4.4 對數(shù)函數(shù)（精講）（解析版）-人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一

4.4對數(shù)函數(shù)（精講）一．對數(shù)函數(shù)的概念1.概念：一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞).2.概念理解(1)因為對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)變化而來的，對數(shù)函數(shù)的自變量恰好是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值，所以對數(shù)函數(shù)的定義域是(0，＋∞)，對數(shù)函數(shù)的底數(shù)a>0，且a≠1.(2)形式上的嚴(yán)格性：在對數(shù)函數(shù)的定義表達(dá)式y(tǒng)＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前邊的系數(shù)必須是1，自變量x在真數(shù)的位置上，否則就不是對數(shù)函數(shù).二．對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域(0，＋∞)值域R過定點過定點(1，0)，即x＝1時，y＝0函數(shù)值的變化當(dāng)0<x<1時，y<0，當(dāng)x>1時，y>0當(dāng)0<x<1時，y>0，當(dāng)x>1時，y<0單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)對數(shù)函數(shù)圖像兩個單調(diào)性相同的對數(shù)函數(shù)，它們的圖象在位于直線x＝1右側(cè)的部分是“底大圖低”，如圖.四.反函數(shù)一般地，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的定義域和值域正好互換.對數(shù)函數(shù)的判斷1.系數(shù)：對數(shù)符號前面的系數(shù)為12.底數(shù)：對數(shù)的底數(shù)大于0且不等于13.真數(shù)：對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x二．定義域1.分母不能為0；2.根指數(shù)為偶數(shù)時，被開方數(shù)非負(fù)；3.對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.三．比較對數(shù)值大小1.同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.2.同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化.3.底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量.4.若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進(jìn)行分類討論.四.y＝logaf(x)型函數(shù)性質(zhì)1.定義域：由f(x)>0解得x的取值范圍，即為函數(shù)的定義域.2.值域：在函數(shù)y＝logaf(x)的定義域中確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調(diào)性確定函數(shù)的值域.3.單調(diào)性：在定義域內(nèi)考慮t＝f(x)與y＝logat的單調(diào)性，根據(jù)同增異減法則判定.(或運用單調(diào)性定義判定)4.奇偶性：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定.5.最值：在f(x)>0的條件下，確定t＝f(x)的值域，再根據(jù)a確定函數(shù)y＝logat的單調(diào)性，最后確定最值.6.logaf(x)<logag(x)型不等式的解法(1)討論a與1的關(guān)系，確定單調(diào)性；(2)轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)的不等關(guān)系求解，且注意真數(shù)大于零.7.兩類對數(shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①當(dāng)0<a<1時，可轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)>0；②當(dāng)a>1時，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可變形為logaf(x)<b＝logaab.①當(dāng)0<a<1時，可轉(zhuǎn)化為f(x)>ab；②當(dāng)a>1時，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<ab.考點一對數(shù)函數(shù)的概念【例1-1】（2023·全國·高一課堂例題）（多選）下列函數(shù)中為對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．（是常數(shù)）【答案】CD【解析】對于A，真數(shù)是，故A不是對數(shù)函數(shù)；對于B，，真數(shù)是，不是，故B不是對數(shù)函數(shù)；對于C，的系數(shù)為1，真數(shù)是，故C是對數(shù)函數(shù)；對于D，底數(shù)，真數(shù)是，故D是對數(shù)函數(shù)．故選：CD【例1-2】（2023秋·高一課時練習(xí)）若函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，則a的值是（

）A．1或2 B．1C．2 D．且【答案】C【解析】∵函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，∴，且，解得或，∴，故選：C．【一隅三反】1．（2022秋·云南曲靖·高一校考階段練習(xí)）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】形如的函數(shù)叫作對數(shù)函數(shù)，它的定義域是，對于A，滿足，故A正確；對于B，C，D，形式均不正確，均錯誤.故選：A2．（2023秋·高一課前預(yù)習(xí)）在中，實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】要使式子有意義，則，解得或.故A，C，D錯誤.故選：B.3．（2023秋·高一課時練習(xí)）（多選）函數(shù)中，實數(shù)的取值可能是（）A． B．3C．4 D．5【答案】AC【解析】因為，所以根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義得：，即：，所以或，故選：AC.考點二對數(shù)函數(shù)的定義域【例2-1】（2022秋·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的定義域為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得：，解得，定義域為.故選：A.【例2-2】（2023秋·遼寧）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為.【答案】【解析】已知函數(shù)的定義域為，所以，，所以函數(shù)的定義域為，又，且，解得，且，所以定義域為.故答案為：.【例2-3】（2023秋·江蘇連云港·）若函數(shù)f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】(-2,2)【解析】由題意得在R上恒成立，所以，解得.故答案為：.【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習(xí)）函數(shù)的定義域是（

）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】由題意得，∴或，故定義域為或，故選：D.2．（2023秋·寧夏銀川）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，解得.故選：D3．（2023春·浙江溫州）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，解得且，所以的定義域為.故選：D.考點三對數(shù)函數(shù)圖像的辨析【例3-1】（2023·云南保山）函數(shù)與（其中）的圖象只可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】對于A，因為，故為R上的減函數(shù)，其圖象應(yīng)下降，A錯誤；對于B，時，為R上的減函數(shù)，為上增函數(shù)，圖象符合題意；對于C，時，為上增函數(shù)，圖象錯誤；對于D，時，為上增函數(shù)，圖象錯誤；故選：B【例3-2】（2023秋·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）若，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】，在上單調(diào)遞減，且過第一，第四象限，圖像向左平移個單位，得到，故函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限，故選：．【例3-3】（2023秋·高一課時練習(xí)）若函數(shù)且的圖象恒過定點，則實數(shù)，．【答案】－22【解析】】∵函數(shù)的圖象恒過定點，∴將代入，得．又當(dāng)，且時，恒成立，，．故答案為：；【一隅三反】1．（2023·全國·高一假期作業(yè)）如圖（1）（2）（3）（4）中，不屬于函數(shù)，，的一個是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【答案】B【解析】因為，（3）是，（4）是，又與關(guān)于軸對稱，（1）是．故選：B．2．（2023·廣西）若函數(shù)的圖象不過第四象限，則實數(shù)a的取值范圍為．【答案】【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，其定義域為，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可得，要使函數(shù)的圖象不過第四象限，則，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.3．（2023秋·高一課時練習(xí)）（多選）已知，且，則函數(shù)與的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AC【解析】若，則函數(shù)的圖象單調(diào)遞減且過點，函數(shù)的圖象單調(diào)遞減且過點；若，則函數(shù)的圖象單調(diào)遞增且過點，而函數(shù)的圖象單調(diào)遞增且過點，只有A,C的圖象符合．故選：AC4．（2023秋·新疆塔城·高一烏蘇市第一中學(xué)?？计谀┖瘮?shù)（，且）的圖象恒過點．【答案】【解析】令，解得，此時，故（，且）的圖象恒過點.故答案為：考點四比較對數(shù)值的大小【例4-1】（2023秋·高一課時練習(xí)）比較下列各組中兩個值的大?。?②.③.④且.【答案】答案見解析【解析】①因為在上是增函數(shù)，且，則，所以②作出和的圖象如下圖．

由圖象知.③因為，,所以.④當(dāng)時，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，則有；當(dāng)時，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則有.綜上所述，當(dāng)時，；當(dāng)時，.【例4-2】（2023秋·河南南陽·高一統(tǒng)考期末）三個實數(shù)的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由于，，故，故選：B【一隅三反】1．（2023秋·重慶）若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，，所以．故選：D2．（2023秋·湖北武漢）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由在上單調(diào)遞減可知，，即；由對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增可知，，即；又可知，即；所以可得.故選：A3．（2023秋·廣西南寧）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，因為在定義域上是增函數(shù)，且，故.故選：C.4．（2023秋·寧夏銀川）函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，可得，，由對數(shù)的運算性質(zhì)，可得，，又由，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以，即.故選：D.考點五對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用【例5-1】（2023春·甘肅武威）函數(shù)的遞減區(qū)間為.【答案】【解析】因為在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，的遞減區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間，且要滿足，解得或，其中在上單調(diào)遞增，故的遞減區(qū)間為.故答案為：【例5-2】（2023·河南）設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)，得，即函數(shù)的定義域為，令，由函數(shù)的對稱軸為：，開口向下，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增時，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：，解得，故選：D.【一隅三反】1.（2023福建）求函數(shù)單調(diào)(1－eq\r(2)，1)減區(qū)間.【答案】(1－eq\r(2)，1)【解析】函數(shù)的定義域為－x2＋2x＋1>0，由二次函數(shù)的圖象知1－eq\r(2)<x<1＋eq\r(2).∴t＝－x2＋2x＋1在(1－eq\r(2)，1)上是增加的，而在(1，1＋eq\r(2))上是減少的，而y＝為減函數(shù).∴函數(shù)的減區(qū)間為(1－eq\r(2)，1).2.（2023安徽）已知函數(shù)在區(qū)間(－∞，eq\r(2))上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】[2eq\r(2)，2(eq\r(2)＋1)【解析】令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,2)))上是減函數(shù)，∵0<eq\f(1,2)<1，∴y＝是減函數(shù)，而已知復(fù)合函數(shù)在區(qū)間(－∞，eq\r(2))上是增函數(shù)，∴只要g(x)在(－∞，eq\r(2))上是減少的，且g(x)>0在x∈(－∞，eq\r(2))恒成立，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)≤\f(a,2)，,g（\r(2)）＝（\r(2)）2－\r(2)a＋a≥0，))∴2eq\r(2)≤a≤2(eq\r(2)＋1)，故所求a的取值范圍是[2eq\r(2)，2(eq\r(2)＋1)].3．（2023秋·江蘇南通）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是【答案】【解析】在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，則，又∵在恒成立，則，故，∴，考點六解對數(shù)不等式【例6-1】（2023秋·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，則使得成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：B【例6-2】（2023秋·高一課時練習(xí)）不等式的解集為．【答案】【解析】因為，可得對數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則原不等式等價于，解得，即原不等式的解集為.故答案為：.【例6-3】（2023秋·陜西渭南）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，則不等式的解集為.【答案】或.【解析】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以在上遞增，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以由，得，所以，所以或，所以或，解得或，所以不等式的解集為或.故答案為：或.【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習(xí)）不等式的解集是.【答案】【解析】易知，由可得；又函數(shù)在為單調(diào)遞減，所以可得，解得.故答案為：2．（2023秋·高一課時練習(xí)）解下列關(guān)于x的不等式．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【解析】（1）由題意可得解得，所以原不等式的解集為．（2）當(dāng)時，原不等式等價于，解得，當(dāng)時，原不等式等價于解得綜上所述，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.（3）當(dāng)時，由，可得，此時無解；當(dāng)時，由，可得．綜上，原不等式的解集為.考點七對數(shù)型函數(shù)的值域（最值）【例7-1】（2023秋·高一課時練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的值域是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】在上是減函數(shù)，，即值域為.故選：A.【例7-2】．（2023·高一?？颊n時練習(xí)）求函數(shù)的值域.【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為：，而方程的，所以對恒成立，令：在上是減函數(shù)，所以，即原函數(shù)的值域為故答案為：【例7-3】（2023秋·江蘇南通）已知函數(shù)，在上的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)，，令，則.所以原函數(shù)轉(zhuǎn)化為,又對稱軸為，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，當(dāng)或時，函數(shù)取得最大值為，所以所求函數(shù)的值域為，

故選：A．【例7-4】（2023春·重慶北碚）已知函數(shù)既沒有最大值，也沒有最小值，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，a不等于0時，,當(dāng)?shù)?，二次函?shù)沒有最大值，有最小值，沒有最大值，有最小值，不合題意.當(dāng)?shù)茫?，二次函?shù)沒有最大值，有最小值，,沒有最大值，沒有最小值，當(dāng)?shù)茫魏瘮?shù)有最大值，沒有最小值，,有最大值，沒有最小值，不合題意.當(dāng)無解.當(dāng),既沒有最大值，也沒有最小值，沒有最大值，沒有最小值，.故選：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由知，，值域是．故選：C2．（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的值域是．【答案】【解析】令，則，因為，所以的值域為，因為在是減函數(shù)，所以，所以的值域為，故答案為：3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，設(shè)，則函數(shù)的值域為．【答案】【解析】由題意得，則，即的定義域為，故，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故函數(shù)的值域為，故答案為：4．（2023·全國·高一假期作業(yè)）函數(shù)的最小值為．【答案】/【解析】顯然，∴，

令，∵x∈，∴t∈[－1，2]，則，當(dāng)且僅當(dāng)t＝－即x＝時，有.故答案為：5．（2023春·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)且，若函數(shù)的值域是，則的取值范圍是【答案】【解析】由于函數(shù)且的值域是，故當(dāng)時，滿足.若在它的定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時，由，.若在它的定義域上單調(diào)遞減，，不滿足的值域是.綜上可得，.考點八對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運用【例8】（2023秋·山西長治）已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(3)討論函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)偶函數(shù)，理由見解析(3)答案見解析【解析】（1）且，得，即定義域為.（2）因為定義域關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù).（3），令，由，得，則，，當(dāng)時，，所以原函數(shù)的值域