2022年北師大版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊第四章對數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù) 教學(xué)設(shè)計

第四章對數(shù)運(yùn)算與對數(shù)函數(shù)

4.1對數(shù)的概念...................................................................-1-

4.2對數(shù)的運(yùn)算...................................................................-4-

4.2.1對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).........................................................-4-

4.2.2換底公式................................................................-6-

4.3對數(shù)函數(shù)....................................................................-11-

4.3.1對數(shù)函數(shù)的概念.......................................................-11-

4.3.2對數(shù)函數(shù)y=log2%的圖象和性質(zhì)........................................-13-

4.3.3對數(shù)函數(shù)y=logox的圖象和性質(zhì)..........................................-19-

4.4指數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較......................................-22-

4.5信息技術(shù)支持的函數(shù)研究.....................................................-27-

4.1對數(shù)的概念

【教學(xué)目標(biāo)】

1.理解對數(shù)的概念。（重點(diǎn)）

2.掌握指數(shù)式與對數(shù)式的互化。（重點(diǎn)）

3.掌握對數(shù)的基本性質(zhì)。（難點(diǎn)）

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.對數(shù)的概念。

2.指數(shù)式與對數(shù)式的互化。

3.對數(shù)的基本性質(zhì)。

【教學(xué)過程】

一、基礎(chǔ)鋪墊

1.對數(shù)的定義

（1）對數(shù)的有關(guān)概念

（2）對數(shù)的底數(shù)a的取值范圍是。＞0,且存1.

2.對數(shù)的基本性質(zhì)與對數(shù)恒等式

對數(shù)恒等式小段N=竺

底數(shù)的對數(shù)等于1，即10gm=」_

對數(shù)的基本性質(zhì)1的對數(shù)等于。，即1。％1=Q

零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)

3.兩種常見對數(shù)

對數(shù)形式特點(diǎn)記法

一般對數(shù)以4(4>0,且存1)為底的對數(shù)1。迎V

自然對數(shù)以c為底的對數(shù)InTV

常用對數(shù)以］。為底的對數(shù)1gN

二、新知探究

1.指數(shù)式與對數(shù)式的互化

【例11將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式：

(1)2-7=恒；(2)33=27；(3)10

(4)logB2=-5；(5)lg0.001=-3；(6)lne=l.

2

［解］(l)log2氏=一7；(2)1。能27=3；(3)logio0.1=—1；(4)^-5=32；(5)10-3=0.001；

(6)e,=eo

【教師小結(jié)】

利用對數(shù)與指數(shù)間的互化關(guān)系時，要注意各字母位置的對應(yīng)關(guān)系，其中兩式中的底

數(shù)是相同的。

【跟蹤訓(xùn)練】

1.將下列指數(shù)式化為對數(shù)式，對數(shù)式化為指數(shù)式。

m

□35=243；□(；)=5.73；□log216=—4；

□In10=2.303.

［解］口1。83243=5；DloglS,73=〃”n(1}4=16;De23O3=IO.

2.對數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用

【例2】(1)求下列各式中工的值。

□logtzxz-i/Sj^+Zr—1)~1；

□10g2(10g3(10g4X))=0.

［解］(1)□由k)g(2x2-i)(3f+2x-l)=l得

<3X2+2X-1=2X2-1,

〈3f+2x-l>0,

解得x=-2.

由R)g2(k)g3(log4X))=0可得

log3(log4X)=1,故log4X=3,

所以X=43=64.

【教師小結(jié)】

(1)對數(shù)運(yùn)算時的常用性質(zhì)：lo&a=l,logj=0(a>0且好1)。

(2)使用對數(shù)的性質(zhì)時，有時需要將底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形后才能運(yùn)用；對于多重

對數(shù)符號的，可以先把內(nèi)層視為整體，逐層使用對數(shù)的性質(zhì)。

三、課堂總結(jié)

1.從三方面認(rèn)識對數(shù)式

(1)對數(shù)式lo&N可看作一種記號，只有在〃>0,〃向，20時才有意義。

(2)對數(shù)式1O&N也可以看作一種運(yùn)算，是在已知i=N求b的前提下提出的。

(3)logJV是一個數(shù)，是一種取對數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果仍是一個數(shù)，不可分開書寫，也不

可認(rèn)為是10ga與N的乘積。

2.loga1與logafl(a>0且a，l)的應(yīng)用

10助1=0與10須4=1這兩個結(jié)論常?；昂啞睘椤胺薄?，把0和1化為對數(shù)式的形式，

再根據(jù)對數(shù)的有關(guān)性質(zhì)求解問題C

3.對數(shù)恒等式具有的特征

(1)指數(shù)中含有對數(shù)形式。

(2)它們是同底的。

(3)其值為對數(shù)的真數(shù)。

四、課堂檢測

1.思考辨析

(1)零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)。()

(2)當(dāng)G>0,且存1時，logj=l.()

2

(3)log3(-2)=21og3(-2)o()

［答案］(1)4(2)x(3)x

\—2x

2.若log2§——0,則X—?

I-2x1—2x

-4［由k)g2—=0,得一^一=1，解得彳=-4.］

4.2對數(shù)的運(yùn)算

4.2.1對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。

2.理解對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)過程。

3.通過推導(dǎo)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的過程，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。

2.理解對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)推導(dǎo)過程。

【教學(xué)過程】

一、基礎(chǔ)鋪墊

對數(shù)與指數(shù)概念之間的聯(lián)系，決定了對數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算之間的密切相關(guān)性。

若〃>0,且存1,Q0,N>0,貝I」

(1)logJW)=1。。用+lo%N;

(2)lo口M=〃k>gaM〃□R)；

M

(3)】o(討=logqM-logJV。

二、新知探究

1.對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

【例】求下列算式的值。

321

210g32—log3互+log38+31og號。

32

［解］原式=log34—log30+log38—31og55

=log3(4x叁8)-3=log39-3=2-3=-1.

【教師小結(jié)】

對數(shù)的計算一般有兩種處理方法：一種是將式中真數(shù)的積、商、幕、方根運(yùn)用對數(shù)

的運(yùn)算法則將它們化為對數(shù)的和、差、積、商，然后化簡求值；二是將式中的對數(shù)的和、

差、積、商運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為真數(shù)的積、商、幕、方根，然后化簡求值。

2.對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

［探究問題］

(1)已知°=2他3,6=3*則b的大小關(guān)系是什么?

提示：Dlga=lg2,g3=lg31g2,lgZ>=lg3,g2=lg21g3.

□lga=lgZ>

□a=5.

(2)設(shè)2。=5"=〃?，且：+q=2,則機(jī)的值是什么？

提示：由2“=5'=〃7,取對數(shù)得Hg2=blg5=lgm,

□-愴2'Z,-lg5,又Z+廠2，

1gm~lgm，

l￡10_

口n愴加-2.

□lgm=2,

□/M=1O1=V10O

【例】已知x,y,zD(0,+8)且31=4>'=6;。

心工-L-I」

2yzx

［思路探究］令SruW'uGZn/W,通過取對數(shù)，把X,乃Z表示出來，再求解。

［解］令3、=乎=6］="，

則xlg3=y]g4=zlg6=lgm

1gm1gm1gm

口、=lg3'V=lg4'Z=lg6'

Il_Jlg6Ig3lg2l

zx1gm1gm1gm2y°

【教師小結(jié)】

取對數(shù)可以把乘方、開方、乘、除運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘、除、力口、減運(yùn)算，即取對數(shù)起到

把運(yùn)算降級的作用，便于運(yùn)算。

三、課堂檢測

1.(lg2)2+lg21g50+lg25=。

2[(lg2)2+lg21g50+lg25=lg2(lg2+lg50)+(lg5)2

=lg21g100+21g5

=21g2+21g5

=2(lg24-lg5)=21glO=2.]

2.計算：(1)31+10空啦;(2)log2(23x45)

[解]⑴31+log3啦=3x3k)g3娘=3x6=3啦；

353,013

(2)log2(2x4)=log2(2x2)=log22

=131og22

=13x1=13.

4.2.2換底公式

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過對數(shù)換底公式的推導(dǎo)，提升邏輯推理素養(yǎng)。

2.通過用對數(shù)換底公式進(jìn)行化簡求值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.能推導(dǎo)出對數(shù)的換底公式。（重點(diǎn)）

2.會用對數(shù)換底公式進(jìn)行化簡與求值。（難點(diǎn)、易混點(diǎn)）

【教學(xué)過程】

一、問題引入

換底公式：

1

Nlogb

logbN=~^；（a,b>0a,厚1,N>0）。特別地，k）助ZrlogA4=l，log/）a=——

I。國。t

思考：換底公式的作用是什么？

［提示］換底公式的主要作用是把不同底的對數(shù)化為同底的對數(shù)，再運(yùn)用對數(shù)的性

質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算。

二、新知探究

1.利用換底公式化簡求值

【例1】計算：log］62710g8132.

［思路探究］在兩個式子中，底數(shù)、真數(shù)都不相同，因而要用換底公式進(jìn)行換底以

便于計算求值。

「*1071一\271g321g331g2531g351g215

［解］Iogi6271og8i32-lg161g81-lg2<lg34—4愴241g3—16°

【教師小結(jié)】

（1）換底公式中的底可由條件決定，也可換為常用對數(shù)的底，一般來講，對數(shù)的

底越小越便于化簡，如。〃為底的換為。為底。

（2）換底公式的派生公式：lo&b=lo&cTo&b；

lo即力'"=qloga5.

2.用已知對數(shù)表示其他對數(shù)

【例2】已知logi89=a,18h=5,用a,b表示log3645.

［解］法一：因?yàn)閘ogi89=a,所以9=18"，

又5=18"

所以10g3645=10g2xi8（5x9）

=10g2xl818a+d

=（a+Z?）log2xi818.

又因?yàn)榻?18=bg』8x2二

_1_1

l+logi82?j18

l+logi8y

1+1-Iogis92-a

所以原式=皆。

法二：口18"=5,

□logi85=6,

.logi845Iogi8」5x9一

10g3645-logig36-logi3O4x9n

logi854-logi89_______0+:

21ogi82+logi8918

21ogi8^+logi89

________a+b______

2—21ogi89+logis9

a-\~b

2—a°

法三：口108189=。，18'>=5,

□1g9=alg18,1g5=Mg18,

ey1-9x5□

log3645-Jg2

Ig9+lg5Hg18+^g18

=21g18—lg9=21g18-alg18

_a±b

2—a°

【教師小結(jié)】

用已知對數(shù)的值表示所求對數(shù)的值，要注意以下幾點(diǎn)：

(1)增強(qiáng)目標(biāo)意識，合理地把所求向已知條件靠攏，巧妙代換；

(2)巧用換底公式，靈活"換底”是解決這種類型問題的關(guān)鍵；

(3)注意一些派生公式的使用。

3.對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

［探究問題］

(1)光線每通過一塊玻璃板，其強(qiáng)度要損失10%,把幾塊這樣的玻璃板重疊起來，

設(shè)光線原來的強(qiáng)度為a，通過x塊玻璃板以后的強(qiáng)度值為上試寫出》關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式。

提示：依題意得歹=。(1=〃(引，其中后1，xDNo

(2)探究1中的己知條件不變，求通過多少塊玻璃以后，光線強(qiáng)度減弱到原來強(qiáng)

度的3以下？(根據(jù)需要取用數(shù)據(jù)lg3ko.4771,1g2ko.3010)

提示：依題意得。(卷)

1

=>x(21g3-l)<-lg2=>X>1_^^^7p6.572,

□Xmin=7.

即通過7塊以上(包括7塊)的玻璃板后，光線強(qiáng)度減弱到原來強(qiáng)度的g以下。

【例3】某城市現(xiàn)有人口數(shù)為100萬，如果年自然增長率為1.2%,試解答下面

的問題。

(1)寫出該城市x年后的人口總數(shù)歹(萬人)與年數(shù)x(年)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)計算大約多少年以后，該城市人口將達(dá)到120萬？(精確到1年)(lg1.012-0.005

2,1g1.2=0.0792)

［思路探究］先利用指數(shù)函數(shù)知識列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用對數(shù)求值。

Y

［解］(1)由題意>=100(1+1.2%/=1001.012(xDN+)o

(2)由1001.012Y=120,得1.012v=1.2,

,,c1g1.20.0792-

□x=logi,0121.2=31012?0.0052M6，

故大約16年以后，該城市人口將達(dá)到120萬。

【教師小結(jié)】

解對數(shù)應(yīng)用題的步驟

三、課堂總結(jié)

1.換底公式可完成不同底數(shù)的對數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化，可正用，逆用；使用的關(guān)鍵是

恰當(dāng)選擇底數(shù)，換底的目的是利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行對數(shù)式的化簡。

2.運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)注意：

(1)在各對數(shù)有意義的前提下才能應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)。

(2)根據(jù)不同的問題選擇公式的正用或逆用。

(3)在運(yùn)算過程中避免出現(xiàn)以下錯誤：

□logaM=(lo&M"，□log?(MV)=logaM-lo劭M

匚logtfM±logaN=loga(MiN)。

四、課堂檢測

1.思考辨析

小1J1gbInb

(l)lo&b—］g〃一］n“。()

(2)砥2=高log不-32。()

(3)10^Z)10g6C=10grtC.()

[答案](1W(2)x(3W

2.若lg3=a,1g5=b,則logs3等于()

ha

A.-aB.xbC.aD.b

orllg3a

B[log53-lg5-^o]

3.Iog332-log227=

lg32Ig27_51g23lg3

15[Iog3321og227=-]

Ig31g2lg31g2

4.一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年剩留的質(zhì)量是原來的84%,

估計約經(jīng)過多少年，該物質(zhì)的剩留量是原來的一半。(結(jié)果保留1個有效數(shù)字)

［解］設(shè)最初的質(zhì)量是1,經(jīng)過x年，剩留量是乃則y與工的關(guān)系式為_y=0.84,

依題意得0.84'=0.5,化為對數(shù)式，得logo.840.5=x,由換底公式知x=器蓄，用科學(xué)

計算器計算得m3.98,即約經(jīng)過4年，該物質(zhì)的剩留量是原來的一半。

4.3對數(shù)函數(shù)

4.3.1對數(shù)函數(shù)的概念

【教學(xué)目標(biāo)】

通過對數(shù)函數(shù)的概念及反函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.理解對數(shù)函數(shù)的概念以及對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系。（重點(diǎn)）

2.了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，并會求指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的反函數(shù)。（難

點(diǎn)）

【教學(xué)過程】

一、基礎(chǔ)鋪墊

1.對數(shù)函數(shù)的定義

一般地，我們把函數(shù)＞=1。斷電＞0,存1）叫作對數(shù)函數(shù)，其中不是自變量,函數(shù)的

定義域是（0,+s）,值域是R,。叫作對數(shù)函數(shù)的底數(shù)。

2.兩類特殊的對數(shù)函數(shù)

常用對數(shù)函數(shù)：y=lgx,其底數(shù)為坨

自然對數(shù)函數(shù)：y=\nx,其底數(shù)為無理數(shù)生

3.反函數(shù)

閱讀教材P90從“分析理解”?P9廣練習(xí)”間的部分，完成下列問題。

指數(shù)函數(shù)、=爐（。＞0,存1）是對數(shù)函數(shù)v=logd3＞0,存1）的反函數(shù);同時，對數(shù)

函數(shù)丁=1。&%（。＞0,存1）也是指數(shù)函數(shù)存1）的反函數(shù),即同底的指數(shù)函數(shù)

與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。

二、新知探究

1.對數(shù)函數(shù)的概念

【例1】下列函數(shù)中，哪些是對數(shù)函數(shù)？

（1?=10&衽（4＞0,且存1）；

(2?=103+2；

(3?=81og2(x+l)；

(4?=logx6(x>0,且存1)；

(5?-log8：。

［解］(1)中真數(shù)不是自變量x,不是對數(shù)函數(shù)。

(2)中對數(shù)式后加2,所以不是對數(shù)函數(shù)。

(3)中真數(shù)為工+1,不是x,系數(shù)不為1,故不是對數(shù)函數(shù)。

(4)中底數(shù)是自變量x,而非菖,數(shù)，所以不是對數(shù)函數(shù)。

(5)中底數(shù)是6,真數(shù)為x,系數(shù)為1,符合對數(shù)函數(shù)的定義，故是對數(shù)函數(shù)。

【教師小結(jié)】

判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法

系整x對數(shù)符號前面的系數(shù)為1)—

jx對數(shù)的底數(shù)是不等于1的正的面

同時/對數(shù)

真￡>4對數(shù)的真數(shù)僅有自變量j-------

2.求函數(shù)的反函數(shù)

【例2】求下列函數(shù)的反函數(shù)。

(1)尸10'；(2?=副；

(3?=logjx；(4?=log2Xo

［解］⑴由y=10\得％=lgy,口其反函數(shù)為y=lgx；

(2)由尸勘，得x=k)g!”，□其反函數(shù)為y=log|x；

(3)由y=log|x,得□其反函數(shù)為y=(；)；

(4)由y=k)g2X,得工=2匕□其反函數(shù)為>=2九

【教師小結(jié)】反函數(shù)的求法：

(1)由□或歹=1。&4口，解得x=k>g?y□或工=^口；

(2)將x=lo&y□或x=/l□中的x與y互換位置，得y=log^□或y=/EI；

(3)由y=/□或y=log?x□的值域，寫出y=logax□或歹="□的定義域。

三、課堂總結(jié)

1.解與對數(shù)有關(guān)的問題，首先要保證在定義域范圍內(nèi)解題，即真數(shù)大于零，底數(shù)

大于零且不等于1,函數(shù)定義域的結(jié)果一定要寫成集合或區(qū)間的形式。

2.指數(shù)函數(shù)y=aYa>0且存I)與對數(shù)函數(shù)y=lo&x(a>0且存1)互為反函數(shù)，它們定

義域與值域相反，圖像關(guān)于直線對稱。

3.應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用。

四、課堂檢測

1.思考辨析

(1)函數(shù)歹=21og2X是對數(shù)函數(shù)。()

(3)對數(shù)函數(shù)丁=1。3在(0,+8)上是增函數(shù)。()

［答案］(l)x(2)x(3)4

2.函數(shù).及0=愴(2—3%)的定義域是______o

(—8，|)［由2—3Q0,得x<|,所以，.危)的定義域是(一00,|)。］

3.函數(shù)y=k>g5的反函數(shù)是o

y=(g)［由尸logjx,得所以，其反函數(shù)為尸(；)。］

4.3.2對數(shù)函數(shù)y=log2冗的圖象和性質(zhì)

指導(dǎo)思想與理論依據(jù)

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求教師幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，以及它們所

體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法。為未來的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

教師應(yīng)幫助學(xué)生理解和掌握基礎(chǔ)知識基本技能，發(fā)展能力。對一些核心概念和基本

思想要貫穿教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。

同時應(yīng)注重聯(lián)系，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)整體的認(rèn)識。

教學(xué)目標(biāo)

知識與技能：通過研究對數(shù)函數(shù)y=log2%的性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，理解反函數(shù)

的核心概念，能用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決應(yīng)用問題。

過程與方法：通過對數(shù)函數(shù)的研究進(jìn)一步掌握研究函數(shù)的一般方法，理解“換軸”的方

法，通過對對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系的研究，感受類比的研究方法。

情感態(tài)度與價值觀：在問題的研究過程中，感受問題的提出，分析，解決。培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)

算，邏輯推理，直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

教學(xué)重難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：

1.掌握對數(shù)函數(shù)y=log2%的性質(zhì)。

2.體會對數(shù)運(yùn)算對數(shù)函數(shù)，與指數(shù)運(yùn)算指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

教學(xué)難點(diǎn)：理解x,y軸交換的過程，與函數(shù)圖象的圖形變換關(guān)系。

教學(xué)過程

教學(xué)階時間安

教師活動學(xué)生活動設(shè)置意圖

段排

我們知道對

綜述前述課

數(shù)概念與對數(shù)運(yùn)

程，引領(lǐng)學(xué)生

算都是建立在指

縷清對數(shù)函

數(shù)概念指數(shù)運(yùn)算

數(shù)與指數(shù)函

的基礎(chǔ)上的，上節(jié)學(xué)生討論選取適合的研究對象，得

數(shù)之間的聯(lián)

引入課課的學(xué)習(xí)又使我

出選取y=log2x適合我們的研

系。為后面緊3分鐘

題們認(rèn)識到對數(shù)函究，因?yàn)樗詈啙崳脖容^具有代

密聯(lián)系指數(shù)

數(shù)與指數(shù)函數(shù)的表性。

函數(shù)的圖象

概念也有著密不

和性質(zhì)研究

可分的聯(lián)系，那么

對數(shù)函數(shù)作

今天我們在前述

鋪墊。

課程的基礎(chǔ)上研

究對數(shù)函數(shù)的圖

象和性質(zhì)。

我們的研究

需要一個具體的

研究對象,選取誰

來當(dāng)研究對象比

較好呢？

發(fā)現(xiàn)問

對函數(shù)提出問題一：選定有代表

y=log2x

題

的性質(zhì)，怎樣研究對數(shù)函數(shù)性的研究對分鐘

y=Iog2x2

提出問

大家有什么樣的的性質(zhì)？象，確定研究

題

問題？方法。

通常，當(dāng)我們答：運(yùn)用列表描點(diǎn)連線的方法畫出復(fù)習(xí)函數(shù)的

分析問

要研究?個函數(shù)函數(shù)圖象進(jìn)行研究，也可以考察函研究方法，引

題解決5分鐘

的性質(zhì)時，怎樣研數(shù)解析式或者所列表格中的數(shù)據(jù)導(dǎo)學(xué)生列表

問題

究？進(jìn)行研究。描點(diǎn)作圖

學(xué)生經(jīng)過思考回答：選取培養(yǎng)分析問

方法一:指導(dǎo)

11

再次發(fā)X1248?1口解決問題

學(xué)生列表42

現(xiàn)問題勺能力，同時

???-2-10123?

提問：表格中y

因?yàn)閷?shù)運(yùn)算是定義在指數(shù)i生一步加深5分鐘

的自變量怎樣取

運(yùn)算上的，所以取值時可以適當(dāng)變寸數(shù)運(yùn)算與

值，既科學(xué)又方

旨數(shù)運(yùn)算的

形為％=九這樣取值很方便的計

便？2

算出相應(yīng)的數(shù)值。1關(guān)系的認(rèn)識。

分析問培養(yǎng)學(xué)生分

根據(jù)列表數(shù)建立平面直角坐標(biāo)系，畫出函數(shù)圖

題解決析問題的能5分鐘

據(jù)畫出函數(shù)圖象象，分析對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

問題力

思考問題的可行性，想辦法建指對函數(shù)概

立指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的聯(lián)系。念是建立在

用如下步驟進(jìn)行聯(lián)系：指對運(yùn)算基

礎(chǔ)上的，通過

,指數(shù)指數(shù)運(yùn)算列

方法二：既然xy=2X表描點(diǎn)的過

3/

對數(shù)運(yùn)算與程給了我們

指數(shù)運(yùn)算有啟發(fā)，通過指

x

諸多聯(lián)系，而\數(shù)函數(shù)圖象

分析問

指對函數(shù)又X換個寫法輔助畫出對

題解決

是以指對運(yùn)x=log2y數(shù)函數(shù)圖象，

問題的

算為基礎(chǔ)的，研究函數(shù)性

能力

那么能否借質(zhì)。其中，理5分鐘

用指數(shù)函數(shù)解關(guān)于y=x直

的圖象研究y線對稱是本

對數(shù)函數(shù)的尊重習(xí)慣寫成自變量為X,函數(shù)值節(jié)課的難點(diǎn)，

性質(zhì)呢？引為V的形式y(tǒng)=log2x需要花時間

導(dǎo)學(xué)生思考讓學(xué)生體會。

如何把指數(shù)

函y=2%轉(zhuǎn)

化為y=

lOg2Xo尊重習(xí)慣寫成x軸為橫軸，V軸為

縱釉。此時兩個圖象的關(guān)系是關(guān)于

y=x

軸對稱。

引導(dǎo)學(xué)生總培養(yǎng)分析問

1指臉?biāo)?指―1

結(jié)指數(shù)概念題的能力發(fā)

I指敢呼K4II.運(yùn)算I1指網(wǎng)

與對數(shù)概念，展類比的思

|極小3||對藁算||晌

總結(jié)提指數(shù)運(yùn)算與想。

|"敷運(yùn)算與對數(shù)雨數(shù)|5分鐘

升對數(shù)運(yùn)算，指

數(shù)函數(shù)與對

數(shù)函數(shù)之間

的聯(lián)系。

例題1:比較下列應(yīng)用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決問培養(yǎng)分析問

各題中兩個數(shù)的題，進(jìn)一步體會對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。題、解決問題

大小：的能力。

1,log20.25,

log20.32,

1]

)og4.5'log3.5°

應(yīng)用練22

習(xí)例題2：求使不等

式log2X>5成立

的實(shí)數(shù)X的集合。

例題3：己知

log2(2x-l)=

-16)求

X的值。

培養(yǎng)學(xué)生發(fā)

引導(dǎo)學(xué)生總

現(xiàn)問題、提出

結(jié)指數(shù)概念與對

應(yīng)用課上討論總結(jié)的對數(shù)函問題、分析問

發(fā)散聯(lián)數(shù)概念、指數(shù)運(yùn)算

數(shù)的性質(zhì)結(jié)論解決比大小的問題題、解決問題10分

與對數(shù)運(yùn)算、指數(shù)

方法；應(yīng)用課上研討的方法研究函的能力，培養(yǎng)鐘

函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

數(shù)y=log^x的性質(zhì)?？茖W(xué)的思考

之間的聯(lián)系。2

方式。

4.3.3對數(shù)函數(shù)y=/og次的圖象和性質(zhì)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過對對數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

2.通過數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，提升直觀想象素養(yǎng)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.掌握對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

2.掌握對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用。

3.體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。

【教學(xué)過程】

一、基礎(chǔ)鋪墊

定義域：（0,+8）

值域生

圖像過定點(diǎn)（1,0）

性

質(zhì)

當(dāng)時,y20；當(dāng)先〉1時,y￡0；

當(dāng)0<久<1時,y<P當(dāng)0<+<1時療±_0

增區(qū)間：（0,+8）減區(qū)間：（0,+OC）

二、新知探究

1.利用對數(shù)函數(shù)比較大小

【例1】比較大?。?/p>

(l)logo.31.8,logo.32.7；

(2)log67,log76；

(3)log3H,log20.8；

(4)log712,logs12.

［思路探究］(1)底數(shù)相同，可利用單調(diào)性比較；(2)與1比較；(3)與0比較；(4)可結(jié)

合圖像比較大小。

［解］⑴考查對數(shù)函數(shù)尸logog

□0<0.3<l,

□它在(0,+8)上是減函數(shù)，

niogo.31-8>logo.32.7；

(2)□log67>log66=1,log76<log77=1,

□log67>log?6；

(3)□Iog37t>log31=0,Iog20.8<log21=0,

□Iog37c>!og20.8；

(4)法一：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=log7X與歹=log8X的圖像，由底數(shù)變化對圖像

位置的影響知：

log712>log812.

注一.一整121g12

-

法一:Dlog?!!—Iog812—ig7ig8

lgl2DIg8-lg7a

一ig71g8加

Dlog712>log812.

【教師小結(jié)】比較對數(shù)大小的思路：

(1)底數(shù)相同，真數(shù)不同的，可看作同一對數(shù)函數(shù)上的幾個函數(shù)值，用對數(shù)函數(shù)

的單調(diào)性比較大小；

(2)底數(shù)不同，真數(shù)相同的幾個數(shù)，可通過圖像比較大小，也可通過換底公式比

較大小;

(3)底數(shù)不相同，真數(shù)也不相同的幾個數(shù)，可通過特殊值來比較大小，常用的特

殊值是“0”或"1”。

2.對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用

【例2】己知函數(shù)y=log?a+b)(c>0,且存1)的圖像如圖所示。

(1)求實(shí)數(shù)。與人的值；

(2)函數(shù)歹=loga(x+b)與y=k)gaX的圖像有何關(guān)系？

［解］(1)由圖像可知，函數(shù)的圖像過點(diǎn)(一3,0)與點(diǎn)(0,2),所以得方程0=1。改(一

3+b)與2=logab,解得a=2,6=4.

(2)函數(shù)y=loga(x+4)的圖像可以由y=k)gax的圖像向左平移4個單位得到。

【教師小結(jié)】解決對數(shù)函數(shù)圖像問題的注意事項(xiàng)：

□(1)明確對數(shù)函數(shù)圖像的分布區(qū)域。對數(shù)函數(shù)的圖像在第一、四象限。當(dāng)x趨近

于。時，函數(shù)圖像會越來越靠近y軸，但永遠(yuǎn)不會與歹軸相交。

□(2)建立分類討論的思想。在畫對數(shù)函數(shù)圖像之前要先判斷對數(shù)的底數(shù)。的取值

范圍是心1,還是0q<l.

□(3)牢記特殊點(diǎn)。對數(shù)函數(shù)y=lo幽%口。>0,且存1□的圖像經(jīng)過點(diǎn)：口1,00,

□a,1□和(1-1)

三、課堂總結(jié)

比較兩個(或多個)對數(shù)的大小時，一看底數(shù)，底數(shù)相同的兩個對數(shù)可直接利用對數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性來比較大小，若“底”的范圍不明確，則需分兩種情況討論；二看真數(shù)，底

數(shù)不同但真數(shù)相同的兩個對數(shù)可借助于圖像，或應(yīng)用換底公式將其轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)來

比較大小；三找中間值，底數(shù)、真數(shù)均不相同的兩個對數(shù)可選擇適當(dāng)?shù)闹虚g值(如1或0

等)來比較。

四、課堂檢測

1.思考辨析

⑴對數(shù)函數(shù)y=k)goEa>0,且存1□在(0,十⑼上是增函數(shù)。()

(2)若logJlw<logn/2,則m<no()

(3)對數(shù)函數(shù)y=log2X與y=logU的圖像關(guān)于y軸對稱。()

2

［答案］⑴X(2)4(3)x

2.已知10&會1,則。的取值范圍是()

A.0<a<|B.a>^

C.Do0<t/<2?或Q>1

D［當(dāng)0<Q<1時，lo&gv1=log^a,□0q<；；

當(dāng)。>1時，k>g^vl=logaa,Da>l.

綜上得，Oqvg,或4>1.］

3.函數(shù)y=log2，一1)的遞增區(qū)間是o

(1,+oo)［由x2—1>0,得上>1,或xv—1.

令〃=/—1,則〃在(一8,—1)上遞減，在(1,+8)上遞增，又y=log2。是增函數(shù),

則yulogza2-1)的遞增區(qū)間是(1,+00)?］

4.4指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的比較

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過具體實(shí)例體會三類函數(shù)模型增長的差異，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

2.利用三類函數(shù)的圖像對比研究函數(shù)的增長快慢培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.結(jié)合實(shí)例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的意義,

理解它們增長的差異性。(重點(diǎn))

2.會利用指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像對比研究函數(shù)的增長快慢。(難點(diǎn))

【教學(xué)過程】

一、基礎(chǔ)鋪墊

(1)三種函數(shù)的增長趨勢

當(dāng)。>1時，指數(shù)函數(shù)1=上是增函數(shù),并且當(dāng)。越大時，其函數(shù)值的增長就越快。

當(dāng)a>\時，對數(shù)函數(shù)歹=k>軻是增函數(shù),并且當(dāng)a越小時，其函數(shù)值的增長就越快。

當(dāng)xX),時，幕函數(shù)、=/也是增函數(shù)，并且當(dāng)Q1時，〃越大，其函數(shù)值的增

長就越快。

思考1：在指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、察函數(shù)三類函數(shù)中，函數(shù)值增長最快的是哪個函

數(shù)？

［提示］指數(shù)函數(shù)

(2)三種函數(shù)的增長對比

對數(shù)函數(shù)y=k)&x(4>l)增長最慢,幕函數(shù)歹=V(心0),指數(shù)函數(shù)增長的

快慢交替出現(xiàn)，當(dāng)x足夠大時，一定有叁在12g或。

思考2：在區(qū)間(0,+oo)上，當(dāng)心1,心0時，是否總有成立？

［提示］不是，但總存在X0，使得當(dāng)4>1,心0,X>X0時，loga^yv0V成立。

二、新知探究

1.指數(shù)、對數(shù)、幕函數(shù)增長趨勢的比較

【例1】函數(shù)/(x)=2、和gC刈n%3的圖像如圖所示。設(shè)兩函數(shù)的圖像交于點(diǎn)43,

(1)請指出示意圖中曲線G,C2分別對應(yīng)哪一個函數(shù)；

(2)結(jié)合函數(shù)圖像，比較｛8),g(8),X2016),鼠2016)的大小。

［解］(1)G對應(yīng)的函數(shù)為ga)=x\Ci對應(yīng)的函數(shù)為兀r)=2,

(2)口。1)=1,義1)=2,g(2)=8,義2)=4,g⑼=729,加)=512,g(10)=l000,30)

=1024,

□人D>g(l)，火2)<以2),義9)<g(9),X10)>g(10)o

□1<XI<2,9<%2<10.□JCI<8<X2<2016.

從圖像上知，當(dāng)XlVx<V2時，/(X)Vg(X)；

當(dāng)X>X2時，/x)>g(x),且gfr)在(0,+8)上是增函數(shù)。

□X2016)>g(2016)>g(8)>A8)5

【教師小結(jié)】

(一)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的增長趨勢比較

y=a\a>l)y=\ogax(a>\)產(chǎn)?(心0)

性質(zhì)

在(0,+8)上的單調(diào)性遞增遞增遞增

增長的速度先慢后快先快后慢隨著〃值的不同而不同

隨X的增大越來隨X的增大逐漸

匡象的變化隨著n值的不同而不同

越陡變緩

(二)指數(shù)、幕、對數(shù)比較大小

(1)常用方法

單調(diào)性法、圖象法，中間搭橋法、作差(商)法。

(2)當(dāng)需要比較大小的兩個實(shí)數(shù)均是指數(shù)哥或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、

對數(shù)函數(shù)或幕函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較。

(3)比較多個數(shù)的大小時，先利用“0”和力”作為分界點(diǎn)，即先將它們分為“小于大

于等于0,小于等于1”，“大于「三部分，然后再在各部分內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小。

2.建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【例2】假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案

的回報如下：

方案一：每天回報40元；

方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；

方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。

請問，你會選擇哪種投資方案？

［思路探究］首先建立不同回報對應(yīng)的函數(shù)模型，結(jié)合其圖像解決問題。

［解］設(shè)第x天所得回報是3，元。

由題意，方案一：y=40(xDN+)；

方案二：y=10x(xDN+);

x-1

方案三：^=0.4x2(xDN+)o

作出三個函數(shù)的圖像如圖：

1

*

I40

120

100

80

60

40

20

由圖可以看出，從每天所得回報看，在第1天到第3天，方案一最多，在第4天,

方案一、二一樣多，方案三最少，在第5天到第8天，方案二最多，第9天開始，方案

三比其他兩個方案所得回報多得多，經(jīng)驗(yàn)證到第30天，所得回報己超過2億元，

□若是短期投資可選擇方案一或方案二，長期的投資則選擇方案三。

通過計算器計算列出三種方案的累積收入表。

*

1234567891011…

4080120160200240280320360400440…

二103060100150210280360450550660

三0.41.22.8612.425.250.81024P.281&8???

口投資1天到6天，應(yīng)選方案一，投資7天方案一、二均可，投資8天到10天應(yīng)選

方案二，投資11天及其以上，應(yīng)選方案三。

【教師小結(jié)】

解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是將應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題來解決，結(jié)合函數(shù)圖像有助于直

觀認(rèn)識函數(shù)間在不同范圍的大小關(guān)系。

三、課堂總結(jié)

三種函數(shù)模型的表達(dá)式及其增長特點(diǎn)的總結(jié)

(1)指數(shù)函數(shù)模型：表達(dá)式為/)=a"+c(a,b,c為常數(shù)，心0),當(dāng)6>1時，增長

特點(diǎn)是隨著自變量x的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快，常稱之為“指數(shù)爆炸”；當(dāng)

O<Z><1時，函數(shù)值由快到慢地減少。

(2)對數(shù)函數(shù)模型：表達(dá)式為+〃為常數(shù)，相>0),當(dāng)4>1時，

增長的特點(diǎn)是開始階段增長得較快，但隨著X的逐漸增大，其函數(shù)值變化得越來越慢,

常稱之為“蝸牛式增長當(dāng)時，相應(yīng)函數(shù)值逐漸減少，變化得越來越慢。

(3)募函數(shù)模型：表達(dá)式為b,。為常數(shù)，。邦，(z>0),其增長

情況由。和。的取值確定，常見的有二次函數(shù)模型。

四、課堂檢測