d＝eq\f(|2＋6－3|,\r(1＋－22))＝eq\r(5)，又R＝3，∴|EF|＝2eq\r(R2－d2)＝4.∴S△CEF＝eq\f(1,2)|EF|·d＝2eq\r(5).12．若點P在直線l1：x＋y＋3＝0上，過點P的直線l2與曲線C：(x－5)2＋y2＝16相切于點M，則|PM|的最小值________．[答案]4[解析]曲線C：(x－5)2＋y2＝16是圓心為C(5,0)，半徑為4的圓，連接CP，CM，則在△MPC中，CM⊥PM，則|PM|＝eq\r(|CP|2－|CM|2)＝eq\r(|CP|2－16)，當|PM|取最小值時，|CP|取最小值，又點P在直線l1上，則|CP|的最小值是點C到直線l1的距離，即|CP|的最小值為d＝eq\f(|5＋3|,\r(1＋1))＝4eq\r(2)，則|PM|的最小值為eq\r(4\r(2)2－16)＝4.三、解答題13．如圖所示，已知直線l的解析式是y＝eq\f(4,3)x－4，并且與x軸、y軸分別交于A，B兩點．一個半徑為1.5的圓C，圓心C從點(0,1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運動，當圓C與直線l相切時，求該圓運動的時間．[解析]設(shè)運動的時間為ts，則ts后圓心的坐標為(0,1.5－0.5t)．∵圓C與直線l：y＝eq\f(4,3)x－4，即4x－3y－12＝0相切，∴eq\f(|4×0－3×1.5－0.5t－12|,\r(32＋42))＝1.5.解得t＝6或16.即該圓運動的時間為6s或16s.14．設(shè)有一個半徑為3km的圓形村落，甲、乙兩人同時從村落中心出發(fā)，甲向東，而乙向北前進，甲出村后不久，改變前進方向．沿著相切于村落邊界的方向前進，后來恰好與乙相遇，設(shè)甲、乙兩人的速度都一定，其比為3:1，此二人在何處相遇？[解析]如圖，以村落中心為坐標原點，以東西方向為x軸，南北方向為y軸建立直角坐標系．設(shè)甲向東走到D轉(zhuǎn)向到C恰好與乙相遇．設(shè)D，C兩點的坐標分別為(a,0)，(0，b)，其中a＞3，b＞3，則CD方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.設(shè)乙的速度為v，則甲的速度為3v.依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(ab,\r(a2＋b2))＝3，,\f(\r(a2＋b2)＋a,3v)＝\f(b,v).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝\f(15,4).))∴乙向北走3.75km時兩人相遇．15．某圓拱橋的示意圖如下圖所示，該圓拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造時，每隔3m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長．(精確到0.01m)[分析]建系→求點的坐標→求圓的方程→求A2P2的長[解析]如圖，以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中點O為坐標原點建立平面直角坐標系，那么點A，B，P的坐標分別為(－18,0)，(18,0)，(0,6)．設(shè)圓拱所在的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因為A，B，P在此圓上，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(182－18D＋F＝0，,182＋18D＋F＝0，,62＋6E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝0，,E＝48，,F＝－324.))故圓拱所在的圓的方程是x2＋y2＋48y－324＝0.將點P2的橫坐標x＝6代入上式，解得y＝－24＋12eq\r(6).答：支柱A2P2的長約為12eq\r(6)－24.[點評]在實際問題中，遇到有關(guān)直線和圓的問題，通常建立坐標系，利用坐標法解決．建立適當?shù)闹苯亲鴺讼祽?yīng)遵循三點：①若曲線是軸對稱圖形，則可選它的對稱軸為坐標軸；②常選特殊點作為直角坐標系的原點；盡量使已知點位于坐標軸上．建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，會簡化運算過程．16．如圖，