第11講實際問題與二次函數(shù)(原卷版+解析)

第11講實際問題與二次函數(shù)【知識梳理】一．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時，y＝．（2）當(dāng)a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．二．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．三．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【考點剖析】一．二次函數(shù)的最值（共8小題）1．（2023春?錢塘區(qū)月考）已知一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4），其中y2＜y3＝y(tǒng)4，則y1，y2，y3中最值情況是（）A．y1最小，y3最大 B．y2最小，y1最大 C．y2最小，y3最大 D．無法判斷2．（2023春?樂清市月考）已知函數(shù)y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，則常數(shù)a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣83．（2023?越城區(qū)三模）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，0），（2，3），在a≤x≤6范圍內(nèi)有最大值為4，最小值為﹣5，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a(chǎn)≤04．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝．5．（2023?啟東市二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點P為完美點．已知二次函數(shù)的圖象上有且只有一個完美點（2，2），且當(dāng)0≤x≤m時，函數(shù)y＝ax2+5x+c﹣（a≠0）的最小值為﹣，最大值為1，則m的取值范是．6．（2023?九臺區(qū)校級模擬）已知拋物線y＝x2﹣2ax+a﹣1圖象上有A、B兩點，我們把A、B兩點間的圖象記為圖象G，點A的橫坐標(biāo)為a+2，點B的橫坐標(biāo)為2a+1，當(dāng)﹣3≤a≤﹣1時，圖象上最高點的縱坐標(biāo)與最低點的縱坐標(biāo)的差為．7．（2023?蘇州一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運動：同時，點Q從點B出發(fā)，2cm/s的速度沿BC運動．當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)動點運動的時間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時，△PBQ的面積為2cm2；（2）求四邊形PQCA的面積S的最小值．8．（2023?莒南縣二模）已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）當(dāng)﹣4≤x≤0時，求y的最大值與最小值的差．（3）當(dāng)m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．二．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式（共10小題）9．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，某農(nóng)場要蓋一排三間長方形的羊圈，打算一面利用舊墻，其余各面用木材圍成柵欄，該農(nóng)場計劃用木材圍成總長24m的柵欄，設(shè)面積為s（m2），垂直于墻的一邊長為x（m）．則s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：（并寫出自變量的取值范圍）10．（2022秋?濟南期末）學(xué)校準(zhǔn)備將一塊長20m，寬14m的矩形綠地擴建，如果長和寬都增加xm，設(shè)增加的面積是ym2．（1）求x與y之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若要使綠地面積增加72m2，長與寬都要增加多少米？11．（2022秋?濟南期末）如圖．有一座拋物線形拱橋．在正常水位時橋下水面AB的寬度為20m．這時．拱高（點O到AB的距離）為4m．（1）你能求出在圖（a）的坐標(biāo)系中．拋物線的函數(shù)表達(dá)式嗎？（2）如果將直角坐標(biāo)系建成如圖（b）所示，拋物線的形狀、表達(dá)式有變化嗎？12．（2023?南海區(qū)模擬）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀(jì)念品進(jìn)價40元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元（x＞44），商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元，則下列等式正確的是（）A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）13．（2022秋?大連期末）一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x C．y＝100（1+x） D．y＝100（1﹣x）214．（2022秋?撫松縣期末）用長為8m的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框，設(shè)AB為x（m），則窗框的透光面積y（m2）關(guān)于x（m）的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝x（4﹣x） B．y＝x（8﹣3x） C．y＝x（8﹣3x） D．y＝x（8﹣3x）15．（2023?浦東新區(qū)模擬）如圖，用長為12米的籬笆圍成一個矩形花圃，花圃一面靠墻（墻的長度超過12米），設(shè)花圃垂直于墻的一邊長為x米，花圃面積為y平方米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為．（不要求寫出定義域）16．（2022秋?黃浦區(qū)期末）在一塊底邊長為20厘米的等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮，如果矩形的一邊與等腰三角形的底邊重合且長度為x厘米，矩形另兩個頂點分別在等腰直角三角形的兩腰上，設(shè)矩形面積為y平方厘米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是．（不必寫定義域）17．（2022秋?岳普湖縣校級期末）如圖，有一座拱橋洞呈拋物線形狀，這個橋洞的最大高度為16m，跨度為40m，現(xiàn)把它的示意圖放在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，則拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為．18．（2023?金水區(qū)校級模擬）將一根長為50cm的鐵絲彎成一個長方形（鐵絲全部用完且無損耗）如圖所示，設(shè)這個長方形的一邊長為x（cm），它的面積為y（cm2），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25三．二次函數(shù)的應(yīng)用（共8小題）19．（2023?晉中模擬）如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標(biāo)系，得到函數(shù)，在正常水位時水面寬AB＝30米，當(dāng)水位上升5米時，則水面寬CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米20．（2023?吉州區(qū)校級二模）地理學(xué)上把兩翼指向上風(fēng)方向，迎風(fēng)坡平緩前進(jìn)，背風(fēng)坡陡呈弧線凸出，平面呈拋物線的沙丘叫做“拋物線型沙丘”．如圖1是我國最大沙漠塔克拉瑪干沙漠某處的拋物線型沙丘，以拋物線型沙丘最頂端為O點，建立如圖示所示的坐標(biāo)系，若點A的坐標(biāo)為（﹣15，﹣100），點B（a，﹣144）是圖1中沙丘左側(cè)兩個端點，則a的值為（）A．15 B．18 C．24 D．3621．（2023?濱州）某廣場要建一個圓形噴水池，計劃在池中心位置豎直安裝一根部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水距離也為3m，那么水管的設(shè)計高度應(yīng)為．22．（2023?陳倉區(qū)三模）如圖，某動物園的大門由矩形ABCD和拋物線形DMC組成，分別以AB、AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，AD＝米，拋物線頂點M的坐標(biāo)為．（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）近期需對大門進(jìn)行裝修，工人師傅搭建一三角形木架OPE方便施工，點P正好在拋物線上且在點M右側(cè)，支撐桿PE⊥x軸于點E，PE＝3米，求支撐桿PE與大門最右側(cè)的水平距離BE．23．（2023?靖邊縣二模）物理課上我們學(xué)習(xí)了物體的豎直上拋運動，若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運動的時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論：①小球在空中經(jīng)過的路程是40m；②h與t之間的函數(shù)關(guān)系式為；③小球的運動時間為6s；④小球的高度h＝20m時，t＝1.5s．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個24．（2023?宜昌）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝m．25．（2023?順平縣模擬）如圖，這是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．現(xiàn)將噴灌架置于坡度為1：10的坡地底部點O處，草坡上距離O的水平距離為30米處有一棵高度約為2.375米的石榴樹AB．（1）噴射出的水流與坡面OA之間的最大鉛直高度是米；（2）若要對這棵石榴樹進(jìn)行噴灌，則需將噴灌架向后移動米．26．（2023?橫山區(qū)三模）如圖1，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）OC＝1m，當(dāng)噴射出的水流與噴灌架的水平距離為12m時，達(dá)到最大高度7m，草坡上距離O的水平距離為18m的點A處有一棵高米的小樹，小樹垂直水平地面且點A到水平地面的距離為3m．?（1）請判斷水流能否澆灌到小樹后面的草地？并說明理由；（2）記水流的高度為y1，斜坡的高度為y2，求y1﹣y2的最大值．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）某炮兵部隊實彈演習(xí)發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時間x與高度y的關(guān)系為．若此炮彈在第5秒與第16秒時的高度相等，則在下列哪一個時間段炮彈的高度達(dá)到最高．（

）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒2．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)福建省統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省年的地區(qū)生產(chǎn)總值為億元，年的地區(qū)生產(chǎn)總值為億元．設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（）A． B．C． D．3．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）2022年新冠病毒變異株奧密克戎來勢洶洶，為了更好地讓顧客做好防護(hù)，某商場銷售一款升級版的KN95口罩，市場信息顯示，銷售這種口罩，每天所獲的利潤y（元）與售價x（元/個）之間關(guān)系式滿足，第一天將售價定為16元/個，當(dāng)天獲利132元，第二天將售價定為20元/個，當(dāng)天獲利180元．則這種口罩的成本價是多少元/個？（單位利潤=售價?成本價）（

）A．10 B．12 C．14 D．154．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn)，如圖是某座下方為拋物線形的廊橋示意圖．已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，為保護(hù)廊橋的安全，在該拋物線上距水面高為8米的點E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離是（

）A．米 B．10米 C．米 D．米5．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，要圍一個矩形菜園，共中一邊是墻，且的長不能超過，其余的三邊用籬笆，且這三邊的和為．有下列結(jié)論：①的長可以為；②的長有兩個不同的值滿足菜園面積為；③菜園面積的最大值為．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．0 B．1 C．2 D．36．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？既＃┪靼泊笱闼魳穱娙俏靼驳囊粡埫?，許多人慕名前往．若其中一組噴泉水型可近似看成拋物線族，如圖出立坐標(biāo)系后，可由函數(shù)確定，其中1為實數(shù)．若其中某個噴泉水柱的最大高度是4，則此時對應(yīng)的t值為（）A．2 B．4 C．2或 D．4成7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，動點M，N分別從點A，B同時出發(fā)，沿射線，射線的方向勻速運動，且速度的大小相等，連接，，．設(shè)點M運動的路程為，的面積為，下列圖像中能反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）

A．

B．

C．

D．

8．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，利用一個直角墻角修建一個的四邊形儲料場，其中．若新建墻與總長為，則該儲料場的最大面積是（

）

A． B． C． D．9．（2023·河北唐山·二模）如圖是一款拋物線型落地?zé)敉彩疽鈭D，防滑螺母為拋物線支架的最高點，燈罩距離地面米，最高點距燈柱的水平距離為米，燈柱為米，若茶幾擺放在燈罩的正下方，則茶幾到燈柱的距離為多少米．（

）

A． B． C． D．10．（2023春·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期中）利用長為的墻和長的籬笆來圍成一個矩形苗圃園，若平行于墻的一邊長不小于，則這個苗圃園面積的最大值和最小值分別為（

）A．， B．， C．， D．，二、填空題11．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）我校辦公樓前的花園是一道美麗的風(fēng)景，現(xiàn)計劃在花園里再加上一噴水裝置，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是______米．

12．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以用表示．在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，如果燈離地面的高度為，那么兩排燈的水平距離是________________米．13．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的距離_________m．

14．（2023春·江西宜春·九年級江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）關(guān)于水平距離x（單位：米）的函數(shù)解析式是，則該男生鉛球推出的距離是_______米．15．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，有一矩形紙片，長、寬分別為厘米和厘米，現(xiàn)在長寬上分別剪去寬為厘米（）的紙條，則剩余部分（圖中陰影部分）的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為____________．

16．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）某超市購進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，則該超市每天銷售這款拼裝玩具的最大利潤為______元（利潤＝總銷售額－總成本）．

17．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）一塊三角形材料如圖所示，，，，用這塊材料剪出一個矩形，其中，點D，E，F(xiàn)分別在上，能夠剪出的矩形的面積最大為________．

18．（2023春·北京通州·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面，水面寬．如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是________．

三、解答題19．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）鄭州市彩虹橋新橋?qū)⒂?023年9月底建成通車．新橋采用三跨連續(xù)單拱肋鋼箱系桿拱橋，既保留了歷史記憶，又展示出鄭州的開放與創(chuàng)新．新橋的中跨大拱的拱肋可視為拋物線的一部分，橋面（視為水平的）與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，測得拱肋的跨度為120米，與中點O相距30米處有一高度為27米的系桿．以所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系．

(1)求拋物線的解析式；(2)正中間系桿的長度是多少米？若相鄰系桿之間的間距均為3米（不考慮系桿的粗細(xì)），是否存在一根系桿的長度恰好是長度的？請說明理由．20．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）隨著科技的發(fā)展，掃地機器人已廣泛應(yīng)用于生活中，某公司推出一款新型掃地機器人，經(jīng)統(tǒng)計該產(chǎn)品2022年每個月的銷售情況發(fā)現(xiàn)，每臺的銷售價格隨銷售月份的變化而變化、設(shè)該產(chǎn)品2022年第（為整數(shù)）個月每臺的銷售價格為（單位：元），與的函數(shù)關(guān)系如圖所示（圖中為一折線）．

(1)當(dāng)時，求每臺的銷售價格與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)該產(chǎn)品2022年第個月的銷售數(shù)量為（單位：萬臺），m與的關(guān)系可以用來描述，求哪個月的銷售收入最多，最多為多少萬元？（銷售收入每臺的銷售價格銷售數(shù)量）21．（2023·云南昆明·云大附中?？既＃┚W(wǎng)絡(luò)銷售是一種重要的銷售方式．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)貿(mào)公司新開設(shè)了一家網(wǎng)店，銷售當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品．其中一種當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)在網(wǎng)上試銷售，其成本為每千克10元．公司在試銷售期間，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量與銷售單價（元）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系（其中）

(1)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；(2)當(dāng)時，設(shè)每天銷售該特產(chǎn)的利潤為元，則銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少元?22．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）如圖，是學(xué)校灌溉草坪用到的噴水設(shè)備，噴水口C離地面垂直高度為1.5米，噴出的水流都可以抽象為平面直角坐標(biāo)系中的一條拋物線．

(1)灌溉設(shè)備噴出水流的最遠(yuǎn)射程可以到達(dá)草坪的最外側(cè)邊沿點B，此時，噴水口C噴出的水流垂直高度與水平距離的幾組數(shù)據(jù)如下表．水平距離x/米00.61234豎直高度y/米1.51.718751.87521.8751.5結(jié)合數(shù)據(jù)，求此拋物線的表達(dá)式，并求出水流最大射程的長度．(2)為了全面灌溉，噴水口C可以噴出不同射程的水流，噴水口C噴出的另外一條水流形成的拋物線滿足表達(dá)式，此水流最大射程米，求此水流距離地面的最大高度．23．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考三模）某超市購進(jìn)甲、乙兩種商品，已知購進(jìn)5件甲商品和2件乙商品，需80元；購進(jìn)3件甲商品和4件乙商品，需90元．銷售單價x(元/件)1218日銷售量y(件)164(1)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價分別是多少？(2)設(shè)甲商品的銷售單價為x(單位：元/件)，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時，甲商品的日銷售量y(單位：件)與銷售單價x之間存在一次函數(shù)關(guān)系，x、y之間的部分?jǐn)?shù)值對應(yīng)關(guān)系如表：請寫出當(dāng)時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(3)在（2）的條件下，設(shè)甲商品的日銷售利潤為w元，當(dāng)甲商品的銷售單價x(元件)定為多少時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少？24．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，在平面直觓坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為，交軸于點，點是拋物線上一點．

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點的坐標(biāo)．(2)當(dāng)時，求二次函數(shù)的最大值與最小值的差．(3)若點是軸上方拋物線上的點（不與點重合），設(shè)點的橫坐標(biāo)為，過點作軸，交直線于點，當(dāng)線段的長隨的增大而增大時，請直接寫出的取值范圍．25．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）如圖，在中，，，，點P從點A出發(fā)以的速度向點C運動，到點C停止，過點P作交點Q，以線段的中點為對稱中心將旋轉(zhuǎn)得到，點A的對應(yīng)點為點D，設(shè)點P的運動時間為，與重合部分的面積為S（）．

(1)求當(dāng)點D落在邊上時t的值；(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；(3)直接寫出當(dāng)是等腰三角形時t的值．

第11講實際問題與二次函數(shù)【知識梳理】一．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時，y＝．（2）當(dāng)a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．二．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運用幾何知識建立量與量的等式．三．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．【考點剖析】一．二次函數(shù)的最值（共8小題）1．（2023春?錢塘區(qū)月考）已知一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3），P4（3，y4），其中y2＜y3＝y(tǒng)4，則y1，y2，y3中最值情況是（）A．y1最小，y3最大 B．y2最小，y1最大 C．y2最小，y3最大 D．無法判斷【分析】利用y3＝y(tǒng)4推導(dǎo)出函數(shù)的對稱軸x＝2，根據(jù)y2＜y3可知y隨x的增大而增大可判斷y1，y2，y3中的最值情況．【解答】解：∵P3（1，y3），P4（3，y4），且y3＝y(tǒng)4，∴該二次函數(shù)的對稱軸為：x＝2．∵P2（﹣1，y2），P3（1，y3），且y2＜y3，∴在對稱軸左側(cè)，即x＜2時，y隨x的增大而增大．∵P1（﹣3，y1），P2（﹣1，y2），P3（1，y3）中，﹣3＜﹣1＜1，∴y1＜y2＜y3．故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)的增減性，熟練掌握二次函數(shù)增減性是突破本題的關(guān)鍵．2．（2023春?樂清市月考）已知函數(shù)y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，則常數(shù)a的值是（）A．1 B． C．或﹣8 D．1或﹣8【分析】根據(jù)y＝ax2+2ax+1可得出對稱軸x＝﹣1，利用最值，分a＞0，a＜0兩種情況討論計算．【解答】解：∵二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝ax2+2ax+1，∴二次函數(shù)對稱軸為x＝﹣1．①當(dāng)a＜0時，二次函數(shù)開口向下，x＝﹣1時，函數(shù)有最大值9．∴a﹣2a+1＝9，解得a＝﹣8．②當(dāng)a＞0時，二次函數(shù)開口向上，在﹣3≤x≤2上有最大值9，∴當(dāng)x＝2時，函數(shù)最大值為9，即4a+4a+1＝9，解得a＝1．綜上分析，a的值為﹣8或1．故選：D．【點評】本題考查二次函數(shù)最值問題，確定對稱軸，分類討論最值情況是作出本題的關(guān)鍵技巧．3．（2023?越城區(qū)三模）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，0），（2，3），在a≤x≤6范圍內(nèi)有最大值為4，最小值為﹣5，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a(chǎn)≤0【分析】先將點（1，0），（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c求出該二次函數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)其開口方向，對稱性和增減性，分析在a≤x≤6時的最大值和最小值即可．【解答】解：將點（1，0）代入y＝﹣x2+bx+5，得：0＝﹣1+b+5，解得：b＝﹣4，∴二次函數(shù)為y＝﹣x2+6x﹣5，∵y＝﹣x2+6x+5＝﹣（x﹣3）2+4，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝3，函數(shù)有最大值4，把y＝﹣5代入y＝﹣x2+6x﹣5得，﹣5＝﹣x2+6x﹣5，即﹣x2+6x＝0，解得x1＝0，x2＝6，在a≤x≤6范圍內(nèi)有最大值為4，最小值為﹣5，∴0≤a≤3．故選：C．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握a＞0時，函數(shù)開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，a＜0時，函數(shù)開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小4．（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個圖形上的點都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝或﹣．【分析】根據(jù)題意求得點A（3，0），B（3，4），C（0，4），然后分兩種情況，利用待定系數(shù)法求出解析式即可．【解答】解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），當(dāng)x＝0時，y＝4，∴C（0，4），∵A（3，0），四邊形ABCO是矩形，∴B（3，4），①當(dāng)拋物線經(jīng)過O、B時，將點O（0，0），B（3，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝；②當(dāng)拋物線經(jīng)過A、C時，將點A（3，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝﹣，綜上所述，b＝或b＝﹣，故答案為：或﹣，【點評】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，能夠理解新定義，最小矩形的限制條件是解題的關(guān)鍵．5．（2023?啟東市二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若點P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，則稱點P為完美點．已知二次函數(shù)的圖象上有且只有一個完美點（2，2），且當(dāng)0≤x≤m時，函數(shù)y＝ax2+5x+c﹣（a≠0）的最小值為﹣，最大值為1，則m的取值范是≤m≤5．【分析】由完美點的概念可得：ax2+5x+c＝x，即ax2+4x+c＝0，由只有一個完美點可得判別式Δ＝16﹣4ac＝0，得方程根為2，從而求得a＝﹣1，c＝﹣4，所以函數(shù)y＝ax2+5x+c﹣＝﹣x2+5x﹣，由此解析式可求得此拋物線的頂點坐標(biāo)以及與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值，可求得x的取值范圍．【解答】解：ax2+5x+c＝x，即ax2+4x+c＝0，由題意可得，圖象上有且只有一個完美點，∴Δ＝16﹣4ac＝0，則4ac＝16，∴方程根為x＝﹣＝﹣＝﹣＝2，∴a＝﹣1，c＝﹣4．∴函數(shù)y＝ax2+5x+c﹣＝﹣x2+5x﹣，該二次函數(shù)頂點坐標(biāo)為（，1），與y軸交點為（0，﹣），根據(jù)對稱規(guī)律，點（5，﹣）也是該二次函數(shù)圖象上的點．在x＝左側(cè)，y隨x的增大而增大；在x＝右側(cè)，y隨x的增大而減小；且當(dāng)0≤x≤m時，函數(shù)y＝﹣x2+5x﹣的最小值為﹣，最大值為1，則≤m≤5．故答案為：≤m≤5．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)以及根的判別式的知識，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題關(guān)鍵．6．（2023?九臺區(qū)校級模擬）已知拋物線y＝x2﹣2ax+a﹣1圖象上有A、B兩點，我們把A、B兩點間的圖象記為圖象G，點A的橫坐標(biāo)為a+2，點B的橫坐標(biāo)為2a+1，當(dāng)﹣3≤a≤﹣1時，圖象上最高點的縱坐標(biāo)與最低點的縱坐標(biāo)的差為4．【分析】先確定圖象G的最高點和最低點，即可求得圖象上最高點的縱坐標(biāo)與最低點的縱坐標(biāo)的差．【解答】解：∵y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（x﹣a）2﹣a2+a﹣1，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣＝a，當(dāng)x＝a+2時，y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（a+2）2﹣2a（a+2）+a﹣1＝﹣a2+a+3，∴A（a+2，﹣a2+a+3），當(dāng)x＝2a+1時，y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（2a+1）2﹣2a（2a+1）+a﹣1＝3a，∴B（2a+1，3a），∵A到對稱軸的距離為2，B到對稱軸的距離為﹣a﹣1，∵﹣3≤a≤﹣1，∴﹣a﹣1＜2，∴當(dāng)﹣3≤a≤﹣1時，圖象上最高點為A（a+2，﹣a2+a+3），最低點為（a，﹣a2+a﹣1），∴當(dāng)﹣3≤a≤﹣1時，圖象上最高點的縱坐標(biāo)與最低點的縱坐標(biāo)的差為：﹣a2+a+3﹣（﹣a2+a﹣1）＝4．故答案為：4．【點評】本題考查二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是確定圖象G的最高點和最低點．7．（2023?蘇州一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運動：同時，點Q從點B出發(fā)，2cm/s的速度沿BC運動．當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P、Q兩點同時停止運動．設(shè)動點運動的時間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時，△PBQ的面積為2cm2；（2）求四邊形PQCA的面積S的最小值．【分析】（1）利用兩點運動的速度表示出PB，BQ的長，進(jìn)而表示出△PBQ的面積即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定四邊形APQC面積的最小值．【解答】解：（1）由題意得：PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，S△PBQ＝BQ?PB＝×2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2），∵S△PBQ＝﹣t2+3t＝2，解得t＝1或t＝2，∴當(dāng)t＝1s或2s時，△PBQ的面積為2cm2；（2）∵S＝﹣（﹣t2+3t）＝t2﹣3t+6＝（t﹣）2+（0≤t≤2），∵a＝1，∴t＝﹣＝s時，S有最小值，最小值為cm2．【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題意用t表示三角形和四邊形的面積是解題關(guān)鍵．8．（2023?莒南縣二模）已知函數(shù)y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）當(dāng)﹣4≤x≤0時，求y的最大值與最小值的差．（3）當(dāng)m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．【分析】（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；（2）根據(jù)題意，當(dāng)﹣4≤x≤0時，拋物線開口向下，求得頂點坐標(biāo)，當(dāng)x＝﹣3時，y有最大值為6，當(dāng)x＝0時，y有最小值為﹣3，即可求解；（3）①當(dāng)﹣3＜m≤0時，②當(dāng)m≤﹣3時，分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題意即可求解．【解答】解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：；（2）由（1）得：該函數(shù)解析式為y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（﹣3，6），∵﹣1＜0，∴拋物線開口向下，又∵﹣4≤x≤0，∴當(dāng)x＝﹣3時，y有最大值為6，當(dāng)x＝0時，y有最小值為﹣3，∴最大值與最小值的差為6﹣（﹣3）＝9，（3）由（2）得：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣3，∴當(dāng)x＞﹣3時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x≤﹣3時，y隨x的增大而增大，①當(dāng)﹣3＜m≤0時，當(dāng)x＝0時，y有最小值為﹣3，當(dāng)x＝m時，y有最大值為﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②當(dāng)m≤﹣3時，當(dāng)x＝﹣3時，y有最大值為6，∵y的最大值與最小值之和為2，∴y最小值為﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4∴或（舍去）．綜上所述，m＝﹣2或．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式（共10小題）9．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，某農(nóng)場要蓋一排三間長方形的羊圈，打算一面利用舊墻，其余各面用木材圍成柵欄，該農(nóng)場計劃用木材圍成總長24m的柵欄，設(shè)面積為s（m2），垂直于墻的一邊長為x（m）．則s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）（并寫出自變量的取值范圍）【分析】先根據(jù)柵欄的總長度24表示出三間羊圈與舊墻平行的一邊的總長為（24﹣4x），再根據(jù)長方形的面積公式表示即可得到s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；找到關(guān)于x的兩個不等式：24﹣4x＞0，x＞0，解之即可求出x的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意可知，三間羊圈與舊墻平行的一邊的總長為（24﹣4x），則：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x由圖可知：24﹣4x＞0，x＞0，所以x的取值范圍是0＜x＜6，故答案為：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．【點評】此題主要考查了結(jié)合實際問題列二次函數(shù)解析式．本題中主要涉及的知識點有：二次函數(shù)的表示方法，自變量取值范圍的解法，找到關(guān)于x的不等式．10．（2022秋?濟南期末）學(xué)校準(zhǔn)備將一塊長20m，寬14m的矩形綠地擴建，如果長和寬都增加xm，設(shè)增加的面積是ym2．（1）求x與y之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）若要使綠地面積增加72m2，長與寬都要增加多少米？【分析】（1）根據(jù)題意可以得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）將y＝72代入（1）中的函數(shù)關(guān)系式，即可解答本題．【解答】解：（1）由題意可得，y＝（20+x）（14+x）﹣20×14化簡，得y＝x2+34x，即x與y之間的函數(shù)關(guān)系式是：y＝x2+34x；（2）將y＝72代入y＝x2+34x，得72＝x2+34x，解得，x1＝﹣36（舍去），x2＝2，即若要使綠地面積增加72m2，長與寬都要增加2米．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．11．（2022秋?濟南期末）如圖．有一座拋物線形拱橋．在正常水位時橋下水面AB的寬度為20m．這時．拱高（點O到AB的距離）為4m．（1）你能求出在圖（a）的坐標(biāo)系中．拋物線的函數(shù)表達(dá)式嗎？（2）如果將直角坐標(biāo)系建成如圖（b）所示，拋物線的形狀、表達(dá)式有變化嗎？【分析】（1）由函數(shù)圖象可設(shè)該拋物線的解析式是y＝ax2，再結(jié)合圖象，只需把（10，﹣4）代入求出a的值即可；（2）由函數(shù)圖象可設(shè)該拋物線的解析式是y＝ax2+c，再結(jié)合圖象，只需把（10，0），（0，4）代入求出a、c的值即可．【解答】解：（1）設(shè)該拋物線的解析式是y＝ax2，由圖象知，點（10，﹣4）在函數(shù)圖象上，代入得：100a＝﹣4，a＝﹣．∴該拋物線的解析式是y＝﹣x2；（2）設(shè)該拋物線的解析式是y＝ax2+c，由圖象知，點（10，0）（0，4）在函數(shù)圖象上，代入得：，解得：a＝﹣，c＝4．∴該拋物線的解析式是y＝﹣x2+4，與（1）拋物線比較，形狀不變、表達(dá)式有變化．【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，能夠熟練運用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式是此題的考查點．12．（2023?南海區(qū)模擬）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個紀(jì)念品進(jìn)價40元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個．現(xiàn)商家決定提價銷售，設(shè)每天銷售量為y個，銷售單價為x元（x＞44），商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元，則下列等式正確的是（）A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）【分析】利用每天的銷售量＝300﹣10×銷售單價上升的錢數(shù)，可找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤＝每個的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：當(dāng)銷售單價定為44元時，每天可售出300個；銷售單價每上漲1元，每天銷量減少10個，∴銷售單價為x元時，每天的銷售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w＝（x﹣40）y，∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）．故選：D．【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w（y）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋?大連期末）一臺機器原價100萬元，若每年的折舊率是x，兩年后這臺機器約為y萬元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x C．y＝100（1+x） D．y＝100（1﹣x）2【分析】根據(jù)兩年后機器價值＝機器原價值×（1﹣折舊百分比）2可得函數(shù)解析式．【解答】解：根據(jù)題意知y＝100（1﹣x）2，故選：D．【點評】本題主要考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)實際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．14．（2022秋?撫松縣期末）用長為8m的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框，設(shè)AB為x（m），則窗框的透光面積y（m2）關(guān)于x（m）的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝x（4﹣x） B．y＝x（8﹣3x） C．y＝x（8﹣3x） D．y＝x（8﹣3x）【分析】由題意可知窗戶的透光面積為長方形，根據(jù)AB為xm，得出AD長為m，根據(jù)長方形的面積公式即可得到y(tǒng)和x的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：∵矩形窗框的周長為8m，AB為xm，∴AD為m，∴y＝x?＝﹣x2+4x．故選：C．【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，用含x的代數(shù)式表示出豎直的一邊長是解題的關(guān)鍵．15．（2023?浦東新區(qū)模擬）如圖，用長為12米的籬笆圍成一個矩形花圃，花圃一面靠墻（墻的長度超過12米），設(shè)花圃垂直于墻的一邊長為x米，花圃面積為y平方米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝x（12﹣2x）．（不要求寫出定義域）【分析】由籬笆的總長及花圃垂直于墻的一邊長度，可得出花圃平行于墻的一邊長為（12﹣2x）米，再利用矩形的面積公式，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【解答】解：∵籬笆的總長為12米，花圃垂直于墻的一邊長為x米，∴花圃平行于墻的一邊長為（12﹣2x）米．根據(jù)題意得：y＝x（12﹣2x）．故答案為：y＝x（12﹣2x）．【點評】本題考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y關(guān)于x的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋?黃浦區(qū)期末）在一塊底邊長為20厘米的等腰直角三角形鐵皮上截一塊矩形鐵皮，如果矩形的一邊與等腰三角形的底邊重合且長度為x厘米，矩形另兩個頂點分別在等腰直角三角形的兩腰上，設(shè)矩形面積為y平方厘米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝﹣x2+10x．（不必寫定義域）【分析】由題意得，矩形的面積等于相鄰兩邊之積，根據(jù)圖中幾何關(guān)系把EF邊用x表示出來，再由矩形EFGD在等腰直角三角形內(nèi)，【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形EFGD是矩形，∴△AFE和△DGB都是等腰直角三角形，∴ED＝GF＝x厘米，AF＝BG＝（20﹣x）厘米，∴EF＝（20﹣x）厘米，∴矩形EFGD的面積y＝x?（20﹣x）＝﹣x2+10x，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣x2+10x．故答案為：y＝﹣x2+10x．【點評】此題考查等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)，在等腰直角三角形和矩形中解題，要注意幾何關(guān)系．17．（2022秋?岳普湖縣校級期末）如圖，有一座拱橋洞呈拋物線形狀，這個橋洞的最大高度為16m，跨度為40m，現(xiàn)把它的示意圖放在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，則拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣（x﹣20）2+16．【分析】根據(jù)題意，拋物線的頂點坐標(biāo)是（20，16），并且過（0，0），利用拋物線的頂點坐標(biāo)式待定系數(shù)法求它的表達(dá)式則可．【解答】解：設(shè)y＝a（x﹣20）2+16，因為拋物線過（0，0），所以代入得：400a+16＝0，解得a＝﹣，故此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣（x﹣20）2+16．故答案為：y＝﹣（x﹣20）2+16．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式的方法以及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知得出圖象上點的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．18．（2023?金水區(qū)校級模擬）將一根長為50cm的鐵絲彎成一個長方形（鐵絲全部用完且無損耗）如圖所示，設(shè)這個長方形的一邊長為x（cm），它的面積為y（cm2），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25【分析】根據(jù)題意表示出長方形的另一邊長，進(jìn)而利用長方形面積求法得出答案．【解答】解：設(shè)這個長方形的一邊長為x（cm），則另一邊長為（50﹣x）cm，根據(jù)題意可得：y＝（50﹣x）?x＝﹣x2+25x．故選：C．【點評】此題主要考查了根據(jù)實際問題抽象出二次函數(shù)關(guān)系，正確表示出另一邊長是解題關(guān)鍵．三．二次函數(shù)的應(yīng)用（共8小題）19．（2023?晉中模擬）如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標(biāo)系，得到函數(shù)，在正常水位時水面寬AB＝30米，當(dāng)水位上升5米時，則水面寬CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米【分析】根據(jù)正常水位時水面寬AB＝30米，求出當(dāng)x＝15時y＝﹣9，再根據(jù)水位上升5米時y＝﹣4，代入解析式求出x即可．【解答】解：∵AB＝30米，∴當(dāng)x＝15時，y＝﹣×152＝﹣9，當(dāng)水位上升5米時，y＝﹣4，把y＝﹣4代入得，﹣4＝﹣x2，解得x＝±10，此時水面寬CD＝20米，故選：A．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)圖形找出相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行求值．20．（2023?吉州區(qū)校級二模）地理學(xué)上把兩翼指向上風(fēng)方向，迎風(fēng)坡平緩前進(jìn)，背風(fēng)坡陡呈弧線凸出，平面呈拋物線的沙丘叫做“拋物線型沙丘”．如圖1是我國最大沙漠塔克拉瑪干沙漠某處的拋物線型沙丘，以拋物線型沙丘最頂端為O點，建立如圖示所示的坐標(biāo)系，若點A的坐標(biāo)為（﹣15，﹣100），點B（a，﹣144）是圖1中沙丘左側(cè)兩個端點，則a的值為（）A．15 B．18 C．24 D．36【分析】根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為y＝mx2，將點A坐標(biāo)代入求出m的值即可得出其解析式，再求出y＝﹣144時x的值即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為y＝mx2，將點A（﹣15，﹣100）代入得﹣100＝225m，解得m＝﹣，則拋物線解析式為y＝﹣x2，當(dāng)y＝﹣144時，﹣x2＝﹣144，解得x＝±18，∵點B在第四象限，∴a＝18，故選：B．【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．21．（2023?濱州）某廣場要建一個圓形噴水池，計劃在池中心位置豎直安裝一根部帶有噴水頭的水管，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心的水距離也為3m，那么水管的設(shè)計高度應(yīng)為m．【分析】利用頂點式求得拋物線的解析式，再令x＝0，求得相應(yīng)的函數(shù)值，即為所求的答案．【解答】解：由題意可知點（1，3）是拋物線的頂點，∴設(shè)這段拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+3．∵該拋物線過點（3，0），∴0＝a（3﹣1）2+3，解得：a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣1）2+3．∵當(dāng)x＝0時，y＝﹣×（0﹣1）2+3＝﹣+3＝，∴水管的設(shè)計高度應(yīng)為m．故答案為：m．【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023?陳倉區(qū)三模）如圖，某動物園的大門由矩形ABCD和拋物線形DMC組成，分別以AB、AD所在直線為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，AD＝米，拋物線頂點M的坐標(biāo)為．（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）近期需對大門進(jìn)行裝修，工人師傅搭建一三角形木架OPE方便施工，點P正好在拋物線上且在點M右側(cè)，支撐桿PE⊥x軸于點E，PE＝3米，求支撐桿PE與大門最右側(cè)的水平距離BE．【分析】（1）設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣）2+，用待定系數(shù)法可得拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+x+；（2）由D（0，），拋物線對稱軸為直線x＝可得C（9，）；在y＝﹣x2+x+中，令y＝3得可得E橫坐標(biāo)x＝，即可得到支撐桿PE與大門最右側(cè)的水平距離為米．【解答】解：（1）設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣）2+，把D（0，）代入得：＝a+，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣）2+＝﹣x2+x+，∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2+x+；（2）由D（0，），拋物線對稱軸為直線x＝可得C（9，）；在y＝﹣x2+x+中，令y＝3得3＝﹣x2+x+，解得x＝或x＝，∵點P正好在拋物線上且在點M右側(cè)，∴x＝，∵9﹣＝（米），∴支撐桿PE與大門最右側(cè)的水平距離為米．【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，解題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決．23．（2023?靖邊縣二模）物理課上我們學(xué)習(xí)了物體的豎直上拋運動，若從地面豎直向上拋一小球，小球的高度h（單位：m）與小球運動的時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論：①小球在空中經(jīng)過的路程是40m；②h與t之間的函數(shù)關(guān)系式為；③小球的運動時間為6s；④小球的高度h＝20m時，t＝1.5s．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)求解．【解答】解：由圖象知小球在空中經(jīng)過的路程是40×2＝80m．故①是錯誤的；設(shè)函數(shù)解析式為：h＝a（t﹣3）2+40，由題意得：a（0﹣3）2+40＝0，解得：a＝﹣，∴h＝﹣（t﹣3）2+40．故②是錯誤的；當(dāng)t＝6時，高度為0，則運動時間是6s，或由圖象可知，小球6s時落地，故小球運動的時間為6s，故③是正確的；當(dāng)h＝20時，﹣（t﹣3）2+40＝20，解得h＝或．故④是錯誤的；故選：A．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．24．（2023?宜昌）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝10m．【分析】令y＝0，得到關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：令y＝0，則﹣（x﹣10）（x+4）＝0，解得：x＝10或x＝﹣4（不合題意，舍去），∴A（10，0），∴OA＝10．故答案為：10．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和利用點的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的線段是解題的關(guān)鍵．25．（2023?順平縣模擬）如圖，這是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）是1米，噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．現(xiàn)將噴灌架置于坡度為1：10的坡地底部點O處，草坡上距離O的水平距離為30米處有一棵高度約為2.375米的石榴樹AB．（1）噴射出的水流與坡面OA之間的最大鉛直高度是9.1米；（2）若要對這棵石榴樹進(jìn)行噴灌，則需將噴灌架向后移動5米．【分析】（1）設(shè)噴射出的水流與坡面OA之間的鉛直高度為h米，則，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可；（2）設(shè)將噴灌架向后移動a米，根據(jù)x＝30時拋物線上的點的縱坐標(biāo)值等于x＝30+a時的函數(shù)值，再列一元二次方程即可．【解答】（1）設(shè)噴射出的水流與坡面OA之間的鉛直高度為h米，則：＝，∴最大鉛直高度是9.1米；故答案為：9.1；（2）設(shè)將噴灌架向后移動a米，則圖中x＝30時，拋物線上的點的縱坐標(biāo)值等于x＝30+a時的函數(shù)值，當(dāng)x＝30時，點B的縱坐標(biāo)為0.1×30+2.375＝5.375，當(dāng)x＝30+a時，＝5.375，解得a1＝5，a2＝﹣25（不符合題意，舍去）．故答案為：5．【點評】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握待定系數(shù)法及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．26．（2023?橫山區(qū)三模）如圖1，一個移動噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線，圖2是噴灌架為一坡地草坪噴水的平面示意圖，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）OC＝1m，當(dāng)噴射出的水流與噴灌架的水平距離為12m時，達(dá)到最大高度7m，草坡上距離O的水平距離為18m的點A處有一棵高米的小樹，小樹垂直水平地面且點A到水平地面的距離為3m．?（1）請判斷水流能否澆灌到小樹后面的草地？并說明理由；（2）記水流的高度為y1，斜坡的高度為y2，求y1﹣y2的最大值．【分析】（1）根據(jù)題意得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（12，7），故設(shè)水流形成的拋物線的解析式為y＝a（x﹣12）2+7，將點C（0，1）代入得到a＝﹣，于是得到拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣12）2+7，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）由題意可知，拋物線的頂點坐標(biāo)為（12，7），故設(shè)水流形成的拋物線的解析式為y＝a（x﹣12）2+7，將點C（0，1）代入得a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣12）2+7，當(dāng)x＝18時，y＝﹣×36+7＝5.5＞+3，∴能水流澆灌到小樹后面的草地；（2）由題意可知點A的坐標(biāo)為（18，3），則直線OA為y2＝x，∴y1﹣y2＝﹣（x﹣12）2+7﹣x＝﹣（x﹣10）2+，∴y1﹣y2的最大值為．【點評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）某炮兵部隊實彈演習(xí)發(fā)射一枚炮彈，經(jīng)x秒后的高度為y米，且時間x與高度y的關(guān)系為．若此炮彈在第5秒與第16秒時的高度相等，則在下列哪一個時間段炮彈的高度達(dá)到最高．（

）A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒【答案】B【分析】二次函數(shù)是一個軸對稱圖形，到對稱軸距離相等的兩個點所表示的函數(shù)值也是一樣的．【詳解】解：根據(jù)題意可得：函數(shù)的對稱軸為直線，與差值最小，即當(dāng)時函數(shù)達(dá)到最大值．故選：B．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的對稱性，理解“如果兩個點到對稱軸距離相等，則所對應(yīng)的函數(shù)值也相等”是解決這個問題的關(guān)鍵．2．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)福建省統(tǒng)計局?jǐn)?shù)據(jù)，福建省年的地區(qū)生產(chǎn)總值為億元，年的地區(qū)生產(chǎn)總值為億元．設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程即可求解．【詳解】設(shè)這兩年福建省地區(qū)生產(chǎn)總值的年平均增長率為x，根據(jù)題意可列方程，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）2022年新冠病毒變異株奧密克戎來勢洶洶，為了更好地讓顧客做好防護(hù)，某商場銷售一款升級版的KN95口罩，市場信息顯示，銷售這種口罩，每天所獲的利潤y（元）與售價x（元/個）之間關(guān)系式滿足，第一天將售價定為16元/個，當(dāng)天獲利132元，第二天將售價定為20元/個，當(dāng)天獲利180元．則這種口罩的成本價是多少元/個？（單位利潤=售價?成本價）（

）A．10 B．12 C．14 D．15【答案】A【分析】根據(jù)題意列方程組求出二次函數(shù)的解析式，再列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：由題意知：當(dāng)時，；當(dāng)時，代入中，得，解得：，∴，當(dāng)每天利潤為0元時，售價即為成本價．令，解得：，由題意可知38不符合條件，∴，∴這種口罩的成本價是10元/個；故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．4．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn)，如圖是某座下方為拋物線形的廊橋示意圖．已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，為保護(hù)廊橋的安全，在該拋物線上距水面高為8米的點E，F(xiàn)處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離是（

）A．米 B．10米 C．米 D．米【答案】A【分析】已知拋物線上距水面高為8米的E、F兩點，可知E、F兩點縱坐標(biāo)為8，把代入拋物線解析式，可求E、F兩點的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性求長．【詳解】解：由于兩盞警示燈E、F距離水面都是8米，因而兩盞警示燈之間的水平距離就是直線與拋物線兩交點的橫坐標(biāo)差的絕對值．故有，即，解得，．所以兩盞警示燈之間的水平距離為：米．故選：A【點睛】本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，注意利用函數(shù)對稱的性質(zhì)來解決問題．5．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，要圍一個矩形菜園，共中一邊是墻，且的長不能超過，其余的三邊用籬笆，且這三邊的和為．有下列結(jié)論：①的長可以為；②的長有兩個不同的值滿足菜園面積為；③菜園面積的最大值為．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（

）

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】設(shè)的長為，矩形的面積為，則的長為，根據(jù)矩形的面積公式列二次函數(shù)解析式，再分別根據(jù)的長不能超過，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程求解即可．【詳解】設(shè)的長為，矩形的面積為，則的長為，由題意得，其中，即，①的長不可以為，原說法錯誤；③菜園面積的最大值為，原說法正確；②當(dāng)時，解得或，∴的長有兩個不同的值滿足菜園面積為，說法正確；綜上，正確結(jié)論的個數(shù)是2個，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解一元二次方程，準(zhǔn)確理解題意，列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．6．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？既＃┪靼泊笱闼魳穱娙俏靼驳囊粡埫S多人慕名前往．若其中一組噴泉水型可近似看成拋物線族，如圖出立坐標(biāo)系后，可由函數(shù)確定，其中1為實數(shù)．若其中某個噴泉水柱的最大高度是4，則此時對應(yīng)的t值為（）A．2 B．4 C．2或 D．4成【答案】C【分析】由可得其對稱軸為：，當(dāng)時，，即有，解方程即可求解．【詳解】由可得其對稱軸為：，根據(jù)，可知：當(dāng)時，，即有：，解得：，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，明確題意，得出當(dāng)時，，是解答本題的關(guān)鍵．7．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，，動點M，N分別從點A，B同時出發(fā)，沿射線，射線的方向勻速運動，且速度的大小相等，連接，，．設(shè)點M運動的路程為，的面積為，下列圖像中能反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先根據(jù)，求出與之間函數(shù)關(guān)系式，再判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，故與之間函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，圖像開口向上，時，函數(shù)有最小值6，故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是求出與之間函數(shù)關(guān)系式，再判斷與之間函數(shù)類型．8．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，利用一個直角墻角修建一個的四邊形儲料場，其中．若新建墻與總長為，則該儲料場的最大面積是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先添加輔助線，把直角梯形分成矩形和含直角三角形，求出梯形的上、下底和高，最后由梯形面積公式得出面積與之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接求解．【詳解】如圖，過點作于點，易得：四邊形為矩形，

∴，，設(shè)，∴，，∴，，則四邊形的面積為：，整理得：，∴當(dāng)長為時，儲料場的面積最大為．故選：．

【點睛】此題考查了梯形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的運用，利用梯形的面積建立二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·河北唐山·二模）如圖是一款拋物線型落地?zé)敉彩疽鈭D，防滑螺母為拋物線支架的最高點，燈罩距離地面米，最高點距燈柱的水平距離為米，燈柱為米，若茶幾擺放在燈罩的正下方，則茶幾到燈柱的距離為多少米．（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】以所在直線為軸、所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再求出時的值，即可得出答案．【詳解】如圖所示，以所在直線為軸、所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，

根據(jù)題意知，拋物線的頂點的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，將點代入得，，解得，拋物線的解析式為，當(dāng)時，，解得舍或，所以茶幾到燈柱的距離為米，故選：A．【點睛】本題考查了將二次函數(shù)的實際應(yīng)用轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象的抽象能力以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式與點的坐標(biāo)的能力，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．10．（2023春·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期中）利用長為的墻和長的籬笆來圍成一個矩形苗圃園，若平行于墻的一邊長不小于，則這個苗圃園面積的最大值和最小值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】設(shè)垂直于墻的一邊長為，則平行于墻的一邊長為，矩形面積為，先根據(jù)平行于墻的長度不小于，墻的長度為求出，再根據(jù)矩形面積公式求出，由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解；設(shè)垂直于墻的一邊長為，則平行于墻的一邊長為，矩形面積為，∵平行于墻的一邊長不小于，墻的長度為∴，∴，，∵，∴當(dāng)時，y隨x增大而減小，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴這個苗圃園面積的最大值和最小值分別為，，故選A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，一元一次不等式組的實際應(yīng)用，正確求出矩形面積與垂直于墻的一邊的二次函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）我校辦公樓前的花園是一道美麗的風(fēng)景，現(xiàn)計劃在花園里再加上一噴水裝置，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是______米．

【答案】【分析】將拋物線解析式配方為頂點式，得到頂點坐標(biāo)解題即可．【詳解】解：，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，即水噴出的最大高度是米，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的最值，將二次函數(shù)由一般式變形為頂點式，是解題的關(guān)鍵．12．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構(gòu)成，按照圖中所示的平面直角坐標(biāo)系，拋物線可以用表示．在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈，如果燈離地面的高度為，那么兩排燈的水平距離是________________米．【答案】【分析】把代入解析式，再解方程即可得結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意，當(dāng)時，則，解得：，，∴兩排燈的水平距離是米．故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題解決．13．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，一名學(xué)生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的距離_________m．

【答案】10【分析】令，則，再解方程，結(jié)合函數(shù)圖象可得答案．【詳解】解：令，則，解得：，，∴，故答案為：．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，理解題意令求解方程的解是解本題的關(guān)鍵．14．（2023春·江西宜春·九年級江西省宜豐中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）關(guān)于水平距離x（單位：米）的函數(shù)解析式是，則該男生鉛球推出的距離是_______米．【答案】10【分析】令，解一元二次方程，解得x的值并根據(jù)問題的實際意義作出取舍即可．【詳解】解：當(dāng)時，，解之得（不合題意，舍去），所以推鉛球的水平距離是10米，故答案為：10．【點睛】本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，明確二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，有一矩形紙片，長、寬分別為厘米和厘米，現(xiàn)在長寬上分別剪去寬為厘米（）的紙條，則剩余部分（圖中陰影部分）的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為____________．

【答案】【分析】陰影部分的長方形的的長為，寬為，然后根據(jù)長方形的面積公式即可求解．【詳解】陰影部分的長方形的的長為，寬為，所以面積．【點睛】本題考查了利用長方形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，其中根據(jù)題意，找到所求量的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．16．（2023·山東聊城·統(tǒng)考二模）某超市購進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，則該超市每天銷售這款拼裝玩具的最大利潤為______元（利潤＝總銷售額－總成本）．

【答案】800【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以求得日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，設(shè)每天的銷售利潤為w（元），利用利潤＝總銷售額－總成本求出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為，∵點，在該函數(shù)圖象上，∴，解得，即日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為，設(shè)每天的銷售利潤為w（元），則，∵，開口向下，∴當(dāng)時，有最大值為800，即該超市每天銷售這款拼裝玩具的最大利潤為800元，故答案為：800．【點睛】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式．17．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）一塊三角形材料如圖所示，，，，用這塊材料剪出一個矩形，其中，點D，E，F(xiàn)分別在上，能夠剪出的矩形的面積最大為________．

【答案】【分析】根據(jù)30°直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵，，且四邊形是矩形，∴，∴，∴∴在中，設(shè)，則∴∴在中，∴∴矩形的面積，∵，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)時，矩形的面積最大，為．故答案為：．【點睛】本題考查的是30°直角三角形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)、根據(jù)矩形的面積公式列出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·北京通州·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面，水面寬．如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是________．

【答案】【分析】設(shè)拋物線的關(guān)系式為，代入坐標(biāo)求出的值，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)拋物線的關(guān)系式為，由題意可知，拋物線過點，，解得：，拋物線的關(guān)系式為，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．三、解答題19．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）鄭州市彩虹橋新橋?qū)⒂?023年9月底建成通車．新橋采用三跨連續(xù)單拱肋鋼箱系桿拱橋，既保留了歷史記憶，又展示出鄭州的開放與創(chuàng)新．新橋的中跨大拱的拱肋可視為拋物線的一部分，橋面（視為水平的）與拱肋用垂直于橋面的系桿連接，測得拱肋的跨度為120米，與中點O相距30米處有一高度為27米的系桿．以所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立如圖②所示的平面直角坐標(biāo)系．

(1)求拋物線的解析式；(2)正中間系桿的長度是多少米？若相鄰系桿之間的間距均為3米（不考慮系桿的粗細(xì)），是否存在一根系桿的長度恰好是長度的？請說明理由．【答案】(1)(2)正中間系桿的長度是36米，不存在一根系桿的長度恰好是OC長度的，理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出正中間系桿的長度是36米，再建立方程求解即可．【詳解】（1）結(jié)合圖象由題意可知：，，設(shè)該拋物線解析式為：，則：，解得：，∴．（2）當(dāng)時，，∴正中間系桿的長度是36米．設(shè)存在一根系桿的長度是的，即這根系桿的長度是12米，則，解得．∵相鄰系桿之間的間距均為3米，最中間系標(biāo)在軸上，∴每根系桿上的點的橫坐標(biāo)均為整數(shù)．∴與實際不符．∴不存在一根系桿的長度恰好是長度的．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，涉及到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解一元二次方程等知識，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找出數(shù)量關(guān)系，列出方程，并根據(jù)實際意義求解．20．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）隨著科技的發(fā)展，掃地機器人已廣泛應(yīng)用于生活中，某公司推出一款新型掃地機器人，經(jīng)統(tǒng)計該產(chǎn)品2022年每個月的銷售情況發(fā)現(xiàn)，每臺的銷售價格隨銷售月份的變化而變化、設(shè)該產(chǎn)品2022年第（為整數(shù)）個月每臺的銷售價格為（單位：元），與的函數(shù)關(guān)系如圖所示（圖中為一折線）．

(1)當(dāng)時，求每臺的銷售價格與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)設(shè)該產(chǎn)品2022年第個月的銷售數(shù)量為（單位：萬臺），m與的關(guān)系可以用來描述，求哪個月的銷售收入最多，最多為多少萬元？（銷售收入每臺的銷售價格銷售數(shù)量）【答案】(1)(2)第5個月的銷售收入最多，最多為3375萬元【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)銷售收入每臺的銷售價格銷售數(shù)量求得銷售收入為萬元與銷售月份之間的函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時，設(shè)每臺的銷售價格與之間的函數(shù)關(guān)系式為．∵圖象過兩點，，解得∴當(dāng)時，每臺的銷售價格與之間的函數(shù)關(guān)系式為．（2）設(shè)銷售收入為萬元，①當(dāng)時，，，當(dāng)時，（萬元）．

②當(dāng)時，，，∴隨的增大而增大，∴當(dāng)時，（萬元）．