二次根式的運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典試題講義

二次根式的運(yùn)算學(xué)問點(diǎn)和經(jīng)典試題學(xué)問點(diǎn)一：二次根式的乘法法則：（，），即兩個(gè)二次根式相乘，根指數(shù)不變，只把被開方數(shù)相乘.

要點(diǎn)詮釋：（1）在運(yùn)用二次根式的乘法法則進(jìn)展運(yùn)算時(shí)，一定要留意：公式中a、b都必需是非負(fù)數(shù)；（2）該法則可以推廣到多個(gè)二次根式相乘的運(yùn)算：（3）若二次根式相乘的結(jié)果能化簡(jiǎn)必需化簡(jiǎn)，如.學(xué)問點(diǎn)二、積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：（，），即積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積.要點(diǎn)詮釋：（1）在這特性質(zhì)中，a、b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，無(wú)論是數(shù)，還是代數(shù)式，都必需滿意，才能用此式進(jìn)展計(jì)算或化簡(jiǎn)，假如不滿意這個(gè)條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；（2）二次根式的化簡(jiǎn)關(guān)鍵是將被開方數(shù)分解因數(shù)，把含有形式的移到根號(hào)外面.（3）作用：積的算術(shù)平方根的性質(zhì)對(duì)二次根式化簡(jiǎn)（4）步驟：=1\*GB3①對(duì)被開方數(shù)分解因數(shù)或分解因式，結(jié)果寫成平方因式乘以非平方因式即：=2\*GB3②利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)（，）；=3\*GB3③利用（一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的一定值）即被開方數(shù)中的一些因式移到根號(hào)外；（5）被開方數(shù)是整數(shù)或整式可用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)對(duì)二次根式化簡(jiǎn)學(xué)問點(diǎn)三、二次根式的除法法則：（，），即兩個(gè)二次根式相除，根指數(shù)不變，把被開方數(shù)相除.要點(diǎn)詮釋：（1）在進(jìn)展二次根式的除法運(yùn)算時(shí)，對(duì)于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特殊留意，其中，，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.(2)運(yùn)用二次根式的除法法則，可將分母中的根號(hào)去掉，二次根式的運(yùn)算結(jié)果要盡量化簡(jiǎn)，最終結(jié)果中分母不能帶根號(hào).學(xué)問點(diǎn)四、商的算術(shù)平方根的性質(zhì)（，），即商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方鏟除以除式的算術(shù)平方根.

要點(diǎn)詮釋：（1）利用：運(yùn)用次性質(zhì)也可以進(jìn)展二次根式的化簡(jiǎn)，運(yùn)用時(shí)仍要留意符號(hào)問題.對(duì)于公式中被開方數(shù)a、b的取值范圍應(yīng)特殊留意，其中，，因?yàn)閎在分母上，故b不能為0.（2）步驟：=1\*GB3①利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：（，）=2\*GB3②分別對(duì)eq\r(a)，利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)化簡(jiǎn)=3\*GB3③分母不能有根號(hào)，假如分母有根號(hào)要分母有理化，即（）（3）被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式可用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)對(duì)二次根式化簡(jiǎn)學(xué)問點(diǎn)五：最簡(jiǎn)二次根式1.定義：當(dāng)二次根式滿意以下兩條：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.把符合這兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.在二次根式的運(yùn)算中，最終的結(jié)果必需化為最簡(jiǎn)二次根式或有理式.要點(diǎn)詮釋：(1)最簡(jiǎn)二次根式中被開方數(shù)不含分母；(2)最簡(jiǎn)二次根式被開方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)或因式的次數(shù)都小于根指數(shù)2，即每個(gè)因數(shù)或因式從次數(shù)只能為1次.2.把二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式的一般步驟：(1)把根號(hào)下的帶分?jǐn)?shù)或一定值大于1的數(shù)化成假分?jǐn)?shù)，把一定值小于1的小數(shù)化成分?jǐn)?shù)；

(2)被開方數(shù)是多項(xiàng)式的要進(jìn)展因式分解；(3)使被開方數(shù)不含分母；

(4)將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式，用它們的算術(shù)平方根代替后移到根號(hào)外；

(5)化去分母中的根號(hào)；(6)約分.

3.把一個(gè)二次根式化簡(jiǎn)，應(yīng)根據(jù)被開方數(shù)的不同形式，實(shí)行不同的變形方法.事實(shí)上只是做兩件事：一是化去被開方數(shù)中的分母或小數(shù)；二是使被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.學(xué)問點(diǎn)六、同類二次根式1.定義：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，假如被開方數(shù)一樣，則這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式.

要點(diǎn)詮釋：

(1)推斷幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，必需先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再看被開方數(shù)是否一樣；

(2)幾個(gè)二次根式是否是同類二次根式，只及被開方數(shù)和根指數(shù)有關(guān)，而及根號(hào)外的因式無(wú)關(guān).

2.合并同類二次根式

合并同類二次根式，只把系數(shù)相加減，根指數(shù)和被開方數(shù)不變.(合并同類二次根式的方法及整式加減運(yùn)算中的合并同類項(xiàng)類似)要點(diǎn)詮釋：(1)根號(hào)外面的因式就是這個(gè)根式的系數(shù)；(2)二次根式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的要變成假分?jǐn)?shù)的形式；

(3)不是同類二次根式，不能合并學(xué)問點(diǎn)七、二次根式的加減

二次根式的加減本質(zhì)就是合并同類二次根式，即先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把其中的同類二次根式進(jìn)展合并.對(duì)于沒有合并的二次根式，仍要寫到結(jié)果中.

在進(jìn)展二次根式的加減運(yùn)算時(shí)，整式加減運(yùn)算中的交換律、結(jié)合律和去括號(hào)、添括號(hào)法則仍舊適用.

二次根式加減運(yùn)算的步驟：

(1)將每個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成為最簡(jiǎn)二次根式；(2)推斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結(jié)合為一組；

(3)合并同類二次根式.

學(xué)問點(diǎn)八、二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算是對(duì)二次根式的乘除和加減運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用.

要點(diǎn)詮釋：(1)二次根式的混合運(yùn)算依次及實(shí)數(shù)中的運(yùn)算依次一樣，先乘方，后乘除，最終算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的；(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算和整式運(yùn)算中的運(yùn)算律和乘法公式在二次根式的運(yùn)算中仍舊適用；

(3)二次根式混合運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)寫成最簡(jiǎn)形式，這個(gè)形式應(yīng)是最簡(jiǎn)二次根式，或幾個(gè)非同類最簡(jiǎn)二次式之和或差，或是有理式.

規(guī)律方法指導(dǎo)

二次根式的運(yùn)算，主要探討二次根式的乘除和加減.

(1)二次根式的乘除，只需將被開方數(shù)進(jìn)展乘除，其根據(jù)是：

；；

(2)二次根式的加減類似于整式的加減，關(guān)鍵是合并同類二次根式.通常應(yīng)先將二次根式化簡(jiǎn)，再把同類二次根式合并.

二次根式運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)盡可能化簡(jiǎn).經(jīng)典例題透析類型一、二次根式的乘除運(yùn)算

1、計(jì)算(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.

解：(1)×=；(2)×==；

(3)×==9；(4)×==.

2、計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4).思路點(diǎn)撥：干脆利用便可干脆得出答案．

解：(1)===2；(2)==×2=2；

(3)===2；(4)===2.

3、化簡(jiǎn)

(1)；(2)；(3)；(4)；(5).

思路點(diǎn)撥：利用干脆化簡(jiǎn)即可．

解：(1)=×=3×4=12；(2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；

(4)=×=××=3xy(5)==×=3.

舉一反三

【變式1】推斷下列各式是否正確，不正確的請(qǐng)予以改正：

(1)；(2)×=4××=4×=4=8.

解：(1)不正確．改正：=＝×=2×3=6；

(2)不正確改正：×=×===＝4.

4、化簡(jiǎn)：

(1)；(2)；(3)；(4).

思路點(diǎn)撥：干脆利用就可以到達(dá)化簡(jiǎn)之目的．

解：(1)=(2)=(3)=；(4)=.

舉一反三

【變式1】已知，且x為偶數(shù)，求(1+x)的值．

思路點(diǎn)撥：式子=，只有a≥0，b＞0時(shí)才能成立．

因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因?yàn)閤為偶數(shù)，所以x=8．

解：由題意得，即∴6＜x≤9，∵x為偶數(shù)，∴x=8

∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴當(dāng)x=8時(shí)，原式的值==6．

5、計(jì)算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).

解：(1)原式=-÷=-==-；

(2)原式=-2=-2=-a.

類型二、最簡(jiǎn)二次根式的判別

6、下列各式中，哪些是最簡(jiǎn)二次根式？哪些不是？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).

思路點(diǎn)撥：推斷一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式，就看它是否滿意最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；不滿意其中任何一條的二次根式都不是最簡(jiǎn)二次根式.

解：和都是最簡(jiǎn)二次根式，其余的都不是，理由如下：

的被開方數(shù)是小數(shù)，能寫成分?jǐn)?shù)，含有分母；和的被開方數(shù)中都含有分母；

和的被開方數(shù)中分別含有能開得盡方的因數(shù)和因式.

總結(jié)升華：對(duì)于最簡(jiǎn)二次根式的推斷，一定要把握其本質(zhì)，既要留意其中的“似是而非”，還要留意其中的“似非而是”，特殊象這樣的式子，帶有很大的隱藏性，更應(yīng)特別當(dāng)心.

7、把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路點(diǎn)撥：把被開方數(shù)分解因數(shù)或分解因式，再利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和進(jìn)展化簡(jiǎn).

解：(1)；(2)；

(3)；(4)；

(5).

類型三、同類二次根式

8、假如兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式和是同類二次根式，則a、b的值是()

A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1

思路點(diǎn)撥：根據(jù)同類二次根式的識(shí)別方法，在最簡(jiǎn)二次根式的前提下，被開方數(shù)一樣.

解：根據(jù)題意，得

解之，得，故選D.

總結(jié)升華：同類二次根式必需滿意兩個(gè)條件：(1)根指數(shù)是2；(2)被開方數(shù)一樣；由此可以得到關(guān)于a、b的二元一次方程組，此類問題都可如此.

舉一反三【變式1】下列根式中，可以及合并的是()A.B.C.D.思路點(diǎn)撥：首先要把不是最簡(jiǎn)二次根式的化成最簡(jiǎn)二次根式，然后比擬它們的被開方數(shù)是否一樣，假如一樣，就能進(jìn)展合并，反之，則不能合并.

解：合并，故選B.

總結(jié)升華：同類二次根式的推斷，關(guān)鍵是可以嫻熟準(zhǔn)確地化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式.

【變式2】若最簡(jiǎn)根式及根式是同類二次根式，求a、b的值．

思路點(diǎn)撥：同類二次根式是指幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)一樣；

事實(shí)上，根式不是最簡(jiǎn)二次根式，因此把化簡(jiǎn)成

|b|·，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．

解：首先把根式化為最簡(jiǎn)二次根式：

==|b|·

由題意得，∴，∴a=1，b=1.

類型四、二次根式的加減運(yùn)算

9、計(jì)算(1)+(2)-思路點(diǎn)撥：第一步，將不是最簡(jiǎn)二次根式的項(xiàng)化為最簡(jiǎn)二次根式；第二步，將一樣的最簡(jiǎn)二次根式進(jìn)展合并．

解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4總結(jié)升華：一定要留意二次根式的加減要做到先化簡(jiǎn)，再合并.

舉一反三【變式1】計(jì)算

(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；

(3)；(4).

解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；

(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6+；

(3)

(4)【變式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(結(jié)果準(zhǔn)確到0.01)

解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.

類型五、二次根式的混合運(yùn)算

10、計(jì)算:

(1)(+)×(2)(4-3)÷2.

思路點(diǎn)撥：二次根式仍舊滿意整式的運(yùn)算規(guī)律，所以干脆可用整式的運(yùn)算規(guī)律．

解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；

(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.

11、計(jì)算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).（3）思路點(diǎn)撥：二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍舊成立．

解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；

(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.

（3）略類型六、化簡(jiǎn)求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路點(diǎn)撥：本題首先將已知等式進(jìn)展變形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，先把各項(xiàng)化成最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類二次根式，最終代入求值．

解：4x2+y2-4x-6y+10=0

4x2-4x+1+y2-6y+9=0

∴(2x-1)2+(y-3)2=0

∴x=，y=3

原式=+y2-x2+5x

=2x+-x+5

=x+6

當(dāng)x=，y=3時(shí)，原式=×+6=+3.

舉一反三

【變式1】先化簡(jiǎn)，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．

解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，

當(dāng)x=，y=27時(shí)，原式=-=-.

【變式2】.已知x=+1，求（）÷的值．類型七、二次根式的應(yīng)用及探究

13、一個(gè)底面為30cm×30cm長(zhǎng)方體玻璃容器中裝滿水，現(xiàn)將一局部水倒入一個(gè)底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當(dāng)鐵桶裝滿水時(shí)，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長(zhǎng)是多少厘米？解：設(shè)底面正方形鐵桶的底面邊長(zhǎng)為x，

則x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，

x=×=30．

答：鐵桶的底面邊長(zhǎng)是30厘米.

14、如圖所示的Rt△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開場(chǎng)沿BA邊以1厘米/秒的速度向點(diǎn)A挪動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q也從點(diǎn)B開場(chǎng)沿BC邊以2厘米/秒的速度向點(diǎn)C挪動(dòng)．問：幾秒后△PBQ的面積為35平方厘米？PQ的間隔是多少厘米？(結(jié)果用最簡(jiǎn)二次根式表示)15、探究過程：視察下列各式和其驗(yàn)證過程．

(1)2=

驗(yàn)證：2=×==

==

(2)3=

驗(yàn)證：3=×====

同理可得：4

5，……

通過上述探究你能揣測(cè)出：a=_______(a＞0)，并驗(yàn)證你的結(jié)論．

解：a=

驗(yàn)證：a=

===.

總結(jié)升華：解答此類問題的特點(diǎn)是根據(jù)題目給出的條件，找尋內(nèi)在聯(lián)絡(luò)和一般規(guī)律，然后猜測(cè)所求問題的結(jié)果，有利于進(jìn)步綜合分析實(shí)力.【變式1】對(duì)于題目“化簡(jiǎn)求值：+，其中a=”，甲、乙兩個(gè)學(xué)生的解答不同．甲的解答是：+=+=+－a=乙的解答是：+=+=+a－=a=誰(shuí)的解答是錯(cuò)誤的？為什么？跟蹤練習(xí)21.1二次根式：1.使式子有意義的條件是。2.當(dāng)時(shí)，有意義。3.若有意義，則的取值范圍是。4.當(dāng)時(shí)，是二次根式。5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：。6.若，則的取值范圍是。7.已知，則的取值范圍是。8.化簡(jiǎn)：的結(jié)果是。9.當(dāng)時(shí)，。10.把的根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)等于。11.使等式成立的條件是。12.若及互為相反數(shù)，則。13.在式子中，二次根式有（）A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)14.下列各式一定是二次根式的是（）A.B.C.D.15.若，則等于（）A.B.C.D.16.若，則（）A.B.C.D.17.若，則化簡(jiǎn)后為（）A.B.C.D.18.能使等式成立的的取值范圍是（）A.B.C.D.19.計(jì)算：的值是（）A.0B.C.D.或20.下面的推導(dǎo)中開場(chǎng)出錯(cuò)的步驟是（）A.B.C.D.21.若，求的值。22.當(dāng)取什么值時(shí)，代數(shù)式取值最小，并求出這個(gè)最小值。23.化簡(jiǎn)：（1）eq\r(,2700)；（2）eq\r(,202－162)；（3）eq\r(,\f(16,81))；（4）eq\r(,\f(8a2b,c2))．eq\f(\r(,20),5)；（6）eq\f(1,4)eq\r(,32a3b4)；（7）eq\r(,a4＋a2b2)；（8）eq\r(,\f(z2,54x2y))；21.2二次根式的乘除1.當(dāng)，時(shí)，。2.若和都是最簡(jiǎn)二次根式，則。3.計(jì)算：。4.計(jì)算：。5.長(zhǎng)方形的寬為，面積為，則長(zhǎng)方形的長(zhǎng)約為（準(zhǔn)確到0.01）。6.下列各式不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A.B.C.D.7.已知，化簡(jiǎn)二次根式的正確結(jié)果為（）A.B.C.D.8.對(duì)于全部實(shí)數(shù)，下列等式總能成立的是（）A.B.C.D.9.和的大小關(guān)系是（）A.B.C.