2023年二輪復習解答題專題十九：二次函數的應用-面積型問題(原卷版+解析)

2023年二輪復習解答題專題十九：二次函數的應用——面積型問題方法點睛利用二次函數解決面積問題，一般是先根據實際問題列出二次函數的解析式，根據二次函數性質求最值，需要注意的是自變量的取值范圍.典例分析例1：（2022無錫中考）某農場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設較小矩形的寬為xm（如圖）．

（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，求此時x的值；（2）當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？專題過關1.（2022威海中考）某農場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長25m，木柵欄長47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場面積的最大值．

2.（2022湘潭中考）為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長）和長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數學興趣小組設計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據設計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問應設計為多長？此時最大面積為多少？3.（2022赤峰中考）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學校根據地形情況，要對景觀帶中一個長，寬的長方形水池進行加長改造（如圖①，改造后的水池仍為長方形，以下簡稱水池1），同時，再建造一個周長為的矩形水池（如圖②，以下簡稱水池2）．【建立模型】如果設水池的邊加長長度為，加長后水池1的總面積為，則關于的函數解析式為：；設水池2的邊的長為，面積為，則關于的函數解析式為：，上述兩個函數在同一平面直角坐標系中的圖像如圖③．【問題解決】（1）若水池2的面積隨長度的增加而減小，則長度的取值范圍是_________（可省略單位），水池2面積的最大值是_________；（2）在圖③字母標注的點中，表示兩個水池面積相等的點是_________，此時的值是_________；（3）當水池1的面積大于水池2的面積時，的取值范圍是_________；（4）在范圍內，求兩個水池面積差的最大值和此時的值；（5）假設水池的邊的長度為，其他條件不變（這個加長改造后的新水池簡稱水池3），則水池3的總面積關于的函數解析式為：．若水池3與水池2的面積相等時，有唯一值，求的值．4.（2022沈陽中考）如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．

（1）若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米？（2）矩形框架ABCD面積最大值為______平方厘米．2023年二輪復習解答題專題十九：二次函數的應用——面積型問題方法點睛利用二次函數解決面積問題，一般是先根據實際問題列出二次函數的解析式，根據二次函數性質求最值，需要注意的是自變量的取值范圍.典例分析例1：（2022無錫中考）某農場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1:2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設較小矩形的寬為xm（如圖）．

（1）若矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，求此時x的值；（2）當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【答案】（1）x的值為2m；（2）當x=4時，S有最大值，最大值為48．【解析】【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形養(yǎng)殖場的總面積為36，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）設矩形養(yǎng)殖場的總面積為S，列出矩形的面積公式可得S關于x的函數關系式，再根據二次函數的性質求解即可．【小問1詳解】解：∵BC=x，矩形CDEF的面積是矩形BCFA面積的2倍，∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，依題意得：3x(8-x)=36，解得：x1=2，x2=6(不合題意，舍去)，此時x的值為2m；；【小問2詳解】解：設矩形養(yǎng)殖場總面積為S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，∵-3<0，∴當x=4m時，S有最大值，最大值為48，【點睛】本題考查了一元二次方程和二次函數在幾何圖形問題中的應用，數形結合并熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．專題過關1.（2022威海中考）某農場要建一個矩形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，另外三邊用木柵欄圍成．已知墻長25m，木柵欄長47m，在與墻垂直的一邊留出1m寬的出入口（另選材料建出入門）．求雞場面積的最大值．

【答案】288m2【解析】【分析】設與墻平行的一邊為xm（x≤25），則與墻垂直的一邊長為m，設雞場面積為ym2，根據矩形面積公式寫出二次函數解析式，然后根據二次函數的性質求出最值即可．【詳解】解：設與墻平行的一邊為xm（x≤25），則與墻垂直的一邊長為m，設雞場面積為ym2，根據題意，得，∴當x=24時，y有最大值為288，∴雞場面積的最大值為288m2．【點睛】本題考查了二次函數的實際應用，解題的關鍵是正確列出二次函數解析式．2.（2022湘潭中考）為落實國家《關于全面加強新時代大中小學勞動教育的意見》，某校準備在校園里利用圍墻（墻長）和長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數學興趣小組設計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據設計方案回答下列問題：（1）方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長；（2）方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問應設計為多長？此時最大面積為多少？【答案】（1）CG長為8m，DG長為4m（2）當BC=m時，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=m2【解析】【分析】（1）兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設CG為am，DG為(12-a)m，再由矩形面積公式求解；（2）設兩塊矩形總種植面積為y，BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BC×DC，代入有關數據再把二次函數化成頂點式即可.【小問1詳解】解：兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設CG為am，DG為(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．【小問2詳解】解：設兩塊矩形總種植面積為ym2，BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，兩塊矩形總種植面積=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴當BC=m時，y最大=m2．【點睛】此題考查了二次函數的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意找到等量關系列出方程．3.（2022赤峰中考）【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學校根據地形情況，要對景觀帶中一個長，寬的長方形水池進行加長改造（如圖①，改造后的水池仍為長方形，以下簡稱水池1），同時，再建造一個周長為的矩形水池（如圖②，以下簡稱水池2）．【建立模型】如果設水池的邊加長長度為，加長后水池1的總面積為，則關于的函數解析式為：；設水池2的邊的長為，面積為，則關于的函數解析式為：，上述兩個函數在同一平面直角坐標系中的圖像如圖③．【問題解決】（1）若水池2的面積隨長度的增加而減小，則長度的取值范圍是_________（可省略單位），水池2面積的最大值是_________；（2）在圖③字母標注的點中，表示兩個水池面積相等的點是_________，此時的值是_________；（3）當水池1的面積大于水池2的面積時，的取值范圍是_________；（4）在范圍內，求兩個水池面積差的最大值和此時的值；（5）假設水池的邊的長度為，其他條件不變（這個加長改造后的新水池簡稱水池3），則水池3的總面積關于的函數解析式為：．若水池3與水池2的面積相等時，有唯一值，求的值．【答案】（1）；9（2）C，E；1，4；（3）或（4）（5）【解析】【分析】（1）將函數解析式化為頂點式即可解決問題；（2）交點即為面積相等的點，聯立方程組，求出交點坐標即可；（3）觀察函數圖象，結合點C，點E的坐標可得結論；（4）求出面積差的函數關系式，根據二次函數的性質求解即可；（5）根據面積相等列出一元二次方程，依據，求出b的值即可．【小問1詳解】∵∴拋物線的頂點坐標為（3，9），對稱軸為x=3，∵水池2的面積隨長度的增加而減小，∴長度的取值范圍是；水池2面積的最大值是9；故答案為：；9；【小問2詳解】由圖象得，兩函數交于點C，E，所以，表示兩個水池面積相等的點是C，E；聯立方程組解得，∴x的值為1或4，故答案為：C，E；1或4【小問3詳解】由（3）知，C（1，5），E（4，8），又直線在拋物線上方時，或，所以，水池1的面積大于水池2的面積時，的取值范圍是或，故答案為或；【小問4詳解】在范圍內，兩個水池面積差，∵∴函數有最大值，∵∴當時，函數有最大值，為即，當時，面積最大值為【小問5詳解】∵水池3與水池2的面積相等，∴，整理得，∵有唯一值，∴解得，【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數圖象與性質是解答本題的關鍵．4.（2022沈陽中考）如圖，用一根長60厘米的鐵絲制作一個“日”字型框架ABCD，鐵絲恰好全部用完．

（1）若所圍成矩形框架ABCD的面積為144平方厘米，則AB的長為多少厘米？（2）矩形框架ABCD面積最大值為______平方厘米．【答案】（1）AB的長為8厘米或12厘米．（2）150【解析】【分析】（1）設AB的長為x厘米，則有厘米，然后根據題意可得方程，進