3.2.2 函數(shù)的奇偶性（精練）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

3.2.2函數(shù)的奇偶性（精練）1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于A，的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是奇函數(shù)，A是；對(duì)于B，的定義域?yàn)镽，，函數(shù)不是奇函數(shù)，B不是；對(duì)于C，的定義域?yàn)镽，，函數(shù)不是奇函數(shù)，C不是；對(duì)于D，的定義域?yàn)镽，，函數(shù)不是奇函數(shù)，D不是.故選：A2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于奇函數(shù)與偶函數(shù)的敘述中：①奇函數(shù)的圖象必通過原點(diǎn)；②偶函數(shù)的圖象必與y軸相交；③奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)必是.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不一定過原點(diǎn)，如，故①錯(cuò)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但不一定與軸相交，如，故②錯(cuò)；根據(jù)奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故③對(duì)；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)不一定是，如，故④錯(cuò)；故選：B3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則等于（

）A．8 B． C． D．10【答案】C【【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，令函數(shù)，顯然，即函數(shù)是R上的奇函數(shù)，因此，即，而，所以.故選：C4（2023·河北）已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以.故選：B.5．（2022秋·河南）已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)則在R上的表達(dá)式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，則，結(jié)合已知解析式知：.故選：D6．（2023·浙江）已知是上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．1.4 B．3.4 C．1.6 D．3.6【答案】C【解析】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.7．（2022秋·江西贛州·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)且，則（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【解析】由，令，則，，故是奇函數(shù)，所以，所以．故選:A．8．（2023北京）已知是定義在上的周期為3的偶函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由是定義在上的周期為3的偶函數(shù)，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.9．（2023·浙江杭州·高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，故選：A.10．（2022秋·安徽馬鞍山）若定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闉榈钠婧瘮?shù)，又，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，或，或，由，，可得；由，，可得；所以的解集為.故選：D.11．（2022秋·江西撫州）下列四個(gè)函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)是增函數(shù)；對(duì)于B，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)是增函數(shù)；對(duì)于C，，不是偶函數(shù)；對(duì)于D，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是對(duì)稱軸，開口向上的拋物線，是減函數(shù)；故選：D.12．（2023·浙江）（多選）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：，，且，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．為偶函數(shù) C．為奇函數(shù) D．【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，取可得，又，所以，A對(duì)；取可得，因?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，C錯(cuò)，B對(duì)；取可得，又，所以，D對(duì)．故選：ABD12．（2022秋·江西贛州·高一統(tǒng)考期中）（多選）定義在上的函數(shù)滿足，且是單調(diào)函數(shù)，，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足，所以是奇函數(shù)，從而，所以A正確；因?yàn)槭菃握{(diào)函數(shù)，且，所以是上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，所以B正確；取，則滿足題干的所有條件，此時(shí)，所以C錯(cuò)誤；由于，且是上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，所以D正確.故選：ABD.13．（2023秋·浙江衢州·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知定義在上的非常數(shù)函數(shù)滿足，則（

）A． B．為奇函數(shù) C．是增函數(shù) D．是周期函數(shù)【答案】AB【解析】對(duì)于A項(xiàng)，令得：，解得：，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，令得：，由A項(xiàng)知，，所以，所以為奇函數(shù)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，滿足，但是減函數(shù).故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，滿足，但不是周期函數(shù).故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.14．（2023春·云南普洱·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是偶函數(shù)C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】ABD【解析】因?yàn)闈M足，所以是偶函數(shù)；因?yàn)闈M足，所以是偶函數(shù)，因?yàn)闈M足，所以是奇函數(shù)；因?yàn)闈M足，所以是偶函數(shù)；故選：ABD．15．（2023春·云南普洱·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又是在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故A滿足；是奇函數(shù)，故B不滿足；是偶函數(shù)，但在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C不滿足；是偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D滿足，故選：AD16．（2023·新疆）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的解析式為_________．【答案】【解析】由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，則，所以.綜上所述，.故答案為：17．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）己知偶函數(shù)的定義域?yàn)椋以谏鲜窃龊瘮?shù)，若，則不等式的解集是__________．【答案】【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，又，所以，當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式即為，解得，此時(shí)，故答案為：，18．（2022秋·貴州畢節(jié)·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，的最大值為，最小值為，則__________．【答案】4【解析】的定義域是，，所以為奇函數(shù)，設(shè)的最大值為，則最小值為，所以，所以．故答案為：19．（2022秋·高一單元測(cè)試）若定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，有，則下列說法中：①為奇函數(shù)；②為偶函數(shù)；③為奇函數(shù)；④為偶函數(shù).一定正確的是_________________.【答案】③【解析】對(duì)任意，有，令，得，令，，得，整理得，故為奇函數(shù)，無法判斷的奇偶性.故答案為：③.20．（2022春·北京·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集是______.【答案】【解析】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，解得.又，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，解得，故答案為：.21．（2023·江蘇蘇州）已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】由題知：在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，符合題意，當(dāng)時(shí)，，，，不符合題意，綜上的解集為故答案為：22．（2022秋·廣東佛山）若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為_________；若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)．則不等式的解集為_________【答案】【解析】令，即，則；由題意可得：.故答案為：；23．（2022秋·廣東肇慶）已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)．(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義法證明；【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析(2)f（x）在（－1，1）上為單調(diào)遞增函數(shù)，證明見解析【解析】（1）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)證明如下：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù).（2）f（x）在上為單調(diào)遞增函數(shù)證明如下：設(shè)－1＜x1＜x2＜1，則.因?yàn)椋?＜x1＜x2＜1，，所以，則.故f（x）在上為單調(diào)遞增函數(shù).24．（2022春·海南省直轄縣級(jí)單位·高一海南二中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)判斷的奇偶性并證明；(2)當(dāng)時(shí)，判斷的單調(diào)性并證明；(3)在(2)的條件下，若實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍.【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；(2)單調(diào)遞增，證明見解析；(3)．【解析】（1）是奇函數(shù)，證明如下：∵f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，∴函數(shù)是奇函數(shù)；（2）f(x)在上單調(diào)遞增，證明如下：任取，且，則，∵，∴，∴，即，∴f(x)在上單調(diào)遞增；（3）由(2)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，解之得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．25．（2023山東）已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)畫出的圖象；(3)求該函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)圖象見解析(3)【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)槭嵌x在R上的偶函數(shù)，所以，所以，綜上，；（2）當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，畫出函數(shù)圖象如下：（3）由（2）可知看出函數(shù)的值域?yàn)?26．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)對(duì)任意，恒有成立，且．(1)求證：是奇函數(shù)；(2)求的值；(3)若時(shí)，，試求在上的最大值和最小值．【答案】(1)證明見解析(2)，(3)最大值為2，最小值為【解析】（1）定義域?yàn)椋?，得，再令，得，所以，故是奇函?shù)；（2）因?yàn)椋柿畹?，即，又是奇函?shù)，所以，令得，令得故；（3）不妨設(shè)，中，令得，，因?yàn)?，又時(shí)，，所以，即，所以在R上單調(diào)遞減，故．27．（2023春·湖北宜昌·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，判斷的奇偶性（不用證明）．(2)當(dāng)時(shí)，先用定義法證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，再求函數(shù)在上的最小值．(3)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)奇函數(shù)(2)證明見解析，最小值為(3)【解析】（1）為奇函數(shù)．理由如下：，函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以是奇函數(shù)．（2）當(dāng)時(shí)，，，且，所以，因?yàn)?，所以，，，所以，即，于是有，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為．（3）若對(duì)任意，恒成立，則所以問題轉(zhuǎn)化為a大于函數(shù)在上的最大值，，，由二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，開口向下，對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以最大值為，即.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是．28．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)利用定義證明在上的單調(diào)性；(3)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)-1.(2)證明見解析.(3).【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，，.（2）由（1）可知，設(shè)，，，，，，，在上的單調(diào)遞增.（3）,,又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，在上的單調(diào)遞增.，當(dāng)，當(dāng)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是.29．（2022秋·云南西雙版納·高一西雙版納州第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，有.(1)求，的值；(2)判斷的單調(diào)性（不需要寫證明過程）；(3)若對(duì)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)(3)【解析】1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)∴，即∴.

又因?yàn)椋?，所以，?jīng)檢驗(yàn)得符合題意.綜上所述，.（2）由（1）知，，，所以，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù).（3）由（1）可知，，則因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)所以，

所以，綜上所述，，由（2）知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，由于對(duì)恒成立，則，，即，于是有，解得或，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.1．（2023四川省達(dá)州）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，，，則（

）A．3 B． C．6 D．0【答案】B【解析】由知，函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，，所以.故選：B2．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·高一嘉積中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則（

）A． B．2 C．0 D．5【答案】D【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)椋?，所以，所以的周期?，所以，故選：D3．（2022春·安徽滁州·高一統(tǒng)考期末）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，若函數(shù)滿足，則有，則有，可得，則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即.故選：A.4．（2023春·湖北·高一荊州中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的滿足且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】不妨設(shè)，且，因?yàn)?，所以，不等式兩邊同除以得，，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，定義域?yàn)椋质嵌x在上的奇函數(shù)，故，所以為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，變形得到，即，解得，所以解集為，當(dāng)時(shí)，變形得到，即，解得，所以解集為，所以不等式的解集為.故選：D5．（2023春·黑龍江大慶·高一大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以有，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以有，，所以函數(shù)的周期為，由，由，由，，，故選：A6．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知，都是定義在上且不恒為0的函數(shù)，則（

）A．為偶函數(shù)B．為奇函數(shù)C．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為奇函數(shù)D．若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則為非奇非偶函數(shù)【答案】AD【解析】選項(xiàng)A：設(shè)，因?yàn)槭嵌x在上的函數(shù)，所以的定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，故A正確；選項(xiàng)B：，因?yàn)槭嵌x在上的函數(shù)，所以的定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)，因?yàn)?，都是定義在上的函數(shù)，所以的定義域?yàn)?，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，所以，所以為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：設(shè)，因?yàn)?，都是定義在上的函數(shù)，所以的定義域?yàn)?，，因?yàn)槭遣缓銥?的函數(shù)，所以不恒成立，所以不是奇函數(shù)，，因?yàn)槭遣缓銥?的函數(shù)，所以不恒成立，所以不是偶函數(shù)，所以是非奇非偶函數(shù)，故D正確，故選：AD.7．（2023春·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)期中）（多選）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的周期是4 B．直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸C．在上單調(diào)遞減 D．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，即的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則，所以，所以是周期為4的函數(shù)，故A正確；因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，且為奇函數(shù)，所以關(guān)于直線對(duì)稱，又是周期為4的函數(shù)，所以關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)?，所以直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故B正確；由是定義在上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，可得當(dāng)時(shí)，，令，則，所以，此時(shí)單調(diào)遞增，因?yàn)椋栽谏系膯握{(diào)性相當(dāng)于在上的單調(diào)性，故此時(shí)遞增，故C錯(cuò)誤；，所以，故D正確.故選：ABD.8．（2022秋·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中m為常數(shù).(1)若函數(shù)是奇函數(shù)，求m的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；(3)在（1）的條件下，對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【解析】（1）函數(shù)，定義域?yàn)镽，若函數(shù)是奇函數(shù)，，，，解得.（2）在R上單調(diào)遞減，證明如下，任取，則，由，有，，，所以，即，故在R上單調(diào)遞減；（3）由（1）（2）可知，函數(shù)是奇函數(shù)且在R上單調(diào)遞減，，即，得，即，令，則，當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，所以；當(dāng)，即時(shí)，，解得當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得與矛盾，所以無解；綜上，實(shí)數(shù)n的取值范圍為.9．（2023·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）若函數(shù)在時(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，就稱區(qū)間為的一個(gè)“倒域區(qū)間”.已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”；(3)求函數(shù)在定義域內(nèi)的所有“倒域區(qū)間”.【答案】(1)(2)(3)和【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，則，由奇函數(shù)的定義可得，所以，.（2）解：設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，且在上的值域?yàn)椋?，，解得，所以，函?shù)在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.（3）解：在時(shí)，函數(shù)值的取值區(qū)間恰為，其中且，，所以，，則，只考慮或，①當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，則，所以，，所以，，由（2）知在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，所以，，所以，.，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則，解得，所以，在內(nèi)的“倒域區(qū)間”為.綜上所述，函數(shù)在定義域內(nèi)的“倒域區(qū)間”為和.10．（2023秋·廣東揭陽(yáng)）已知是定義在上的奇函數(shù)，其中、，且.(1)求、的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(3)設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，