直線與圓的位置關(guān)系（第1課時） 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

選擇必修

第二章

直線和圓的方程2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系2.5.1直線與圓的位置關(guān)系（第1課時）教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.掌握直線與圓的三種位置關(guān)系．1.直觀想象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).2.能夠利用代數(shù)法與幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系.2.邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).溫故知新1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

2.圓的一般方程圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2–4F>0）

知新引入

在平面幾何中，我們研究過直線與圓這兩類圖形的位置關(guān)系.

前面我們學(xué)習(xí)了直線的方程、圓的方程，用直線的方程研究了兩條直線的位置關(guān)系.

本節(jié)課我們類比用直線的方程研究兩直線位置關(guān)系的方法，運(yùn)用直線和圓的方程，研究直線與圓的位置關(guān)系.知新探究

我們知道，直線和圓相交直線和圓相切

直線和圓相離

2個公共點(diǎn)

1個公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)d<rd=rd>r新知探究

根據(jù)上述定義，如何利用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？

利用前面回顧的初中知識，類比用方程研究兩條直線位置關(guān)系的方法.

1.交點(diǎn)個數(shù)；2.方程組解的個數(shù)；3.圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系知新探究【例1】已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.解：方法1：聯(lián)立直線與圓的方程，得

∴直線l與圓C相交，有兩個公共點(diǎn).把x1=2，x2=1分別代入方程①，得y1=0，y2=3.消去y，得x2－3x＋2=0，解得x1=2，x2=1,分析：思路1:將判斷直線與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷由它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解、有幾個實(shí)數(shù)解；若相交，可以由方程組解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得弦長.∴直線l與圓C的兩個交點(diǎn)是A(2，0)，B(1，3).

代數(shù)法聯(lián)立方程組消元得一元二次方程求根，判斷直線與圓的位置關(guān)系知新探究【例1】已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0，判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；如果相交，求直線l被圓C所截得的弦長.解：方法2：圓C的方程x2＋y2－2y－4=0可化為x2＋(y－1)2=5，

∴直線l與圓C相交，有兩個公共點(diǎn).

分析：思路2:依據(jù)圓心到直線的距高與半徑的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系：若相交，則可利用勾股定理求得弦長.幾何法確定圓心和半徑計算圓心到直線的距離，與圓的半徑比較大小.知新探究判斷直線與圓的位置關(guān)系方法1：通過上述解法我們發(fā)現(xiàn)

進(jìn)而得出直線與圓的公共點(diǎn)的個數(shù)，進(jìn)而判斷直線與圓的位置關(guān)系，若相交，可以由方程組解得兩交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得弦長.代數(shù)法代數(shù)法的基本步驟：聯(lián)立方程組消元(消x或y)計算△(或直接求根)判斷符號(或根的個數(shù))得出結(jié)論知新探究判斷直線與圓的位置關(guān)系方法2

根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑r，從而求得圓心到直線的距離d，通過比較d與r的大小，判斷直線與圓的位置關(guān)系.若相交，則可利用勾股定理求得弦長.幾何法幾何法的基本步驟：求圓心坐標(biāo)和半徑r計算弦心距d比較d，r得出結(jié)論．

適當(dāng)?shù)睦靡阎獔D形的性質(zhì)，有助于簡化計算.

與初中的方法比較，你認(rèn)為用方程判定直線與圓的位置關(guān)系有什么優(yōu)點(diǎn)？例1中兩種解法的差異是什么？點(diǎn)睛：幾何法更為簡潔和常用.初試身手

解：

初試身手

解：

知新探究【例2】過點(diǎn)P(2，1)作圓O：x2＋y2=1的切線l，求切線l的方程.解：方法1：設(shè)切線l的斜率為k，則切線l的方程為y－1=k(x－2)，即kx－y＋1－2k=0.

由圓心(0，0)到切線l的距離等于圓的半徑1，得

分析：如圖，容易知道，點(diǎn)P(2，1)位于圓O：x2＋y2=1外，經(jīng)過圓外一點(diǎn)有兩條直線與圓相切，我們設(shè)切線方程為y－1=k(x－2)，k為切線l的斜率，由直線與圓相切求出k的值.

因此，所求切線l的方程為y=1，或4x－3y－5=0.知新探究【例2】過點(diǎn)P(2，1)作圓O：x2＋y2=1的切線l，求切線l的方程.解：方法2：設(shè)切線l的斜率為k，則切線l的方程為y－1=k(x－2).

消元，得(k2＋1)x2＋(2k－4k2)x＋4k2－4k=0

①因此，所求切線l的方程為y=1，或4x－3y－5=0.因?yàn)榉匠挞僦挥幸粋€解，所以Δ=4k2(1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)=0，

初試身手

解：初試身手

化簡整理，得2x2+2(m-5)x+m2-6m+5=0,解：

初試身手解：∵圓C:x2+y2=25的圓心為(0,0),半徑為5,

則直線l的方程2x-y-5=0或x-2y+5=0．

設(shè)直線l的方程為y-5=k(x-5)，即kx-y-5k+5=0,

課堂小結(jié)

位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個數(shù)2個1個0個判定方