09幾何大題綜合-【黃金沖刺】考前10天中考數(shù)學(xué)極限滿分沖刺(浙江專用)原卷版+解析

09幾何大題綜合1．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）在中，，，D是邊上的中點(diǎn)，E是直線右側(cè)的一點(diǎn)，且，連接，過點(diǎn)D作的垂線交射線于點(diǎn)F．(1)點(diǎn)C到的距離為______；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在的外部時(shí)．①求證：；②如圖2，連接，當(dāng)時(shí)，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系；(3)若，請直接寫出的長．2．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）在矩形中，點(diǎn)E為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，將沿翻折，使點(diǎn)B恰好落在對角線上點(diǎn)F處，交于點(diǎn)G．①如圖1，若，求的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的長．(2)在②所得矩形中，將矩形沿進(jìn)行翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，求的長．3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，在矩形中，．對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對角線上，，連結(jié)．(1)求線段的長和的度數(shù)．(2)當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B處時(shí)，以為邊在右下方作等邊，連結(jié)．在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng)．如圖2，過點(diǎn)F作的平行線交于點(diǎn)H．若設(shè)線段長為x，線段長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)x的取值范圍．(3)若點(diǎn)F在直線上運(yùn)動(dòng)，以為邊作等邊．當(dāng)點(diǎn)G恰好落在矩形的邊上時(shí)，求的長．4．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知E是正方形邊上任意一點(diǎn)，(1)將沿翻折至，①如圖1，若F點(diǎn)恰好在對角線上，，求的長．②如圖2，若點(diǎn)E是中點(diǎn)，若，射線與邊交于點(diǎn)G，求四邊形的面積．(2)如圖3，點(diǎn)Q是邊上任意一點(diǎn)，記與的交于點(diǎn)H，射線與射線交于點(diǎn)P，求證：．5．（2023·浙江·模擬預(yù)測）點(diǎn)E、F分別為正方形邊、上一點(diǎn)，滿足，連結(jié)和．(1)求證：；(2)過點(diǎn)E作交于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)N．①判斷的形狀，并說明理由；②當(dāng)M在邊上時(shí)，設(shè)，和的面積分別是和，求證：6．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，在中，為上一點(diǎn)，連結(jié)，為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，，求證：．（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，在中，對角線、交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連結(jié)，，，若，，求的長．（3）【拓展提升】如圖3，在菱形中，對角線、交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連結(jié)、，，若，，求菱形的邊長．7．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）新定義：垂直于圖形的一邊且等分這個(gè)圖形面積的直線叫作圖形的等積垂分線，等積垂分線被該圖形截的線段叫做等積垂分線段．問題探究：(1)如圖1，等邊邊長為3，垂直于邊的等積垂分線段長度為______；(2)如圖2，在中，，，，求垂直于邊的等積垂分線段長度；(3)如圖3，在四邊形中，，，，求出它的等積垂分線段長．8．（2023·浙江寧波·校考一模）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖，在中，，分別在，上，，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，，分別在，，上，四邊形為平行四邊形，，，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，平行四邊形的周長為，，分別在，上，四邊形為平行四邊形，，，求EF的長．9．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）【問題初探】如圖1，是正方形的邊上一點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接，．求證：．（2）【問題再探】如圖2，，分別是正方形的邊，上一點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，線段，相交于點(diǎn)．連接，，，，若．①求證：．②探究和的面積關(guān)系，并說明理由．（3）【問題延伸】如圖3，在正方形中，，分別是射線，上一點(diǎn)，【問題再探】中的其余條件不變，請直接判斷和的面積關(guān)系是否仍成立．10．（2023·浙江杭州·杭州育才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，對角線和交與點(diǎn)O，點(diǎn)M在邊上，交對角線與點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)設(shè)；①若，，求的值；②若，求的值．11．（2023·浙江寧波·?？家荒＃?）特殊發(fā)現(xiàn)如圖1，正方形與正方形的頂點(diǎn)重合，、分別在、邊上，連接，則有：①

；

②直線與直線所夾的銳角等于度；（2）理解運(yùn)用將圖1中的正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，①

如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若、、三點(diǎn)在同一直線上，且過邊的中點(diǎn)，，直接寫出的長；（3）拓展延伸如圖4，點(diǎn)是正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長，與的延長線交于點(diǎn)，連接，若，則的值是否是定值？請說明理由．12．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）如圖1，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以1個(gè)單位每秒速度，沿線段運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出C發(fā)，以2個(gè)單位每秒速度，沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)請用含t的代數(shù)式表示線段的長．(2)如圖2，與交于點(diǎn)M，當(dāng)時(shí)，求與的面積之比．(3)在點(diǎn)P，Q的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，直線上是否存在點(diǎn)E，使以為直角邊的，與以點(diǎn)P，Q，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？若不存在，說明理由；若存在，求t的值．13．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）閱讀材料：如圖，在中，，分別是邊，的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過延長到點(diǎn)，使，連接，證明，再證四邊形是平行四邊形即得證．(1)類比遷移：如圖，是的中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖，延長至點(diǎn)，使，連接，…請根據(jù)小明的思路完成證明過程．(2)方法運(yùn)用：如圖，在等邊中，是射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），連接．把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．是線段的中點(diǎn)，連接，．①請你判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②若，，請直接寫出的長．14．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，交于點(diǎn)，求證∶．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在矩形中，是上的一點(diǎn)，作交于點(diǎn)，，若，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，菱形的邊長為為上的一點(diǎn)，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，求的長．15．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，對角線，相交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（）得到.(1)求的面積.(2)旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在α使得與的面積相等？若存在，求出α的值，若不存在，請說明理由.(3)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求的長.16．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形，E為對角線上一點(diǎn)．[建立模型]（1）如圖1，連結(jié)．求證：．[模型應(yīng)用]（2）如圖2，F(xiàn)是DE延長線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)G．①判斷的形狀，并說明理由．②若G為的中點(diǎn)，且，求的長．[模型遷移]（3）F是延長線上一點(diǎn)，，交射線于點(diǎn)G，且，．求的值．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．17．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）[證明體驗(yàn)]如圖1，在中，D為邊上一點(diǎn)，連接，若，求證：．（2）在中，，，D為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，E為中點(diǎn)，連接．①[思考探究]如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長．②[拓展延伸]如圖3，當(dāng)時(shí)，求的長．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形的中位線，證明三角形相似．18．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，是銳角中邊上的高，將沿所在的直線翻折得到，將沿所在的直線翻折得到，延長相交于點(diǎn)P．(1)如圖1，若，求證：四邊形為正方形；(2)如圖2，若，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖3，連結(jié)，分別交于點(diǎn)G、H，連結(jié)交于點(diǎn)M，若，①求_________度；②若，求的面積．19．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)、．將四邊形繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度得到四邊形，此時(shí)直線、直線分別與直線相交于點(diǎn)P、Q．(1)四邊形的形狀是，當(dāng)時(shí)，的值是；(2)①如圖2，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在y軸正半軸上時(shí)，求的值；②如圖3，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在直線上時(shí)，求的面積；(3)在四邊形旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使得，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．20．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1，四邊形中，平分，．求證：；【遷移運(yùn)用】(2)如圖2，在（1）的條件下，取的中點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F，若，，求的長；【解決問題】(3)如圖3，四邊形中，，，在上取點(diǎn)E，使得，恰有．若，，求四邊形的面積．21．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）正方形的邊長為8，點(diǎn)E是其邊上的一點(diǎn)，以為對角線作矩形（點(diǎn)A、H、E、G按順時(shí)針排列），且．(1)如圖1，若與交于點(diǎn)M，當(dāng)時(shí)，求證：平分；(2)當(dāng)點(diǎn)G落在正方形的邊上時(shí)，求的長；(3)當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，求的最大值．22．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，．點(diǎn)D是直線上一動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)D作，滿足點(diǎn)E在上方，，以、為鄰邊作．(1)求的長以及點(diǎn)C到的距離；(2)設(shè)線段與邊交于點(diǎn)M，線段與邊交于點(diǎn)N．當(dāng)時(shí)，求的長；(3)連接，沿直線分割，當(dāng)分割的兩部分可以拼成一個(gè)不重疊無縫隙的三角形時(shí)，求的長．23．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖1，在矩形中，，．，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，是射線上一點(diǎn)，，設(shè)，．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)中有一條邊與垂直時(shí)，求的長．(3)如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F．連結(jié)，以，為邊作平行四邊形．①當(dāng)所在直線經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，求平行四邊形的面積；②當(dāng)點(diǎn)G在的內(nèi)部（不含邊界）時(shí)，直接寫出x的取值范圍．24．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖1，在正方形紙片中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．將沿折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連結(jié)．(1)求證：．(2)如圖2，延長交于點(diǎn)G，求的值．(3)如圖3，將沿折疊，此時(shí)點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)H恰好落在上．若記和重疊部分的面積為，正方形的面積為，求的值．25．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)O為數(shù)軸上的原點(diǎn)，在數(shù)軸正半軸上取一點(diǎn)A，以為邊在數(shù)軸上方作一正方形，點(diǎn)D為對角線上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)O，B重合），作交數(shù)軸于點(diǎn)E，作的角平分線交邊于點(diǎn)F．(1)若，求度數(shù)；(2)若，求度數(shù)和的值；(3)若，直接寫出的值（用含n的代數(shù)式表示）．09幾何大題綜合1．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）在中，，，D是邊上的中點(diǎn)，E是直線右側(cè)的一點(diǎn)，且，連接，過點(diǎn)D作的垂線交射線于點(diǎn)F．(1)點(diǎn)C到的距離為______；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在的外部時(shí)．①求證：；②如圖2，連接，當(dāng)時(shí)，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系；(3)若，請直接寫出的長．【答案】(1)(2)①見解析，②(3)或【分析】（1）連，直接求的長即可；（2）①設(shè)交于點(diǎn)，證明即可；②延長和交于點(diǎn)，連接，根據(jù)手拉手模型證明，，可得，，再根據(jù)等腰三角形三線合一可得．（3）分E在上方和E在下方兩種情況，分別求得即可求出的長．【詳解】（1）解：連接，∵在中，，，D是邊上的中點(diǎn)，∴，，∴點(diǎn)C到的距離為，故答案為：；（2）解：①設(shè)交于點(diǎn)，∵，∴，∵，，∴，∵過點(diǎn)D作的垂線交射線于點(diǎn)F，∴，∴，∴，∴；②延長和交于點(diǎn)，連接，∵，，，∴，都是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如圖，當(dāng)E在上方時(shí)，過D作于H，∵，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴；如圖，當(dāng)E在下方時(shí)，同理，，，則，綜上，或．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)定義等知識(shí)，屬于中考?jí)狠S題，綜合性強(qiáng)，難度大，對學(xué)生要求很高；解題關(guān)鍵是熟練利用“手拉手模型”合理添加輔助線構(gòu)造全等三角形．2．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）在矩形中，點(diǎn)E為射線上一動(dòng)點(diǎn)，連接．(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊上時(shí)，將沿翻折，使點(diǎn)B恰好落在對角線上點(diǎn)F處，交于點(diǎn)G．①如圖1，若，求的度數(shù)；②如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的長．(2)在②所得矩形中，將矩形沿進(jìn)行翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，求的長．【答案】(1)①；②；(2)或．【分析】（1）①由矩形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)定義得，再由折疊的性質(zhì)得，則是等邊三角形，即可得出結(jié)論；②由折疊的性質(zhì)得，，則，再證，即可解決問題；（2）分兩種情況，a、證，得，再由勾股定理得，即可解決問題；b、證，得，再由勾股定理等，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴由折疊的性質(zhì)得：，∴是等邊三角形，∴，∴；②由折疊的性質(zhì)得：，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：（負(fù)值已舍去），即的長為；（2）當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，分兩種情況：a、如圖3，由②可知，，∵四邊形是矩形，∴，，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∴，∴，∴，∴，∴；b、如圖4，由折疊的性質(zhì)得：，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴；綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)定義、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，在矩形中，．對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在對角線上，，連結(jié)．(1)求線段的長和的度數(shù)．(2)當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)B處時(shí)，以為邊在右下方作等邊，連結(jié)．在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng)．如圖2，過點(diǎn)F作的平行線交于點(diǎn)H．若設(shè)線段長為x，線段長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)x的取值范圍．(3)若點(diǎn)F在直線上運(yùn)動(dòng)，以為邊作等邊．當(dāng)點(diǎn)G恰好落在矩形的邊上時(shí)，求的長．【答案】(1)(2)(3)，19，，【分析】（1）由勾股定理求得長，結(jié)合已知和矩形的性質(zhì)可求得的長，進(jìn)而可證得為等邊三角形，即可得出的度數(shù)；（2）分類進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)G重合，求得，當(dāng)點(diǎn)G在線段下方時(shí)，即時(shí)，利用三角形相似和全等得出，當(dāng)點(diǎn)G在線段上方時(shí)，即時(shí)，同理可求出；（3）分別討論G點(diǎn)在不同的邊上時(shí)的情況，①點(diǎn)G在邊上時(shí)，②點(diǎn)G在邊上時(shí)，③點(diǎn)G在邊上時(shí)，④點(diǎn)G在邊上時(shí)，利用三角形的全等和勾股定理即可得到答案．【詳解】（1）在中，，∴∵四邊形是矩形，∴∵，∴，∴∵，∴是等邊三角形，∴（2）當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)G重合，如圖1，即當(dāng)點(diǎn)G在線段下方時(shí)，即時(shí)，如圖2∵，∴，∴也是等邊三角形∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴

當(dāng)點(diǎn)G在線段上方時(shí)，即時(shí)，如圖3同理可得，∴，∴，∴，∴（3）當(dāng)點(diǎn)F在的延長線和反向延長線上時(shí)，不存在符合條件的，所以點(diǎn)F在線段上①如圖4，點(diǎn)G在邊上時(shí)易證，∴，∴過點(diǎn)E作于點(diǎn)M在中，∴在中，，∴

②如圖5，點(diǎn)G在邊上時(shí)由（2）中得∵，∴，易得過點(diǎn)E作的延長線于點(diǎn)M在中，∴在中，，∴③如圖6，點(diǎn)G在邊上時(shí)過點(diǎn)E作于點(diǎn)M在中，∴在中，，∴法二：∵，即，此時(shí)，得，∴過點(diǎn)E作于點(diǎn)N，如圖7在中，∴在中，，∴④如圖8，點(diǎn)G在邊上時(shí)過點(diǎn)E作分別交于點(diǎn)J，I并連結(jié)易證，∴在中，，∴在中，，，∴在中，，∴綜上所述，，19，，2【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，熟練掌握其性質(zhì)，對各種情況合理分類討論是解決此問題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知E是正方形邊上任意一點(diǎn)，(1)將沿翻折至，①如圖1，若F點(diǎn)恰好在對角線上，，求的長．②如圖2，若點(diǎn)E是中點(diǎn)，若，射線與邊交于點(diǎn)G，求四邊形的面積．(2)如圖3，點(diǎn)Q是邊上任意一點(diǎn)，記與的交于點(diǎn)H，射線與射線交于點(diǎn)P，求證：．【答案】(1)①；②1(2)見解析【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)可得，設(shè)，根據(jù)折疊的性質(zhì)表示出，再利用特殊角解直角三角形即可；②分別延長，交于點(diǎn)M，根據(jù)正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及三角形的面積公式可求出，設(shè)，則，，利用勾股定理建立方程，求出，再根據(jù)四邊形的面積求解即可；（2）設(shè)，則，可得，根據(jù)正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】（1）①∵四邊形是正方形，∴，設(shè)，∵，∴，∵將沿翻折至，∴，∴，∴，即，解得，即；②分別延長，交于點(diǎn)M，∵四邊形是正方形，∴，∴∵點(diǎn)E是中點(diǎn)，∴，∴，，解得，∴，∵將沿翻折至，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，∴四邊形的面積；（2）設(shè)，則，∴，∵∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，折疊的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·模擬預(yù)測）點(diǎn)E、F分別為正方形邊、上一點(diǎn)，滿足，連結(jié)和．(1)求證：；(2)過點(diǎn)E作交于點(diǎn)M，垂足為點(diǎn)N．①判斷的形狀，并說明理由；②當(dāng)M在邊上時(shí)，設(shè)，和的面積分別是和，求證：【答案】(1)證明見解析(2)①等腰三角形；證明見解析；②證明見解析．【分析】（1）先證明，，結(jié)合可得結(jié)論；（2）①如圖，過作于，則，四邊形為矩形，可得，證明，可得，從而可得結(jié)論；②為等腰三角形，，則，而，可得，可得，即，證明，可得，而，可得，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵正方形，∴，，∵，∴．（2）①如圖，過作于，∴，四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴為等腰三角形．②∵為等腰三角形，，∴，而，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用以上知識(shí)解題是關(guān)鍵．6．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，在中，為上一點(diǎn)，連結(jié)，為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，，求證：．（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，在中，對角線、交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連結(jié)，，，若，，求的長．（3）【拓展提升】如圖3，在菱形中，對角線、交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連結(jié)、，，若，，求菱形的邊長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）菱形的邊長為【分析】（1）根據(jù)得出，，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得出，結(jié)合已知條件，即可證明；（2）證明，設(shè)，則．得出，則；（3）延長，，交于點(diǎn)．設(shè)，，則．證明，得出，由（）得，．得出，即可求解．【詳解】（1）解：，．．．（2）在平行四邊形中，，．．．，．，設(shè)，則．．解得，（舍去）．．（3）延長，，交于點(diǎn)．，設(shè)，，則．在平行四邊形中，，為的中點(diǎn)，，，．，即．．為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，．．，由（）得，．，即，，．，即菱形的邊長為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）新定義：垂直于圖形的一邊且等分這個(gè)圖形面積的直線叫作圖形的等積垂分線，等積垂分線被該圖形截的線段叫做等積垂分線段．問題探究：(1)如圖1，等邊邊長為3，垂直于邊的等積垂分線段長度為______；(2)如圖2，在中，，，，求垂直于邊的等積垂分線段長度；(3)如圖3，在四邊形中，，，，求出它的等積垂分線段長．【答案】(1)(2)邊的等級(jí)垂分線段的長度為(3)四邊形的一條等積垂分線段的長為【分析】（1）過點(diǎn)A作，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求解即可．（2）線段EF是垂直于BC邊的等積垂分線段，設(shè)，作，構(gòu)建方程即可得到答案．（3）分兩種情況，作，設(shè)或作，設(shè)，構(gòu)建方程即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示為垂直于邊的等積垂分線，∵是等邊三角形，，∴，∴，（2）解：如圖2中，線段是垂直于邊的等級(jí)垂分線段，設(shè)．作于．在中，∵，，，∴，，∵，∴，由題意：，∴，解得或（舍棄），∴邊的等積垂分線段的長度為．（3）①如圖3-1中，當(dāng)線段是等積垂分線段時(shí)，設(shè)交于．作于．設(shè)．在中，∵，，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，由，可得，，∴，∵四邊形的面積＝四邊形的面積，的面積＝的面積，∴的面積＝的面積，∴，解法（負(fù)根已經(jīng)舍棄），∴．②如圖3-2中，當(dāng)線段是等積垂分線段時(shí)，設(shè)交于．作于．設(shè)，則，．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴由的面積＝的面積，∴，解得（負(fù)根已經(jīng)舍棄），∴．綜上所述，四邊形的一條等積垂分線段的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，學(xué)會(huì)用分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵．8．（2023·浙江寧波·?？家荒＃净A(chǔ)鞏固】（1）如圖，在中，，分別在，上，，求證：．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，，，分別在，，上，四邊形為平行四邊形，，，，求的長．【拓展提高】（3）如圖3，平行四邊形的周長為，，分別在，上，四邊形為平行四邊形，，，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)已知條件，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，證明，，結(jié)合（1）的結(jié)論代入數(shù)據(jù)即可求解；（3）延長，交于，，由（2）得：，設(shè)，，，，由（1）得：，故，進(jìn)而得出，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∴（2）∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，，∴設(shè)，∵，∵，∴，由（1）得：，∴，解得：（負(fù)值舍去），∴．（3）如圖，延長，交于，∵，四邊形是平行四邊形，由（2）得：，，∴，設(shè)，，，，∵，由（1）得：，則，則故，即∵，∴，∴，∵，∴，即，又，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）【問題初探】如圖1，是正方形的邊上一點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連接，．求證：．（2）【問題再探】如圖2，，分別是正方形的邊，上一點(diǎn)，分別過點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，線段，相交于點(diǎn)．連接，，，，若．①求證：．②探究和的面積關(guān)系，并說明理由．（3）【問題延伸】如圖3，在正方形中，，分別是射線，上一點(diǎn)，【問題再探】中的其余條件不變，請直接判斷和的面積關(guān)系是否仍成立．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②，見解析；（3）成立【分析】（1）【問題初探】根據(jù)正方形的性質(zhì)直接運(yùn)用證明全等即可；（2）【問題再探】①根據(jù)第一小問的思路，延長至點(diǎn)，使，連接，證得，得到，，再結(jié)合正方形的性質(zhì)以及已知條件證得，即可得到，從而證得結(jié)論；②通過設(shè)，，，，根據(jù)正方形的基本性質(zhì)建立方程求出其基本關(guān)系，然后分別表示和的面積，從而求出數(shù)量關(guān)系即可；（3）【問題延伸】仿照第二問的求解過程，先證得全等三角形，并結(jié)合全等三角形的性質(zhì)設(shè)未知數(shù)，然后列方程求解即可．【詳解】解：（1）【問題初探】∵四邊形為正方形，∴，，∴．在和中，∵∴．（2）【問題再探】①如答圖，延長至點(diǎn)，使，連接．由（1），得，∴，．∵在正方形中，，，∴，∴．在和中，∵∴，∴．又∵，∴．②，理由如下：設(shè)，，，．則由①，得，兩邊平方，得由②，得聯(lián)立③④，得．又∵，，∴；（3）【問題延伸】仍成立，理由如下：如圖，延長至點(diǎn)，使，連接，同（2）可證，以及，∴，設(shè)，，，，∴，則，由①，得，兩邊平方，得由②，得聯(lián)立③④，得．又∵，，∴；【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及正方形的基本性質(zhì)等，掌握“半角”模型并熟練運(yùn)用其證得基本的全等三角形，靈活運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算證明是解題關(guān)鍵．10．（2023·浙江杭州·杭州育才中學(xué)校考一模）如圖，在矩形中，對角線和交與點(diǎn)O，點(diǎn)M在邊上，交對角線與點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)設(shè)；①若，，求的值；②若，求的值．【答案】(1)見解析(2)①，②【分析】（1）利用矩形對角線相等可得，利用可得，即可證明；（2）①由即可求出；②由可得，得到，再證明，得到，即可得到，最后根據(jù)求解即可．【詳解】（1）∵矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①∵，∴，∵，∴，∴，即，解得；②連接，∵，∴，∴，∴，∵∴，∴∴，∴，∴，，∵，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識(shí)，根據(jù)平行線得到是解題的關(guān)鍵．11．（2023·浙江寧波·校考一模）（1）特殊發(fā)現(xiàn)如圖1，正方形與正方形的頂點(diǎn)重合，、分別在、邊上，連接，則有：①

；

②直線與直線所夾的銳角等于度；（2）理解運(yùn)用將圖1中的正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，①

如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，若、、三點(diǎn)在同一直線上，且過邊的中點(diǎn)，，直接寫出的長；（3）拓展延伸如圖4，點(diǎn)是正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長，與的延長線交于點(diǎn)，連接，若，則的值是否是定值？請說明理由．【答案】（1）①；②；（2）①（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見解析；②；（3）的值是定值，定值為，理由見解析【分析】（1）①連接，利用正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到；②連接利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①連接，利用正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可；②連接，利用正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)即勾股定理即可得到；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，與交于點(diǎn)，利用折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性，等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：①連接，如圖，∵四邊形和四邊形和四邊形是正方形，∴，∴三點(diǎn)在一條直線上，∵，，∴和為等腰直角三角形，∴，，∴，∴；②∵三點(diǎn)在一條直線上，，∴直線和直線所夾的銳角等于，故答案為：；（2）①（1）中的結(jié)論仍然成立，理由如下：連接，，如圖，∵四邊形和四邊形為正方形，∴，，∴和為等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴；延長，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴，∴，即直線與直線所夾的銳角等于，∴（1）中的結(jié)論仍然成立；②如圖，連接，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∵邊的中點(diǎn)為，∴，∴在和中，，∴，∴，∴，∴；故答案為：．（3）的值是定值，定值為3，理由如下：過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，與交于點(diǎn)，如圖，∵四邊形為正方形，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，，，．∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，，∴．由（2）①的結(jié)論可得：，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的值是定值，定值為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）如圖1，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以1個(gè)單位每秒速度，沿線段運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出C發(fā)，以2個(gè)單位每秒速度，沿射線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)請用含t的代數(shù)式表示線段的長．(2)如圖2，與交于點(diǎn)M，當(dāng)時(shí)，求與的面積之比．(3)在點(diǎn)P，Q的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，直線上是否存在點(diǎn)E，使以為直角邊的，與以點(diǎn)P，Q，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似？若不存在，說明理由；若存在，求t的值．【答案】(1)或；(2)(3)或或．【分析】（1）分兩種情況：當(dāng)在上時(shí)，，當(dāng)在的延長線上時(shí)，；（2）如圖，過作于，過作于，證明，，，可得，則，同理可得：，由，可得，解得：，可得，，再利用面積公式計(jì)算即可；（3）由以為直角邊的，與以點(diǎn)P，Q，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，分根據(jù)分兩種情況：當(dāng)在上，當(dāng)在的延長線上，再畫出圖形求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)在上時(shí)，，當(dāng)在的延長線上時(shí)，；（2）如圖，過作于，過作于，∵矩形中，，，∴，，，∴，則，同理可得：，∵，∴，解得：，∴，，∴與的面積之比為：；（3）∵以為直角邊的，與以點(diǎn)P，Q，C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形相似，∴，∴當(dāng)，則，∴，此時(shí)四邊形為矩形，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，∴，，此時(shí)，∵，∴，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；如圖，當(dāng)時(shí)，∴∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得：；而，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；舍去；當(dāng)，重合，，重合，滿足，此時(shí)此時(shí)，綜上：或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．13．（2023·浙江溫州·模擬預(yù)測）閱讀材料：如圖，在中，，分別是邊，的中點(diǎn)，小明在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，通過延長到點(diǎn)，使，連接，證明，再證四邊形是平行四邊形即得證．(1)類比遷移：如圖，是的中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，求證：．小明發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖，延長至點(diǎn)，使，連接，…請根據(jù)小明的思路完成證明過程．(2)方法運(yùn)用：如圖，在等邊中，是射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），連接．把線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．是線段的中點(diǎn)，連接，．①請你判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；②若，，請直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)①，見解析；②2或4【分析】（1）延長至，使，連接，證明（），由全等三角形的性質(zhì)可得出，，則可得出結(jié)論；（2）①延長至點(diǎn)，使，連接、，先證（），得，，則，再證（），得，，然后證是等邊三角形，即可得出結(jié)論；②分兩種情況，當(dāng)為的中位線時(shí)，，可求出答案；當(dāng)不是的中位線時(shí)，連接，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明（），得出，則可得出答案．【詳解】（1）證明：延長至，使，連接，在和中，，∴（），∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①解：線段與的數(shù)量關(guān)系為：，證明如下：延長至點(diǎn)，使，連接、，如圖所示：∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∵線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∴是等邊三角形，∴；②解：的長為或．當(dāng)為的中位線時(shí)，，∴為的中點(diǎn)，∴，∴，如圖，當(dāng)不是的中位線時(shí)，連接，取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵為等腰三角形，，∴，∴，，∵，∴，∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，∴，∴，，∴，，∵，∴（），∴，∴，即，∴，即，綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理的證明、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，于點(diǎn)B，于點(diǎn)C，交于點(diǎn)，求證∶．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在矩形中，是上的一點(diǎn)，作交于點(diǎn)，，若，求的值．【拓展提高】（3）如圖3，菱形的邊長為為上的一點(diǎn)，作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，求的長．【答案】（1）見解析（2）（3）【分析】（1）證明即可得出結(jié)論；（2）先證明，得，再設(shè)，則，，即，解之即可求出x值，再把x值代入比例式中即可求解；（3）連接交于M，交于O，根據(jù)菱形性質(zhì)和解直角，求得，，再證明，得，從而得，繼而求得，然后證明，得到，則，即可求得，，從而求得，則可求得，，，證明得，即，則，最后由求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴；（2）∵矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，解得：，（不符合題意，舍去），∴；（3）連接交于M，交于O，∵菱形，∴，∴，∴，設(shè)，，由勾股定理，得，解得：，∴，，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵菱形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，即，∴，∴，，∵菱形，∴，∴，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，屬四邊形綜合題目，難度較大，為中考?jí)狠S題目．15．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，對角線，相交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（）得到.(1)求的面積.(2)旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在α使得與的面積相等？若存在，求出α的值，若不存在，請說明理由.(3)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)所在直線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，求的長.【答案】(1)4(2)存在，或(3)或【分析】（1）由題意易得，，，然后問題可求解；（2）由題意可分當(dāng)在上方時(shí)和當(dāng)在下方時(shí)，然后分類求解即可；（3）由題意可分當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)和如圖3，當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：在矩形中，，∵E為的中點(diǎn)，∴，，，∴；（2）解：存在，理由如下：當(dāng)時(shí)，則有，①如圖1，當(dāng)在上方時(shí)，

∵，，∴即；②如圖2，當(dāng)在下方時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)C重合，∴；綜上所述，α的值為或；（3）解：①如圖2，當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，∵，，∴，又∵，，∴；②如圖3，當(dāng)射線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，記與的交點(diǎn)為F，作于點(diǎn)G.∵，在和中，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴∴，設(shè)，則，可列方程，解得，∴，∵，∴，由得，∴；綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、勾股定理旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．16．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形，E為對角線上一點(diǎn)．[建立模型]（1）如圖1，連結(jié)．求證：．[模型應(yīng)用]（2）如圖2，F(xiàn)是DE延長線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)G．①判斷的形狀，并說明理由．②若G為的中點(diǎn)，且，求的長．[模型遷移]（3）F是延長線上一點(diǎn)，，交射線于點(diǎn)G，且，．求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）①等腰三角形，理由見解析；②；（3）【分析】（1）證明，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）①由，可得，則，由，可得，即，進(jìn)而可判斷的形狀；②如圖2，過作于，過作的延長線于，，，，，由，可得，求的值，在中，由勾股定理得，求解即可；（3）解：如圖3，連接交于，過作于，由題意，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，則，由菱形的性質(zhì)得，，，由，，可得，即，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得，則，由，求解得的值，由求的值，根據(jù)求的值，進(jìn)而可得的值．【詳解】（1）證明：由菱形的性質(zhì)可知，，，在和中，∵，∴，∴；（2）①∵，，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．②如圖2，過作于，過作的延長線于，由題意知，，，∴，，，∴，∵是等腰三角形，∴，∴，∵，∴，解得，在中，由勾股定理得，∴的長為；（3）解：如圖3，連接交于，過作于，由題意，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，由菱形的性質(zhì)得，，，∵，，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得，即，∵，即，解得，∵，

∴，∴，∴，，∴，∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正切，余弦，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．17．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）[證明體驗(yàn)]如圖1，在中，D為邊上一點(diǎn)，連接，若，求證：．（2）在中，，，D為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，E為中點(diǎn)，連接．①[思考探究]如圖2，當(dāng)時(shí)，求的長．②[拓展延伸]如圖3，當(dāng)時(shí)，求的長．【答案】（1）證明見解析，（2）①．②【分析】（1）證明，即可得證；（2）①取中點(diǎn)F，連接，則為的中位線，證明，得到，列式計(jì)算即可；②取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作，垂足為G，證明，得到，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）證明∵，∴，∴，∴．（2）①取中點(diǎn)F，連接，∵，∴，，∵E為中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，，∴，∵，∴，∴，∴設(shè)，則，∴解得，（舍去），∴．②取中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作，垂足為G，設(shè)，∵為的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，又∵，．∴，解得，（舍去）．∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，解一元二次方程．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形的中位線，證明三角形相似．18．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，是銳角中邊上的高，將沿所在的直線翻折得到，將沿所在的直線翻折得到，延長相交于點(diǎn)P．(1)如圖1，若，求證：四邊形為正方形；(2)如圖2，若，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖3，連結(jié)，分別交于點(diǎn)G、H，連結(jié)交于點(diǎn)M，若，①求_________度；②若，求的面積．【答案】(1)見解析(2)或(3)①；②【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)知而，由此可證得四邊形是矩形；而，所以四邊形是正方形；(2)利用翻折先求出，再對等腰三角形進(jìn)行分類討論即可求得答案；(3)①利用利用等腰三角形求出，然后即可得解；②利用相似三角形的判定和性質(zhì)證明求出，然后利用面積公式求解即可．【詳解】（1）解：∵，且和分別是由和翻折得到∴，∴四邊形為矩形又∵，∴四邊形為正方形．（2）設(shè)，則，∴，而∵是等腰三角形∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，∴∴為或（3）①由(1)知∴∴故答案為：；②∵，∴∴又∵，∴∴∴∴，∵，∴，∴即，∴∴【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)，正確尋找相似三角形，對等腰三角形進(jìn)行正確的分類討論是解題關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．19．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過點(diǎn)、．將四邊形繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度得到四邊形，此時(shí)直線、直線分別與直線相交于點(diǎn)P、Q．(1)四邊形的形狀是，當(dāng)時(shí)，的值是；(2)①如圖2，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在y軸正半軸上時(shí)，求的值；②如圖3，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在直線上時(shí)，求的面積；(3)在四邊形旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使得，若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)矩形，(2)①；②(3)存在點(diǎn)P1（﹣9﹣，6），P2（，6），使BP＝BQ．【分析】（1）根據(jù)“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”即可得出四邊形是矩形．當(dāng)時(shí)，可知，（2）①利用相似三角形的性質(zhì)，求得的比，求得；求得進(jìn)而得出答案；②根據(jù)勾股定理求得的長，再根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算．（3）構(gòu)造全等三角形和直角三角形，運(yùn)用勾股定理求得的長，進(jìn)一步求得坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)、，∴，，所以四邊形是矩形；當(dāng)時(shí)，P與C重合，如圖所示：根據(jù)題意．故答案為：矩形；；（2）解：①圖2中，∵，，∴．∴，即，∴，．同理，∴，即，∴，．∴，②圖3，在和中，，∴．∴．設(shè)，在中，，解得．∴．（3）解：存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使．點(diǎn)P的坐標(biāo)是，．過點(diǎn)Q作于H，連接，則，∵，，∴．設(shè)，∵，∴，如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，，在中，，解得，（不符實(shí)際，舍去）．∴，∴．如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，∴，．在中，，解得．∴，∴，綜上可知，存在點(diǎn)P，使，點(diǎn)P的坐標(biāo)是，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判斷與性質(zhì)．20．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）【基礎(chǔ)鞏固】(1)如圖1，四邊形中，平分，．求證：；【遷移運(yùn)用】(2)如圖2，在（1）的條件下，取的中點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)F，若，，求的長；【解決問題】(3)如圖3，四邊形中，，，在上取點(diǎn)E，使得，恰有．若，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）證明，得出即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)平行線的判定得出，證明，得出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出；（3）連接，，證明，得出，證明，設(shè)，根據(jù)勾股定理得出，列出方程，求出x的值，再根據(jù)四邊形面積等于兩個(gè)三角形面積和求出結(jié)果即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，，∴，∴．（2）解：∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴．（3）解：如圖，連接，，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)，根據(jù)勾股定理得：，∴，解得（負(fù)值舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．21．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）正方形的邊長為8，點(diǎn)E是其邊上的一點(diǎn)，以為對角線作矩形（點(diǎn)A、H、E、G按順時(shí)針排列），且．(1)如圖1，若與交于點(diǎn)M，當(dāng)時(shí)，求證：平分；(2)當(dāng)點(diǎn)G落在正方形的邊上時(shí)，求的長；(3)當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，求的最大值．【答案】(1)見解析(2)或(3)的最大值為【分析】（1）證明，得出，根據(jù)四邊形為矩形，得出，證明，得出，即可證明結(jié)論；（2）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在上，在上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，分別畫出圖形，求出的長即可；（3）過點(diǎn)G作于M，延長交于點(diǎn)N，設(shè)，，則，根據(jù)，得出，求出，證明，得出，根據(jù)，求出，根據(jù)勾股定理得出求出，得出，求出最大值即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，，，∴，即，∵，，，∴，∴，∵四邊形為矩形，∴，∴，∴，∴平分；（2）解：當(dāng)點(diǎn)E在上，在上時(shí)，如圖所示：∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴，∴，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴，∴，∴，即,∴，∴，∴，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合時(shí)，如圖所示：∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴，∴，∴；綜上分析可知，或．（3）解：過點(diǎn)G作于M，延長交于點(diǎn)N，如圖所示：則，∵四邊形為正方形，∴，∴，∴四邊形為矩形，∴，，，設(shè)，，則，∵四邊形為矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，，∵，∴，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形相似的判定和性質(zhì)，求二次函數(shù)的最大值，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，畫出相應(yīng)的圖形，用函數(shù)知識(shí)解決幾何問題．22．（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，．點(diǎn)D是直線上一動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)D作，滿足點(diǎn)E在上方，，以、為鄰邊作．(1)求的長以及點(diǎn)C到的距離；(2)設(shè)線段與邊交于點(diǎn)M，線段與邊交于點(diǎn)N．當(dāng)時(shí)，求的長；(3)連接，沿直線分割，當(dāng)分割的兩部分可以拼成一個(gè)不重疊無縫隙的三角形時(shí)，求的長．【答案】(1)；點(diǎn)C到的距離為(2)(3)的長為【分析】（1）運(yùn)用勾股定理得，運(yùn)用三角形面積的不變性，計(jì)算點(diǎn)C到的距離．（2）過點(diǎn)N作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合已知得到時(shí)，運(yùn)用等角的三角函數(shù)值相等，確定，設(shè)，則，于是．根據(jù)建立等式計(jì)算即可．（3）分與相交和兩種情況，運(yùn)用勾股定理，三角函數(shù)，三角全等計(jì)算即可．【詳解】（1）∵，，∴．設(shè)點(diǎn)C到的距離為h，根據(jù)題意，得，∴，解得，故點(diǎn)C到的距離為．（2）過點(diǎn)N作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，∵，，，，∴，∴．∵，，∴，∴，，∴，∴，，，∴．∵，，∴，∵，設(shè)，則，∴．∵四邊形是矩形，∴．∵，∴，解得．∴．（3）當(dāng)與底邊的高重合時(shí)，∵，，∴，，∴，∴，故只需將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)就拼成一個(gè)不重疊無縫隙的三角形，∵，，∴，∴．∵，∴．設(shè)，則，∴，解得，故；當(dāng)經(jīng)過的中點(diǎn)M時(shí)，延長交于點(diǎn)N，∵，，∴，，∴，∴，∴，故只需將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)就拼成一個(gè)不重疊無縫隙的三角形，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，∵，，∴，∴．∴，解得．∵，∴．設(shè)，則，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，解得，故；當(dāng)與重合時(shí)，延長二線交于點(diǎn)M，∵，，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，故只需將繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)就拼成一個(gè)不重疊無縫隙的三角形，

故；當(dāng)，且當(dāng)經(jīng)過的中點(diǎn)M時(shí)，延長交于點(diǎn)N，∵，，∴，，∴，，∴，，∴，故只需將繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)就拼成一個(gè)不重疊無縫隙的三角形，過點(diǎn)C作于點(diǎn)G，∵，，∴，∴．∴，解得．∵，∴．∴，∴，解得；綜上所述，的長或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)和中心對稱，熟練掌握三角函數(shù)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖1，在矩形中，，．，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，是射線上一點(diǎn)，，設(shè)，．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(2)當(dāng)中有一條