13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì) 人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)課件

第

十

三

章

軸

對(duì)

稱13.1.2

線段的垂直平分線的性質(zhì)第1課時(shí)線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定

某區(qū)政府為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購物中心，試問該購物中心應(yīng)

建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等?情境引入BC探

線段垂直平分線的性質(zhì)索如圖，直線l垂直平分線段AB,P,P,P,…

新知一量線段P?A,P?B,P?A,P?B,P?A,P?B請(qǐng)猜想點(diǎn)P,P,P,

…P?A

=

P?BP?A=P?BP?A=

P?B是l上的點(diǎn)，請(qǐng)你量的長，你能發(fā)現(xiàn)什么?到點(diǎn)A與點(diǎn)B

的距離之間的數(shù)量關(guān)系.命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等猜想：

點(diǎn)P,P?,P?,…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離分別相等.怎么證明這一結(jié)論呢?探索新知結(jié)求證：PA=PB.論

證明：∵L⊥AB·

∠PCA=∠PCB在△PCA和△PCB中，PC=PC∠PCA=∠PCBAC=CB·APCA2A

PCR(SAS)∴PA=PB已知：如圖，直線l⊥AB,垂足為C,AC=CB,

點(diǎn)P在l

上

.驗(yàn)

證解析：

∵DE垂直平分AB∴AD=BD∵△DBC的周長為BC+BD+CD=35cm∴BC+AD+CD=35cm∵AC=AD+DC=20cm∴BC=35-20=15(cm)方法歸納：

利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長.

典

例1

如圖，在△ABC中，AB=AC=20cm,DE

垂直平分AB,

垂足精

為E,

交AC于D,

若△DBC

的周長為35cm,

則BC的長為(C)

析A.5cmB.10cm

C.15cmD.17.5cm例CB2.如圖②所示，在△ABC中

，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交邊AC于點(diǎn)E,△BCE的周長等于18cm,則AC的長是10cm

練一練：1.如圖①所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5,

則線段PB

的長為(B)A.6

B.5

C.4

D.3精析典

例圖②例2

尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.作法：

(1)任意取一點(diǎn)K,

使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁.(3)分別以點(diǎn)(2)以點(diǎn)C

為圓心，

CK長為半徑作弧，

交

4B于

點(diǎn)D和

點(diǎn)ED和點(diǎn)E為圓心，大于∠DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.(4)作直線CF.直線CF

就是所求作的垂線.

典例精析想一想：精

(1)為什么任意取一點(diǎn)K,

使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線兩旁?的長為半徑作弧?(3)為什么直線CF

就是所求作的垂線?典例例3

已知：如圖，在△ABC

中，邊AB,BC求證：

PA=PB=PC.證明：”點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上.PA=PB同理

PB=PC∴PA=PB=PC的垂直平分線交于P典

例精析三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫外心歸納總結(jié)現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等嗎?探索新知PR

例4如圖，在四邊形ABCD

中，ADIBC,E為CD

的中點(diǎn)，連接

AE

、BE,BE⊥

AE,

延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.

求證：(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.在△ADE和△FCE中∠ADE=∠ECFDE=EC∠AED=∠CEF∴△ADE≌△FCE(ASA)∴FC=AD(2)∵△ADE≌△FCE∴AE=EF,AD=CFBE⊥AE∴BE是線段AF的垂直平分線證明：(1)∵ADIIBC

∴∠ADE=∠ECF∵E是CD的中點(diǎn)∴DE=EC

∴AB=BF=BC+CF”AD=CF∴AB=BC+ADC

FB∠PCA=∠PCBPC=PC∵.Rt△PCA≌Rt△PCB(HL)LⅡ

C∴AC

=

B

C

又

∵

P

C

⊥

A

B

∴點(diǎn)P在線段

AB的

垂

直

平分

線

上Seead證明：過點(diǎn)P

作AB的垂線PC,

垂足為點(diǎn)C.則∠PCA=∠PCB=90°在Rt△PCA和Rt△PCB

中，PA=PB那么點(diǎn)P

是否在線段AB

的垂直平分線上呢?的垂直平分線上.想一想：如果PA=PB,已知：如圖，

PA=PB.求證：點(diǎn)P

在線段ABPD

線段垂直平分線的判定人探索新知作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.應(yīng)用格式：PA=PB∴點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上線段垂直平分線的判定探索新知R

D探你能再找一些到線段AB

兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎?能找到多少

索

個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)?這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形?與A,B

的距離相等的點(diǎn)都在直線l

上，所以直線l

可以看成與A,B兩點(diǎn)的距離相等的所有點(diǎn)的集合.新知應(yīng)用格式：∵AB=AC,MB=MC∴直線AM

是線段BC

的垂直平分線這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.探索新知例5已知：如圖，點(diǎn)E

是∠AOB

的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,

垂足分別為C,D,連接CD.求證：

OE是CD

的垂直平分線證明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB∴DE=CE在△OED和Rt△OEC中，OE=OEDE=CE∴Rt△OED≌Rt△OEC(HL)∴DO=CO∴OE是CD的垂直平分線典例精析U例6已知：如圖，在△ABC

中

，AB,BC的垂直平分線相交于點(diǎn)O,連接OA,OB,OC.

求證：點(diǎn)O在AC的垂直平分線上.證明：

點(diǎn)O

在線段AB

的垂直平分線上·OA=OB同理OB=OC結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.∴OA=OC∴點(diǎn)O在AC的垂直平分線上典例精析R

DB.CD

垂直平分AB;C.AB

與CD互相垂直平分；D.CD

平分∠ACB.1.如圖所示，

AC=AD,BC=BD,A.AB

垂直平分CD;則下列說法正確的是(A)課堂練習(xí)2.在銳角三角形ABC

內(nèi)一點(diǎn)P,,滿足PA=PB=PC,則點(diǎn)P

是△ABC(

D

)A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)練習(xí)術(shù)堂術(shù)

3.已知線段AB,在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D

、E

、F,使DA=DB,EA=EFA=FB,

這樣的點(diǎn)的組合共有

無數(shù)

種.習(xí)4.下列說法：①若點(diǎn)P,E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA=EB,PA=PB;②若PA=PB,EA=EB,則直線PE

垂直平分線段AB;③若PA=PB,

則點(diǎn)P

必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；④若EA=EB,則經(jīng)過點(diǎn)E

的直線垂直平分線段AB.其中正確的有

(填序號(hào))

.日堂B,BE,AB+BC=16cm,則△BCE的周長是

16

cm.A

5.如圖，△ABC

中，AB=AC,AB

的垂直平分線交AC

于E,

連接6.已知：如圖，點(diǎn)C,D

是線段AB

外的兩點(diǎn)，且AC=BC,AD=BD,AB

與CD相交于點(diǎn)0.求證：AO=BO.證明：

∵AC=BC,AD=BD∴點(diǎn)C和點(diǎn)D在線段AB的垂直平分線上∴CD

為線段AB

的垂直平分線AO=BO課

堂練習(xí)7.如圖所示，在△ABC中

，AD平分∠BAC,DE⊥ABDF⊥AC于點(diǎn)F,試說明AD與EF的關(guān)系.解：AD垂直平分EF,理由如下：∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC∴DE=DF∵DE⊥AB,DF⊥AC∴∠AED=∠AFD=90°在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DFAD=AD∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)∴AE=AF又∵DE=DF∴A、D

均在線段EF

的垂直平分線上

B即：直線AD

垂直平分線段EF課堂練習(xí)于點(diǎn)E,解：(1)∵AB、CD互相垂直平分BE∴OC=OD,AO=OB且

A

C

=

B

C

=

A

D

=

B

D(

2

)

O

E

=

O

F

,

理由

如

下

：

在

△

A

O

C

和

△

A

O

D

中

，AC=ADAO=AOOC=OD∴△AOC≌△AOD(SSS)∴∠CAO=∠DAO又∵

O

E⊥

A

C

,

O

F⊥

A

D∴OE=OFFOD與CD

互相垂直平分，垂足為點(diǎn)O.兩邊的垂線段，試說明它們的大C8.如圖，在四邊形ADBC

中

，AB(1)找出圖中相等的線段；(2)OE