1.4.1第2課時(shí)空間中直線平面的垂直

第2課時(shí)空間中直線、平面的垂直A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.在直三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中點(diǎn),A1P=λA1B1,C1C=3C1M.A.12 B.13 C.232.(多選題)在菱形ABCD中,若PA是平面ABCD的法向量,則以下等式中一定成立的是()A.PA·AB=0 B.PCC.PC·AB=0 D.PA3.(多選題)在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分別是棱DD1,D1C1的中點(diǎn),則直線OM()A.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.與AC,MN都不垂直4.已知平面α的一個(gè)法向量a=(x,1,2),平面β的一個(gè)法向量b=1,y,12.若α⊥β,則xy=.

5.已知空間四點(diǎn)A(0,1,0),B(1,0,1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,則P的坐標(biāo)為.

6.在棱長(zhǎng)為a的正方體OABCO1A1B1C1中,E,F分別是AB,BC上的動(dòng)點(diǎn),且AE=BF,求證:A1F⊥C1E.7.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中點(diǎn).求證:CD⊥平面PAE.8.如圖所示,△ABC是一個(gè)正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求證:平面DEA⊥平面ECA.B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.已知AB=(1,5,2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x1,y,3),且BP⊥平面ABC,則實(shí)數(shù)x,y,zA.337,157,4 B.407C.407,2,4 D.4,40710.如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,P是AA1的中點(diǎn),點(diǎn)M在側(cè)面AA1B1B(含邊界)內(nèi),若D1M⊥CP,則△BCM面積的最小值為()A.8 B.4 C.82 D.811.(多選題)已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn),若AB=(2,1,4),AD=(4,2,0),AP=(1,2,1),則下列結(jié)論正確的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP是平面ABCD的一個(gè)法向量D.AP12.如圖所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥QD,則a的值等于.

13.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E是棱BC的中點(diǎn),試在棱CC1上求一點(diǎn)P,使得平面A1B1P⊥平面C1DE.14.如圖所示,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,側(cè)面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD(1)求證:CD⊥平面PAC.(2)側(cè)棱PA上是否存在點(diǎn)E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出點(diǎn)E的位置并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練15.如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1的中點(diǎn),P是AD的延長(zhǎng)線與A1C1的延長(zhǎng)線的交點(diǎn).若點(diǎn)Q在B1P上,則下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)Q為線段B1P的中點(diǎn)時(shí),DQ⊥平面A1BDB.當(dāng)Q為線段B1P的三等分點(diǎn)時(shí),DQ⊥平面A1BDC.在線段B1P的延長(zhǎng)線上,存在一點(diǎn)Q,使得DQ⊥平面A1BDD.不存在點(diǎn)Q,使得DQ⊥平面A1BD

第2課時(shí)空間中直線、平面的垂直1.C如圖,以AB,AC,AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則P(λ,0,1),N12,12,0,B(1,0,0),M0,1,23,PN=12λ,12,1,BM=1,1,23,所以PN·BM=λ12+12-23=2.ABD∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又AC⊥BD,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∵PC?平面PAC,∴PC⊥BD.故A,B,D都成立.3.AC以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a,則D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a).∴OM=(a,a,a),MN=(0,a,a),AC=(2a,2a,0).∴OM·MN=0,OM∴OM⊥AC,OM⊥MN.OM和AA1顯然不垂直.4.1因?yàn)棣痢挺?所以a⊥b,所以x+y1=0,得xy=1.5.(1,0,2)由題意得PA=(x,1,z),AB=(1,1,1),AC=(2,0,1),由PA⊥AB,得PA·AB=x1+z=0,由PA⊥AC,得解得x=-1,z=26.證明以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A1(a,0,a),C1(0,a,a).設(shè)AE=BF=x,則E(a,x,0),F(ax,a,0).所以A1F=(x,a,C1E=(a,xa,a因?yàn)锳1F·C1E=(x,a,a)·(a,xa,a)=ax+ax所以A1F⊥C1E,即A17.證明如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PA=h,則A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知CD=(4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h).∵CD·AE=8+8+0CD·AP∴CD⊥AE,CD⊥AP.∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.8.證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz,不妨設(shè)CA=2,則CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以EA=(3,1,2),CE=(0,0,2),ED=(0,2,1).分別設(shè)平面ECA與平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),則n即3解得yn即3解得x2=3y2,z2=2y2.不妨取n1=(1,3,0),n2=(3,1,2),因?yàn)閚1所以平面DEA⊥平面ECA.9.B∵AB⊥BC,∴AB即3+52z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,∴BP⊥則(x-10.D以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.則P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0).設(shè)M(4,a,b)(0≤a≤4,0≤b≤4),則D1M=(4,a,b4),CP=(4,4,2).∵D1M⊥∴D1M·CP=164a+2b8=0,得∴M(4,a,2a4),∴|BM|=(=5(a當(dāng)a=125時(shí),|BM|取最小值4易知|BC|=4,∴S△BCM的最小值為455×4×12=11.ABC∵AP·AB=22+4=0,∴∴AP⊥AB,故A正確;∵AP·AD=4+4+0=0,∴AP⊥AD,∴AP⊥AD,∵AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,∴AP是平面ABCD的一個(gè)法向量,故C正確;BD=AD-AB=(2,3,4),設(shè)BD=λAP,即2=-λ故選ABC.12.2以A為原點(diǎn),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,a,0),C(1,a,0),設(shè)Q(1,x,0),P(0,0,z),PQ=(1,x,z),QD=(1,ax,0).由PQ·QD得1+x(ax)=0,即x2ax+1=0.當(dāng)Δ=a24=0,即當(dāng)a=2時(shí),點(diǎn)Q只有一個(gè).13.解如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則P(0,1,a),A1(1,0,1),B1(1,1,1),E12,1,0,C1(0,1,1),A1B1=(0,1,0),A1設(shè)平面A1B1P的一個(gè)法向量為n1=(x1,y1,z1),則n令z1=1,得x1=a1,∴n1=(a1,0,1).設(shè)平面C1DE的一個(gè)法向量為n2=(x2,y2,z2),則n令y2=1,得x2=2,z2=1,∴n2=(2,1,1).∵平面A1B1P⊥平面C1DE,∴n1⊥n2,即n1·n2=0.∴2(a1)+0+(1)=0,∴a=12故P0,14.解因?yàn)椤螾AD=90°,所以PA⊥AD.又因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD,且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.∠BAD=90°,所以AB,AD,AP兩兩垂直.分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD=2,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).(1)證明:AP=(0,0,1),AC=(1,1,0),CD=(1,1,0),可得AP·CD=0,AC·CD=0,所以AP⊥CD,又因?yàn)锳P∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.(2)當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時(shí),BE∥平面PCD.證明如下:設(shè)E是側(cè)棱PA的中點(diǎn),則E0,0,12,BE=1,0,12.設(shè)平面PCD的法向量是n=(x,y,z),則n因?yàn)镃D=(1,1,0),PD=(0,2,1),所以-取x=1,則y=1,z=2,所以平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,2).所以n·BE=(1,1,2)·1,0,12=0,所以n⊥BE.因?yàn)锽E?平面PCD,所以BE∥平面PCD.綜上所述,當(dāng)E為PA的中點(diǎn)時(shí),BE∥平面PCD.15.D以點(diǎn)A1為坐標(biāo)原點(diǎn),A1B1,A1C1,A1A所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則由已知得A1(0,0