專(zhuān)題5角平分線(xiàn)四類(lèi)常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法(原卷版+解析)

專(zhuān)題5角平分線(xiàn)四類(lèi)常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法（原卷版）角平分線(xiàn)四大添加輔助線(xiàn)的方式類(lèi)型一過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)向角的一邊作垂線(xiàn)段典例1（2023春?普寧市校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．（1）求∠ADC的度數(shù)．（2）若DE＝5，點(diǎn)F是AC上的動(dòng)點(diǎn)，求DF的最小值．針對(duì)訓(xùn)練1．（2022春?二七區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，若AB＝20，△ABD的面積為60，則CD長(zhǎng)（）A．12 B．10 C．6 D．42．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝16，AD是△ABC的一條角平分線(xiàn)．若CD＝5，求△ABD的面積．3．（2023?惠州二模）如圖，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）若AE＝10，DE＝4，求AB的長(zhǎng)．4．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，并且AE=12（AB+AD），求∠ABC+∠5．（2023春?市北區(qū)校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，則△AED的面積為41．類(lèi)型二過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)段典例2（2023春?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如圖1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2，連接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面積．針對(duì)訓(xùn)練1．（2023?河曲縣一模）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線(xiàn)CP與內(nèi)角∠ABC的平分線(xiàn)BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°2．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求證：BC＝CD．3．（2023春?石阡縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB，∠ABC的平分線(xiàn)l1，l2相交于點(diǎn)O．求證點(diǎn)O在∠BAC的平分線(xiàn)上；4．如圖，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AD＝AB，AC＝AE．（1）求證：△ACD≌△AEB；（2）試猜想：∠AFD和∠AFE的大小關(guān)系，試說(shuō)明理由．

5．如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)．若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M，N兩點(diǎn)，請(qǐng)猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．6．已知，如圖，點(diǎn)B、C分別在射線(xiàn)OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面積等于△PCD的面積求證：OP平分∠AOD．類(lèi)型三把垂直于角平分線(xiàn)的線(xiàn)段延長(zhǎng)與角的另一邊相交典例3（2023秋?固始縣期末）已知如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求證CE=12針對(duì)訓(xùn)練1．（2021秋?惠山區(qū)期末）如圖，已知△ABC的面積為12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點(diǎn)D，則△ADC的面積是（）A．10 B．8 C．6 D．4

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B、D在y軸上，OA＝OB，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，且2BC＝AD．（1）求BC的延長(zhǎng)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)D到AB的距離．類(lèi)型四借助角平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性構(gòu)造全等（截長(zhǎng)補(bǔ)短）典例4已知如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE是△ABC的角平分線(xiàn)，并且它們交于點(diǎn)O，（1）求：∠AOC的度數(shù)；（2）求證：AC＝AE+CD．針對(duì)訓(xùn)練1．（2019秋?肥東縣期末）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線(xiàn)．（1）如圖1，∠C＝90°，∠B＝45°，點(diǎn)E在AB上，AE＝AC，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有與BE相等的線(xiàn)段．（2）如圖2，∠C≠90°，如果∠C＝2∠B，求證：AB＝AC+CD．

2．如圖，△ABC中，AD是∠CAB的平分線(xiàn)，且AB＝AC+CD．求證：∠C＝2∠B．3．（2017春?文登區(qū)期末）已知，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求證：AD＝DC．（1）如圖1，小明利用圓規(guī)，添加輔助線(xiàn)進(jìn)行證明，以點(diǎn)D為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)E，連接DE，小明的方法可行嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你用與小明不同的方法證明此題．

專(zhuān)題5角平分線(xiàn)四類(lèi)常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法（解析版）角平分線(xiàn)四大添加輔助線(xiàn)的方式類(lèi)型一過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)向角的一邊作垂線(xiàn)段典例1（2023春?普寧市校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．（1）求∠ADC的度數(shù)．（2）若DE＝5，點(diǎn)F是AC上的動(dòng)點(diǎn)，求DF的最小值．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠BAC，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出∠BAD，再利用外角的性質(zhì)求解；（2）根據(jù)垂線(xiàn)段最短得到當(dāng)DF⊥AC時(shí)，DF最小，再利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)求出DF＝DE＝5．【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠BAD=∠CAD=1∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝85°；（2）∵點(diǎn)F是AC上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)DF⊥AC時(shí)，DF最小，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝5．【總結(jié)提升】本題考查了三角形內(nèi)角和，角平分線(xiàn)的定義，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本定理和知識(shí)．針對(duì)訓(xùn)練1．（2022春?二七區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，若AB＝20，△ABD的面積為60，則CD長(zhǎng)（）A．12 B．10 C．6 D．4【思路引領(lǐng)】過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB于H，如圖，先根據(jù)三角形面積公式計(jì)算出DH＝6，然后根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到CD的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AB于H，如圖，∵S△ABD=12DH?∴DH=2×60∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝6．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．2．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝16，AD是△ABC的一條角平分線(xiàn)．若CD＝5，求△ABD的面積．【思路引領(lǐng)】根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得DE＝CD，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【解答】解：作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，CD＝5，∴DE＝CD＝5，∵AB＝16，∴△ABD的面積為12【總結(jié)提升】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，掌握角平分線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023?惠州二模）如圖，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求證：AC平分∠DAB；（2）若AE＝10，DE＝4，求AB的長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】（1）過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．由AAS證明△CDE≌△CBF，可得CE＝CF，結(jié)論得證；（2）證明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB．【解答】（1）證明：過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，在△CDE與△CBF中，∠D=∠CBF∠DEC=∠CFB∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB；（2）解：由（1）可得BF＝DE＝4，在Rt△ACE和Rt△ACF中，CE=CFAC=AC∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF＝10，∴AB＝AF﹣BF＝6．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線(xiàn)的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形．4．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，并且AE=12（AB+AD），求∠ABC+∠【思路引領(lǐng)】延長(zhǎng)AD過(guò)C作CF垂直AD于F，由“AAS”可證△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由條件AE=12（AB+AD），可證BE＝DF，由“SAS”可證△CDF≌△CEB，可得∠ABC＝∠【解答】解：過(guò)C作CF垂直AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC＝∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AF，∴∠DFC＝∠CEA＝90°，在△AFC和△AEC中，∠DFC=∠AEC∠FAC=∠EAC∴△AFC≌△AEC（AAS），∴AF＝AE，CF＝CE，∵AE=12（AB+∴2AE＝AB+AD，又∵AD＝AF﹣DF，AB＝AE+BE，AF＝AE，∴2AE＝AE+BE+AE﹣DF，∴BE＝DF，在△CDF和△CEB中，DF=BE∠DFC=∠CEB∴△CDF≌△CEB（SAS），∴∠ABC＝∠CDF，∵∠ADC+∠CDF＝180°，∴∠ABC+∠ADC＝180°．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判斷和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2023春?市北區(qū)校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DG，△ADG和△EFD的面積分別為50和4.5，則△AED的面積為41．【思路引領(lǐng)】作DM⊥AC，垂足為M，先證明△ADF≌△ADM，△DFE≌△DMG，由此推出S△ADM＝S△ADF＝S△ADG﹣S△EFD＝45.5，從而得出S△AED＝S△ADF﹣S△EFD＝41．【解答】解：作DM⊥AC，垂足為M，如圖，∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF＝DM，∵AD＝AD，DF＝DM，∴Rt△ADF≌Rt△ADM（HL），∵DE＝DG，DF＝DM，∴Rt△DFE≌Rt△DMG（HL），∴S△ADM＝S△ADF＝S△ADG﹣S△EFD＝50﹣4.5＝45.5，∴S△AED＝S△ADF﹣S△EFD＝45.5﹣4.5＝41．故答案為：41．【總結(jié)提升】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．證明△ADF≌△ADM，△DFE≌△DMG是解此題的關(guān)鍵．類(lèi)型二過(guò)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)段典例2（2023春?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如圖1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度數(shù)．（2）如圖2，連接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面積．【思路引領(lǐng)】（1）先根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算∠BDC的度數(shù)；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如圖2，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DH＝DE＝DF＝2，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ADC的面積．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=12∠ABC∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=12∠ACB∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°；（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如圖2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝1，∴△ADC的面積=12DF?AC【總結(jié)提升】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．針對(duì)訓(xùn)練1．（2023?河曲縣一模）如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線(xiàn)CP與內(nèi)角∠ABC的平分線(xiàn)BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【思路引領(lǐng)】根據(jù)外角與內(nèi)角性質(zhì)得出∠BAC的度數(shù)，再利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠FAP，即可得出答案【解答】解：延長(zhǎng)BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，設(shè)∠PCD＝x°，∵CP平分∠ACD，∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，∴PF＝PM，∵∠BPC＝40°，∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PAPM=PF∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故選：C．【總結(jié)提升】此題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)和直角三角全等的判定等知識(shí)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出PM＝PN＝PF是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，求證：BC＝CD．【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，作CF⊥AD于F，根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得CE＝CF，根據(jù)同角的補(bǔ)角相等求出∠D＝∠CBE，然后利用“角角邊”證明△BCE和△DCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．【解答】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴CE＝CF，∵∠ABC+∠CBE＝180°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝∠CBE，在△BCE和△DCF中，∠D=∠CBE∠E=∠CFD=90°∴△BCE≌△DCF（AAS），∴BC＝CD．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)以及三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023春?石阡縣期中）如圖，在△ABC中，∠ACB，∠ABC的平分線(xiàn)l1，l2相交于點(diǎn)O．求證點(diǎn)O在∠BAC的平分線(xiàn)上；【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D、E、F，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到OD＝OE，即可證明點(diǎn)O在∠BAC的平分線(xiàn)上；【解答】證明：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為D、E、F．∵∠ACB、∠ABC的平分線(xiàn)l1、l2相交于點(diǎn)O，∴OD＝OF，OE＝OF，∴OD＝OE，∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線(xiàn)上；【總結(jié)提升】本題主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定，三線(xiàn)合一定理，勾股定理，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AD＝AB，AC＝AE．（1）求證：△ACD≌△AEB；（2）試猜想：∠AFD和∠AFE的大小關(guān)系，試說(shuō)明理由．【思路引領(lǐng)】（1）求出∠DAC＝∠BAE，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出兩三角形面積相等和DC＝BE，根據(jù)面積公式求出AM＝AN，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)得出即可．【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAB+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△ACD和△AEB中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△ACD≌△AEB（SAS）；（2）∠AFD＝∠AFE，理由是：過(guò)A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，∵△ACD≌△AEB，∴S△ACD＝S△ABE，DC＝BE，∴12DC×AM=12BE∴AM＝AN，∴∠AFD＝∠AFE．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線(xiàn)性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出△ACD≌△AEB，注意：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上．5．如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)．若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M，N兩點(diǎn)，請(qǐng)猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【思路引領(lǐng)】當(dāng)PM⊥OA時(shí)，由四邊形內(nèi)角和為360°可得PN⊥OB，結(jié)合角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得PM、PN的關(guān)系；當(dāng)PM與OA不垂直時(shí)，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得PE＝PF，結(jié)合OP＝OP即可證明Rt△POE≌Rt△POF．根據(jù)圖中各角的數(shù)量關(guān)系可得∠MPE＝∠NPF；接下來(lái)，證明△PEM≌△PFN即可得到結(jié)論，據(jù)此解答．【解答】解：猜想PM、PN的數(shù)量關(guān)系是PM＝PN．理由：①當(dāng)PM⊥OA時(shí)，在四邊形OMPN中易得PN⊥OB．又點(diǎn)P在∠AOB的平分線(xiàn)上，∴PM＝PN．②當(dāng)PM與OA不垂直時(shí)，如圖，作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．∵∠PEO＝∠PFO＝90°，∴∠EPF+∠AOB＝180°．∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN，∴∠EPM＝∠FPN．∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF．在△PEM和△PFN中，∠MPE＝∠NPF，PE＝PF，∠PEM＝∠PFN，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PM＝PN．【總結(jié)提升】本題側(cè)重考查全等三角形的題目，需結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)解答．6．已知，如圖，點(diǎn)B、C分別在射線(xiàn)OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面積等于△PCD的面積求證：OP平分∠AOD．【思路引領(lǐng)】作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，根據(jù)三角形的面積公式得到PE＝PF，根據(jù)角平分線(xiàn)的判定定理證明即可．【解答】證明：作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，∵△PAB的面積等于△PCD的面積，AB＝CD，∴PE＝PF，∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥CD，∴OP平分∠AOD．【總結(jié)提升】本題考查的是角平分線(xiàn)的判定定理，掌握到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三把垂直于角平分線(xiàn)的線(xiàn)段延長(zhǎng)與角的另一邊相交典例3（2023秋?固始縣期末）已知如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求證CE=12【思路引領(lǐng)】分別延長(zhǎng)CE、BA，它們交于F點(diǎn)，由BE平分∠ABC，CE⊥BE，得到△BCF為等腰三角形，F(xiàn)C＝2EC；易證得Rt△≌Rt△ACF，則根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，BD＝CF，即可得到結(jié)論．【解答】證明：分別延長(zhǎng)CE、BA，它們交于F點(diǎn)，如圖：∵BE平分∠ABC，CE⊥BE，∴△BCF為等腰三角形，F(xiàn)C＝2EC，∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∠ADB＝∠EDC，∴∠2＝∠3，而AB＝AC，∴Rt△ABD≌Rt△ACF，∴BD＝CF，∴CE=12【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．特別是底邊上的高，中線(xiàn)和頂角的角平分線(xiàn)合一．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．針對(duì)訓(xùn)練1．（2021秋?惠山區(qū)期末）如圖，已知△ABC的面積為12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點(diǎn)D，則△ADC的面積是（）A．10 B．8 C．6 D．4【思路引領(lǐng)】延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，則可知△ABE為等腰三角形，則S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，可得出S△ADC=12S△【解答】解：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EADAD=AD∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC=12S△ABC故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，由BD＝DE得到S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B、D在y軸上，OA＝OB，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，4），過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)C，且2BC＝AD．（1）求BC的延長(zhǎng)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）求點(diǎn)D到AB的距離．【思路引領(lǐng)】（1）過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BC與x軸交于點(diǎn)M，根據(jù)等角的余角相等求出∠MBO＝∠DAO，然后利用“角邊角”證明△BOM和△AOD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OM＝OD，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BM＝AD，然后求出MC＝BC，再利用“邊角邊”證明△ACM和△ACB全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠MAC＝∠BAC，再根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DN＝OD．【解答】證明：（1）過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，延長(zhǎng)BC與x軸交于點(diǎn)M，∵BC⊥AD，∴∠MBO+∠BDC＝90°，又∵∠ADO+∠DAO＝90°，∠BDC＝∠ADO，∴∠MBO＝∠DAO，在△BOM和△AOD中，∠MBO=∠DAOOA=OB∴△BOM≌△AOD（ASA），∴OM＝OD＝4，∴M（﹣4，0）；（2）∵△BOM≌△AOD，∴BM＝AD＝2BC，∴MC＝BC，在△ACM和△ACB中，MC=BC∠ACM=∠ACB=90°∴△ACM≌△ACB（SAS），∴∠MAC＝∠BAC，∴DN＝OD＝4，故點(diǎn)D到AB的距離是4．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型四借助角平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性構(gòu)造全等（截長(zhǎng)補(bǔ)短）典例4已知如圖，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE是△ABC的角平分線(xiàn)，并且它們交于點(diǎn)O，（1）求：∠AOC的度數(shù)；（2）求證：AC＝AE+CD．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC+∠ACB，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出∠OAC+∠OCA，然后在△AOC中，利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解；（2）在AC上截取AF＝AE，利用“邊角邊”證明△AOE和△AOF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AOF＝∠AOE，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠AOE＝60°，再求出∠COF＝60°，然后求出∠COD＝∠COF，然后利用“角邊角”證明△COD和△COF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF＝CD，再根據(jù)AC＝AF+CF整理即可得證．【解答】（1）解：∵∠B＝60°，∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵AD、CE是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠OAC+∠OCA=12（∠BAC+∠ACB）在△AOC中，∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣60°＝120°；（2）證明：如圖，在AC上截取AF＝AE，∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠OAE＝∠OAF，在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAF∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOF＝∠AOE，∵∠AOE＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠AOF＝60°，∵∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝120°﹣60°＝60°，∠COD＝∠AOE＝60°，∴∠COD＝∠COF，∵CE是△ABC的平分線(xiàn)，∴∠OCD＝∠OCF，在△COD和△COF中，∠COD=∠COFCO=CO∴△COD≌△COF（ASA），∴CF＝CD，∵AC＝AF+CF，∴AC＝AE+CD．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，（1）整體思想的利用是解題的關(guān)鍵，（2）作輔助線(xiàn)并根據(jù)角的度數(shù)是60°得到相等的角是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．（2019秋?肥東縣期末）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線(xiàn)．（1）如圖1，∠C＝90°，∠B＝45°，點(diǎn)E在邊AB上，AE＝AC，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中所有與BE相等的線(xiàn)段．（2）如圖2，∠C≠90°，如果∠C＝2∠B，求證：AB＝AC+CD．【思路引領(lǐng)】（1）先寫(xiě)出圖中所有與BE相等的線(xiàn)段，再根據(jù)題目中的條件和全等三角形的判定和性質(zhì)即可說(shuō)明有與BE相等的線(xiàn)段成立的條件；（2）仿照（1）中的方法，可以證明AB＝AC+CD．【解答】解：（1）與BE相等的線(xiàn)段是DE和DC，理由：∵AD為△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠CAD＝∠EAD，在△AED和△ACD中AE=AC∠EAD=∠CAD∴△AED≌△ACD（SAS），∴DE＝DC，∠DEA＝∠C＝90°，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴BE＝DE＝DC，即與BE相等的線(xiàn)段是DE和DC；（2）在AB上截取AE＝AC，連接DE，∵AD為△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠CAD＝∠EAD，在△AED和△ACD中AE=AC∠EAD=∠CAD∴△AED≌△ACD（SAS）